陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)

陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)

-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第七章 习题解答

1. 某种光盘的记录范围为内径80mm,外径180mm 的环形区域,记录轨道的间距为2um.假设各轨道记录位的线密度均相同记录微斑的尺寸为um,试估算其单面记录容量. (注: 内、外径均指直径)

解： 记录轨道数为 25000002

.0280

180=⨯-=N

单面记录容量按位计算为 ∑

=⨯≈⨯+=N

n n M 1

10107.10006.0)

002.040(2π bits = 17 Gb.

按字节数计算的存储容量为 2.1GB.

2. 证明布拉格条件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配= 0的情形， 因而（7-18）式描述了体光栅读出不满足布拉格条件时的位相失配。

证明: 将体光栅读出满足布拉格条件时的照明光波长(介质内) 和入射角 (照明光束与峰值条纹面间夹角)分别记为0和θ0, 则根据布拉格条件式（7-1）有: 2sin θ0= 0 其中为峰值条纹面间距.

对于任意波长λa (空气中) 和入射角θr (介质内), 由(7-17)式, 位相失配 δ 定义为:

24)cos(n K K a

r πλθφδ--=

其中n 0为介质的平均折射率, K = 2π/Λ为光栅矢量K 的大小，φ为光栅矢量倾斜角，其值为 2

2

π

θθφ+

+=

s

r ，θr 为再现光束与系统光轴夹角 (参见图7-9)．

当 δ = 0 时,有

2

422cos n K K a r s r πλθπθθ=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-++ 即:

Λ=Λ=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-2422sin 0

λππλθθn s r

λ为介质中的波长. 由于角度2

s

r θθ-恰为照明光与峰值条纹面的夹角θ, ∑ ©亦

即布拉格条件2Λ sin θ = λ.

当读出光偏离布拉格角θo 和布拉格波长λo 的偏移量分别为∆θ和∆λ时，有

[]0

2

002

000

02044sin )sin(cos )cos( 4)

()(cos n K n K K K n K K πλ

πλθθφθθφπλλθθφδ∆--

∆--∆-=∆+-

∆+-=

利用布拉格条件式(7-17), 以及∆θ和∆λ很小时的近似关系 cos ∆θ≈1 和 sin ∆θ≈∆θ, 立即可得:

δ =∆θK sin(φ-θ0) - ∆λK 2/4πn 0 即(7-18)式 原题得证。

3. 用波长为532nm 的激光在KNSBN 晶体中记录非倾斜透射光栅,参考光与物光的夹角为30o (空气中).欲用波长为633nm 的探针光实时监测光栅记录过程中衍射效率的变化,计算探针光的入射角.(假设在此二波长晶体折射率均为2.27)

解： 532nm 为空气中激光波长记作λa 1, 在晶体外的入射角为θa 1，其在晶体中波长为λ1, 入射角为θ1；633nm 为空气中激光波长记作λa 2, 在晶体外的入射角为θa 2，其在晶体中波长为λ2，入射角为θa 2。本题中涉及非倾斜光栅, 光束入射角即为与光栅峰值条纹面的夹角, 按题意, 则波长532nm 和633nm 激光应分别满足布拉格条件：

晶体中： 2Λsin θ1=λ1 2Λsin θ2=λ2 (1)

由折射定律，换算成空气中角度和波长为：

空气中： 2Λsin θa 1=λa 1 2Λsin θa 2=λa 2 (2)

由（2）式得： θa 2 = arcsin (λa 2 ⨯ sin15︒/λa 1 )= arcsin (633 ⨯ sin15︒ /532 )

= 17.936 ︒

故探针光的入射角应为17.936︒。

4. 为了与实验测量的选择角相比较,需要有体光栅在空气中的选择角的表达式. 试对小调制度近似(ν<<1),导出一个计算非倾斜透射光栅空气中的选择角的表达式 (所有角度均应为空气中可测量的值).

解：注意我们将对应着η-ξ 曲线的主瓣全宽度定义为选择角, 体光栅晶体中选择角表达式为：

)

2sin(cos 22

2ϕθλπνπs a nd -=

∆Θ

(1)

ν <<1时，对非倾斜透射光栅，有：

r a nd θπλνπsin 22-=∆Θr

a

nd θλsin ≈

(2)

设空气中参考光入射角为θr o , 选择角为∆Θo . 由折射定律有

sin(∆Θo +θr o ) = n sin(∆Θ+θr )

(3)

展开为 ：

sin ∆Θo cos θr o + cos ∆Θo sin θr o = n (sin ∆Θcos θr + cos ∆Θsin θr )

(4) 因为∆Θo 和∆Θ很小，有如下近似：cos ∆Θo ≈cos ∆Θ/2≈1, sin ∆Θo ≈∆Θo , sin ∆Θ≈∆Θ. 因此(4)式可化简为：

∆Θo cos θr o + sin θr o = n (∆Θcos θr + sin θr )

由折射定律，有sin θr o = n sin θr ，可得： ∆Θo = n ∆Θcos θr / cos θr o

= n λa cos θr / (nd ⎥ sin θr ⎥ cos θr o ) = 2λa (n 2-sin 2 θr o )1/2 / (d sin2θr o )

此式可作为空气中选择角的表达式。当sin 2 θr o << n 2时,还可进一步简化为: