2018四年级奥数.数论.整除性质的应用(C级).学生版

整除性质的应用

知识框架

一、常见数字的整除判定方法：

（1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

（2）一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

（3）一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

（4）一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；

（5）一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

（6）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

（7）1001特征(家有三子7、11、13)

一个数除以7的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以7的余数；

一个数除以11的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以11的余数；

或者，其奇数位数字之和(从个位往高位数，个位为第1位，即为奇数位)减去偶数位数字之和所得的差除以11的余数；

一个数除以13的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差(大减小)能被13整除；

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二、整除性质

性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a，且d｜c，那么ac｜bd；

例题精讲

【例1】是2008的倍数．a _________

【巩固】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

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【例2】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？

【巩固】在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?

【巩固】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为1031．如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为8，那么甲乙两数之和是_________．

【例3】某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

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【巩固】在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少?

【例4】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能被2，3，5，7，11，13整除．则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF

取得最大值时0

F=，那么ABCDEF的最大值是________．

C=，6

【巩固】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，并且二位数ab可被2整除，三位数abc可被3整除，四位数abcd可被4整除，……依此类推，九位数abcdefghi可被9整除．请问这个九位数abcdefghi是多少？

【例5】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？

【巩固】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？

【例6】某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字

都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么

数？

【巩固】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？

【例7】某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？

【巩固】有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和；还能表示成5个连续自然数的和．请你找出700至1000之间，所有满足上述要求的数，并简述理由.

【例8】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个.

【巩固】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?

【例9】有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余

同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你1号

写的数是五位数，请找出这个数．

【巩固】在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。

【例10】盒子里放有编号为1到10的十个球，小明先后三次从盒中共取出九个球，如果从第二次开始，