专题训练(4) 特殊平行四边形中的五种折叠方式

专题训练(四)特殊平行四边形中的五种折叠方式

►方式一把一个顶点折叠到一边上

1．如图4－ZT－1，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是() A．7 B．8 C．9 D．10

图4－ZT－1

2．如图4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF沿EF折叠得到△GEF，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝6 2，则FG的长为

________．

图4－ZT－2

3．如图4－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D 落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.

(1)求证：四边形DEFG为菱形；

(2)若CD＝8，CF＝4，求CE

DE的值．

图4－ZT－3

►方式二把一个顶点折叠到对角线上

4．如图4－ZT－4所示，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()

A．3 B．4 C．5 D．6

图4－ZT －4

5．如图4－ZT －5所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且点D 落在对角线上的点D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )

A.32 B ．3 C ．1 D.43

图4－ZT －5 ► 方式三 把一个顶点折叠到另一个顶点上

6．把一张矩形纸片ABCD 按图4－ZT －6所示方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ，若AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积为______cm 2.

图4－ZT －6

7．如图4－ZT －7所示，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .

(1)求证：四边形AFCE 为菱形；

(2)设AE ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，请写出a ，b ，c 三者之间的数量关系，并说明理由．

图4－ZT －7

► 方式四 把一个顶点折叠到图形外或图形内 8．如图4－ZT －8，已知正方形ABCD 的对角线长为2 2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( )

A ．8 2

B ．4 2

C ．8

D ．6

图4－ZT －8

9．如图4－ZT －9，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D ，则B ′D 的最小值是( )

A ．2 10－2

B ．6

C ．2 13－2

D ．4

图4－ZT－9

10．如图4－ZT－10，矩形ABCD中，点P，Q分别是边AD和BC的中点，沿过点C 的直线折叠矩形ABCD，使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ 于点G.若线段BC的长为3，则线段FG的长为________．

图4－ZT－10

11．如图4－ZT－11，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；

(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．

图4－ZT－11

►方式五多次折叠

12．2018·资阳如图4－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是() A．12 cm B．16 cm

C．20 cm D．28 cm

图4－ZT－12

13．准备一张矩形纸片ABCD，按如图4－ZT－13所示操作：

将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

图4－ZT－13

14．如图4－ZT－14①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平；沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处；再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.

(1)求证：EG＝CH；

(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．

图4－ZT－14

详解详析

1．[解析] C 由折叠的性质得EF ＝AE ＝5.由勾股定理得BE ＝4，∴AB ＝CD ＝9. 2．[答案] 3 6

[解析] ∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠B ＝60°，∠BAC ＝60°. ∵EG ⊥AC ，∴∠AEG ＝30°.

由折叠可知，∠BEF ＝1

2

×(180°－∠AEG )＝75°，

∴∠BFE ＝180°－(∠B ＋∠BEF )＝45°.∴∠BFG ＝90°，即FG ⊥BC . ∴FG ＝BC 边上的高＝3 6.

3．解：(1)证明：由折叠的性质得∠1＝∠2，ED ＝EF ，GD ＝GF . ∵FG ∥CD ，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴EF ＝GF ，

(方法一)(如图①)∴ED ＝EF ＝GD ＝GF ，∴四边形DEFG 为菱形． (方法二)(如图①)∴ED ＝GF .

又∵ED ∥GF ，∴四边形DEFG 为平行四边形． 又∵EF ＝GF ，∴▱DEFG 为菱形．

(方法三)连接DF 交AE 于点O (如图②)，则EG ⊥DF ，DO ＝FO . ∵EF ＝GF ，EG ⊥DF ，∴OG ＝OE ，

∴四边形DEFG 为平行四边形，∴▱DEFG 为菱形．

(2)设DE ＝x ，则FE ＝DE ＝x ，CE ＝8－x . 在Rt △EFC 中，CF 2＋CE 2＝EF 2，

即42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝8－x ＝3，∴CE DE ＝3

5.

4．[答案] D 5．[答案] A 6．[答案]

5110

[解析] 设ED ＝x cm ，则根据折叠和矩形的性质，得A ′E ＝AE ＝(5－x )cm ，A ′D ＝AB ＝3 cm.

根据勾股定理，得ED 2＝A ′E 2＋A ′D 2，

即x 2＝(5－x )2＋32，解得x ＝

175

， ∴S △DEF ＝12×175×3＝51

10

(cm 2)．

7．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ∥BC ，∴∠AEF ＝∠CFE .

由折叠的性质，可得∠AFE ＝∠CFE ，AF ＝CF ，