关于初中物理极值题的分析

初中物理关于极值题的分析

育才学校陈玺

现在初中物理考试题中有关极值计算和分析题正在出现，许多学生和教师面对此类题会感到困难、或束手无策；因极值问题必用数学工具，而有些数学工具需高中才学到，若无高中数学知识基础，如何用初中的数学知识来解决呢？则需掌握一些初中数学推导技巧，才能在遇到极值问题时，较好地解决这类问题。现以九年级统考试题出现的极值题为例来讲。

（2019年遵义市第一学期九年级学业水平监测理科综合试题卷）第37.如图

所示电路中，电源电压一定，R

1，R

2

为定值电阻，R为滑动变阻器，已知R

2

=7Ω.

当S、S

2闭合，S

1

断开，滑动变阻器滑片P在b端时，电流表示数为0.4A；当S、

S 1闭合，S

2

断开，滑片P在b端时，电流表示数为0.6A；当S、S

1

闭合，S

2

断开，

滑片P在中点时，电流表的示数为1.0A.

（1）当S、S

2闭合，S

1

断开，滑动变阻器滑片P在端时，求电阻R

2

通电1min产

生的热量；

（2）求电源电压；

（3）在S

1、S

2

不同时闭合的前提下，开关分别于何种状态、滑动变阻器接入电

路的阻值多大时，滑动变阻器消耗的功率最大？此时滑动变阻器消耗的功率是多少？

解:(1)当S、S

2闭合，S

1

断开，滑动变阻器滑片P在b端时，

电流表示数为0.4A，R

2

与串联，

Q=I

12R

2

t=(0.4A)2×7Ω×60s= 67.2J

（2）当S、S

2

闭合，S1断开，滑动变阻器滑片P在b端时,

R 2与串联，I

1

=0.4A

总

Ω·······( 1 )

当S、S

1闭合，S

2

断开，滑片P在滑动变阻器b端时,

R 1与串联，I

2

=0.6A

总

(2)

当S、S

1闭合，S

2

断开，滑片P在中点时R

1

与串联, I

3

=1.0A

总

(3)

解①②③方程组可得

R 1=2Ω， R

ab

=8Ω， U

总

=6V

（3）R

1与串联对比R

2

与串联，当R1与串联时，通过的电流大，

其两端的电压也大，功率也大；滑动变阻器消耗的功率为

P ab =I 42

ab ab

R R R U ⨯⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=2

1

()212ab ab

R R R U +⨯=

()ab

ab R R R U

2

12

+=

ab

ab

R R R R U

++=

12

12

2

12112422R U R R U =+≤()W V 5.42462

=Ω⨯=

数学知识补充:

()02

≥-Y X 0222≥+-Y XY X

XY Y X 222≥+

XY

Y

XY X

422

2

≥++

()XY Y X 42≥+

XY

Y X 2≥+

XY Y X 21

1≤

+

滑动变阻器 消耗的功率最大值为4.5W,要使滑动变阻器 消耗的功率为最大值，从推导式中看出滑动变阻器 =R 1=2Ω。

（3）问的另一解法：R 1与 串联对比R 2与 串联，当R1与 串联时， 通过的电流大，其两端的电压也大，功率也大；滑动变阻器 消耗的功率为

P ab =P 总-P 1=UI-I 2R 1

当I = 时，P ab最值为= =（）= 4.5W

数学知识补充:

（赤水市2019届初中毕业生学业水平模拟考试<一>）第25题。如图甲所示的电路中，电源电压不变，R0为定值电阻，滑动变阻器R消耗的电功率随电流变化的关系如图乙所示。图乙中的a、b两点分别与滑片P在图甲中的a、b两位置相对应。根据所给信息，下列计算正确的是( )

A.R0阻值是8Ω

B.电源电压是12V

C.当滑片置于b处，R0消耗的功率为6.4W

D.在此电路中，滑动变阻器的最大功率为3.6W

分析：P在滑动变阻器a点时，R的电阻较大，电流较小，对应乙图中a点；同理P在滑动变阻器b的点时，R的电阻较小，电流较大，对应乙图中b点；由P=UI可知：滑动变阻器在a、b两位置相对应的电压为8V和4V.根据串联电路电

压的特点列方程：⎩⎨

⎧⨯+=⨯+=)

2(8.04)1(4.080

0 R A V U R A V U

R 0=10Ω, U=12V 。

当滑片置于b 处，电路中的电流为0.8A, 则 U R0=0.8A ×R 0=8V,

P R0=U R0×I R0=0.8A ×8V=6.4W

在此电路中，滑动变阻器的最大功率如何分析？若采取上题方法，若学生的解题数学技能不够，且要花较多的时间，所以在乙图中间接地告诉学生：乙中的a 、b 两点的中点功率最大，且电流为0.6A,

U Rab =U- U R0=U-I R 0=12V-0.6A ×10Ω=6V

P Rab = U Rab ×I =6V ×6A=3.6W

从这两道关于求极值的题中看出，前一道题所涉及的数学技能是非常难，因不常用，技巧性高；若不用初中数学技能，则必须用到高中的求导数学知识，学生不知。后一道题为了避免数学技能的不足，减少数学推导，间接地告诉最大功率时的电压和电流，降低难度和做题时间。