有理数的认识

第二讲 有理数的认识

【知识要点】

一、正数、负数和零：

1、概念：象1、2.5、133、48等大于零的数叫正数；象-1、-2.5、13

3-、-48等小于零的数叫负数；0叫做零，0既不是正数也不是负数。

2、负数的表示方法：数字前带一个负号。如：-1、-2.5等。

注意：①正数，负数的“+”、“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号

叫做性质符号，负号不是减号。

②不能简单的理解为：带“+”号的数是正数，带“-”的数是负数。例如：a -，当a 表示正数时，a -是负数；当a 表示负数时，a -是正数；当a 表示0时，a -仍是0，既不是正数也不是负数。

3、负数的重要意义：

①使数字系统得到扩充：3、2、1、0、-1、-2、-3等；

②使表示起来更方便：

例1：温度比0℃低2度记为：-2℃

例2：山峰高于海面300m 叫海拔300m ，记为：+300m ，盆地低于海面50m 记为：-50m ； ③使计算起来更容易：3-4=-1等。

4、正数、负数与0：

①0是表示正与负的分界，表示数值上既不是正也不是负，表示比任何正数小，比任何负数大。 ②正数：表示在数值上不等于0，且总比0大。

③负数：表示在数值上不等于0，且总比0小。

例：A 、B 、C 三个商店，A 店在今年8月份赢利，B 店在今年8月份亏损，C 店在该月上正好不赢利也不亏本。则从利润上看：A P ＞0，B P ＜0，C P =0 ；A P ：正数，B P ：负数，0C P =; 负数＜0＜正数

二、有理数：

1、有理数的概念：

①从小数的角度看：

整数、有限小数（有限位小数）、无限循环小数叫有理数；而无限不循环小数叫无理数。如：••321.0，

3.14159是有理数；⋅⋅⋅=1415926.3π是无理数。

②从分数角度看：

整数和分数总称为有理数。

若m 和n 为整数（n ≠0），无理数不能表示为n m 的形式；有理数总能表示为n

m 的形式。

2、小数、分数的互化：

从有理数的概念可知：有限小数和无限循环小数总能化为分数形式，分数总能化为有限小数或无限循环小数。

例1：将3.14159、••312.1化为分数。

例2：n a a a ⋅⋅⋅21.0及••⋅⋅⋅n a a a 21.0总能化为分数。 解：n a a a ⋅⋅⋅21.0=3

210

210001个n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a ⋅⋅⋅⨯21101 ••⋅⋅⋅n a a a 21.0=4

34219

2199999个n n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n a a a ⋅⋅⋅⨯-211101 例3：将12，15，116，17，125，111，13

1化为小数。 【思考】

①什么样的分数能化为有限小数？

②为什么分数总能化为有限小数或无限循环小数？

3、有理数分类：

①()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数数有限小数或无限循环小分数负整数正整数整数有理数0；②⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 【例题精讲】

【例1】填空：

①用字母a 表示有理数时：1）a ＞0时，a 表示 数，a -表示 数；2）a ＜0时，a 表示 数，a -表示 数；3）a ≥0时，a 表示 数。

②一个物体沿着东、西两个相反方向运动时，可以用正负数表示它的运动。

1）如果向东运动4米记作4米，那么相西运动应记作 。

2）如果-7米表示物体向西运动7米，那么6米表示 。

③如果自行车车条的长度比标准长度长2mm记作：+2mm，那么比标准长度短3mm记作：

。

④一天中午12时的气温是7℃，傍晚5时的气温比中午12时下降了4℃，凌晨4时的气温比

中午12时低8℃，傍晚5时的气温是，凌晨4时的气温是。

⑤第一个冷库的温度是-6℃，第二个冷库的温度是-12℃，冷库的温度高一些。

⑥一潜水艇所在的高度是-50米，一条鲨鱼在艇上方10米处，鲨鱼所在的高度是米。

⑦如果水库的水位上升5cm，记作+5cm，那么水位下降3cm，记作：，上升-2cm表

示。

⑧若a

-不是负数，那么a一定是。

⑨有理数包括和。

⑩最小的正整数是；最大的负整数是；既不是正数又不是负数的数是。

【例2】判断正误：

① 0是最小的有理数。（）

②分数是有理数。（）

③大于负数的数是正数。（）

④有理数中不是正数就是负数。（）

⑤既没有最小的整数，也没有最大的整数。（）

【例3】在下面有理数：-21，-3.11，5

2

，+2，

1

1

7

-，0，3.3，-0.732，1中：

正数有；

负数有；

整数有；

非负整数有。

【例4】文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩

具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在 。

【例5】一小虫从点O 处出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程

为负数，爬过的各段路程依次为（单位： cm ）：

15，-13，20，-18，-16，22，-10

（1）小虫最后能否回到出发点O 处？为什么？

（2）小虫离开出发点O 最远时的距离是多少？

（3）爬行过程中，如果每爬1cm ，奖励两粒芝麻，那么小虫共得了多少粒芝麻？

【例6】将下列小数化分数（约分）：

①1.325 ②0.0184 ③••423.1 ④1.2216••

【例7】将下列分数化小数： ①2541

②1673 ③115 ④1852 ⑤73

【例8】真分数7

a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少？

【例9】若x ＞0，2x =2，求证：x 为无理数。