2013清北学堂寒假数学竞赛 集训一几何导学

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(2)圆的切线方程 过圆������ 2 + ������ 2 = ������ 2 上的点������ ������0 ,������0 的切线方程为������0 ������ + ������0 ������ = ������ 2 ;过圆 ������ − ������ 2 + ������ − ������ 2 = ������ 2 上的点 ������ ������0 ,������0 的切线方程为 ������0 − ������ ������ − ������ + ������0 − ������ ������ − ������ = ������ 2 . (3)直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种,判断方法有两种:一种是联立直线与圆的方程,根据解的个数判断;另 一种是利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断. 相交 相切 相离 两个交点⟺ ������ < ������,此时被截得的弦长为2 ������ 2 − ������ 2 . 一个交点⟺ ������ = ������. 无交点⟺ ������ > ������.
则 ������1 ∥ ������2 ⟺
������ 1 ������ 2
=
������ 1 ������ 2
������1 ������2

������1 ������2
������1 ������2
来自百度文库

������1 ������2
������1 与������2 重合 ⟺ ������1 与������2 相交 ⟺
2 1.
例 2: 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求这一系列 圆的公切线的方程. 【证明】 由
a 2m 1, 消去 m 得 a-2b+1=0. b m 1
故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上. 设公切线方程为 y = kx+b ,则由相切有 2|m|=
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xt .
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典型例题: 例 1: 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小值. 【解】 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系, 设点 A,B 的坐标分别为 A(cos ,sin ),B(cos ,-sin ) , 由题设|AD|=|AB|= 2sin ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则 α∈(0,π). 由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) , 从而点 D 坐标为( cos +2sin ,sin ) , 所以|OD|= (cos 2 sin ) 2 sin 2 = 2(sin 2 cos 2 ) 3
4 sin 2 4 sin cos 1
3 2 2 sin 2 . 4
因为 2 2 2 2 sin 2 当


2 2 ,所以 2 1 | OD | 2 1. 4
3 7 时, |OD|max = 2 +1;当 时, |OD|min = 8 8
xt .
(3)两条直线的位置关系
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★(5)直线������1 到������2 的角,直线������1 与������2 的夹角 设直线������1 ,������2 的斜率存在,分别为 k1,k2,且������1 到������2 不垂直 若直线������1 ,������2 的角为������ ,则tan������ = 若������1 与������2 的夹角为������ ,则tan������ =
y −������1 ������2 −������1 ������ ������ ������ ������2 −������1 ������ 2 −������ 1
������1 ≠ ������2 .
=
������−������ 1 ������ 2 −������ 1
������1 ≠ ������2 ,������1 ≠ ������2 ;
������ 2 −������ 1 1+������ 2 ������ 1

������ 2 −������ 1 1+������ 2 ������ 1
; .
(6)两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 x2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2 点������ ������0 ,y0 到直线������������ + ������������ + C = 0的距离������ =
������������ 0 +������������ 0 +������ ������2 +������ 2

������1 −������2 ������2 +������ 2
由此得到平行直线 l:������������ + ������������ + ������1 = 0,������2 :������������ + ������������ + ������2 = 0的距离������ =
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①两条不重合的直线������1 ,������2 均有斜率,斜率分别为������1 ,������2 ,则������1 ∥������2 ⟺ ������1 = ������2 . ②两条直线������1 ,������2 均有斜率,斜率分别为������1 ,������2 ,������1 与������2 相交则⟺ ������1 ≠ ������2 . ③两条直线������1 ,������2 均有斜率,斜率分别为������1 ,������2 ,������1 ⊥ ������2 ⟺ ������1 ������2 = −1. 由此可得:������1 :������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0,������2 :������2 ������ + ������2 y + ������2 = 0 ������2 ,������2 ,������2 ≠ 0 ,

2、简单的线性规划 线性规划问题是一类条件最值问题,即在一组线性约束条件下,求一个线性目标函数的最大值与最小值. 3、圆 (1)圆的方程 标准方程 ������ − ������ 2 + ������ − ������ 2 = ������ 2 ; 一般方程������ 2 + ������ 2 + ������������ + ������������ + ������ = 0 ������2 + ������ 2 − 4������ > 0 ; 参数方程 ������ = ������ + ������������������������ ������, ������ = ������ + ������������������������ ������, ������为参数 .
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2013 寒假集训一几何导学,内容中标有★的部分,是中学数学竞赛大纲中提出要求的内容,需要引起 同学们注意,希望能提前做好预习和学习准备. 一、直线与圆 知识点 解析几何的实质是通过坐标系把方程与曲线相对应, 使曲线的几何关系在其方程的性质中表现出来. 将 几何问题转化为代数问题来解决,这是解析几何的一个功能;把这种方法用于代数,即通过解析几何将代 数问题转化为几何问题来解决,这是解析几何的另一个功能. 1、直线 (1)直线的斜率 k 与直线的倾斜角 ������ = tan������ ������ ≠ 90° ,直线的倾斜角的取值范围是 0° ≤������<180° 经过两点������1 ������1 ,������1 、������2 ������2 ,������2 的直线的斜率为������ = (2)直线方程的几种形式及其局限性 ①点斜式:������ − ������0 = ������ ������ − ������0 (斜率 k 存在) ; ②斜截式:������ = ������������ + ������(斜率������存在) ; ③两点式:
=
=

������ 1 ������ 2

������1 ������2

������1 ⊥ ������2 ⟺ ������1 ������2 + ������1 ������2 = 0(无须������2 ,������2 ≠ 0这一条件) . ★(4)直线系方程 设 两 相 交 直 线 ������1 :������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0 , ������2 :������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0 交 于 P , 则 方 程 ������1 ������ + ������1 ������ + ������1 + ������ ������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0表示过 P 的直线系方程(不包含������2 ) . 由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1) (A2x+B2y+C2)=0;与 l1 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0 ( C C1 )
(4)圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,常用圆心距 d 和半径������1 ,������2 之间的关系判断. 相离⟺ ������ > ������1 + ������2 ; 外切⟺ ������ = ������1 + ������2 ; 相交⟺ ������1 − ������2 < ������ < ������1 + ������2 ; 内切⟺ ������ = ������1 − ������2 ; 内含⟺ ������ < ������1 − ������2 ; . (5)对于不同心的两个圆 ������1 :������ 2 + ������ 2 + ������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0,������2 :������ 2 + ������ 2 + ������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0 . 则 ������1 + ������������2 = 0 表 示 共 轴 圆 系.当������ ≠ −1时,表示一个圆;������ = −1时,表示两圆������1 ,������2 的根轴.
1 k 2
2
对一切 m≠0 成立.即 (-4k -3)m +2(2k -1)(k +b-1)m+(k +b-1) =0 对一切 m≠0 成立
2
当 k 不存在时直线为 x=1.所以公切线方程 y=
例 3:直接法求轨迹方程 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用 于动点具有的几何条件比较明显时. 已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x y 1 ,动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常
④截距式: + = 1(直线不过原点,且不平行于坐标轴) ;
������
⑤一般式:������������ + ������������ + ������ = 0(A,B 不全为 0) ; ⑥参数方程 ������ = ������0 + ������ cos������, ������ = ������0 + ������ sin������, (t 为参数) .
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