人教版数学高一-必修一训练 .1对数函数的图象及性质(教师版)

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )

A ．y ＝log 2x

B ．y ＝2log 4x

C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x

D ．不确定

解析： 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .故选A.

答案： A

2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析： f (a )＝log 2(a ＋1)＝1

∴a ＋1＝2

∴a ＝1.故选B.

答案： B

3．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )

解析： 由y ＝a x 解得x ＝log a y ，

∴g (x )＝log a x .

又∵g (2)<0，∴0

故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是单调递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的．

答案： A

4．已知函数f (x )＝2log 12

x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )

A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1]

C.⎣⎡⎦⎤12，2

D.⎝

⎛⎦⎤－∞，22∪[2，＋∞) 解析： 函数f (x )＝2log 12

x 在(0，＋∞)为减函数， 则－1≤2log 12

x ≤1， 可得－12≤log 12x ≤12

， 解得22

≤x ≤ 2.故选A. 答案： A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1)，则a ＝________. 解析： 函数f (x )的反函数为y ＝log a x ，由题意，log a 3＝1，

∴a ＝3.

答案： 3

6．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

e x (x ≤0)ln x (x >0)，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12

<0， g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12

， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12

. 答案： 12

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．求下列函数的定义域：

(1)f (x )＝log 2(9－x 2)；

(2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)；

(3)f (x )＝2x ＋3x －1

log 2(3x －1)． 解析： (1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0，即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}．

(2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义，

则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3＞05－x ＞0

5－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞3

2x ＜5x ≠4. ∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x | 32＜x ＜4，或4＜x ＜5. (3)要使f (x )＝2x ＋3x －1

log 2(3x －1)有意义， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1＞0，2x ＋3≥0，

x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1

3x ≥－32x ≠1. ∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x | x ＞13，且x ≠1. 8．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 2

的最大值和最小值． 解析： 由2x ≤256得x ≤8，log 2x ≤3即12

≤log 2x ≤3， f (x )＝(log 2x －1)·(log 2x －2)

＝⎝

⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14

， 当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.

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9．(10分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2

当01时，如图所示，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1