人教版数学高一-必修一训练 .1对数函数的图象及性质(教师版)
人教新课标版数学高一(必修1)练习 对数函数及其性质(一)
2.2.2 对数函数及其性质(一)一、基础过关1． 函数y ＝log 2x －2的定义域是 ( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)2． 设集合M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于 ( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)3． 若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 4． 已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则 ( ) A ．x <y <z B ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x5． 如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．6． 已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．7． 求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．8． 设函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)的定义域为A .(1)若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．二、能力提升9． 函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为 ( )10．若log a 23<1，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，23) B ．(23，＋∞) C ．(23，1) D ．(0，23)∪(1，＋∞) 11．函数f (x )＝log 3(2x 2－8x ＋m )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)．(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值．(2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．三、探究与拓展13．若不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．D 2.C 3.C 4．D 5．(1,2) 6．(4，－1)7． 解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R .(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R .又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32， 即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)． 8．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋1＞09－3a ＋1≤0， 所以a ≥103. 故实数a 的取值范围为[103，＋∞)． (2)由题意，得x 2＋ax ＋1＞0在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2. 故实数a 的取值范围为(－2,2)．9．A 10．D 11．m >812．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数，故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6，f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1.②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0.13．解 由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，12)内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1.在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．∵x ＝12时，y ＝x 2＝14， ∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14. ∴12≤m 14，即116≤m .又0<m <1， ∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是[116，1)．。
高一数学(必修一)《第五章-对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--5．函数f （x ）＝|ax －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为（ ）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（ ） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数2(43)3,0()log (1)2,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩ (a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（ ）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（ ）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小： （1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3； （3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）． （2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论． （3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（ ）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小． 【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ． 故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合； 对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合； 故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误； 选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确； 选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增 所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意； 对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意； 对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+； 对于②，3y x =是奇函数，值域为R ； 对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可 【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立 所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小； （3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2） 由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2） 当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立 所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案； （2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论； （3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围． 【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭． 所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ． （3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立 即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可 【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增 综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ． 故答案为1(,0]2-． 【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立 即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根 整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增 又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。
人教A版高中数学必修一课时作业第一课时对数函数的图象及性质
2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质[选题明细表]知识点、方法题号对数函数的定义及性质1,3,8,10对数函数的图象特征2,5,6,12,14 对数函数的定义域、值域问题4,7,11,13反函数9基础巩固1.下列给出的函数:①y=log5x+1;②y=log a x2(a>0,且a≠1);③y=lo x;④y=log 3x;⑤y=log x(x>0,且x≠1);⑥y=lo x.其中是对数函数的为( D )(A)③④⑤(B)②④⑥(C)①③⑤⑥ (D)③⑥解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.2.(2019·云南玉溪一中高一上期中)函数y=log a(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( A )(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(2,3) (D)(,2)解析:令3x-2=1,得x=1,又log a(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.3.(2019·吉林舒兰一中高一上学期期中)设ln b>ln a>ln c,则a,b,c 的大小关系为( A )(A)b>a>c (B)a>b>c(C)c>b>a (D)c>a>b解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln b>ln a>ln c,所以b>a>c,故选A.4.(2019·辽宁实验中学高一上期中)已知函数f(x)=log2(1+2-x),函数的值域是( B )(A)[0,2) (B)(0,+∞)(C)(0,2) (D)[0,+∞)解析:因为2-x+1>1,所以log2(1+2-x)>log21,故f(x)>0.故选B.5.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x,故选A.6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( A ) (A)x2<x3<x1(B)x1<x3<x2(C)x1<x2<x3(D)x3<x2<x1解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,log3x3=-1,故x1=,x2=,x3=,则x1>x3>x2.选A.7.(2019·陕西安康市高一上期中)若函数y=log0.5(a-2x)的定义域为(-∞,2),则a等于( D )(A)(B)(C)2 (D)4解析:由已知得a-2x>0,2x<a,x<log2a=2,a=4,故选D.8.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)log a x,则f(9)= .解析:由对数函数定义知故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=log3x,故f(9)=log39=2.答案:2能力提升9.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=e x互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a 的值为( C )(A)-e (B)-(C)(D)e解析:因为函数f(x)与函数g(x)=e x互为反函数,所以f(x)=ln x.因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x.因为h(a)=1,所以a=,故选C.10.(2019·湖南岳阳一中高一上期中)已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是( A )(A)(,10) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(,1) (D)(0,1)∪(10,+∞)解析:因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是减函数,又f(lg x)>f(1),即f(|lg x|)>f(1),则|lg x|<1,故-1<lg x<1,解得<x<10.故选A.11.若函数f(x)=log5(3x-b)(x≥1)的值域是[0,+∞),则b的取值集合是.解析:因为x≥1,所以3x-b≥3-b.又f(x)=log5(3x-b)的值域是[0,+∞),所以3-b=1,故b=2.答案:{2}12.若直线y=t(t>0)与f(x)=|ln x|有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,则x1x2= .解析:由题意知|ln x1|=|ln x2|,假设x1<1<x2,则-ln x1=ln x2,即ln x1+ln x2=0,故ln x1x2=0,因此x1x2=1.答案:113.已知函数f(x)=+的定义域为A.(1)求集合A;(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.解:(1)要使函数有意义,则即解得≤x≤4,即集合A=[,4].(2)因为x∈A,所以-1≤log2x≤2,g(x)=(log2x)2-2log2x-1=(log2x-1)2-2.当log2x=1,即x=2时,g(x)取最小值为-2,当log2x=-1,即x=时,g(x)取最大值为2.探究创新14.若定义一个区间[m,n]的长度为n-m,当函数f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值为[0,1]时,该区间的长度的最小值为.解析:依题意知f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],如图,当f(x)=0时,x=1,当f(x)=1时,x=4或,因此定义域为[,1]时,区间长度最小,故b-a的最小值为.答案:。
对数函数的图像和性质 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
6
{x| < x ≤ 3}
− 6) 的解集为_____________.
5
例3（1） 不等式 log 2 (2x + 3) ≥ log 2 (5x
2x + 3 > 0,
6
[解析] 原不等式等价于 5x − 6 > 0,
解得 < x ≤ 3 ，所以原不等式的解
5
2x + 3 ≥ 5x − 6,
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
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y = log a x 为减函数，其图象过定点 (1,0) ，此时 1 − a > 0 ，函数 y = (1 − a)x 为
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增函数.故选C.
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（2）若函数 f(x) = log a (x − n) + m(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3, −1) ，
解得
所以 mn = −1 × 2 = −2 .故选A.
m = −1,
n = 2,
高中数学人教A版必修一练习：2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数的图象及性质.doc
2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质【选题明细表】1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( D )(A)y=log4x (B)y=lo x(C)y=lo x (D)y=log2x解析:设对数函数为y=log a x(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=log a16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.2.下列函数①y=2x;②y=log0.5(x+1);③y=;④y=|x-1|,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( D )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:函数①y=2x在区间(0,1)上单调递增;②y=log0.5(x+1)在区间(0,1)上单调递减;③y=在区间(0,1)上单调递增;④y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减.故选D.3.(2018·长沙高一月考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( C )(A)(-∞,-1) (B)(1,+∞)(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:由题意知解得x>-1,且x≠1.故选C.4.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.5.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )(A)-log23 (B)-log32 (C)(D)解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f()=log3=-log32,故选B.6.(2018·濮阳高一期末)函数f(x)=|lo x|的单调增区间为.解析:由函数f(x)=|lo x|可得函数的大致图象如图所示,所以函数的单调增区间为[1,+∞).答案:[1,+∞)7.函数f(x)=log2(-1)(x>8)的值域是.解析:因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).答案:(1,+∞)8.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x与y=log a x的图象是( D )解析:因为函数y=a x与y=log a x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,且当0<a<1时,函数y=a x与y=log a x都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.10.若y=log a(ax+3)(a>0且a≠1)在区间(-1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.解析:因为y=log a(ax+3)(a>0且a≠1)在区间(-1,+∞)上是增函数,所以解得1<a≤3.故a的取值范围是(1,3].答案:(1,3]11.(2018·重庆市丰都县实验中学期末)函数f(x)=的定义域是.解析:由题意得解得<x≤1.所以f(x)的定义域为(,1].答案(,1]12.已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1-x)(a>0且a≠1).(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值;(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.解:(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.(2)f(x)-g(x)>0,即log a(1+x)>log a(1-x).①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.综上,a>1时,x∈(0,1),0<a<1时,x∈(-1,0).13.若不等式x2-log m x<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围. 解:由x2-log m x<0,得x2<log m x,要使x2<log m x在(0,)内恒成立,只要y=log m x在(0,)内的图象在y=x2的上方,于是0<m<1.在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的草图,如图所示.因为x=时,y=x2=,所以只要x=时,y=log m≥=log m.所以≤,即≤m.又0<m<1,所以≤m<1,即实数m的取值范围是[,1).。
高一数学必修1同步教师用书：第2章2.2.2第1课时对数函数的图象及性质
13，
2 3
.
【答案】 13，23
2．函数 y＝ loga(x－1)＋ 1(a>0，且 a≠ 1)恒过定点 ________．
【解析】 当 x＝2 时， y＝1，故恒过定点 (2,1)．
【答案】 (2,1)
教材整理 3 反函数
阅读教材 P73 至 “练习 ”以上的部分，完成下列问题． 反函数：对数函数 y＝ logax 与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) 1
(1)函数 y＝logx2是对数函数． ( ) (2)函数 y＝2log3x 是对数函数． ( ) (3)函数 y＝log3(x＋ 1)的定义域是 (0，＋∞ )．( ) 【解析】 (1)×.对数函数中自变量 x 在真数的位置上，且 x>0，所以 (1)错； (2)× .在解析式 y＝ logax 中， logax 的系数必须是 1，所以 (2)错； (3)× .由 x＋ 1>0 得 x>－1，所以函数的定义域为 (－ 1，＋ ∞)，所以 (3)错． 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理 2 对数函数的图象和性质 阅读教材 P70 第三自然段至 P71“ 例 7”以上部分，完成下列问题． 对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表所示：
函数 f(x)＝
1 2
x 的反函数为
g(x)，则 g(x)＝________.
【解析】
f(x)＝
1 2
x
的反函数为
1 g(x)＝log2x.
1 【答案】 log2x
[小组合作型 ]
对数函数的概
念
(1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有 ( )
人教版高一数学必修一2.2.2对数函数的图像及性质(1)
2．2．2对数函数的图像及性质（1）班级______________座号_________学生_______________一．选择题：1. 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 2．函数)23(log 21-=x y 的定义域是( )A ．[)+∞,1 B. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛1,323．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)7 4. 设βα,分别是方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，则βα+的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.6二．填空题：5. 函数y ＝log (2)ax +＋1的图像过定点_________6． 偶函数()x f 在)0,(-∞内是减函数,若)(lg )1(x f f <-,则实数x 的取值范围是_______7．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．三．解答题：8. 已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．9. 已知log a (3x )≥log a (8－x )，求实数x 的取值范围．10.已知函数()()1log 2+=x x f ，当点()y x ,是函数()x f y =图像上的点时，点⎪⎭⎫⎝⎛2,3y x 是函数()x g y =图像上的点。
人教版数学高一-必修1活页作业 .1对数函数的图象及性质
活页作业(二十) 对数函数的图象及性质知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 对数函数的概念 1、5 对数函数的图象 2、4、6 8、10 11 对数函数的定义域与值域3、79121．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析：D 中两函数的定义域均为(0，＋∞)，且y ＝lg x100＝lg x －lg100＝lg x －2.故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x 2＜x 3＜x 1.答案：A 3．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析：要使函数解析式有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＜1，所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，故选C.答案：C4．若log a2＜log b2＜0，则下列结论正确的是()A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1解析：∵log a2＜log b2＜0，如图所示，∴0＜b＜a＜1.答案：B5．已知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0ln x，x>0，则g⎝⎛⎭⎫g⎝⎛⎭⎫13＝________.解析：∵13>0，∴g⎝⎛⎭⎫13＝ln13<0，∴g⎝⎛⎭⎫g⎝⎛⎭⎫13＝g⎝⎛⎭⎫ln13＝e ln13＝13.答案：136．对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f⎝⎛⎭⎫12＝______.解析：设f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，由3＝log a8，得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f⎝⎛⎭⎫12＝log212＝－1.答案：－17．(1)求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域．(2)求函数f(x)＝log12(x2＋2x＋3)的值域．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x＞0x＋1＞0x＋1≠1，得⎩⎨⎧x＜2x＞－1x≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2)．(2)∵x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2， ∴定义域为R . ∴f (x )≤log 122＝－1，∴值域为(－∞，－1]．8．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( ) A ．log 12xB ．log 2x C.12x D ．x 2解析：由题意知f (x )＝log a x ，又f (a )＝a ， ∴log a a ＝a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .故选A.答案：A9．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．答案：⎣⎡⎦⎤22， 2 10．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值范围． 解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)， 即log 3x ＝log 32， 解得x ＝2.由图象知：当0＜a ＜2时， 恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值范围为0＜a ＜2.11．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点⎝⎛⎭⎫x 3，y 2在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式． (2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．解：(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )＝log 2(x ＋1)，y 2＝g ⎝⎛⎭⎫x 3，则g ⎝⎛⎭⎫x 3＝12log 2(x ＋1)， 故g (x )＝12log 2(3x ＋1)．(2)由f (x )－g (x )＝0得， log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3x ＋1＞0，3x ＋1＝(x ＋1)2，解得，x ＝0或x ＝1.12．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(其中0＜a ＜1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值． 解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，∴函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为：f(x)＝log a(1－x)(x＋3)＝log a(－x2－2x＋3)＝log a[－(x＋1)2＋4]，∵－3＜x＜1，∴0＜－(x＋1)2＋4≤4.∵0＜a＜1，∴log a[－(x＋1)2＋4]≥log a4，即f(x)min＝log a4，由log a4＝－4，得a－4＝4；∴a＝4－14＝22.1．在对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响，无论a取何值，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a＞1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0＜a＜1时函数单调递减，当a＞1时函数单调递增．2．求含对数式的复合函数的定义域，注意对数式的基本概念及性质的应用，当对数式有意义时，有两个条件具备，即真数大于0，底数大于0且不等于1，当对数的底数不确定时，对数函数的单调性要分类讨论．。
人教版高中数学必修1 《对数函数图像与性质》复习课课件
1 2008
f
1 2008
f
1 2009
f
1 2010
________
2 5.设f(x)=lg( 1 x +a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是 ________
6.记函数 f x lg(x2 x 2)的定义域为集合A,函数g x 3 x的定义域为B
(1)求A∩B和A∪B; (2)若C={x|4x+p<0},C⊆A,求实数p的取值范围.
2
1,c 3
12B.a0.3<,c则<b(
B)
D
C.b<c<a
D
D.b<a<c
3、已知函数 f(x)＝loga(2－ax)，函数 f(x)在[0,1]上是关 于 x 的减函数，求 a 的取值范围_(_1_,2_)_.
4、解不等式：log (22 x 1)
log
( 2
x5)
(
1 2
,
2]
人教版高中数学必修1 《对数函数图像与性质》复习课课 件 （共25张PPT）
答案C 解析:由f(x)=loga|x-b|在(0,+∞)上单调递增, 且f(x)为偶函数,∴b=0,a>1,故f(b-2)=f(2),又a>1, ∴a+1>2,由f(x)在(0,+∞)上单调递增知f(a+1)>f(2), 即f(a+1)>f(b-2),答案为C.
人教版高中数学必修1 《对数函数图像与性质》复习课课 件 （共25张PPT）
人教版高中数学必修1 《对数函数图像与性质》复习课课 件 （共25张PPT）
人教版高中数学必修1 《对数函数图像与性质》复习课课 件 （共25张PPT）
人教课标版高中数学必修一《对数函数的图像与性质(第1课时)》教案-新版
2.2.2 对数函数的图像与性质第一课时一、教学目标 （一）核心素养1．理解对数函数的概念．2．掌握对数函数的性质．了解对数函数在生产实际中的简单应用． （二）学习目标1．理解对数函数的概念． 2．掌握对数函数的性质． （三）学习重点1．对数函数的定义、图象和性质． 2．对数函数性质的初步应用． （四）学习难点1．对数函数的定义、图象和性质的记忆和理解． 2．底数a 对图象的影响． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：一般地，函数log (01)a y x a a =>≠且叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数log a y x =的定义域是(0,)+∞，值域是R .（2）写一写：对数函数的图像是什么？01a <<1a >图 象2．预习自测（1）下列哪个函数是对数函数（ ）A ．3log y x =B ．3x y =C ．2y x =D ．1y x= 【知识点】对数函数的定义.【解题过程】利用对数函数的定义，分析A,B,C,D 四个函数的形式，只有A 符合. 【思路点拨】由对数函数的定义求解. 【答案】A ．（2）已知对数函数12log (1)y x =-，则x 的取值范围是（ ）A ．x R ∈B ．0x >C ．1x >D ．1x < 【知识点】对数函数的定义域.【解题过程】对数函数的真数大于0,∴10x ->，得1x >. 【思路点拨】由对数函数真数大于0可得. 【答案】C ．（3）已知对数函数2log y x =，[1,)x ∈+∞，则y 的取值范围是（ ） A ．y R ∈ B ．0y ≥ C ．1y ≥ D ．1y ≤ 【知识点】对数函数的图像性质.【解题过程】∵对数函数2log y x = 在定义域内为增函数，又1x ≥ ，∴0y ≥ 【思路点拨】根据对数函数的单调性确定y 的取值. 【答案】B (二)课堂设计 1．知识回顾（1）指数与对数的相互转化：log b a b N a N =⇔=（2）对数的加减法公式：log log log ()a a a N M N M +=⋅ log log log a a aN N M M -=（3）对数换底公式：log log log c a c bb a= 2．问题探究探究一 结合实例，认识对数函数★ ●活动① 归纳提炼概念考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用logt P =估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系logt P =，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数.可据此得到此类函数的一般式：log a y x =．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 深入了解对数概念 提出问题：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．一般地，函数log a y x =（a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数log a y x =的定义域是（0，+∞），值域是R .①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，y a ＞0，所以(0,)x ∈+∞． 【设计意图】通过设置的两个问题，明确对数函数的概念． 探究二 观察指数函数和对数函数的关系 ●活动① 通过特例，观察联系让学生画出一下函数图像，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系. ② y =2x ，2log x y =； ② y =（21）x ，y =log 21x .总结：函数y =2x 和y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称； 【设计意图】观察两个函数的联系． ●活动② 巩固理解，加深认识当a ＞0，a ≠1时，函数y =a x ，y =log a x 的图象之间有什么关系？ 总结：函数y =（21）x 和y =log 21x 的图象也关于直线y =x 对称.一般地，函数y =a x 和log a y x =（a ＞0，且a ≠1）的图象关于直线y =x 对称. 【设计意图】总结，由特殊到一般，抽象出指数函数和对数函数的关系． 探究三 简化抽象、得出对数函数的图像和性质★▲ ●活动① 归纳梳理、理解对数图像对数函数图象的特征（1）图象都在y 轴的右边 （2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.【设计意图】总结对数函数的图像特征． ●活动②归纳梳理、理解对数性质对数函数有以下性质0＜a ＜1a ＞1图 象定义域 （0，+∞）值域 R性 质（1）过定点（1，0），即x =1时，y =0 （1）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数【设计意图】总结对数函数的性质． 活动③ 巩固基础，检查反馈例1 求下列函数的定义域：22log (1)y x =-； 【知识点】对数的真数要大于零．【数学思想】【解题过程】由于210x ->，11x ∴-<<．【思路点拨】求函数定义域时应从这几个方面来考虑：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0． 【答案】(1,1)-．同类训练 求下列函数的定义域：12log (1)x y x =--. 【知识点】对数的真数要大于零． 【数学思想】【解题过程】1001x x x ->⎧⎨>≠⎩由题且，得1x >，又由于log (1)0x x -≥，得2x ≥则定义域为{|2}x x ≥．【思路点拨】求函数定义域时应从这几个方面来考虑：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0． 【答案】{|2}x x ≥．例2 当1>a 时，在同一个坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是（ ）【知识点】指数和对数图像判断． 【数学思想】数形结合． 【解题过程】直接画图即可．【思路点拨】根据指数和对数函数单调性确定．【答案】A ．同类训练 函数log (1)a y x =+的图像必过点 【知识点】对数过定点问题． 【数学思想】 【解题过程】(0,0)． 【思路点拨】根据0log 1a =． 【答案】(0,0)． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般地，函数log x a y =（a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数log x a y =的定义域是（0，+∞），值域是R ． （2）对数函数图象的特征（1）图象都在y 轴的右边 （2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（3）0＜a ＜1a ＞1图 象定义域（0，+∞）重难点归纳（1）根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．（2）因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质， y a ＞0，所以(0,)x ∈+∞． （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列函数中是对数函数的个数是（ ）①lg y x =②2log (1)y x =+③3log y x =-④log 3x y =⑤3log 1y x =+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【知识点】对数概念判断． 【数学思想】【解题过程】由对数函数概念（1）（3）是对数函数． 【思路点拨】直接利用对数函数概念log a y x =． 【答案】B ．2．若对数函数()f x 的图象过点(4,2)，求(8)f （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【知识点】对数概念判断． 【数学思想】【解题过程】设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.所以f (x )＝log 2x ，所以f (8)＝log 28＝3. 【思路点拨】先求对数解析式，再代入求值． 【答案】C ．3．函数()log (1)(01)a f x x a a =-＞，≠的图象恒过定点（ ）A．（2,0）B．（1,0）C．（0,2）D．（0,1）【知识点】考查对数函数恒过定点（1,0）.【数学思想】【解题过程】【思路点拨】根据0log1a=．【答案】A．4．函数2()lg(31)f x x=++的定义域是（）A.1 (,)3-+∞B.1 (,1)3 -C.11 (,)33 -D.1 (,)3 -∞-【知识点】考查定义域问题．【数学思想】【解题过程】10310xx->⎧⎨+>⎩由题，解得1(,1)3x∈-【思路点拨】求函数定义域时应从这几个方面来考虑：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0．【答案】B．5．设集合M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N＝________.【知识点】指对数函数的值域问题．【数学思想】【解题过程】M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]. 【思路点拨】先分别求出集合M，N，再求并集．【答案】(－∞，1]．6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，求α的值. 【知识点】解对数方程．【数学思想】【解题过程】由题意知α＋1＝2，故α＝1.【思路点拨】【答案】1．能力型师生共研7．若2log13a<，则a的取值范围是（）A．(0，23)∪(1，＋∞) B．(0，23) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)【知识点】解对数不等式．【数学思想】【解题过程】由2log13a<得：2log log.3a a a<当a>1时，有a>23，即a>1；当0<a<1时，则有0<a<23.综上可知，a的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．【思路点拨】注意对底数a的讨论．【答案】A．8．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝log x a的增减性相同，则a的取值范围是________．【知识点】指数和对数函数的单调性．【数学思想】【解题过程】由题意，得03131011a aa a--⎧⎧⎨⎨⎩⎩＜＜＞或＜＜＞解得1<a<2．【思路点拨】【答案】1<a<2．探究型多维突破9．求函数y＝log4(x2＋8)的定义域与值域．【知识点】复合函数的定义域和值域问题．【数学思想】【解题过程】因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8， 所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32， 即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)．．【思路点拨】利用复合函数的定义域求解．【答案】函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R ，函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)．10．已知函数f (x )＝a log (1)x +，g (x )＝a log x （1-），(a >0，且a ≠1)． (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值． (2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．【知识点】对数函数的单调性，值域问题，解对数不等式． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】(1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数， 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6， f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0，即a log (1)x +>a log x （1-）， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1. ②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0． 【思路点拨】【答案】（1）f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6，f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2； （2）①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1. ②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0． 自助餐1．函数2log 2y x =-的定义域是（ ）A ．[4，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 【知识点】求定义域． 【数学思想】【解题过程】x20log 20x >⎧⎨-≥⎩解得[4，＋∞)．【思路点拨】求函数定义域时应从这几个方面来考虑：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0．【答案】A．2．函数f(x)＝|log3x|的图象是（）A．①B．②C．③D．④【知识点】考查含绝对值的对数图像问题．【数学思想】分类讨论．【解题过程】y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．【思路点拨】【答案】A3．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是________．【知识点】指数和对数函数互为反函数．【数学思想】【解题过程】由题意得：log a9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x．【思路点拨】【答案】g(x)＝3x．4．给出函数f(x)＝1()42(1)4x xf x x⎧≥⎪⎨⎪+<⎩，，，则f(log23)＝________．【知识点】分段函数求值．【数学思想】【解题过程】∵1<log23<log24＝2，∴3＋log23∈(4,5)，∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)＝f(log23＋3)＝f(log224)＝2log2412⎛⎫⎪⎝⎭＝2log242-＝21log242＝124．【思路点拨】【答案】124．5．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．【知识点】对数过定点问题．【数学思想】【解题过程】y＝log x a的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；令y＋1＝0，则y＝－1．【思路点拨】根据0＝1log a．【答案】(4,1)-．6．若不等式x2－log m x<0在(0，12)内恒成立，求实数m的取值范围．【知识点】对数函数的综合应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由x2－log m x<0，得x2<log m x，在同一坐标系中作y＝x2和y＝log m x的草图，如图所示．要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只要y＝log m x在(0，12)内的图象在y＝x2的上方，于是0<m<1.∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝log m12≥14＝14logmm.∴12≤14m，即116≤m.又0<m<1，∴116≤m<1，即实数m的取值范围是[116，1)．【思路点拨】分别画两个函数图像．【答案】[116，1)．。
人教版高中数学必修一《对数函数的图像与性质》课时达标及答案
《对数函数的图像与性质》课时作业1．下列各项中表示同一个函数的是( ) A ．y ＝log 2x 与y ＝log 2x 2 B ．y ＝10lg x 与y ＝lg10x C ．y ＝x 与y ＝x log x x D ．y ＝x 与y ＝lne x 答案 D2．关于函数f (x )＝log 12(2x －13)的单调性的说法正确的是( )A ．在R 上是增函数B ．在R 上是减函数C ．在区间(16，＋∞)上是增函数D ．在区间(16，＋∞)上是减函数答案 D3．下列函数是增函数的是( ) A ．y ＝log 2(x ＋1) B ．y ＝log 2x 2－1 C ．y ＝log 31xD ．y ＝log 13(x 2－4x ＋5)答案 A4．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞) D ．(－∞，2] 答案 C5．下列不等式成立的是( ) A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 32 答案 A6．已知函数f (x )＝log (a －1)(2x ＋1)在⎝⎛⎭⎫－12，0内恒有f (x )>0，则a 的取值范围是( ) A ．a >1 B ．0<a <1 C ．0<a <2 D ．1<a <2答案 D解析 由－12<x <0，得0<2x ＋1<1.若f (x )>0恒成立，则0<a －1<1.∴1<a <2. 7．已知函数f (x )＝{ log 3x ，x >0，x，x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14答案 B8．函数y ＝(log 14 x )2－log 12x ＋5在区间[2,4]上的最小值是( )A ．4B ．8 C.254 D.14答案 C解析 y ＝(log 14 x )2－log 12 x ＋5＝(12log 12 x )2－log 12 x ＋5 ＝(12log 12x －1)2＋4， 当x ∈[2,4]时，log 12 x ∈[－2，－1]，所以当log 12x ＝－1时，y min ＝254.9．对数函数f (x )＝log 2x ，在其定义域内任取x 1，x 2且x 1≠x 2，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f (x 2x 1)＝log 2x 2log 2x 1.上述结论中正确结论的序号是________． 答案 ②③10．若函数y ＝log 3x 的定义域是[1,27]，则值域是________． 答案 [0,3]解析 ∵1≤x ≤27，∴log 31≤log 3x ≤log 327＝3. ∴值域为[0,3]．11．函数y ＝log 0.8(－x 2＋4x )的递减区间是________． 答案 (0,2]解析 t ＝－x 2＋4x 的递增区间为(－∞，2]．但当x ≤0时，t ≤0.故只能取(0,2]．即为f (x )的递减区间．12．若函数y ＝log a 2x ＋1x －1的图像恒过定点P ，则P 点坐标为________．答案 (－2,0)解析 ∵y ＝log a t 的图像恒过(1,0)，∴令2x ＋1x －1＝1，得x ＝－2.∴该函数过点(－2,0)．13．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.答案 4解析 ∵log 2x ≤2，∴0<x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a >4. ∴c ＝4.14．函数y ＝lg(ax ＋1)在(－∞，1)上单调递减，求a 的取值范围． 解析 由题意得u ＝ax ＋1在(－∞，1)上单调递减且u (1)≥0，∴{ a <0，a ＋1≥0，解得－1≤a <0.15．解方程log 4(3x ＋1)＝log 4x ＋log 4(3＋x )． 解析 log 4(3x ＋1)＝log 4[x (3＋x )]， ∴{ 3x ＋1>0，x >0，＋x >0，x ＋1＝x (3＋x )，解得x ＝1.16．函数f (x )的定义域是[－1,1]，求函数f (log 12 x )的定义域．答案 [12，2]解析 由－1≤log 12 x ≤1，得12≤x ≤2.∴f (log 12 x )定义域为[12，2]．►重点班·选做题17．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域，值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析 (1)∵{ 1－x >0，x ＋3>0，∴定义域为{x |－3<x <1}． f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]．∴f (t )＝log a t ，t ∈(0,4]． 当0<a <1时，y min ＝f (4)＝lo g a 4，值域为[log a 4，＋∞)． 当a >1时，值域为(－∞，log a 4]． (2)∵y min ＝－2，由①得{ 0<a <1，a 4＝－2，得a ＝12.1．函数y ＝(0.2)－x ＋1的反函数是( )A ．y ＝log 5x ＋1B ．y ＝log x 5＋1C ．y ＝log 5(x －1)D ．y ＝log 5x －1答案 C《对数函数的图像与性质》课时作业1．方程2log 3x ＝14的解是( )A.19 B.33C. 3 D ．9答案 A解析 ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝19.2．若0<a <1，则下列各式中正确的是( ) A ．log a (1－a )>0 B ．a 1－a >1C ．log a (1－a )<0D ．(1－a )2>a 2答案 A解析 ∵0<a <1，∴0<1－a <1，∴log a (1－a )>0.3．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )的解析式为( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2 D ．－log 2(－x )答案 D解析 x <0时，－x >0，f (－x )＝log 2(－x )，又因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－log 2(－x )．4．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B.12<a <1 C ．0<a <12D ．a >1答案 B解析 ∵a >0且a ≠1，a 2＋1>1， 而log a (a 2＋1)<0，∴0<a <1. 又∵log a (a 2＋1)<log a 2a <0， ∴a 2＋1>2a >1，∴a >12.综上知，12<a <1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝lg(x ＋1)的图像关于直线x －y ＝0对称，则f (x )＝( ) A ．10x －1 B ．1－10x C ．1－10－xD ．10－x －1答案 A6．已知函数f (x )＝{ log 2x ，x >0，x，x ≤0，则f (a )<12的a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，2)C ．(1，2)D ．(－∞，－1)∪(0，2)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a <12，得0<a < 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤02a <12，得a <－1.∴a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，2)． 7．计算log 52·log 4981log 2513·log 734＝________.答案 －38．0.440.43，log 0.440.43，log 1.440.43按从大到小的顺序依次排序为_________________________________________________________．答案 log 0.440.43>0.440.43>log 1.440.43解析 ∵0<0.440.43<1，log 0.440.43>1，log 1.440.43<0， ∴log 0.440.43>0.440.43>log 1.440.43. 9．函数y＝log 12(3＋2x －x 2)的定义域是__________________________________________________________．答案 {x |－1<x ≤1－3或1＋3≤x <3}解析 由log 12 (3＋2x －x 2)≥0，得0<3＋2x －x 2≤1.解得－1<x ≤1－3或1＋3≤x <3.10．函数y ＝log 0.1(2x 2－5x －3)的递减区间为________． 答案 (3，＋∞)解析 由2x 2－5x －3>0，得x <－12或x >3.又∵y ＝log 0.1t 为减函数，∴f (x )减区间为(3，＋∞)． 11．已知f (e x ＋1)＝x ，求f (x )．解析 令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1，则x ＝ln(t －1)，∴f (t )＝ln(t －1)，∴f (x )＝ln(x －1)．12．已知函数y ＝log a (x 2＋2x ＋k )，其中(a >0且a ≠1)． (1)定义域为R ，求k 的取值范围； (2)若值域为R ，求k 的取值范围． 解析 (1)x 2＋2x ＋k >0恒成立， 即Δ＝4－4k <0，∴k >1.(2)∵值域为R ，∴(x 2＋2x ＋k )min ≤0， 即x 2＋2x ＋k ＝0有根．∴Δ≥0即k ≤1.13．已知函数f (lg(x ＋1))的定义域[0,9]，求函数f (x2)的定义域．解析 ∵0≤x ≤9，∴1≤x ＋1≤10. ∴lg1≤lg (x ＋1)≤lg10，即0≤lg(x ＋1)≤1. ∴f (x )定义域[0,1]．∴f (x2)定义域为[0,2]．14．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值与最小值．解析 g (x )＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2)＝log 22x ＋4log 2x ＋2＝(log 2x ＋2)2－2，∵1≤x ≤4且1≤x 2≤4，∴1≤x ≤2.∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝2时，最大值为7，当x ＝1时，最小值为2.15．我们知道对数函数f (x )＝log a x ，对任意x ，y >0，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，若a >1，则当x >1时，f (x )>0.参照对数函数的性质，研究下题：定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，并且当且仅当x >1时，f (x )>0成立．(1)设x ，y ∈(0，＋∞)，求证：f (yx)＝f (y )－f (x )；(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，若f (x 1)>f (x 2)，比较x 1与x 2的大小．解析 (1)对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，把x 用yx 代入，把y 用x 代入，可得f (y )＝f (y x )＋f (x )，即得f (yx )＝f (y )－f (x )．(2)先判断函数x ∈(0，＋∞)的单调性， 设x 3，x 4∈(0，＋∞)且x 3>x 4， 则f (x 3)－f (x 4)＝f (x 3x 4)．又因为x 3，x 4∈(0，＋∞)且x 3>x 4，所以x 3x 4>1.由题目已知条件当且仅当x >1时，f (x )>0成立， 故f (x 3x 4)>0，则f (x 3)－f (x 4)＝f (x 3x 4)>0.所以函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增．因此设x 1，x 2∈(0，＋∞)，若f (x 1)>f (x 2)，我们可以得到x 1>x 2.1．设a ，b ∈R ，且a ≠2，定义在区间(－b ，b )内的函数f (x )＝lg 1＋ax1＋2x 是奇函数．(1)求b 的取值范围； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解析 (1)由f (x )＝－f (－x )，得 lg1＋ax 1＋2x ＝lg 1－2x1－ax⇒a ＝－2. ∴f (x )＝lg1－2x 1＋2x，x ∈(－12，12)．∴b ∈(0，12)．(2)∵f (x )为定义在(－b ，b )上的奇函数， ∴f (x )在(0，b )上的单调性即为整体单调性． ∴f (x )＝lg1－2x 1＋2x ＝lg(－1＋21＋2x)． ∴f (x )在定义域内是减函数． 2．已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1(x －1x )．(1)求f (x )；(2)判断函数的单调性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时有f (1＋m )＋f (2m ＋1)<0，求m 的取值范围． 解析 (1)令t ＝log a x ，x ＝a t ， f (t )＝a a 2－1(a t －1a t )，即f (x )＝a a 2－1(a x －1a x )．(2)当a >1时，aa 2－1>0，g (x )＝a x －1a x 单调递增，∴f (x )单调递增．当0<a <1时，aa 2－1<0，g (x )＝a x －1a x 单调递减，∴f (x )单调递增．(3)f (x )为奇函数且在(－1,1)上单调递增， ∴f (1＋m )<f (－2m －1)，即{ －1<1＋m <1，－1<2m ＋1<1，＋m <－2m －1⇒m ∈(－1，－23)．。
人教A版高中数学必修一练习：2.2.2第1课时对数函数的图象及性质
二位分为Greg
个帅哥帅哥的ffff
因此函数图象y＝loga(2x－3)＋1恒过定点(2,1)，
故点P的坐标是(2,1)．
答案：(2,1)
6．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，务实数
a的值及f(x)的分析式．
解：a2－a＋1＝1，解得a＝0,1.
)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
分析：∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.
答案：A
3．函数f(x)＝
1
的定义域为(
)
log2x
2－1
A. 0，
1
B．(2，＋∞)
2
C. 0，
1∪(2，＋∞)
D．0，1∪[2，＋∞)
2
2
分析： 依据题意得，
x＞0，
log2x2－1＞0，
个帅哥帅哥的ffff
第二章
2.2 2.2.2第1课时
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大概是()
分析：f(－x＝f(x)，因此f(x)的图象对于y轴对称．又x∈(0，
＋∞)时，f(x)是增函数，且过点
(0,0)，因此A图切合，选A．
答案：A
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(
x＞0，
解得
1应选C.
x＞2或x＜2.
答案：C
25＝______.
4．已知函数f(x)＝log5x，则f(3)＋f3
分析：f(3)＋f
25
25
525＝2.
3
＝log53＋log5
人教新课标版数学高一-必修一练习 对数函数及其性质(第二课时)
1．已知y ＝(14)x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝( )A ．－2B ．－1C ．2 D.12解析：y ＝(14)x 的反函数是f (x )＝log 14x ，∴f (x 0)＝log 14x 0＝－12.∴x 0＝(14)－12＝[(12)2] 12－＝2.答案：C2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：因为b ＝(log 53)2＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c .答案：D3．已知函数f (x )＝2log 13x 的值域为[－1，1]，则函数f (x )的定义域是() A ．[－1，1] B ．[33，3]C ．[33，3] D ．[－3，3]解析：由－1≤2log 13x ≤1，得－12≤log 13x ≤12， 即log 13(13)12－≤log 13x ≤log 13(13)12， 解得33≤x ≤ 3.答案：B4．已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为() A ．(0，1) B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[2，＋∞)解析：题目中隐含条件a >0.当a >0时，t =2－ax 为减函数，故要使y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，则a >1，且t =2－ax 在x ∈[0，1]时恒为正数，即2－a >0，故可得1<a <2.答案：B5．不等式log 12(2x ＋1)>log 12(3－x )的解集为________________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，3－x >0，2x ＋1<3－x ⇒⎩⎨⎧x >－12，x <3，x <23⇒－12<x <23. 答案：{x |－12<x <23} 6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，则不等式f (log 2x )>0的解集为________．解析：由题意得f (|log 2x |)>f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，所以|log 2x |>2，即log 2x >2或log 2x <－2.解得x >4或0<x <14. 答案：(0，14)∪(4，＋∞) 7．已知f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)．(1)求f (x )的定义域；(2)当a ，b 满足什么关系时，f (x )在[1，＋∞)上恒取正值？解：(1)要使lg(a x －b x )有意义，需a x －b x >0，即(a b)x >1. 因为a >1>b >0，所以a b>1，所以x >0， 所以f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以若f (x )在[1，＋∞)上恒为正值，则只要f (1)>0，即lg(a －b )>0，a －b >1.又因为a >1>b >0，故要使f (x )在[1，＋∞)上恒正，a ，b 满足的关系为a >b ＋1>1.8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)证明f (x )在(－∞，0)上是减函数．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0， 解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg |x 1x 2|. ∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1x 2|>1. ∴lg |x 1x 2|>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数．。
2023-2024学年高一上数学必修一：对数函数的图象与性质(1)
(2)∵g(x)＝f(x2)－[ f (x)] 2，f(x)的定义域为[ 1,4] ，∴xx2∈∈[[11，，44]， ]， ∴g(x)的定义域为[1,2]． g(x) ＝ (3 ＋ log2x2) － (3 ＋ log2x)2 ＝ － (log2x)2 － 4log2x － 6 ， x ∈ [1,2]．易知在区间[1,2]上，g(x)为减函数，则当 x＝1 时，g(x)max＝－log22 1－4log21－6＝－6.
解析：由题意得 0<a<b<1 或 0<a<1<b.当 0<a<b<1 时，显然 0<ab<1；当 0<a<1<b 时，由 f(a)>f(b)得－lga>lgb，∴lga＋lgb＝lgab<0， ∴0<ab<1.综上可知，0<ab<1，故选 ACD.
2．函数 f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么( ADE ) A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线 x＝1 对称 E．∃a＝2 020，满足 f(x)在(0,1)上是减函数
解析：由题意得，函数 f(x)＝loga(x－2)＋1，令 x－2＝1，即 x＝3 时，解得 y＝1，即函数 f(x)＝loga(x－2)＋1 的图象过定点(3,1)．
11．若实数 a 满足 loga2>1，则 a 的取值范围为 (1,2) ．
解析：当 a>1 时，loga2>1＝logaa，∴2>a.∴1<a<2. 当 0<a<1 时，loga2<0，不满足题意． 故 a 的取值范围是(1,2)．
人教版数学高一-A版必修1练习 第1课时 对数函数的图象及性质
[A 基础达标]1．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝lo g a (2x )B ．y ＝lo g 22xC ．y ＝lo g 2x ＋1D ．y ＝l g x解析：选D.选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝lo g a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合．2．对数函数的图象过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为 ( )A ．y ＝lo g 4xB ．y ＝lo g 14xC ．y ＝lo g 12xD ．y ＝lo g 2x解析：选D.由于对数函数的图象过点M (16，4)，所以4＝lo g a 16，得a ＝2.所以对数函数的解析式为y ＝lo g 2x ，故选D.3．函数y ＝lo g 2x 的定义域是[1，64)，则值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0，6)D ．[0，64)解析：选C.因为y ＝lo g 2x 在[1，64)上是增函数，所以lo g 21≤y ＜lo g 264，即0≤y ＜6，故选C.4．函数f (x )＝1l n （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，l n （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠0，－2≤x ≤2，即－1＜x ＜0或0＜x ≤2，故选B ．5．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝lo g a (x －b )的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.因为a ＞1，所以函数y ＝lo g a (x －b )(b ＜－1)的图象就是把函数y ＝lo g a x 的图象向左平移|b |个单位长度，如图．由图可知函数y ＝lo g a (x －b )不经过第四象限，所以选D.6．若对数函数f (x )＝lo g a x ＋(a 2－4a －5)，则a ＝__________．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：57．已知对数函数f (x )的反函数的图象过(2，9)，且f (b )＝12，则b 的值为________． 解析：设f (x )＝lo g a x (a >0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x ，由条件有a 2＝9＝32，从而a ＝3.于是f (x )＝lo g 3x ，则f (b )＝lo g 3b ＝12，解得b ＝＝ 3.答案： 38．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1，3]时，f (x )的值域是__________． 解析：设f (x )＝lo g a x (a ＞0，且a ≠1)，因为lo g a 9＝2，所以a ＝3，即f (x )＝lo g 3x ， 又因为x ∈[1，3]，所以0≤f (x )≤1.答案：[0，1]9．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝lg （4－x ）x －3； (2)y ＝log 0.1（4x －3）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0，得x ＜4且x ≠3， 所以函数的定义域为{x |x ＜4且x ≠3}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.1（4x －3）≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，4x －3≤1， 所以34＜x ≤1，所以函数的定义域为{x |34＜x ≤1}． 10．已知f (x )＝lo g 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝lo g 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即lo g 3x ＝lo g 32，解得x ＝2.由图象知：当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．所以所求a 的取值范围为0＜a ＜2.[B 能力提升]1．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝lo g a (－x )的图象只可能是( )解析：选C.当0＜a ＜1时，a －1＞1，函数y ＝a －x 在R 上是增函数；y ＝lo g a (－x )的图象与y ＝lo g a x 的图象关于y 轴对称，所以y ＝lo g a (－x )在y 轴左侧，且为增函数，故选项C 正确．2．已知函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0，10]，则实数a 的值为________．解析：由已知，得a －l g x ≥0的解集为(0，10]，由a －l g x ≥0，得l g x ≤a ，又当0＜x ≤10时，l g x ≤1，所以a ＝1.答案：13．若函数y ＝lo g a (x ＋b )＋c(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3，2)，求实数b ，c 的值． 解：因为函数的图象恒过定点(3，2)，所以将(3，2)代入y ＝lo g a (x ＋b )＋c ，得2＝lo g a (3＋b )＋c.又因为当a ＞0，且a ≠1时，lo g a 1＝0恒成立，所以c ＝2，lo g a (3＋b )＝0，所以b ＝－2.故b ＝－2，c ＝2.所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14， 所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y m i n ＝132.。
人教新课标版数学高一-A版必修一课后训练 .1对数函数的图象及性质
课后提升训练二十对数函数的图象及性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列函数是对数函数的是( )A.y=log(-2)xB.y=log2x2C.y=log2xD.y=log2(x+2)【解析】选C.由对数函数定义知y=log2x=log4x是对数函数.2.函数f(x)=log0.25(2x-1)的定义域为( )A. B.C. D.【解析】选A.由题意知2x-1>0,即x>.3.(2017·德州高一检测)已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1),且其图象过点(3,27),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是( ) A.g(x)=log3x B.g(x)=log2xC.g(x)=lo xD.g(x)=lo x【解析】选A.因为f(3)=27,所以a3=27,即a=3,又因为指数函数y=a x与y=log a x互为反函数,所以g(x)=log3x.4.(2017·长沙高一检测)已知f(x)=a-x,g(x)=log a x,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是( )【解析】选D.因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,所以f(x)=a-x与g(x)=log a x在其定义域上分别是减函数与增函数.5.(2017·开封高一检测)函数y=log a(x+2)+1的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)【解题指南】借助对数函数图象过定点(1,0)这一性质,利用整体代换思想,令x+2=1,求出图象所过定点.【解析】选 D.令x+2=1,即x=-1,得y=log a1+1=1,故函数y=log a(x+2)+1的图象过定点(-1,1).6.若点(a,b)在y=lgx的图象上,a>0且a≠1,则下列点也在此图象上的是( )A. B.(10a,1-b)C. D.(a2,2b)【解析】选 D.若点(a,b)在y=lgx的图象上,则b=lga,所以2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.【延伸探究】本题条件不变,若, (100a,y2)也在函数y=lgx的图象上,试用b表示y1,y2.【解析】因为lg=2-lga=2-b,所以y1=2-b,因为lg(100a)=2+lga=2+b,所以y2=2+b.7.(2017·衡水高一检测)已知函数f(x)=a x+log a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为( ) A. B. C.2 D.4【解题指南】对a分a>1和0<a<1两种情况分别求函数f(x)的最大值与最小值,然后根据题意列出关于a的方程即可.【解析】选C.①当a>1时,a2+log a2+a+log a1=log a2+6,解得a=-3(舍)或a=2.②当0<a<1时,a+log a1+a2+log a2=log a2+6,解得a=2(舍)或a=-3(舍).8.已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a= ( )A.-1B.C.1或-D.-1或【解析】选D.f(a)=⇔或⇔a=或a=-1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·临沂高一检测)图中的曲线是y=log a x的图象,已知a的值分别为,,,,相应曲线C1,C2,C3,C4中的a依次为a1,a2,a3,a4,则它们的值分别为__________.【解析】在x轴上方,由对数函数的“底大图右”的性质得到a2>a1>1>a4>a3,所以a1,a2,a3,a4的值分别为,,,.答案:,,,10.(2017·武汉高一检测)若f(x)是对数函数且f(9)=2,当x∈[1,3]时,f(x)的值域是________.【解析】设f(x)=log a x,因为log a9=2,所以a=3,即f(x)=lo x,又因为x∈[1,3],所以0≤f(x)≤1.答案:[0,1]三、解答题(每小题10分,共20分)11.求下列函数的定义域与值域.(1)y=log2(x-1).(2)y=log4(x2+4).【解析】(1)由x-1>0,得x>1,所以函数y=log2(x-1)的定义域是(1,+∞),值域是R.(2)因为对任意实数x,log4(x2+4)都有意义,所以函数y=log4(x2+4)的定义域是R.又因为x2+4≥4,所以log4(x2+4)≥log44=1,即函数y=log4(x2+4)的值域是[1,+∞).12.(2017·沈阳高一检测)已知函数f(x)=log a(ax-)(a>0,a≠1为常数).(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,x∈[1,9],求函数f(x)的值域.【解析】(1)ax->0⇒(a-1)>0,因为>0,所以a-1>0,因为a>0,所以>.所以x>,所以函数f(x)的定义域为.(2)a=2时,f(x)=log 2(2x-),令2x-=t,则t=2x-=2-,因为x∈[1,9],所以t∈[1,15],所以log 21≤log2(2x-)≤log215,即0≤f(x)≤log215,所以函数f(x)的值域为[0,log215].【能力挑战题】已知函数f(x)=x2-x+k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k,a>0,且a≠1.(1)求a,k的值.(2)当x为何值时,f(log a x)有最小值?求出该最小值.【解析】(1)因为所以即又a>0且a≠1,所以(2)f(log a x)=f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=+,所以当log 2x=,即x=时,f(log a x)有最小值.关闭Word文档返回原板块。
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(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A ．y ＝log 2x
B ．y ＝2log 4x
C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x
D ．不确定
解析： 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .故选A.
答案： A
2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析： f (a )＝log 2(a ＋1)＝1
∴a ＋1＝2
∴a ＝1.故选B.
答案： B
3．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )
解析： 由y ＝a x 解得x ＝log a y ，
∴g (x )＝log a x .
又∵g (2)<0，∴0<a <1.
故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是单调递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的．
答案： A
4．已知函数f (x )＝2log 12
x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )
A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1]
C.⎣⎡⎦⎤12，2
D.⎝
⎛⎦⎤－∞，22∪[2，＋∞) 解析： 函数f (x )＝2log 12
x 在(0，＋∞)为减函数， 则－1≤2log 12
x ≤1， 可得－12≤log 12x ≤12
， 解得22
≤x ≤ 2.故选A. 答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1)，则a ＝________. 解析： 函数f (x )的反函数为y ＝log a x ，由题意，log a 3＝1，
∴a ＝3.
答案： 3
6．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x (x ≤0)ln x (x >0)，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12
<0， g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12
， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12
. 答案： 12
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的定义域：
(1)f (x )＝log 2(9－x 2)；
(2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)；
(3)f (x )＝2x ＋3x －1
log 2(3x －1)． 解析： (1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0，即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}．
(2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3＞05－x ＞0
5－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞3
2x ＜5x ≠4. ∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | 32＜x ＜4，或4＜x ＜5. (3)要使f (x )＝2x ＋3x －1
log 2(3x －1)有意义， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1＞0，2x ＋3≥0，
x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1
3x ≥－32x ≠1. ∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | x ＞13，且x ≠1. 8．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 2
的最大值和最小值． 解析： 由2x ≤256得x ≤8，log 2x ≤3即12
≤log 2x ≤3， f (x )＝(log 2x －1)·(log 2x －2)
＝⎝
⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14
， 当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围． 解析： 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立．只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．
当0<a <1时，由图象知显然不成立．当a >1时，如图所示，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2.。