备战2013中考数学压题专题7图形的相似

图形的相似

命题分析：

图形的相似、位似始终是中考的必考内容，尤其是相似三角形. 该部分知识在选择、填空与解答题中都有出现．从内容与方法上来说，主要考查相似三角形性质和判定、位似图形、黄金分割等知识，很多综合大题也融入了相似三角形的内容. 主要考查学生的识图能力、分析综合能力等.

锐角三角函数的定义特别是对特殊角的三角函数值的考查以及解直角三角形的应用题是各省中考的考查重点，试题形式有选择、填空、计算和解答题，其中应用题有测建筑物的高度，与航海有关问题，筑路修堤问题等等与现实联系密切的问题，试题背景不断创新.在解决时要把具体问题转化为数学模型，对计算不能直接求出的问题要通过列方程加以解决.

押题成果：

押题1：如图，小正方形的边长均为1

，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

解析：正方形的边长均为1，可用勾股定理计算阴影三角形的边长，用“三边对应成比例的三角形是相似三角形”来判定.

答案：A

方法技巧：熟记相似三角形的判定方法和性质定理，能识别相似三角形的图形变换.

押题2：如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG=2∶3，则下列结论正确的是（）

A．2DE =3MN B．3DE=2MN

C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F

解析：原图形与位似变换得到图形相似，由题意可得相似比为2∶3，对应角相等所以正确的选项为B.

答案：B

方法技巧：利用位似图形的性质解题.

押题3：如图,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上(点D不与A、C重合),若再增加上条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______.

解析:本题考查三角形相似的判定方法的运用.由于所识别的两三角形隐

含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠

ADB=∠ABC,或

A D A B

A B A C

=即可..

答案：∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,

A D A B

A B A C

=.

方法技巧：部分学生不熟悉三角形相似的判定方法，易错用“边边角”进行判定，也有学生不注意两个三角形顶点的对应.突破方法：本题答案只要求填写一个，为确保正确，可根据△ABD∽△ACB找出一对相等的对应角.

押题4：如图，在平行四边形ABCD中，BC

AE⊥于E，CD

AF⊥于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若AH

AG=，求证：四边形ABCD是菱形．

解析:本题结合平行四边形知识考查相似三角形的判定和性质，（1）小题

B．C．D．

A

B C

A D

C

B

G

E

H

F

押题4图

E

D

C

N

M

H

G

F B

A

D

C

B

A

押题3图

由“有两个角对应相等的两个三角形相似”来判定，（2）由△ABE ∽△ADF 就可以得到∠BAG =∠DAH ，容易论证△ABG ≌△ADH ，得AB =AD,从而判定平行四边形ABCD 是菱形. 答案：（1）∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABE =∠ADF ． ∴△ABE ∽△ADF （2）∵△ABE ∽△ADF ，∴∠BAG =∠DAH ．

∵AG =AH ，∴∠AGH =∠AHG ，从而∠AGB =∠AHD ．∴△ABG ≌△ADH ． ∴AD AB =． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．

方法技巧：在熟记所学公理、定理的基础上，多锻炼自己的识图能力，能从复杂图形中找到可证的相似三角形、全等三角形等基本图形.

押题5：如图，在R t ABC △中，AC B ∠=R t ∠，1B C =，2A B =，则下列结

论正确的是（ ） A ．3sin 2

A =

B ．1tan 2

A =

C ．3cos 2

B =

D ．tan 3B =

解析：本题考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得AC =

3.

根据三

角函数定义：sinA =AB

BC =2

1,tan A =AC

BC =

3

3,cos B =

AB

BC =

2

1,tanB =BC

AC =

3.

答案：D

方法技巧：作为中考的必考内容，本考点要求学生熟记30°、45°、60°几个特殊角的三角函数值，理解锐角三角函数定义，注意定义的条件是在直角三角形中，在具体题目中首先要确定包含所考查锐角的直角三角形.计算题要求数值代入正确，计算准确.

押题6：课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A 处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，

求旗杆EG 的高度．

解析：

考查解直角三角形的应用，本题解题的关键在于在直角三角

形中利用边角关系正确计算边长.

答案：015ECD ∠= ，0

30EDF ∠=，

15

CED ∴∠=.C E D E C D ∴∠=∠.

所以DC=DE=23米. 在Rt △EDF 中,由sin E F E D F D E

∠=

，得sin E F D E E D F =⋅∠0

23sin 30=⋅1232

=⨯

=11.5(米).

又FG=CA=1.5米,因此EG=EF+FG=11.5+1.5=13（米）. 答：旗杆E G 的高度为13米.

方法技巧：解答此类问题一是要根据题中给出的信息构建图形建立数学模型，利用解直角三角形知识解决问题，认真领悟转化思想和建模思想在解题中的应用；二是要在直角三角形中正确表示出各边角，并明确边角关系（函数关系）、角之间关系以及相关线段之间关系.对不能直接通过计算求出的问题列方程来解决.

15 30

B

A G

E F

D C 23米