自动控制原理(梅晓榕)习题答案第八章汇编
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习题答案8
8-1 1）二阶系统，2个状态变量。
设 2121212)(2)()( )()(x x t y t y t y x t y x
x t y x --=--==⇒=== ， []⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==00 01 2110 B y A A ，，，x x x 2)
[]x x x 001 100322100010=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 3)
[]x x x 121 100321100010=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 提示：本题利用了可控规范型与微分方程系数的关系。 8-2 1)
2
3101
)()(s
s s U s Y += []x x x 001 1001000100010=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y u 2)
8
1
5611171181891)()(2
3+⋅++⋅-⋅=++=s s s s s s s U s Y []x x x 001 100980100010=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=y u 或 x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5617
1
8
1
111800010000y u 3) []x x x 145 1006116100010=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 提示：本题利用了状态空间的规范型与传递函数系数的关系。
8-3
8
659
122+++s s s
8-4 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------t t t t t
t t t t t At
t x t x e e 11e 2e e
2e 2e e e e 2)0(e )()(222221x 8-5 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-+-=-==------t t t t s BU A sI t 32321
1
3e 4e 1e e 21)]()[(L )()0(x 0x ， 8-6 [])(120)( )(100)(321100010)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 或 [])(100)( )(120)(310201100)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 或 [])(001)( )(111)(321100010)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 提示：利用状态空间的规范型与差分方程系数的关系。
8-7 []0110 3210=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= C B A 下面是对该状态方程的求解过程。设初始条件为零。
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+-=---232
32231233321)(2
2221
1z z z
z z z z z z z z z A zI
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-++++--++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-++=⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=---)1(6)1(2)2(32)1(6)1(2)2(3)1)(23()1)(23( 10)(110()(22
21
1
1
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z A zI z z A)(zI BU(z)A)zI z X
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+--+---==-61)1(21)2(3
261)1(21)2(31)]([Z )(1k
k k
k z X k x 8-8 1) ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 10 0010B A 101])[(L e 1
1⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=-=--t A sI At
)(21)(101)()d e ()(e )1(21d e 110101e 101e 2020k u T T k T k u t B k k T T t B t t B T T At
AT T At
At AT
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒⎰⎰x x x ，
2) ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 10 2010B A e 0)e 1(211])[(L e 2211⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=-=----t t At A sI )()e 1(21)21e (21)(e 0
)e 1(211
)()d e ()(e
)1()e 1(21)21e (21d e e )e 1(21e 22220220
22k u T k k u t B k k T t B B T T
T T T
At
AT
T T
T At t t At ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡-=+=+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--+=⇒⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=--------⎰⎰x x x
8-9 1) 32212
322
2126410)(x x x x x x x x V --++=- []⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=32132
1
4101103031x x x x x x 0361404
1011030
31 091010
33
1 01>--=---->-=-->，，
-V (x )正定，V (x )负定。
2) 3132212322
212624)(x x x x x x x x x x V ++---=- 01943341
31341111 0144
111 01 131341111<+-+--=----<--=--->⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=，，，P
故V (x )不定。