比较实数大小的八种方法

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实数大小比较的常用方法

六、作差法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较与的大小。
析解：设，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较与的大小。
析解：设，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。

实数的大小比较及运算

实数的大小比较及运算实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两大类。

在数学运算中，实数的大小比较及运算是最基础的部分之一，对于学生来说，掌握实数的大小比较及运算是非常重要的。

本文将从实数的大小比较和基本运算两个方面进行详细介绍。

一、实数的大小比较1. 正数和负数的比较正数是大于零的实数，负数是小于零的实数。

在实数中，正数大于负数。

例如，1比-1要大，2比-2要大。

当然，绝对值较大的负数，比绝对值较小的正数要小。

比如，-5比3要小。

2. 零和正数、负数的比较零是实数中最小的数，比任何正数都要小，但是大于任何负数。

如0比1要小，0比-1要大。

3. 实数的比较运算规则（1）同号相乘为正，异号相乘为负。

（2）同号相加为正，异号相加为负。

（3）绝对值较大的数，在同号运算时，结果的绝对值较大；在异号运算时，结果的绝对值较小。

二、实数的基本运算1. 实数的加法实数的加法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

例如，a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a(b+c)=ab+ac。

2. 实数的减法实数的减法可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。

减法满足减法的交换律：a-b≠b-a。

3. 实数的乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。

例如，ab=ba，a(bc)=(ab)c，a(b+c)=ab+ac。

4. 实数的除法实数的除法定义为a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。

除法满足除法的性质：a÷b≠b÷a。

5. 实数的乘方与开方实数的乘方定义为a的n次方是指n个a相乘，即an=a×a×…×a。

实数的开方是乘方的逆运算，即对于实数a，若b是满足b^n=a的实数，则b叫做a的n次方根。

通过以上详细介绍，相信大家对实数的大小比较及运算有了更深入的了解。

掌握实数的大小比较及运算是数学学习的基础，也是解决实际问题的重要方法。

在日常学习中多加练习，相信你会掌握实数的大小比较及运算，取得更好的学习成绩。

实数大小比较的方法和技巧——教案二重点

实数大小比较的方法和技巧——教案二重点。

一、实数大小的比较实数的大小比较是指对两个或多个实数进行比较，了解它们的大小关系。

在比较实数大小时，我们通常都是将实数按照从小到大或从大到小的顺序排列。

我们可以通过以下不同的方法来进行实数大小比较：1.图像法图像法是通过坐标系表示实数的大小，并直观比较它们之间的大小差距。

例如，当我们比较 $4$ 和 $-2$ 的大小时，我们可以画出一个数轴，将那些数标在数轴上面并作为一个点表示。

我们可以看到$4$ 在数轴上面更靠右边，而 $-2$ 更靠左边，所以我们可以得出$4$ 比 $-2$ 大。

2.化简法当我们需要比较一些数量级相等的实数时，我们可以将它们进行化简，使比较过程变得简洁有序。

例如，当我们进行以下比较时：$$\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{29}{9},\frac{19}{6}$$其中，我们可以将这四个数的分母相等，并化简为：$$\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{10}{3},\frac{19}{6}$$接下来，我们只需要比较分子的大小即可，也就是：$$\frac{7}{3}<\frac{8}{3}<\frac{10}{3}<\frac{19}{6}$$3.通分比较法当我们需要比较不同分数的大小关系时，我们可以先将它们通分。

通分是将不同分数的分数位分子分母都相同，之后我们可以通过分子的大小关系来比较实数的大小关系。

例如，当我们进行以下比较时：$$\frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{4}$$通过通分，我们可以得到：$$\frac{8}{12},\frac{6}{12},\frac{9}{12}$$而在与通分后的结果比较中，$\frac{8}{12}<\frac{9}{12}<\frac{6}{12},$也就是说，$\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{1}{2}$。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。

一、法则法比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。

例1 比较与的大小。

析解:由于,且,所以。

说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。

例2 比较与的大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来,容易得到结论:四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。

例4 比较与的大小。

析解:由于,故,所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有:例5 比较与的大小析解:因为,又因为,所以所以说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。

六、作差法用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b有:例6 比较与的大小。

析解:设,则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据就是:对任意正数a、b有:例7 比较与的大小。

析解:设,,则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法就是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法在数学中，比较实数的大小是常见的一种操作。

实数是包括有理数和无理数的数集，比较实数大小的方法也因此有很多种。

下面将介绍八种常见的比较实数大小的方法。

1.图像法图像法是一种直观比较实数大小的方法。

在数轴上，将要比较的实数表示出来，然后观察它们在数轴上的位置，靠近原点的实数较小，远离原点的实数较大。

通过观察数轴上的相对位置，可以快速比较实数的大小。

2.对比法对比法是将两个实数进行比较，通过计算它们的差值，判断差值的正负来确定实数的大小。

例如，如果两个实数相减的结果为正数，则被减数较大，反之则较小。

3.分数比较法对于有理数，可以将其表示为分数的形式，比较实数的大小可以通过比较其分数形式的大小。

将两个实数的分数形式进行通分后，比较它们的分子的大小，分母相同的情况下，分子较大的实数较大。

4.无理数逼近法无理数是不能表示为有理数的分数形式的数，对于无理数的比较可以利用它们的逼近性质。

即找到两个有理数序列，一个逼近于要比较的无理数的上界，一个逼近于下界，然后通过比较这两个有理数序列的最后一项和无理数的大小来判断实数的大小。

5.指数法当实数以指数形式表示时，比较实数的大小可以通过比较其底数和指数的大小来判断。

如果底数相同，指数较大的实数较大；如果指数相同，底数较大的实数较大。

6.对数法当实数以对数形式表示时，比较实数的大小可以通过比较其底数和对数的大小来判断。

如果底数相同，对数较大的实数较大；如果对数相同，底数较大的实数较大。

7.泰勒展开法泰勒展开是一种将一个函数在一些点附近进行多项式逼近的方法。

通过将实数表示为泰勒展开的形式，可以比较实数的大小。

较高次项系数较大的实数较大。

8.近似值法对于无法进行精确比较的实数，可以通过近似值进行比较。

比较实数的近似值，较接近给定值的实数较大。

这八种方法是比较实数大小常用的方法，每种方法都有其适用的场景。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较，以得到准确的比较结果。

初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析

实数比较大小常见10中方法大全讲解实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法：模块二：方法讲解与举例方法一.运用方根定义法例1、比较5-m 和34m -的大小解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数）小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件．方法二：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。

当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。

当a-b ＝0，得到a=b 。

例2：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51。

解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ， ∴1-2＞1-3。

方法三：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b 。

来比较a 与b 的大小。

例3：比较513-与51的大小。

解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法四：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b1时，a ＜b 。

来比较a 与b 的大小。

例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。

解∵200320041-=2004+2003 ， 200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004方法五：中间值法：基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小例5：比较456998和7481084的大小解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084方法六：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

实数大小比较

实数大小比较，教你你几招实数的大小比较法则与有理数的大小比较法则类似，在具体解决题时，应根据实数的特征，选用恰当的方法来比较大小，下面介绍几种常用的方法。

一、法则比较法。

可根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

这是比较实数大小最常用最基本的方法。

例1 比较下列各组中两个数的大小（1） -32 —— 25 （2）-3 —— -3 二、被开方数比较法。

一般的，若实数a>b ≥0,则a >b 例2比较6与35的大小我们可以把6写成36的形式，从而将问题转化为比较36与35的大小，只要比较36与35的大小即可。

三、平方比较法。

比较两个负数的大小，可先比较他们的绝对值的大小，为此可将他们的绝对值分别平方，从而转化为比较两个有理数的大小。

例3 比较 -7与-2.6的大小因为()72=7 6.22=6.76，且7>6.76 所以()72>6.22 所以7>2.6 所以 -7<-2.6四、取近似值比较法。

利用计算器求出实数的近似值后，在比较实数的大小，这是比较简便易行的方法例4比较3+2与3.1的大小因为3≈1.732，2≈ 1.414 所以3+2≈ 1.732+1.414=3.146因为3.146 > 3.1 所以3+2>3.1五、中间值比较法。

可取一个中间值，借助这两个数与中间值的大小关系来比较这两个数的大小。

例5比较5与37的大小因为5>2 ，2=38>37所以5>37总之，比较实数大小的方法比较多，要再具体操作中应根据题目特点灵活选用简单易行的方法。

比较实数大小的常用方法

比较实数大小的常用方法方法一求差法求差法的基本思路是设a,b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b.当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。

.当a-b ＝0,得到a=b 。

例：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ∴513-＜51。

解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ∴1-2＞1-3。

方法二求商法求商法的基本思路是设a 。

b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

ba ＜1时，a ＜b ，当b a ＞1时，a ＞b.当ba =1时，a=b 来比较a 与b 的大小。

例：比较513-与51的大小解∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法三倒数法倒数法的基本思路是设a ,b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 得到书，再根据当a 1＞b1时a ＜b ，来比较a 与b 的大小例比较2004-2003与2005-2004的大小解 ∵200320041-=2004+2003 200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004方法四估算法估算法的基本是思路是设a.b 为任意两个正实数，先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例比较8313-与81的大小解 ∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴8313-＜81 方法五平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0,b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b,来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例比较62+与53+的大小 ∵2)62(+=2+212+6=8+212 2)53(+=3+215+5=8+215又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+方法六移动因式法移动因式法的基本是思路是,当a ＞0,b ＞0,若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较例比较27与33的大小解 ∵27=7*22=28 33=3*32=27又∵28＞27 ∴27＞33。

比较实数大小的十种常用方法

本文详细介绍了十种比较实数大小的方法，每种方法都配以典型例题进行说明。首先，通过比较平方的方法，解决了含有二次根式的实数大小比较问题。其次，对于含分母和分子的二次根式，采用作商比较法，通过计算商与1的大小关系来确定原数的大小。此外，还介绍了作差法，通过比较两个数的差与0的大小关系来判断原数的大小。对于倒数法，则是利用正数倒数大的正数反而小的规律进行比较。同时，也提到了先求出无理数的近似值再比较的方法，以及通过估算无理数范围进行比较的方法。对于含有变量的实数比较，文档通过取特殊值法和利用已知条件进行推导的方法进行了说明。这些方法涵盖了实数大小比较的多个方面，为读者

实数的大小比较题目

实数的大小比较题目一、实数大小比较的基本方法1. 数轴比较法- 基本原理：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

- 例如：比较-3和2的大小。

- 解析：在数轴上，-3位于原点左边距离原点3个单位长度处，2位于原点右边距离原点2个单位长度处。

因为数轴上右边的数比左边的数大，所以2> - 3。

2. 作差比较法- 基本原理：设a,b是两个实数，则a - b>0Leftrightarrow a> b；a - b =0Leftrightarrow a=b；a - b<0Leftrightarrow a< b。

- 例如：比较5和3的大小。

- 令a = 5，b = 3，则a - b=5 - 3=2>0，所以5>3。

- 再如：比较x^2+1和2x的大小（x∈ R）。

- 令a=x^2 + 1，b = 2x，则a - b=x^2+1 - 2x=(x - 1)^2。

- 因为(x - 1)^2≥slant0，当且仅当x = 1时取等号。

所以x^2 + 1≥slant2x。

3. 作商比较法（适用于a,b同号的情况）- 基本原理：设a,b是两个正实数，则(a)/(b)>1Leftrightarrow a> b；(a)/(b)=1Leftrightarrow a = b；(a)/(b)<1Leftrightarrow a< b。

如果a,b是两个负实数，则(a)/(b)>1Leftrightarrow a< b；(a)/(b)=1Leftrightarrow a = b；(a)/(b)<1Leftrightarrow a> b。

- 例如：比较4和2的大小。

- 因为4和2都是正数，(4)/(2)=2>1，所以4>2。

- 再如：比较-2和-4的大小。

- 因为-2和-4都是负数，(-2)/(-4)=(1)/(2)<1，所以-2> - 4。

实数的大小比较

实数的大小比较实数的大小比较是八年级数的开方一章的重要题型之一，也是历届中考和数学竞赛常见的考点。

特别是引入无理数和三角函数值后，在铜仁地区中考数学科目不能使用计算器的前提下，让许多考生望而生畏，无所适从。

为了帮助同学们掌握好这部分内容和提高学生的思维能力和逻辑能力，下面结合典型例题及对应的练习来说明实数大小比较的常用的十种方法，供同学们参考。

一、差值比较法差值比较法是最重要的比较方法之一，一般首选差值比较法，不行再尝试用其他方法。

基本思路是：设a 、b 是任意两个实数，先求出a 与b 的差，若a-b>0，则a>b ；若a-b<0,则a<b ；若a-b=0,则a=b 。

例题1：比较20132012与20142013的大小解：因为20132012-20142013=2014*20132014*2012-2013*20142013*2013=2014*201320132014*20122- =2014*20132013-12013*120132）（）（+-=2014*20131-<0 所以20132012<20142013 练习：比较1-2与1-3的大小二、添加根号法两个二次根式的比较常用此法，也适用于一个有理数与一个二次根式进行比较。

例题2：比较76与67的大小解：因为76=7*62=7*36=252，2946*496*7672=== 而252<294 所以76<67练习：比较3.5与23的大小三、平方法若两个代数式中的被开方数的和相等时，则可选用这种方法。

当然，也可用来解决例题2类型的题目。

例题3：比较517-与715-的大小解：因为（517-）2=17-285+5=22-285，（715-）2=15-1052+7=22-1052而22-285>22-1052所以517->715-练习：比较23+1与67+的大小四、绝对值比较法当两个实数都是负数时，通常利用它们的绝对值进行比较，绝对值大的实数反而小。

比较实数大小方法总结(最全面)

实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。

作差法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b＞0时，得到a＞b。

当a－b＜0时，得到a＜b。

当a－b＝0，得到a=b。

作商法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b的商。

当a/b＜1时，a ＜b；当a/b＞1时，a＞b；当a/b=1时，a=b。

来比较a与b的大小。

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由a2＞b2得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当1/a＞1/b时，a＜b。

来比较a与b的大小。

有理化法分为分子有理化和分母有理化，利用平方差公式将分子或分母的无理数化为有理数进行比较。

（同乘共轭因式）在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值。

不过取近似值时，要使它们的精确度相同。

再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。

如果没有计算器，则可用估算法。

先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。

如果a<c，c<b，那么a<b。

若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。

用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。

移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a√b与c√d的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例析比较实数大小的常用方法

例析比较实数大小的常用方法实数是初中数学的重要内容之一，实数大小的比较是中考试题的常见题型.不少同学在学习中感到有一定困难，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，以期对同学们有所帮助.一、直接计算法就是根据实数的基本运算规律计算出要比较实数的具体值,直观明了.例1.(1) 20,b=(-3)2,c=(12)-1,则a 、b 、c 、d 按由小到大的顺序排列正确的是( )A.c<a<d<b ，B.b<d<a<c ，C.a<c<d<b ，D.b<c<a<d(2)(2004•宁波)已a ，b 为实数，ab=1，M= 11+++b b a a ，N=1111+++b a ，则M ，N 的大小关系是( )A.M>N;B.M=N;C. M ＜N ；D. 无法确定解：(1) 分析：可以分别求出a 、b 、c 、d 的具体值，然后比较大小.因为 a=1,b=9,c=2,d=3.所以，a<c<d<b ，故应选C.点评:求出两数的具体值，是最基本、最常见的方法.(2)分析：对M 、N 分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把ab=1代入计算后直接选取答案．∵ab=1，∴M=1)1(+++b b a b ab =11ab ba b b +++ =111+++b b b =1 N=1(1)1b b a b +++=11+++b b ba b =111+++b b b =1∴M=N ．故选B ．点评：解答此题的关键是运用已有条件代入计算，把所求代数式化简，得出最后结果再比较大小．二、隐含条件法隐含条件是指题目中未明确表达出来，而客观上存在、必须满足的条件.这些条件可以从定义, 定理，实际意义等出发找出. 其特点是隐藏巧妙、不易发现，因而解题中容易产生错误.所以解题过程中需要更多的分析推理与思考，应倍加细心.例2..解:∴a-2≥0, 即a≥2,∴1-a≤-1, 1≤-.点评：解这类比较无理数的大小问题，一般是根据二次根式有意义的条件(被开方数的非负性)得出其中字母的取值范围，然后进行判断.三、求差法求差法的基本思路是设a ，b 为两个任意实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b>0时，得a>b; 当a-b<0时，得a<b; 当a-b=0，得a=b.例3.（1）若实数a>1,则实数 M=a, N=,32+a P=,312+a 的大小关系是( ) A.P>N>M; B. M>N>P; C. N>P>M ； D. M>P>N(2)设a>0>b>c. a+b+c=1, M=,b c a + N=,a c b+P=,a b c +则M ，N ，P 之间的关系是( )A.M>N>P;B.N>P>M;C.P>M>N;D.M>P>N解:分析:观察本例中的两个小题，其特点都适合求差比较. (1)3233a a M N +-=-223a -= 22133a a N P ++-=-103a -=< ∵a>1，∴2a-2＞0,∴M ＞N, P ＞N.同样得M ＞P , ∴M ＞P>N.选D.(2) M-N=b c a +-a c b+ =1a a --1b b- =11(1)(1)a b--- =11a b -=b a ab-， ∵a>b,∴b-a<0, 又ab<0, ∴M-N>0，∴M>N.同样可得M>P,P>N. ∴M>P>N选D.例4.(1)已知P=y x 11-，Q=23x x y -，且3x>y>x>0, 比较P 与Q 的大小.解：(1)分析:若将P 通分,再观察两式特点，用除法可以约去两式中的部分因式.P÷Q=(y x 11-)÷23xx y - =23xx y xy x y -÷- =xy x xy x y -•-23 =yx 3 ， ∵3x>y>x>0，∴y x 3>1， ∴P÷Q =yx 3>1, 又Q>0, ∴P>Q.例5.(1)比较和的大小；(2).的大小.解：分析:对于(1),只要直接两边平方即可进行比较，而(2)，观察易知，平方后的有理部分相等，只要比较无理部分即可.)2=294，)2=252，∵294>252, ∴(2)∵)2)2，∴2)2，点评：通过平方，将比较无理数的大小问题，转化成有理数进行，有利于降低难度.六、倒数法:倒数法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先分别求出a与b的倒数,再根据例6. (1)已知a>1,b>2,比较与的大小；解: (1)设M=21a +,N=32b +, 则12112a M a a+==+， ∵ a>1, ∴123,a +< 即13M<， 13223b N b b+==+ ∵b>2, ∴233,b +> 即13N> ∴1M <1N ， ∴ M>N. 即21a a + >32b b +. (2) a=20222023=112023-, b=20232024=112024-, ∵ 12023 >12024， ∴ a<b. 点评:本例解题过程中运用了倒数法.七、有理化法有理化法分为分子有理化和分母有理化，利用平方差公式将分子或分母中的无理数化为有理数进行比较(同乘共轭因式).解：(1)分母有理化a =b =+a = ==b ===. ∴a<b.点评:当几个式子中的被开方数的差相等且式子间的运算符号相同时，可选用此方法.八、赋值法赋值法,又称特殊值法.在解决含有字母的比较两个实数的大小的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，有时可以快速获解.例8.(1)当0<x<1时，x 2,x,1x的大小顺序是＿＿＿＿； (2)已知x<y<0，设P=|x|,Q=|y|,S=1||2x y +P 、Q 、S 、T 、的大小； (3)（2017希望杯）设2,3a m a +=+1,2a n a +=+,1a p a =+若a<-3,则( ) A.m<n<p, B.n<p<m, C.p<n<m, D.p<m<n.解：(1) 取x=12, 则：x 2= 14，x=12,1x=2， ∵14<12<2，故 x 2< x<1x.(2)令x=-2，y=-1，则P=2, Q=1, S=32所以P ＞S ＞T ＞Q.点评:取特殊值时，所取数值应当符合题目预设条件，同时便于计算.(3)解法一: 23a m a +=+=113a -+， 12a n a +=+=112a -+， 1a p a =+=111a -+ ∵ 无论a 取何值，均有a+3>a+2>a+1, ∴ 13a +<12a +<11a + ,∴ -13a +>-12a +>-11a + , ∴ 1-13a +>1-12a +>1-11a + , ∴ p<n<m, 选C. 解法二: 特殊值法∵ a<-3,取a=-4, 得 m=2, n=32, p=43, ∴ p<n<m. 故选C.九、放缩法(中间值法)运用放缩法比较实数大小的基本思路是：找一个中间值，利用这两数与中间值的大小关系来比较这两数的大小.即把要比较的两数进行适当的放大或缩小.使得两实数中的一个比中间值小，而另一个恰好比中间值大，则可得到这两实数的大小关系.即：如果a<c ，c<b ，那么a<b.例9.(1)22的大小，(2)的大小. 解:分析:要证a>b,可以找中间量c,转证a>c,c>b.(1)∵34<<, ∴2426<+=，∵89<<，∴2826>-=∴22<.(2)∵>1，∴点评:用放缩法比较两个无理数的大小一般是通过估算无理数的范围进行放缩. 总之，两个实数大小的比较，方法多种多样，除上述方法外，还有近似值比较法、估算比较法，被开方数比较法等等.在实际操作时，要根据需比较的两数的特点，灵活选用简便合理的方法才能取得令人满意的结果.附：参考习题1. 已知a 、b 都大于2，比较ab 与a+b 的大小；(提示：用求商法)3.(2010·泰州)已知1,15P m =-215Q m m =- (m 为任意实数)，则P 、Q 的大小关系为( )(A)P>Q, (B) P=Q, (C)P<Q , (D)不能确定.【答案>】A. a>b>c,B. a>c>b,C.a<b <c,D.a<c<b.解:∵1a ===12b ===+12c ===>,所以11c b>,则b>c,又因为2>所以11b a>, 则a>b. 由此可得a>b>c, 故选A.点评:当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法.6.比较a =b =的大小.112b == ∵11a b> ∴a<b.。

比较实数大小的方法和练习题

比较实数大小的常用方法八年级数学第十九章中实数大小比较是较为笼统的带过。

与之相配的练习只有4道小题。

而在之后九年级的数学教材中也不再出现实数的大小比较。

若教学能在这里做较为详尽的展开，能帮助提高学生的思维能力和逻辑能力，同时实数大小比较的教学也能圆满告个段落。

以下就实数大小比较的方法展开讨论。

方法一作差法作差法的基本思路：设a,b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差：当a-b ﹥0时，a ﹥b ；当a-b ﹤0时，a ﹤b ；.当a-b ＝0时，a=b 。

例1（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

方法二作商法作商法的基本思路：设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商：当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b 。

例2 比较513-与51的大小方法三倒数法倒数法的基本思路：设a ,b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b1时a ＜b ，来比较a 与b 的大小。

例 3 比较2004-2003与2005-2004的大小。

（提示：应用平方差公式()()b a b a b a -+=-22）方法四估算法估算法的基本是思路：设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4 比较8313-与81的大小方法五平方法平方法的基本是思路：先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0,b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b,来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5 比较62+与53+的大小方法六移动因式法移动因式法的基本是思路：当a ＞0,b ＞0,若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

（注：被开方数越大，根式的值越大，即)0(≥=x x y 是增函数。

）例6 比较27与33的大小除以上六种方法，还有利用数轴上的点及绝对值的方法比较实数大小的方法。

实数比较大小的方法

∴0.20.3＜0.30.2（本题主要是找到一个中间数 0.20.2）【另解】∵(0.20.3)10＝0.23＝0.008，(0.30.2)10＝0.32＝0.09 ∵0.008＜0.09，即(0.20.3)10＜(0.30.2)10 ∴0.20.3＜0.30.2 【例17】（2006 天津文 4）设 P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A. R＜Q＜P B. P＜R＜Q C. Q＜P＜R D. R＜P＜Q ）
3
a a
【例15】比较 sin 4 与 cos 4 的大小 5 【解】∵cos 4＝sin( －4)＝sin(2＋－4)＝sin( －4)， 2 2 2 5 3 5 ∵ －4≈3.85，且＜－4＜4＜， 2 2 2 2 3 而函数 y＝sin x 在[ ， ]上是减函数 2 2 5 ∴sin( －4)＞sin 4，即 sin 4＜cos 4 2
五、利用函数的单调性：
【例13】比较 0.75
－0.33
与 0.750.32 的大小.
【解】∵0＜0.75＜1，所以函数 y＝0.75x 在 R 上为减函数 ∴由－0.33＜0.32 得，0.75
－0.33
＞0.750.32
a
【例14】已知 0＜a＜1，试比较 a，aa 与 aa 的大小. 【解】∵0＜a＜1，所以函数 y＝ax 在 R 上为减函数 ∵0＜a＜1， ∴a0＞aa＞a1，即 1＞aa＞a 由此得 a1＜aa ＜aa，即 a＜aa ＜aa
5π 4
y
8
π 4
8
O
x
由单位圆及三角函数线知 tan 4＞1，又 cos 4＜0， ∴sin 4＜cos 4 【例9】若 a、b∈(0，＋∞)，试比较 aabb 和 abba 的大小；

实数大小比较的常用方法

实数得大小比较得常用方法一、法则法比较实数大小得法则就就是:正数都大于零,零大于一切负数，两个负数相比较,绝对值大得反而小。

例1 比较与得大小。

析解:由于,且,所以。

说明：利用法则比较实数得大小就就是最基本得方法,对于两个负数得大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小得依据就就是:对任意正实数a、ｂ有：。

例2 比较与得大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面得因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数得大小,目得就就是把含有根号得无理数得大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小得理论依据就就是:在同一数轴上,右边得点表示得数总比左边得点表示得数大。

例3 若有理数a、b、ｃ对应得点在数轴上得位置如图1所示,试比较ａ、-a、b、－b、c、－ｃ得大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－ａ、b、－b、c、－c表示得点画出来,容易得到结论:四、作差法:差值比较法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个实数,先求出a与b得差,再根据当a－b﹥0时,得到a﹥b。

当ａ－b﹤0时，得到ａ﹤b。

当ａ-b=0,得到a=ｂ。

例1:(１）比较与得大小。

（2)比较1－与1－得大小。

解 ∵－＝＜0 , ∴<。

解 ∵(1－）-(１-)=＞0 , ∴1－>1-。

例2、比较得大小。

解析:因为,所以。

五、作商法比较实数得大小得依据就就是:对任意正数a 、b 有:来比较ａ与b 得大小。

例1：比较与得大小。

解:∵÷=<1 ∴<例2 比较与得大小。

析解:设,,则即例3：比较与得大小解:÷＝×=﹤1所以﹤六、倒数法倒数法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个正实数,先分别求出ａ与b 得倒数，再根据当>时,a ＜ｂ。

来比较a 与b 得大小。

例１：比较-与－得大小。

解∵=+ , =+又∵+<+∴-＞－,n m ,11a 2a 1a a a n m ,1a 2a 1a a a ,a 2a a ,0)1a (a a 2a a ,1a 2a 1a a a 1a 1a 1a 1a n m ,1a 1a n ,1a 1a m 2434434232232434232322>∴>+++++=∴++>+++∴>+∴>-=-++++++=++⋅++=∴++=++=∴2例2、已知a﹥1，b﹥２，试比较与得大小解：=＋=2＋因为a﹥1,所以２+﹤3=+=3＋因为b﹥２,所以3+﹥3因为﹤所以﹥例3、设，则ａ、b、ｃ得大小关系就就是( )。

怎样比较实数的大小

数学篇解题指南任意两个实数之间都存在着空间大小关系.实数分为有理数和无理数.比较有理数的大小比较简单，但是比较两个无理数或者一个有理数和一个无理数的大小就比较难.为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法.一、运用作商法比较作商法是指若m ，n 为任意两个正实数，在比较m 与n 的大小时，可以先求出m 与n的商，然后将商与1进行比较.若mn＞1，则有m ＞n ；若m n ＜1，则有m ＜n ；若mn =1，则有m =n .例1比较下列各组实数的大小：①与17；②与.分析：上面两组实数均为分式，可以利用作商法比较其大小.解：①因为÷17=×7=6-1＞1，所以＞17.②因为÷=×655==＜1，所以＜.评注：作商法就是求出两个数的商，然后将商与1进行比较.当两个数都是正数，商大于1时，分子较大，当商小于1时，分母较大；当两个数都是负数时，则结果相反.二、巧用估算法比较估算法又可以称为取近似值法.它是指在比较两个实数的大小时，先估算出这两个实数的取值范围，或者取它们的近似值，然后由此进行比较，进而确定这两个实数的大小.例2比较下列各组中两个实数的大小：①与②与113.分析：这两组含根号的实数较为简单，可以借助估算法进行比较.解：①因为5≈2.236，6≈2.249，所以＜0.373＞0.449，而0.373＜0.449，所以6＜.②＜7<3，所以7-2＜1，所以＜113.19数学篇解题指南评注：对于一些简单的含根号的实数，在比较大小时，可以考虑运用估算法.不过在运用估算法时，还需要牢记一些常用的无理数的近似值，如2≈1.414、3≈1.732、5≈2.236、6≈2.449、7≈2.646.在取近似值时，还需要注意使各个数的精确度相同.三、利用中介值法比较中介值法是指先找出一个适当的中介值作为桥梁，让需要比较的实数分别与这个中介值进行比较，进而由此比较出两个实数的大小.一般地，若m ＞n ，n ＞p ，则m ＞p ；若m ＜n ，n ＜p ，则m ＜p ；若m =n ，n =p ，则m =p .例3比较下列实数的大小：①2399+1与2699-1；②102+5与398-5.解：①因为2399+1＜2401+1=49+1=50，2699-1＞2601-1=51-1=50.所以2399+1＜2699-1.②因为102＞100=10，398＜400=20，所以102+5＞15，398-5＜15，所以398-5＜15＜102+5，即102+5>398-5.评注：中介值比较法实际上利用了不等式的传递性.若无法直接比较两个实数的大小，不妨考虑借助某个中间值进行过渡.四、借助移动因式法比较移动因式法主要是指当a ＞0，b ＞0时，要比较形如ac 和bd 的大小，可以先把根号外面的因数平方后，再移入到根号内部，接着比较被开方数的大小，最后得出结论.例4①比较37与73的大小；②若圆和正方形的面积均为S ，则哪一个图形的周分析：①对于a c 和b d 形式的大小比较，直接采用移动因式法比较即可.②本题涉及圆、正方形的面积和周长，看似是进行周长的比较，实际上则是实数大小的比较.在比较时，需要先借助圆和正方形的面积公式，得出圆的半径和正方形的边长，再分别求出其周长，最后借助移动因式法比较实数大小，得出结论.解：①因为37=63，73=147.又因为63＜147，所以63＜147，即37＜73.②设面积为S 的圆的半径为a ，面积为S 的正方形的边长为b .由S =πa 2,可得a =.由S =b 2可得b =S .所以半径为a 的圆的周长：C 1=2πa ==(2π)2⋅=4πS .边长为b 的正方形的周长C 2=4b =4S =16·S =16S .因为4π＜16，所以C 1＜C 2，故面积均为S 的圆和正方形，正方形的周长较长.评注：移动因式法主要利用公式k =k 2(k ＞0)进行比较.对于形如a c 和b d 的简单实数，在比较时巧用移动因式法可以使解题更简捷.总之，比较实数大小的方法多种多样，同学们在实际解题过程中，要结合实数的特点，灵活选用恰当的比较方法，从而快速判断出。

华师大版-数学-八年级上册-多方法比较两个实数的大小

多方法比较两个实数的大小
比较两个实数的大小和比较两个有理数的大小一样，方法较多，对于不同形式表示的实数，要灵活选用比较大小的方法．
一、绝对值法
例1比较1与1的大小．
解：因为11=；11=，
11，根据两个负数，绝对值大的反而小，可知11>．
二、添加根号法
例2 比较133
解：110333===
因为111119
>>
即133
> 三、取近似值法
例3 比较2.71的大小．
1.7321
2.732，
又因为2. 732 2. 7>，
1 2.7>．
四、平方法
例4 比较π-的大小．
解：因为22210π(3.1415)==，，
而22210 3.15π>>，
π>，所以π-．
五、放缩法
例5 22的大小。

解：因为2378<<，
，
23252<+=<，
22<．
六、运用方根定义法
例6 解：由根式的定义知20a -≥，所以2a ≤，所以30a -<．
0<．
0，
七、作差法
例7 0.5的大小．
0.5-，
20>．
0>．
0.50->，
0.5>．。