中职数学(高教版)授课教案复数的几何意义和三角形式

17.3复数的几何意义和三角形式

教学目标

1. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数，体会通过图形来讨论复数问题；

2. 知道实轴、虚轴上及各象限内的点所对应的复数的特征，掌握复数的模、幅角的概念及其计算公式，会用计算器求复数的模和幅角。

教学重点 复数的几何意义 复数的模和幅角

教学难点 复数与向量的关系；复数模的几何意义。

【教学过程】

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi 和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？ （a=c 且b=d ，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b 看成有序实数对（a,b ），则（a,b ）与复数a+bi 是怎样的对应关系？有序实数对（a,b ）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数

一一对应 实数轴上的点

（几何模型

）

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

二、建构数学

1、复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做_________，x 轴叫做_______，y 轴叫做______。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

2、复数的几何意义

复数a+bi ，即点Z （a,b ）（复数的几何形式）、即向量OZ （复数的向量形式。以O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如右上图

练习

1．下列命题中的假命题是（）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的数都是纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。

(A)必要不充分 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。

二.复数的模和幅角

向量的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作或。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于（即实数a的绝对值）。

模的计算公式：_______________________

注意：1._____________________________

2.____________________________

3._________________________________________________________________

例3 求下列复数的模：

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i

(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)

思考：1)满足|z|=5(z ∈R)的z 值有几个？

(2)满足|z|=5(z ∈C)的z 值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？

3)满足3<|z|<5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形?

复数z 的幅角：__________________________.复数的幅角不唯一。事实上，若

是复数z 的幅角，那么

也是z 的幅角。 幅角的主值：_________________________,记作：________________.

规定：复数0的辐角是任意值。

当复数z=a+bi ≠0时，辐角可以由对应点Z （a,b ）的位置确定，分别有如下两种情况：

1、 当点Z （a,b ）在某个象限内时，其辐角可以由__________________和点Z （a,b ）所在象限确定；

2、 当点Z （a,b ）分别在正半实轴，负半实轴，正半虚轴，负半虚轴上时，其辐角分别为： _________________________________________________.

例4求复数1+i 的模与辐角。

学生练习

1、求下列复数的模和辐角。

（2）设 _____________________________.

学生小结

作业布置

课堂作业：2题，3题（1）（5）（8）

课后作业：教学新方案17.3第一课时

θ)(2z k k ∈+θπ2)5(2321)4(3)3(22)2(3)1(---+i i i =-=z i i z 则,21

17.3.3复数的三角形式

学习目标：掌握复数的代数形式和三角形式的相互转化。 教学重难点：

一、复习提问。

1、 复数的模，辐角的主值

2、 复数z=a+bj 的模和主辐角的计算公式

二．新课讲授

复数的三角形式：__________________________________ 注意点：1.___________________

2.___________________

3.___________________

4.___________________

例1：把下列复数代数式化成三角式：

练习

把下列复数化成三角形式：

（1）6 （2）-5 （3）2i

（4）-i （5）-2+2i

想一想：代数式化三角式的步骤

1.___________________

2.___________________

3.___________________

4.___________________

【自我检测】

1.计算

2.设z 的幅角是 ，实部是 ，则z=_____________.

学生小结

作业布置

()i

+31()i -12)2

321)(65sin 65(cos 2i i --+ππ65π32-