《中位线》课件
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三角形中位线公开课课件
总结词
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度 ，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们 找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行 于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根 据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我 们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线 的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。 因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高 的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度 是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高， 并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算 等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过 程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。
三角形中位线定理课件
三角形中位线定理的应用
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
在几何学、代数和三角学等领域，三角形中位线定理被广泛应用于证明和计算 。
三角形中位线定理的历史
该定理最早可追溯到古希腊数学家欧几里得，后来被其他数学家不断完善和证 明。
02
三角形中位线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过一系列推导证明中位线定理。
VS
建筑学中的应用
在建筑设计或施工时，可以利用三角形中 位线定理来确保结构的稳定性和安全性。 例如，在桥梁或高层建筑的设计中，可以 利用该定理来分析结构的受力情况。
04
三角形中位线定理的拓展
三角形中位线定理的推广
三角形中位线定理的逆定理
如果一条线段平行于三角形的一边，并且通过三角形的另一边的 中点，那么这条线段就是三角形的中位线。
THANKS
感谢观看
在多边形中的应用
对于任意多边形，如果一条线段平行于一边，并且等于另一边的一半，那么这条线段就是多边形的中 位线。
中位线定理与其他几何定理的关系
与平行线性质定理的关系
三角形中位线定理的应用需要平行线的性质 定理来证明线段平行。
与勾股定理的关系
在直角三角形中，中位线定理可以与勾股定 理结合使用，以证明某些几何关系。
证明方法三：通过向量证明
总结词
利用向量的性质和运算规则，通过向量的表示和推导证明中位线定理。
详细描述
首先，利用向量的表示方法，我们可以将三角形的边表示为向量。然后，通过向量的加法和数乘运算，以及向量 的模长和夹角计算，我们可以推导出中位线定理。这种方法需要熟悉向量的性质和运算规则，但可以提供一种全 新的证明角度。
三角形中位线定理ppt课件
目录
《中位线》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (4)
P
AC
D
B
如图,在△ABC
中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于 G,H,求证:
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长不能确定
11．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝
3，则EF的长是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
12．顺次连接矩形各边中点，则所得图形是___菱__形_____． 13 ． 如 图 ， G 为 △ ABC 的 重 心 ， GE⊥BC ， AF⊥BC ， 则 GE∶AF ＝ ___1_∶__3___．
17．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点， DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE 的面积为S，试求四边形BOGC的面积．
解：根据点D，E分别是边AB，AC的中点，
可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC，相似比为
AC
D
B
如图,在△ABC
中,DE∥BC,AH分别交DE,BC于 G,H,求证:
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长不能确定
11．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝
3，则EF的长是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
12．顺次连接矩形各边中点，则所得图形是___菱__形_____． 13 ． 如 图 ， G 为 △ ABC 的 重 心 ， GE⊥BC ， AF⊥BC ， 则 GE∶AF ＝ ___1_∶__3___．
17．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点， DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O.若△ADE 的面积为S，试求四边形BOGC的面积．
解：根据点D，E分别是边AB，AC的中点，
可得DE∥BC，则△ADE∽△ABC，相似比为
中位线课件(新)
AE
想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
初 中 数 学
九 上
学有所获
1． 剪拼三角形 三角形中 位线定理
梯形中位 线性质
2．从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3．转化思想的应用——将三角形问题转化 为平行四边形问题，将梯形中位线问题转 化为三角形中位线．
F C
G
初 中 数 学
九 上
思路二：将 梯形转化为平行 四边形，利用平 行四边形的性质 定理进行证明．
A
E B
D M
F N
C
初 中 数 学
九 上
证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M， 交BC于点N． ∵AD∥BC， A D M ∴四边形AMNB是平行四边形，且 ∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． E F 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN （已证）， DF=CF （公共边）， B C N ∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ， ∴△DFM≌△CFN（ASA）． 1 ∴DM=CN，MF=FN= MN． 2 1 又∵AE=EB= AB．∴AE=EB=MF=FN． 2 ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． 1 ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= （AD+BC)． 2
九 年 级 数 学
上 册
DBCF Þ
DE∥BC DF=BC
1 DE=EF= DF ? DE 2
1 BC 2
初 中 数 学
九 上
定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
初 中 数 学
九 上
数学实验室
将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
初 中 数 学
想用k表示DE的一般结论，并给出证明。
初 中 数 学
九 上
学有所获
1． 剪拼三角形 三角形中 位线定理
梯形中位 线性质
2．从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3．转化思想的应用——将三角形问题转化 为平行四边形问题，将梯形中位线问题转 化为三角形中位线．
F C
G
初 中 数 学
九 上
思路二：将 梯形转化为平行 四边形，利用平 行四边形的性质 定理进行证明．
A
E B
D M
F N
C
初 中 数 学
九 上
证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M， 交BC于点N． ∵AD∥BC， A D M ∴四边形AMNB是平行四边形，且 ∠MDF=∠FCN． ∴AB=MN． E F 在△DFM和△CFN中， ∠MDF=∠FCN （已证）， DF=CF （公共边）， B C N ∠DFM=∠CFN（对顶角相等） ， ∴△DFM≌△CFN（ASA）． 1 ∴DM=CN，MF=FN= MN． 2 1 又∵AE=EB= AB．∴AE=EB=MF=FN． 2 ∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形． 1 ∴AM=EF=BC，EF∥BC∥AD．∴ EF= （AD+BC)． 2
九 年 级 数 学
上 册
DBCF Þ
DE∥BC DF=BC
1 DE=EF= DF ? DE 2
1 BC 2
初 中 数 学
九 上
定理
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半．
初 中 数 学
九 上
数学实验室
将一个直角三角形剪拼成一个矩形， 并使这个矩形的面积等于原三角形 的面积．
初 中 数 学
数学：3.5《中位线》课件1(苏科版九年级上)
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[单选]名义库存量也称（）。A.安全库存量B.最高库存量C.最低库存量D.平均库存量 [单选]套期保值之所以能够规避价格风险是因为（）。A．现货市场上的价格波动频繁B．期货市场上的价格波动频繁C．期货市场比现货价格变动得更频繁D．同种商品的期货价格和现货价格走势一致 [单选,A2型题,A1/A2型题]支气管癌时伴随高血压、低血钾及肌无力等表现，其原因是由于下列物质分泌过多（）A.肿瘤细胞所分泌的与ADH类似的环形多肽B.肿瘤代谢刺激腺垂体所分泌的ACTHC.肿瘤代谢刺激脑垂体后所分泌的ADHD.醛固酮E.肿瘤所分泌的ACTH样多肽 [单选]（）是按照相互之间的从属关系来划分的。A.从合同B.有名合同C.默示合同D.书面合同 [填空题]在供电电路中，提高功率因数的方法之一是并（）补偿。 [多选]港口与航道工程的图纸会审，参加单位应包括()。A.总包施工单位B.分包施工单位C.设计单位D.质检单位E.监理单位 [单选]进口电池产品的收货人在报检时，应提供（）签发的《进出口电池产品备案书》。A.检验检疫机构B.进口商C.外经贸部D.海关总署 [单选]一患者呼吸表现为有规律的呼吸几次后，突然停止一段时间，又开始呼吸，周而复始，这种呼吸节律称为（）A.Cheyne-Stokes呼吸B.叹息样呼吸C.Kussmaul呼吸D.Blots呼吸E.抑制性呼吸 [单选]临床上评价舒张功能的金标准是（）。A.心导管所测参数B.左房室瓣口血流频谱C.左房室瓣环运动速度D.等容舒张时间E.肺静脉频谱 [单选]停工时重油分馏系统水洗的原理是利用重油在温度高时（），将重油带出。A、粘度低B、粘度高C、在水中溶解度大D、在水中溶解度小 [单选]母线倒闸操作，应按（）值班调度员的指令进行。A.地调B.省调C.网调D.调度管辖范围内 [单选]下列分析中，()应考虑关联效果，对项目涉及的所有社会成员的有关效益和费用进行全面识别。A.社会分析B.风险分析C.经济分析D.经济影响分析 [单选]以下有关血肿处理方法中错误的是（）。A.微量出血及针孔局部小块青紫，一般不必处理B.如局部血肿增长迅速，应立即于以热敷，促使消散C.出血停止后，可在局部轻轻按揉D.出血初期可用冷敷E.血止后可用热敷 [单选]按《合同法》的规定，合同生效后，当事人就价款或者报酬没有约定的，确定价款或报酬时应按（）的顺序履行。A.订立合同时履行地的市场价格、合同有关条款、补充协议B.合同有关条款、补充协议、订立合同时履行地的市场价格C.补充协议、合同有关条款、订立合同时履行地的市场价 [单选,A1型题]β衰变发生于（）A.激发态原子核B.贫中子原子核C.富中子原子核D.质子数大于82的原子核E.超重原子核 [单选]患者男性，65岁，因脑血栓后遗症，长期卧床，生活不能自理，入院时护士发现其骶尾部皮肤发红，除去压力无法恢复原来的肤色，护士使用50％乙醇按摩局部皮肤的作用是()A.消毒皮肤B.润滑皮肤C.去除污垢D.促进血液循环E.降低局部温度 [问答题,案例分析题]病例摘要：吴某，女，18岁，学生，于2011年11月25日就诊。患者3岁时突发高热，失语伴右半侧肢体抽搐，在某医院诊断为"乙型脑膜炎"，经过治疗（具体用药不详）后症状好转，出院后发作性意识丧失、活动中断、两眼凝视，持续十几秒钟自行缓解，在多家医 [单选]航行中的顶推船队发生舵机失灵时，首先应()。A.停车B.报告船长并通知机舱备车C.通知驳船帮舵D.抛锚 [填空题]确定粗集料压碎值试验试样质量时，按大致相同的数量将试样分（）装入金属量筒中，整平后，每层用金属棒在整个层面上均匀捣实（）次。 [多选]以公司的国籍为标准，可以将公司分为（）。A.本国公司B.外国公司C.总公司D.分公司E.子公司 [单选]减少用电容量的期限，最短期限不得少于（）。A.4个月B.5个月C.6个月D.7个月 [问答题,简答题]优质护理服务的内涵是什么？ [单选]电磁场向外辐射和传播的速度是（）。A.光速B.音速C.超音速D.以上都不对 [单选]选择ERP软件产品时，以下哪种因素不在我们的考虑范围？（）A．供应商的实力、信誉B．实施队伍、服务C．产品的已有客户群D．企业和产品的宣传 [单选]当高度增加时，真空速和迎角应如何变化才能产生相同的升力？（）A.相同的真空速和迎角B.对于任意给定的迎角，真空速需增大C.真空速减小，迎角增加 [问答题,简答题]列举页面之间传递值的几种方式。 [填空题]抗震设计时高层建筑按其（）可分为甲类建筑、乙类建筑、丙类建筑等三类。 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者男性，40岁。心肺复苏术后体温39.8℃，准备给予冰帽及使用恒温毯降温，此时应立即使用的药物为（）A.地塞米松B.丙泊酚C.20%甘露醇D.硫喷妥钠E.氢化可的松 [单选]为维吾尔族宾客服务时，尽量当宾客的面冲杯子，端茶时不要用（）。A、右手B、左手C、单手D、双手 [单选]含银量千分数不低于（）的称为纯银。A.999B.998C.990D.995 [单选,A2型题,A1/A2型题]甲状旁腺功能减退症患者对维生素D制剂的使用，下列说法正确的是（）。A.用钙剂时常规加用维生素D制剂B.应尽可能快速大量应用维生素D制剂，以尽快控制症状C.较重患者须加用维生素D制剂，应从小剂量开始D.以上都不对E.钙剂加量时亦应增加维生素D制剂的用量 [单选]下列有关心脏电冲动的描述，不正确的是（）.A.冲动在窦房结形成后，由结间通道和普通心房肌传递至房室结及左心房B.冲动在房室结内传导速度极为缓慢C.抵达希氏束后传导更为缓慢D.束支与浦肯野纤维的传导速度均极为快速，使全部心肌几乎同时被激动E.最后，冲动抵达心外膜，完 [多选]三水铝石的分子式为（）。A、Al（OH）3B、Alh;AlOOHD、γ—Al2O3•H2O [填空题]高层建筑结构主要承受（），（）和（）等。 [单选]下列选项中，冷换设备泄漏处理方法错误的是（）。A、立即组织紧漏B、立即用火抢修C、因憋压造成的，应查明原因D、无法紧的漏点，应立即切换抢修 [单选,A1型题]111IN和113mIn互为（）A.同位素B.同中子素C.同质异能素D.同量异位素E.同分异构体 [单选]以下关于斑点状掌跖角化病临床表现的描述，错误的是()A．常染色体显性遗传病B．可发生于任何年龄C．典型皮损为掌跖部直径2～1Omm角化性丘疹D．多伴手足多汗表现 [单选]甲烷化炉床温联锁值是（）℃。A.360B.380C.400D.430 [单选]消化性溃疡慢性穿孔最常见的部位是()A．十二指肠前壁B．胃小弯C．胃窦D．十二指肠后壁E．幽门 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列关于儿童孤独症的流行病学的描述中正确的是（）A.根据DSM-Ⅳ，其患病率约为儿童人口的万分之二～万分之五B.女孩明显多于男孩C.男童患儿的症状往往都比较重D.社会经济状况较高的家庭患病率较高E.近些年来随着新的治疗手段的出现，孤独症的患病率越来越
三角形的中位线ppt课件
∴AB= + = + =13.
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
苏科版数学九上3.5《中位线》课件
交通规划
在交通规划中，中位线也被用来确定道路的 走向、交叉路口的设计以及交通信号灯的位 置。合理的交通规划有助于提高道路通行效 率，减少交通拥堵。
05
CATALOGUE
中位线的变式与拓展
中位线的变式问题
三角形中位线定理的变式
除了基本的三角形中位线定理外，还可以探索中位线与三角形其他边的关系，如中位线 与第三边的平行关系等。
总结词
通过构造辅助线证明中位线定理
详细描述
通过作辅助线，将中位线与第三边平行，利用平行线的性质和平行四边形的性质，推导出中位线的性质和定理。
证明中位线定理的方法二
总结词
利用相似三角形证明中位线定理
详细描述
通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出中位线的性质和定理。
证明中位线定理的方法三
中位线与面积的关系
探讨中位线与三角形、四边形等图形的面积 之间的关系，以及如何利用中位线来计算面 积。
中位线与函数、方程等数 学知识的结合
研究如何将中位线问题转化为函数、方程等 问题，并利用数学知识进行求解。TΒιβλιοθήκη ANKS感谢观看总结词
利用面积法证明中位线定理
详细描述
通过比较三角形面积和与中位线相关的四边形面积，利用面 积的性质，推导出中位线的性质和定理。
04
CATALOGUE
中位线的实际应用
中位线在建筑学中的应用
建筑结构设计
中位线在建筑结构设计中有着广泛的 应用，特别是在桥梁、高层建筑和大 型工业厂房的结构设计中。它用于确 定结构的稳定性、承载能力和抗震性 能。
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半。
中位线的性质
性质1
《中位线》PPT课件
Biblioteka 长的1 ;3
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
中位线 PPT课件 2 华东师大版
什么是三角形的中线？（连结顶点与对边中点的线段）
设疑：如果连结两边中点的线段呢？ A
中位线
E
.
.F
B
D
.
C
DE是三角形ABC的中位线
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
友情提醒：
A D B E
C
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
观察猜想
在△ABC中，中位线 DE和边BC什么关系? DE∥BC
A
D B
E
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？
图1
C
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
12 cm
E
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知：如图24.4.3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分． 证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一 半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形 图 24.4.3 的对角线互相平分）．
设疑：如果连结两边中点的线段呢？ A
中位线
E
.
.F
B
D
.
C
DE是三角形ABC的中位线
A
什么叫三 角形的中位 线呢？
D B
E C
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线。 画出△ABC中所有的中位线
画出三角形的所有中线并说 出中位线和中线的区别.
D B A F C
E
友情提醒：
A D B E
C
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
观察猜想
在△ABC中，中位线 DE和边BC什么关系? DE∥BC
A
D B
E
则∠B=
60 4
度，为什么？
（2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？
图1
C
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
12 cm
E
C
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知：如图24.4.3所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC． 求证：AE、DF互相平分． 证明 连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一 半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形 图 24.4.3 的对角线互相平分）．
数学：3.5《中位线》课件1(苏科版九年级上)
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三角形中位线课件
三角形中位线的定理
• 定理：三角形的中位线定理是指三角形的中位线长度等于 第三边长度的一半，并且平行于第三边。
三角形中位线的性质定理
01
02
03
性质定理1
三角形的中位线将相对边 分为两段，且这两段长度 相等。
性质定理2
三角形的中位线与第三边 平行，且长度为第三边的 一半。
性质定理3
三角形的中位线将相对顶 点与对边中点连接，且该 连线长度为中位线长度的 一半。
电路设计
在电路设计中，三角形中位线可以用来平衡电流，防止电流过大导致设备损坏或 火灾等安全事故。
05 总结与思考
三角形中位线的重要性和意义
几何构造的基础
在实际生活中的应用
三角形中位线是几何学中的基础概念 ，对于理解几何图形的构造和性质至 关重要。
在建筑、工程和设计等领域，三角形 中位线的应用广泛，例如在测量、绘 图和计算面积等方面。
02 三角形中位线的 性质与判定
三角形中位线的性质
三角形中位线平行于第三边
01
三角形中位线与第三边平行，这是三角形中位线的基本性质。
三角形中位线长度为第三边的一半
02
三角形中位线的长度是第三边长度的一半，这是三角形中位线
的长度性质。
三角形中位线将相对边等分
03
三角形中位线将相对边等分，这是三角形中位线的等分性质。
在解题中的应用
解题辅助
在解决一些几何问题时，三角形中位线可以作为一个重要的解题工具，帮助我 们找到解题的突破口。
证明定理
通过三角形中位线，我们可以证明一些重要的几何定理，如“三角形中位线定 理”等。
在生活中的实际应用
建筑测量
在建筑行业中，三角形中位线被广泛应用于测量和计算角度、长度等参数，决几何证明问题
中位线ppt课件免费
中位线ppt课件免费
目录
• 中位线的定义 • 中位线在数据分析中的应用 • 中位线的优缺点 • 中位线与其他统计指标的比较 • 中位线在不同领域的应用案例 • 中位线的未来发展与展望
中位线的定义
01
什么是中位线
01
定义
中位线是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位 置的数值。
02
特点
中位线是统计学中常用的一个指标，它不受数据分布的 影响，具有稳健性。
优点
A
易于理解
中位线PPT课件通常采用简洁明了的图表和数据 ，使得信息更易于理解和接受。
直观展示
通过使用图表、图片和动画等多媒体元素 ，中位线PPT课件能够直观地展示数据和信 息，帮助观众更好地理解内容。
B
C
方便快捷
中位线PPT课件可以在多个平台和设备上轻 松打开和播放，方便用户随时随地学习和交 流。
中位线在人工智能领域的应用
机器学习算法中的异常检测
利用中位数在异常值处理中的优势，可以应用于机器学习算法中的异常检测，提高算法的准确性和稳 定性。
数据可视化的辅助工具
中位数可以作为数据可视化的一部分，帮助更好地展示数据的分布和中心趋势，为人工智能领域的决 策提供支持。
谢谢聆听
中位线的计算方法
排序
将数据按照从小到大的顺序排列 。
确定中间位置
如果数据的个数是奇数，则中位线 位于中间的数值上；如果数据的个 数是偶数，则中位线位于中间两个 数值的平均值上。
计算中位数值
根据中间位置的数值计算出中位数 值。
02 中位线在数据分析中的应用
描述数据分布情况
总结词
中位线可以用来描述数据分布情况，帮助我们了解数据的集中趋势和离散程度 。
目录
• 中位线的定义 • 中位线在数据分析中的应用 • 中位线的优缺点 • 中位线与其他统计指标的比较 • 中位线在不同领域的应用案例 • 中位线的未来发展与展望
中位线的定义
01
什么是中位线
01
定义
中位线是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位 置的数值。
02
特点
中位线是统计学中常用的一个指标，它不受数据分布的 影响，具有稳健性。
优点
A
易于理解
中位线PPT课件通常采用简洁明了的图表和数据 ，使得信息更易于理解和接受。
直观展示
通过使用图表、图片和动画等多媒体元素 ，中位线PPT课件能够直观地展示数据和信 息，帮助观众更好地理解内容。
B
C
方便快捷
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中位线在人工智能领域的应用
机器学习算法中的异常检测
利用中位数在异常值处理中的优势，可以应用于机器学习算法中的异常检测，提高算法的准确性和稳 定性。
数据可视化的辅助工具
中位数可以作为数据可视化的一部分，帮助更好地展示数据的分布和中心趋势，为人工智能领域的决 策提供支持。
谢谢聆听
中位线的计算方法
排序
将数据按照从小到大的顺序排列 。
确定中间位置
如果数据的个数是奇数，则中位线 位于中间的数值上；如果数据的个 数是偶数，则中位线位于中间两个 数值的平均值上。
计算中位数值
根据中间位置的数值计算出中位数 值。
02 中位线在数据分析中的应用
描述数据分布情况
总结词
中位线可以用来描述数据分布情况，帮助我们了解数据的集中趋势和离散程度 。
中位线课件
反证法
假设中位线定理不成立， 通过逻辑推理得出矛盾， 从而证明中位线定理的正 确性。
平行四边形法
利用平行四边形的性质， 结合已知条件推导出中位 线定理。
中位线定理的推广
三角形中位线定理的推广
在三角形中，若一条边上的中点与对边 的两个端点连成线段，则这两条线段的 长度相等。
VS
多边形中位线定理的推广
中位线定理是几何学中的重要定 理之一，它揭示了三角形中位线 与第三边的关系，为解决几何问 题提供了重要的思路和方法。
02 中位线的判定定理
三角形中位线定理
总结词
三角形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了三角形中位线的性质和 判定方法。
详细描述
三角形中位线定理指出，在一个三角形中，中位线是一条连接顶点与对边中点的 线段，且这条线段平行于第三边，并且长度为第三边的一半。这个定理可以通过 多种方式证明，其中最常用的是通过相似三角形和全等三角形来证明。
数学基础
中位线定理是几何学中的基础定 理之一，对于理解几何形状的性 质和解决几何问题具有重要意义
。
应用广泛
中位线定理在各个领域都有广泛的 应用，如建筑、工程、艺术、科学 等，是解决实际问题的重要工具。
培养逻辑思维
学习中位线定理有助于培养人的逻 辑思维和推理能力，提高解决问题 的能力。
中位线定理的学习方法与技巧
总结词
梯形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了梯形 中位线的性质和判定方法。
详细描述
梯形中位线定理指出，在梯形中，如果一条线段连接两个相 对边的中点，则这条线段平行于上底和下底，并且长度为上 底和下底的一半之和。这个定理可以通过相似三角形和全等 三角形来证明。
平行线中位线定理
九年级数学上册第23.4：中位线课件
学 习 目 标：
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证 明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计 算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接Δ ABC两边 的中点D、E所得的线段，称此
线段DE为Δ ABC的中位线
A
D
E
三角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
2．如图（2）RtΔ ABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。重点是利用中位 线定理进行证明和计算。
拓展练习： 三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
平分。
A
已知：如图， ABC中,AD = DB , BE = EC, AF = FC。
D
F 求证：AE . DF互相平分。
B
E
C
作业
我一定能够 认真完成！
1. 如 图 ， 在 △ABC中，AB＝ AC，D、E、F分 别 是 AB 、 BC 、 CA的中点．求证： 四 边 形 ADEF 是 菱形．
（第 1 题）
∵DE为Δ ABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系 数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
• 1.如图（1）Δ ABC中，
A
1、了解三角形的中位线概念,掌握并证 明三角形的中位线定理. 2、能利用三角形的中位线定理进行计 算与证明。
自主学习，独立思考：
读一读：
图中线段DE 是连接Δ ABC两边 的中点D、E所得的线段，称此
线段DE为Δ ABC的中位线
A
D
E
三角形中位线的概念
B
FC
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
(1) F
C
2．如图（2）RtΔ ABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿
D
A E
B
C
（2） F
小结：
本节课主要学习了三角形中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半。重点是利用中位 线定理进行证明和计算。
拓展练习： 三角形中位线定理的应用
1、求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相
平分。
A
已知：如图， ABC中,AD = DB , BE = EC, AF = FC。
D
F 求证：AE . DF互相平分。
B
E
C
作业
我一定能够 认真完成！
1. 如 图 ， 在 △ABC中，AB＝ AC，D、E、F分 别 是 AB 、 BC 、 CA的中点．求证： 四 边 形 ADEF 是 菱形．
（第 1 题）
∵DE为Δ ABC的中位线(AD=BD,AE=CE)
∴①DE∥BC，②DE=½BC
A
↓
↓
位置关系 数量关系
2、三角形中有三条中位线， D
E
可构成三个平行四边形
B
FC
知识应用
• 1.如图（1）Δ ABC中，
A
【中位线】PPT课件
整合方法
10．【中考·湖州】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别 是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF. (1)求证：四边形BEFD是平行四边形． 证 明 ： ∵ D ， E ， F 分 别 是 AB ， BC ， AC 的 中 点 ， ∴DF∥BC，EF∥AB. ∴四边形BEFD是平行四边形．
夯实基础
9．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E， F分别是线段AO，OB的中点，若AC＋BD＝24 cm， △OAB的周长是18 cm，则EF＝___3_____cm.
【点拨】∵AC＋BD＝24 cm，OA＝OC， OB＝OD，E，F分别是线段AO，OB的中点， ∴OE＋OF＝6 cm.∵△OAB的周长是18 cm，∴根据中 位线定理，可知△OEF的周长是9 cm，∴EF＝3 cm.本 题易忽视运用整体思想而求不出中位线的长．
3 C.2
D．2
夯实基础
【点拨】如图，连结 CP 并延长，交 AB 于 D，∵P 是 Rt△ABC 的重心，∴CD 是△ABC 的中线，PD＝13CD， ∴AD＝BD＝12AB＝3.∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴CD⊥AB，∠A＝∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝3. ∴PD＝1，即点 P 到 AB 所在直线的距离等于 1，故选 A. 【答案】A
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
A．2
4 B.3
C．3
3 D.2
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已知:如图，A，B两地被池塘隔开
A
，在没有任何测量工具的情况下
M
，小明通过学习，估测出了A，B
两地之间的距离:先在AB外选一点 C C，然后步测出AC，BC的中点M，N
N
B
，并测出MN的长，由此他就知道
了A，B间的距离.你能说出其中的
道理其吗中？的道理是:
连结A、B， ∵MN是△ABC的的中位线，∴AB=2MN.
B
∴ ∠ADE= ∠ABC，DE:BC=1:2(相似三角形的对
应角相等，对应边成比例）， ∴DE//BC且DE= —1 BC
2
A E C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD，AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
途 用 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A
练习1.如图，在△ABC中，D、E分、别F分是别 A是BA、BA、CA的C中、点BC的中点
D
B
F
①③若A∠CA=D4cEm=，65B°C，=6则cm∠，BA=B6=5度8cm，，为什么？ E ②④若则若△△BCDA=EBFC8的的cm周周长，长=为则_9_2Dc_4m_，E_=4△_ DEFc的m周，长为是什_1_么2__？_
菱形
D C
（3）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
⑤ 图中有__3___个平行四边形 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么
关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
定理应用
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一 端点是三角形的顶点.
获取新知
猜一猜：
A
△ ABC的中位线DE与BC的
关系怎样？（从位置和数量
D
E
关系猜想）
DE∥BC，DE 1 BC
B
2
C
即：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的 一半.
你能验证你的猜想吗？
我能行
证明：如图△ABC中，点D，E分别是AB与AC的中点，
∴AD：AB=AE：AC=1:2
∵ ∠A= ∠A
D
S
∴ △ADE △ABC（如果一个三角形的两条边与另
一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那
么这两个三角形相似）
定理应用
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是 对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的 中点．求证∠PMN＝∠PNM．
（第 4 题）
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明.
A
H
E
B
F
答： 四边明：如图，连接AC
G
同∵理EEF得F是/：△/ 12AGABHC/C/的12 A中C位线
C
GH//EF
∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
（1）顺次连结对角线相 A 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
B
（2）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同， 请设计合理的解决方案.
三角三形角的形中的中位位线线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线 不同
A 概念对比 A