人教版九级上册数学课件圆的基本性质复习课
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人教版九级上册数学课件圆的基本性质复习课
A
C
O B
C
D
D D
A
C
O
B C
O
A
O
B
E
A
B
D
一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆。
—— 毕达哥拉斯
圆的基本性质
观察并回答
C
·O
A
B
D
圆是_轴_对__称__图形,圆的对称轴是
直__径__所_在__的__直_线_,它有_无__数___条对称 轴.
看图辨定理一
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧。
几何语言：
A
∵CD过圆心, 且____C_D_⊥__A_B__
∴
AE=BE,
A⌒D=BD⌒,
⌒⌒ AC=BC
.
C
·O
E
B
D
判断 弦不是直径
（1）平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线一定经过圆心
（3）圆心和弧的中点的连线一定垂直弧所对的弦
C
E
A
B
D
活学活用:圆中线段的计算
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
周密思考思维提升
已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
则该弦所对的圆心角是_6__0_°___
该弦所对的圆周角的度数_3_0_°__或___1_5_0.° C
O
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
C
O B
C
D
D D
A
C
O
B C
O
A
O
B
E
A
B
D
一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆。
—— 毕达哥拉斯
圆的基本性质
观察并回答
C
·O
A
B
D
圆是_轴_对__称__图形,圆的对称轴是
直__径__所_在__的__直_线_,它有_无__数___条对称 轴.
看图辨定理一
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧。
几何语言：
A
∵CD过圆心, 且____C_D_⊥__A_B__
∴
AE=BE,
A⌒D=BD⌒,
⌒⌒ AC=BC
.
C
·O
E
B
D
判断 弦不是直径
（1）平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线一定经过圆心
（3）圆心和弧的中点的连线一定垂直弧所对的弦
C
E
A
B
D
活学活用:圆中线段的计算
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
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周密思考思维提升
已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
则该弦所对的圆心角是_6__0_°___
该弦所对的圆周角的度数_3_0_°__或___1_5_0.° C
O
人教版九年级上册数学课件：24.1圆 的基本 性质复 习课
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
上册专题圆的基本性质人教版九年级数学全一册课件
3．如图 Z4－3，一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 m，管内有少量的污水， 此时的水面宽 AB 为 0.6 m.
图 Z4－3 (1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高)； (2)当水位上升到水面宽为 0.8 m 时，求水面上升的高度．
解：(1)如答图，作半径 OD⊥AB 于点 C，连接 OB，
图Z4－6
解：(1)如答图，连接 FA， ∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB， ∵BE＝AE，∴BF＝AF， ∵∠FEA＝∠FEB＝90°，∴AF 是⊙O 的直径， ∴AF＝DE，∴BF＝ED， 在 Rt△EFB 与 Rt△ADE 中，BE＝AE，BF＝DE， ∴Rt△EFB≌Rt△ADE；
变式跟进5答图
变式跟进4答图
5．如图 Z4－6，已知 ED 为⊙O 的直径且 ED＝4，点 A(不与 E，D 重合)为⊙O 上一个动点，线段 AB 经过点 E，且 EA＝ EB，F 为⊙O 上一点，∠FEB＝90°，BF 的延长线交 AD 的 延长线于点 C. (1)求证：△EFB≌△ADE； (2)当点 A 在⊙O 上移动时，直接写出四边形 FCDE 的最大面 积为多少．
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为 0.4＋0.3＝0.7.
综上可得，水面上升的高度为 0.1 m 或 0.7 m.
题型三 圆周角定理的综合 典例 如图 Z4－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝ ___3_5_°___． 【解析】 ∵⊙O 是△ABC 的外接圆， ∴∠C＝12∠AOB＝35°，又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C ＝35°.
由垂径定理，得 BC＝12AB＝0.3，
在 Rt△OBC 中，OC＝ OB2－BC2＝0.4，
∴CD＝0.5－0.4＝0.1，此时的水深为 0.1 m；
上册《圆》复习-新人教版九级数学全一册课件
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证明：(1)∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠1＝∠BDA，∴∠1＝∠BAD.
︵
(2)扇形 AOB 的半径为 3 cm，AB的长为 4 cm， 则扇形面积为 6 cm2 ； (3)已知圆锥的底面圆半径为 3 cm、高为 4 cm， 则圆锥的侧面积是 15π cm2.
精典范例
8.【例 1】如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AD⊥BC，垂足为 H，
︵
AD＝8，OH＝3，P 是AC上一个动点，BP 交 AD 于点 E. (1)求⊙O 的半径； (2)若∠EBA＝∠EAB，求线段 BE 的长； (3)若在运动过程中，AQ 平分∠PAD，线 段 BQ 的长度改变吗？若不变，求出其值； 若改变，说明理由．
∵BD＝OB＝2，∴DE＝BE＝21Bห้องสมุดไป่ตู้＝1， ∴OE＝ OB2－BE2＝ 3.
∵OD＝OB＝2，∠DOC＝60°，∠DOF＝30°，
∴CD＝2 3，DF＝23 3， ∴CF＝CD－DF＝2 3－32 3＝34 3.
上册 《圆》复习-新人教版九级数学全一册 课件
12.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD＝BA， BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：∠1＝∠BAD； (2)求证：BE 是⊙O 的切线．
A．点 A 在圆上
B．点 A 在圆外
C．点 A 在圆内
D．无法确定
知识点五：切线 (1)切线的性质； (2)切线的判定； (3)切线长定理.
5.如图，点 P 在⊙O 外，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两 点，∠APB＝50°，AP＝12 cm，OP＝13 cm，则： (1)∠AOB＝ 130 °； (2)∠APO＝ 25 °； (3)BP＝ 12 cm； (4)OA＝ 5 cm.
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证明：(1)∵BD＝BA，
∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠1＝∠BDA，∴∠1＝∠BAD.
︵
(2)扇形 AOB 的半径为 3 cm，AB的长为 4 cm， 则扇形面积为 6 cm2 ； (3)已知圆锥的底面圆半径为 3 cm、高为 4 cm， 则圆锥的侧面积是 15π cm2.
精典范例
8.【例 1】如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AD⊥BC，垂足为 H，
︵
AD＝8，OH＝3，P 是AC上一个动点，BP 交 AD 于点 E. (1)求⊙O 的半径； (2)若∠EBA＝∠EAB，求线段 BE 的长； (3)若在运动过程中，AQ 平分∠PAD，线 段 BQ 的长度改变吗？若不变，求出其值； 若改变，说明理由．
∵BD＝OB＝2，∴DE＝BE＝21Bห้องสมุดไป่ตู้＝1， ∴OE＝ OB2－BE2＝ 3.
∵OD＝OB＝2，∠DOC＝60°，∠DOF＝30°，
∴CD＝2 3，DF＝23 3， ∴CF＝CD－DF＝2 3－32 3＝34 3.
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12.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD＝BA， BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：∠1＝∠BAD； (2)求证：BE 是⊙O 的切线．
A．点 A 在圆上
B．点 A 在圆外
C．点 A 在圆内
D．无法确定
知识点五：切线 (1)切线的性质； (2)切线的判定； (3)切线长定理.
5.如图，点 P 在⊙O 外，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两 点，∠APB＝50°，AP＝12 cm，OP＝13 cm，则： (1)∠AOB＝ 130 °； (2)∠APO＝ 25 °； (3)BP＝ 12 cm； (4)OA＝ 5 cm.
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A
课件
O B
活动一：复习导入
垂径定理
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.
C
如图∵ CD是直径,
A M└
B
●O
D
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课件
活动二：名题引路
▪ 如图，已知AB是⊙O
▪ 的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，
▪
则CD4=15
cm
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
课件
活动四：顺利闯二关
▪ 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
▪ ①请画出图形
▪ ②根据图形，求出AB与CD之间的距离 是 。 7cm或1cm
▪
(2)你能直接写出此题的答案么：
O
B
A
课件
D
思考：
1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？ C
3、将弦AB进行
平移时，以上结A O
B
论是否仍成立？
课件
D
思 1.图中有哪些相等的量？
?
考 2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD ？
3.将弦AB进行平移时， C 以上结论是否仍成立？
4.当弦AB与直径 CD不垂直时,以 A
课件
思考： 1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？
C B
O
第24章 圆的复习-九年级数学上册教学课件(人教版)
原 所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
理
C
精
炼
O
8mm
A
B
提
D
升
与圆有关的概念
典 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
例 2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦.
原 4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
理 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
炼 【注意】(1)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点.
(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
提
(3)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．
升
(4)一个三角形的内切圆是唯一的.
点与圆的位置关系
典 1.在△ABC中,∠C=90º,AC=1,BC=2,M是AB的中点,以点C为圆 例 心,1为半径作⊙C,则( C )
原 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦, 理 并且平分这条弦所对的两条弧；
精 3.垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 炼
提 升
圆的基本性质
典 1.圆的对称性： 例 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
原 2.有关圆心角、弧、弦的性质：
理
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、
° 精 炼
提 升
典 6.如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点 例 E.若BC=BE.求证：△ADE是等腰三角形．
原 理
精 炼
提 升
典 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC. 例 (1)若∠CBD=39º,求∠BAD的度数； 原 (2)求证：∠1=∠2. 理
人教版九年级上册数学课件：2圆的基本性质复习课
O
DB看图辨定理三CDO
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧
所对的圆周角相等,都等于该弧所
A
B
对的圆心角的一半；相等的圆周角
所对的弧相等。
补充圆心角定理的推论：
同圆或等圆中,两个圆心角、两条 弦、两条弧中有一组量相等,它们所对 应的其余各组量也相等.
看图辨定理四
C
D
推论：半圆（或直径）所
对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对弦(弧）是直
O
BD
C
把一个圆绕圆心旋转多少度，可以和它本 身完全重合？
圆的性质2: 圆具有旋转不变性
看图辨定理二
B′
在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等。
A′ B
·
O
A
圆心角定理推论:
A
C
同圆或等圆中,两个圆__心___角、两条
弦___、两条_弧__中有一组量相等,它们所对
应的其余各组量也相等.
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
AA
B
注意利用弧把角进行转化
D
B
D
C
例题精析，巩固深化
如图，以平行四边形ABCD的顶点 A为圆心，AB为半径作⊙A，⊙A交 AD、BC于E、F，延长BA交⊙A于 G，求证：G⌒E=E⌒F.
周密思考思维提升
已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
1、高速公路的隧道很多，如图是一个 隧道的横截面，若它的形状是以O为 圆心的圆的一部分，路面AB=8米， 净高CD=8米，则半径OA=___5_米___
2、如图，直线AC交圆O于点B、C， ∠A=30°，OA=6,OC=5,则弦
新课标人教版《数学》九年级上册 圆的有关概念及性质的复习(共24张PPT)
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1
圆的有关概念及性质
的复习
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3
命题点1 圆周角定理及其推论
例1.(2017·安徽,10,4分)如图,Rt△ABC
中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,
且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
A.
C.
3
2
8 13
13
B.2
12 13
D.
13
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得∠AOC=2∠D;又因为四边形OABC是平行四边形,
所以∠B=∠AOC;由圆内接四边形对角互补,
得∠B+∠D=180°,所以∠D=60°,连接OD,
则OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,
即有∠OAD+∠OCD=∠D=60°.
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9
命题点4 圆的性质
例4.(2017·安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。20:04:3720:04:3720:048/11/2021 8:04:37 PM
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21.8.1120:04:3720:04Aug-2111- Aug-21
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。20:04:3720:04:3720:04Wednesday, August 11, 2021
∵四边形ABED为☉O的内接四边形,
∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)解 如图,连接AE,∵AB为☉O的直径,∴AE⊥BC,
由(1)知AB=AC,
1
圆的有关概念及性质
的复习
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命题点1 圆周角定理及其推论
例1.(2017·安徽,10,4分)如图,Rt△ABC
中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,
且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( )
A.
C.
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8 13
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B.2
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D.
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得∠AOC=2∠D;又因为四边形OABC是平行四边形,
所以∠B=∠AOC;由圆内接四边形对角互补,
得∠B+∠D=180°,所以∠D=60°,连接OD,
则OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,
即有∠OAD+∠OCD=∠D=60°.
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命题点4 圆的性质
例4.(2017·安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。20:04:3720:04:3720:048/11/2021 8:04:37 PM
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21.8.1120:04:3720:04Aug-2111- Aug-21
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。20:04:3720:04:3720:04Wednesday, August 11, 2021
∵四边形ABED为☉O的内接四边形,
∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)解 如图,连接AE,∵AB为☉O的直径,∴AE⊥BC,
由(1)知AB=AC,
九年级上数学第24章圆复习课件
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
．
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
A
B
•
O C
D
1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则
弦AB所对的圆周角为__5__0_0或___1_3_0_0_.（05年上海）
2.如图，AB是⊙O的直径,BD是
⊙O的弦，延长BD到点C,使
DC=BD,连接AC交⊙O与点F.
（1）AB与AC的大小有什么关
A
系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A
B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
人教版九年级数学上册 (圆)圆的有关性质课件
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明; 3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。 难点：圆周角定理的证明。
情景引用
点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 60°.
• 6.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD． • 求证：OC=OD． • 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， • ∴OA=OB. • ∴∠A=∠B. • 又∵AC=BD， • ∴△ACO≌△BDO. • ∴OC=OD.
在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角， 测量它们的度数，你能得出什么结论？
C
经过测量， 同弧所对的圆周角度数等于 所对圆心角的一半。
O
A
B
圆心角和圆周角之间存在的关系
下面我们分以下三种情况验证上述猜想：
圆心角和圆周角之间存在的关系
1
2 3
证明二：
OA=OC=>∠1＝∠2
• 2.下列说法中，不正确的是(D )
• A．过圆心的弦是圆的直径
• B．等弧的长度一定相等
• C．周长相等的两个圆是等圆
• D．长度相等的两条弧是等弧
• 3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 5 cm. • 4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是 圆 .
• 5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于
在以点O为圆心的圆上。
证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。 难点：圆周角定理的证明。
情景引用
点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 60°.
• 6.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD． • 求证：OC=OD． • 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， • ∴OA=OB. • ∴∠A=∠B. • 又∵AC=BD， • ∴△ACO≌△BDO. • ∴OC=OD.
在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角， 测量它们的度数，你能得出什么结论？
C
经过测量， 同弧所对的圆周角度数等于 所对圆心角的一半。
O
A
B
圆心角和圆周角之间存在的关系
下面我们分以下三种情况验证上述猜想：
圆心角和圆周角之间存在的关系
1
2 3
证明二：
OA=OC=>∠1＝∠2
• 2.下列说法中，不正确的是(D )
• A．过圆心的弦是圆的直径
• B．等弧的长度一定相等
• C．周长相等的两个圆是等圆
• D．长度相等的两条弧是等弧
• 3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 5 cm. • 4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是 圆 .
• 5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于
在以点O为圆心的圆上。
证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=
最新人教版初中九年级上册数学【圆全章复习】教学课件
请补全解答过程.
E
C
6
4
4D
H4
A
O
BF
10
综合运用
小结：
E
E
C
C
D
D
3
3
1 A2
O
BF
A
12
O
BF
综合运用
小结：
E
E
C D
C D
G
H
A
O
BF
A
O
BF
知识梳理
圆的对称性
圆的有关性质 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆 点、直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系
综合运用
例 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=6cm，∠C=60°，则⊙O的半径为 ________cm.
C
O
A
B
综合运用
方法1：作OD⊥AB于D，连接OA，OB.
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°.
∵OA=OB，OD⊥AB于D， AB=6 cm，
∴△AOD中，∠ADO=90°，
知识梳理
圆的有关性质
圆的对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角之间的关系 定理 同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆周角定理
初中数学
重点回顾
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A2 A1
A3
O
B
C
重点回顾
圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆内接四边形的对角互补.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
E
C
6
4
4D
H4
A
O
BF
10
综合运用
小结：
E
E
C
C
D
D
3
3
1 A2
O
BF
A
12
O
BF
综合运用
小结：
E
E
C D
C D
G
H
A
O
BF
A
O
BF
知识梳理
圆的对称性
圆的有关性质 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆 点、直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系
综合运用
例 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=6cm，∠C=60°，则⊙O的半径为 ________cm.
C
O
A
B
综合运用
方法1：作OD⊥AB于D，连接OA，OB.
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°.
∵OA=OB，OD⊥AB于D， AB=6 cm，
∴△AOD中，∠ADO=90°，
知识梳理
圆的有关性质
圆的对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角之间的关系 定理 同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆周角定理
初中数学
重点回顾
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A2 A1
A3
O
B
C
重点回顾
圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆内接四边形的对角互补.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质(学习、上课课件)
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 弦与直径的关系： 直径是过圆心最长的弦，但弦不一
定是直径 . 2. 弧与半圆的关系： 半圆是弧，但弧不一定是半圆 . 3. 弦与弧的关系：每条弧对一条弦，而每条弦对的弧有
两条 .
感悟新知
知2－练
例3 下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等 的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半圆是弧，弧不一定是半圆 . 正确的有 _①__③__⑤___(填序号) .
OE=
1 2
AB.
知1－练
同理可得，
OF=
1 2
BC，
OG=
1 2
CD，
OH=
1 2
DA.
∴ OE=OF=OG=OH.
∴点 E， F， G， H 在以点 O 为圆心， OE 为半径的
圆上 .
感悟新知
知1－练
方法点拨：将说明几个点在同一个圆上转化 为说明这几个点到某点(圆心)的距离相等.“到定点 的距离相等(数量关系)的点在同一个圆上(位置关 系)”是说明多点共圆问题的常用方法.
感悟新知
知1－练
解题秘方：只需说明E，F，G，H四个点到点O的距离相 等即可. 解：点 E， F， G， H 在同一个圆上 . 理由如下： 如图 24.1-1，连接 OE， OF， OG， OH. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=DA， AC⊥BD.
感悟新知
又∵
E
为
AB
边的中点，∴
第二十四章
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标
1 课时讲解 圆
圆的有关概念
2 课时流程
逐点 导讲练
上册专题圆的基本性质人教版九年级数学全一册课件
题型三 圆周角定理的综合 典例 如图 Z4－4，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝ ___3_5_°___． 【解析】 ∵⊙O 是△ABC 的外接圆， ∴∠C＝12∠AOB＝35°，又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C ＝35°.
图Z4－4
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
解：(1)如答图，作半径 OD⊥AB 于点 C，连接 OB，
由垂径定理，得 BC＝12AB＝0.3，
在 Rt△OBC 中，OC＝ OB2－BC2＝0.4，
∴CD＝0.5－0.4＝0.1，此时的水深为 0.1 m；
(2)当水位上升到圆心以下时，水面宽 0.8 m， 则 OC＝ 0.52－0.42＝0.3，
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
【解析】 如答图所示，连接 OA，
∵⊙O 的直径 CD＝10，∴OA＝5，
∵弦 AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝12AB＝12×8＝4，
在 Rt△AOM 中，OM＝ OA2－AM2＝ 52－42＝3，
典例答图
∴DM＝OD＋OM＝5＋3＝8.
A．70° C．110°
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
题型二 垂径定理及其推论 典例 如图 Z4－1，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为( D )
A．5
B．6
图 Z4－1 C．7
D．8
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
图Z4－4
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
解：(1)如答图，作半径 OD⊥AB 于点 C，连接 OB，
由垂径定理，得 BC＝12AB＝0.3，
在 Rt△OBC 中，OC＝ OB2－BC2＝0.4，
∴CD＝0.5－0.4＝0.1，此时的水深为 0.1 m；
(2)当水位上升到圆心以下时，水面宽 0.8 m， 则 OC＝ 0.52－0.42＝0.3，
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
【解析】 如答图所示，连接 OA，
∵⊙O 的直径 CD＝10，∴OA＝5，
∵弦 AB＝8，AB⊥CD，∴AM＝12AB＝12×8＝4，
在 Rt△AOM 中，OM＝ OA2－AM2＝ 52－42＝3，
典例答图
∴DM＝OD＋OM＝5＋3＝8.
A．70° C．110°
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
题型二 垂径定理及其推论 典例 如图 Z4－1，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为( D )
A．5
B．6
图 Z4－1 C．7
D．8
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
上册 专题4 圆的基本性质-2020秋人教版九年级数 学全一 册课件( 共59张 PPT)
数学人教版九年级上册圆的基本性质复习课
圆的基本性质复习课
引入
师：同学们已经发现，老师在黑板上画了好几个圆，我们今天上课的主角就是这些圆。
圆是一切平面图形中最美的图形，它的美体现在哪些方面呢？让我们一起来感受一下。
今天，老师也带来了一个圆，但圆心找不到了，你能通过折纸的方法帮老师来找到这个圆心吗？
生：对折两次，两条折痕的交点就是圆心。
师：非常好，两条折痕其实是圆的什么？对折后能完全重合，说明圆具有什么性质？
生：折痕是直径。
圆具有轴对称性。
师：刚才这位同学其实就抓住了圆的这个性质，直径所在直线就是圆的对称轴，轻而易举地找到了这个圆心。
这两条直径所夹的弧相等吗？为什么？
生：因为它们所对的圆心角相等。
师：在一个圆中，只要圆心角相等，它们所对的弧一定相等。
这说明圆具有一种旋转不变性。
圆的这两种性质使得圆中五种基本量：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间具有特殊的关系。
今天这节课我们来复习圆的基本性质。
—出示课题《圆的基本性质复习》。
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周密思考思维提升
已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
则该弦所对的圆心角是_6__0_°___
该弦所对的圆周角的度数_3_0_°__或___1_5_0.° C
O
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
A
B
D
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
BC=___8___
总结:在圆中边的计算中，常构造直 A 角三角形利用勾股定理来求解。
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
O
BD
C
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
把一个圆绕圆心旋转多少度，可以和它本 身完全重合？ 圆的性质2: 圆具有旋转不变性
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
作业布置
• 必做作业：
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
应的其余各组量也相等.
O
D
B
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
看图辨定理三
C
D
O
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧
所对的圆周角相等,都等于该弧所
A
B
对的圆心角的一半；相等的圆周角
所对的弧相等。
补充圆心角定理的推论：
同圆或等圆中,两个圆心角、两条 弦、两条弧中有一组量相等,它们所对 应的其余各组量也相等.
∠ AOB=140°，则∠ D=__1_10°
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
AA
注意利用弧把角进行转化
Dห้องสมุดไป่ตู้
C A
B
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
B
D
C
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
看图辨定理二
B′
在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等。
A′ B
·
O
A
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
圆心角定理推论:
A
C
同圆或等圆中,两个圆__心___角、两条
弦___、两条_弧__中有一组量相等,它们所对
几何语言：
A
∵CD过圆心, 且____C_D_⊥__A_B__
∴
AE=BE,
A⌒D=BD⌒,
⌒⌒ AC=BC
.
C
·O
E
B
D
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
判断
弦不是直径
（1）平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线一定经过圆心
（3）圆心和弧的中点的连线一定垂直弧所对的弦
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
看图辨定理四
C
D
推论：半圆（或直径）所
对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对弦(弧）是直
A
径（半圆）。
O
B
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
看图辨定理五
D C
A
B
定理：圆的内接四边形 的对角互补。
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
即时巩固：角的计算
1、如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O
的直径,∠ABC=30°,则∠DAC=_6__0_°
D O
2、已知ABCD四个点在⊙O上，如果 B
例题精析，巩固深化
如图，以平行四边形ABCD的顶点 A为圆心，AB为半径作⊙A，⊙A交 AD、BC于E、F，延长BA交⊙A于 G，求证：G⌒E=E⌒F.
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
谢谢各位老师和同学！
再见
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A
C
O B
C
D
D D
A
C
O
B C
O
A
O
B
E
A
B
D
一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆。
—— 毕达哥拉斯
圆的基本性质
观察并回答
C
·O
A
B
D
圆是_轴_对__称__图形,圆的对称轴是
直__径__所_在__的__直_线_,它有_无__数___条对称 轴.
看图辨定理一
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧。
C
E
A
B
D
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
活学活用:圆中线段的计算
1、高速公路的隧道很多，如图是一个 隧道的横截面，若它的形状是以O为 圆心的圆的一部分，路面AB=8米， 净高CD=8米，则半径OA=___5_米___
2、如图，直线AC交圆O于点B、C， ∠A=30°，OA=6,OC=5,则弦
周密思考思维提升
现有一个直径为20的输油管道正在输油，若管道横截
面中油面宽16，则此时油的最大深度为_4_或__1_6______.
人教版九年 级级 上上 册册 数数 学学 课课 件件 圆： 的2基4.本1圆性 的质基复本习 性课质复 习课
注意分类讨论的数学思想的应用
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总结反思 拓展升华
本节课复习了哪些知识？你还有什么收获？
C
O
A
E B
D
垂径定理 及推论
轴 对 称 性
C DO
AB
旋
美丽的 转
圆
不 变
性
A
C
BO D
圆心角定理 及推论
圆周角定理 及推论
CD A OB
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已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径,
则该弦所对的圆心角是_6__0_°___
该弦所对的圆周角的度数_3_0_°__或___1_5_0.° C
O
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A
B
D
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BC=___8___
总结:在圆中边的计算中，常构造直 A 角三角形利用勾股定理来求解。
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O
BD
C
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应的其余各组量也相等.
O
D
B
人教版九级上册数学课件圆的基本性 质复习 课
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看图辨定理三
C
D
O
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧
所对的圆周角相等,都等于该弧所
A
B
对的圆心角的一半；相等的圆周角
所对的弧相等。
补充圆心角定理的推论：
同圆或等圆中,两个圆心角、两条 弦、两条弧中有一组量相等,它们所对 应的其余各组量也相等.
∠ AOB=140°，则∠ D=__1_10°
C
O
3、在⊙O中，∠CBD=30° ,
∠BDC=20°,∠A=_5_0__°_
AA
注意利用弧把角进行转化
Dห้องสมุดไป่ตู้
C A
B
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B
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看图辨定理二
B′
在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等。
A′ B
·
O
A
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圆心角定理推论:
A
C
同圆或等圆中,两个圆__心___角、两条
弦___、两条_弧__中有一组量相等,它们所对
几何语言：
A
∵CD过圆心, 且____C_D_⊥__A_B__
∴
AE=BE,
A⌒D=BD⌒,
⌒⌒ AC=BC
.
C
·O
E
B
D
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判断
弦不是直径
（1）平分弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线一定经过圆心
（3）圆心和弧的中点的连线一定垂直弧所对的弦
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看图辨定理四
C
D
推论：半圆（或直径）所
对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对弦(弧）是直
A
径（半圆）。
O
B
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
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D C
A
B
定理：圆的内接四边形 的对角互补。
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即时巩固：角的计算
1、如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O
的直径,∠ABC=30°,则∠DAC=_6__0_°
D O
2、已知ABCD四个点在⊙O上，如果 B
例题精析，巩固深化
如图，以平行四边形ABCD的顶点 A为圆心，AB为半径作⊙A，⊙A交 AD、BC于E、F，延长BA交⊙A于 G，求证：G⌒E=E⌒F.
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A
C
O B
C
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D D
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C
O
B C
O
A
O
B
E
A
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一切立体图形中最美的是球， 一切平面图形中最美的是圆。
—— 毕达哥拉斯
圆的基本性质
观察并回答
C
·O
A
B
D
圆是_轴_对__称__图形,圆的对称轴是
直__径__所_在__的__直_线_,它有_无__数___条对称 轴.
看图辨定理一
垂径定理：垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦所对的两条 弧。
C
E
A
B
D
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活学活用:圆中线段的计算
1、高速公路的隧道很多，如图是一个 隧道的横截面，若它的形状是以O为 圆心的圆的一部分，路面AB=8米， 净高CD=8米，则半径OA=___5_米___
2、如图，直线AC交圆O于点B、C， ∠A=30°，OA=6,OC=5,则弦
周密思考思维提升
现有一个直径为20的输油管道正在输油，若管道横截
面中油面宽16，则此时油的最大深度为_4_或__1_6______.
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C
O
A
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垂径定理 及推论
轴 对 称 性
C DO
AB
旋
美丽的 转
圆
不 变
性
A
C
BO D
圆心角定理 及推论
圆周角定理 及推论
CD A OB
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