离散数学谓词逻辑课后总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
离散数学总结
总结下就是任意可以改成存在，存在不能变成 任意所以先做存在。 任意（推出ห้องสมุดไป่ตู้则先用德摩根律把推出给换了， 在把量词放进去！ 有限集合中元素的个数称为集合的基数 (cardinality). 集合A的基数表示为|A|(或card(A)=n). n card(P(A)=2 )幂集 设A, B为两个集合，A=B当且仅当AB且B A. 即A=B(AB) (B A)
个人. 则命题符号化为：
(x)(y)(F(x) F(y) H(x, y) L(x, y))
(8) 每个自然数都有后继数.
解： 引入特性谓词 F(x) ： x是自然数.并设 H(x, y)：y是x的后继数. 则命题符号化为： (x)(F(x) (y) (F(y) H(x, y))
证： 任取x，则
xA∩ (B∪C) xA xB∪C xA (xB x C) (xA xB) (xA xC) x A∩B x A∩C
x (A∩B)∪(A∩C)
推广
三、集合中元素的计数
|A∪B∪C |A||B|| |A∩B ||A∩C||B∩C| |A∩B∩C | C| |
(x)A(x) (x)B(x)
量词转化律
E20
三、谓词演算的等价式与蕴含式
(三) 谓词演算中常见的蕴含式： (1)(x)A(x)(x)B(x) (x)(A(x)B(x)) (2)(x)(A(x)B(x)) (x)A(x)(x)B(x) (1), (2)两式反过来均不成立. 反例 设个体域为自然数集合， A(x): x为奇数. B(x): x为偶数.则 (1)(x)(A(x)B(x))为真， 而(x)A(x)为假， (x)B(x)为假， 故(x)A(x)(x)B(x)为假， 所以(1)式反过来不成立； (2)(x)A(x)为真，(x)B(x)为真， 故(x)A(x)(x)B(x)为真, 但(x)(A(x)B(x))为假， 所以(2)式反过来也不成立.
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
2024年学习《离散数学》心得体会模板(二篇)
2024年学习《离散数学》心得体会模板《离散数学》学习心得体会随着信息科学技术的不断发展，离散数学作为计算机科学与技术中的重要学科，越来越受到学生们的关注与重视。
作为一门理论性较强的课程，《离散数学》涉及到一系列的离散结构、数学推理和证明方法等内容，对于学生来说具有一定的挑战性。
在2024年的学习过程中，我对《离散数学》有着一些新的体会和收获。
首先，通过学习《离散数学》，我对离散结构有了更深入的了解。
离散结构是计算机科学与技术的基础，也是离散数学的重要内容。
在这门课程中，我学习了集合论、关系、函数、图论等各种离散结构的概念和性质。
通过对离散结构的学习，我逐渐认识到离散数学在计算机科学中的重要性，这为我以后的学习和研究奠定了坚实的基础。
其次，学习《离散数学》让我了解到数学推理的重要性。
离散数学是一门很有理论性的学科，需要进行严密的推理和证明。
在学习中，我逐渐熟悉了数学推理的方法和步骤，比如直接证明、归纳法、反证法等。
这些方法不仅在离散数学中有所应用，在其他学科中也有很大的作用。
通过锻炼数学推理的能力，我对问题的思考和解决能力也有了明显的提升。
此外，学习《离散数学》还让我明白了数学的抽象思维的重要性。
离散数学中的很多概念和性质都具有很高的抽象程度，需要我们用抽象的思维方式去理解和运用。
在学习过程中，我逐渐适应了这种抽象思维的方式，并通过解决问题和做题的过程中熟练掌握了抽象思维的技巧。
这对于我以后在计算机科学和其他领域的学习和研究有着重要的借鉴意义。
此外，通过学习《离散数学》，我也提高了自己的问题解决能力。
离散数学中的问题往往需要我们通过分析和推理找到解决的方法，这对于培养我们的问题解决能力非常重要。
通过实践和思考，我逐渐掌握了解决问题的一般步骤和方法，提高了自己的问题解决能力。
这对于我以后在工作和生活中遇到问题时会有极大的帮助。
综上所述，通过学习《离散数学》，我对离散结构有了更深入的了解，对数学推理和抽象思维有了更高的要求，并提高了自己的问题解决能力。
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
《离散数学》课程总结
《离散数学》课程总结第一篇：《离散数学》课程总结《离散数学》学期总结转眼之间，这学期要结束了。
我们的离散数学，这门课程的学习也即将接近尾声。
下面就是我对这门课一些认识及自己的学习心得。
首先我们这门课程离散数学到底包含了哪几大部分？每部分具体又有什么内？这门课程在计算机科学中有什么地位？这门课程在我们以后的学习生活中，以及在将来的工作中有什么帮助？下面我将以上几个方面具体谈一谈并将总结一下自己本人在这门课程学习过程中遇到的一些问题和心得体会。
这门课程有数理逻辑，集合论，代数系统和图论四部分。
这四大部分通常被称为离散数学的四大体系。
其中每一部分都是一个独立的学科，内容丰富。
而我们离散数学中的内容是其中最基本，最重要且和计算机科学最密切相关的内容吸收到离散数学中来，并使它们前后贯通，形成一个有机整体。
这门课的主要内容有命题逻辑、谓词逻辑，属于数理逻辑部分，集合论中有集合、二元关系、函数，代数系统包含代数系统基础、群、环、域以及格和布尔代数的知识（这部分我们没有涉及）。
那么这门课程在计算机科学中有着什么样的地位呢，这门课程是计算机科学专业中重要的专业基础课程，核心课程，可以这么说，离散数学，既是一门专业基础课，是一门工具性学科。
这门课讲授的内容，与后续专学习业密切相关。
在这门课里我们讲授了大量的计算机学科专业必要的基本概念，基本理论和基本方法。
为我们以后的学习，工作打下良好基础。
在算法设计，人工智能，计算机网络，神经网络，智能计算等学科中有着重要的作用。
在计算机科学中有着广泛的应用。
通过这门课可以对我们计算机算法的理解和逻辑思维得到提高。
那么我们具体学了什么内容呢？（一）首先集合论是整个数学的基础，（不管是离散数学还是连续数学）如果没有专门学过，那么出现在离散数学中还是很合适的。
至于由集合论引出的二元关系，函数的内容，也是理所应当的。
数理逻辑是一个让人眼前一亮的东西。
我第一次发现，原来有些复杂的推理问题是可以通过“计算”的方法解决的。
离散数学章节总结
离散数学章节总结离散数学章节总结第⼀章[命题逻辑]1.逻辑运算1.否定:Negation? NOT2.交:Conjunction AND3.并:Disjunction OR4.蕴含:Implication IMPLIES5. Biconditional ? IFFXOR2.逆/否/逆否1.逆:converse2.否:inverse3.逆否:conytrapositive3.问题的⼀致性[逻辑等价]→q 等价于?p q 等价于? q→?p2. p q 等价于?p→qp q 等价于?( p→?q)3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r)(p→r)(q→r) 等价于(p q)→r(p→r)(q→r)等价于(p q) →r4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例(假设左为假右必为假假设右为假左必为假)[ 谓词逻辑]1.量词存在任意量词顺序不能随机改变不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x )没有⼀个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理][ 证明]1.证明⽅法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满⾜结论的元素)2.证明步骤:正向证明反向证明第⼆章[ 集合及运算]1.特殊集合: R Q Z ⽆穷/有限集2.集合表述⽅法: 列举法描述法图表法3.集合运算: 交/并/补/差/取⼦集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q /BA B A B A B A ?=??=? n i iA 1= X A A ∈ ni iA 1= XA A∈容斥原理A i i =1n=Ai1≤i ≤n ∑-A iAj1≤inA ii =1n4.证明集合相等:1.证明互为⼦集 2.从属表 3.逻辑证明[ 函数]1.函数的定义2.术语：定义域，值域，象，原象，范围， (a)/f(A)第五章[序、归纳]1.序：在某种关系下存在最⼩元素则为well-ordered2.第⼀数学归纳法：basic step P(C)成⽴and inductive step P(k)→P(k+1)3.第⼆数学归纳法:basic step:P(c)成⽴ and inductive step: 任意k⼩于等于nP(k) 成⽴→P(n+1) [递归]1.递归：以相同形式⽤⼩的项来定义的⼤的项不能⼀直递归下去（存在初始项）必须存在可以直接解决问题的⼀项①basic step:原有元素② recursive step:原有元素如何产⽣新元素2.字符串的定义：空字符，回⽂3.结构归纳：⽤于证明递归结构对所有元素都成⽴：①basic step:原有元素成⽴②recursive step:⽤递归式导出的新元素成⽴[递归算法]1.定义：把问题转化为相同形式但值更⼩的算法2.递归算法有初始步骤（是可终⽌的）并且递归时⾄少改变⼀个参数值使之向初始步骤靠拢3.递归时间复杂度⾼，可以⽤⾮递归（loop或 stack）来代替[程序的正确性]1.测试与证明：证明更有说服⼒2.证明：①程序会终⽌②（部分正确）程序只要可以终⽌得出的结论都是正确的正确的程序：对任意可能的输⼊都有正确的输出部分正确，完全正确triple：P{S}QP: precondition S: assertion Q:postconditionP{S}Q:当PQ正确时为部分正确当证明了S的可终⽌性为完全正确4.程序的基本语句：赋值，命题，条件，循环5.弱化结论：P{S}R R→Q：P{S}Q强化条件Q→R R{S}P：Q{S}P复合：P{S1}R R{S2}Q: P{S1;S2}Q第六章[加法乘法原理]1.加法乘法原理：⽅法不重复，互不影响，做1or2 m+n 做1and2 mn2.容斥原理：⽅法有重叠：|A B |=|A ||B ||A B |3.包含条件的问题。
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
计算机科学与技术 离散数学 第3章 谓词逻辑
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合，(b) D为全总个体域。
解：(a) (1) 设G(x): x爱美，符号化为 x G(x) (2) 设G(x): x用左手写字，符号化为 x G(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): 同(a)中
如 F(x,y)：x与y有关系F P(x,y,z)：xy<z；…
0元谓词：不含个体变项的谓词 如 L(a,b)，0元谓词常项都是命题
注：单独的个体或谓词不能构成命题。
5
例 ①“苏格拉底是人”
个体a“苏格拉底”，谓词F“是人” F(x)，x=a
②“北京是中国的首都”
个体a“北京”、b“中国” 谓词F“…是…的首都”
及相应的指导变项，替换成公式中没有出现过的个体 变项符号，其余部分不变，所得公式与原来的公式等值。 3.代替规则：
将公式中某个自由出现的个体变项的所有出现用 公式中未出现过的个体变项符号代替，其余部分不变， 所得公式与原来的公式等值。
18
例 将xF ( x, y, z) yG( x, y, z) 化成与之等值的公式， 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
解：个体变项x,y,z中，x,y都是既约束出现又自由出现 的个体变项，只有z仅自由出现。 原式 tF (t, y, z) yG( x, y, z) (换名规则) tF (t, y, z) wG( x, w, z) (换名规则)
还可以如下演算，也可以达到要求。 原式 xF ( x,t, z) yG( x, y, z) (代替规则)
(3) x F(f (x,y),g(x,z)) x(x+1=2x) (真命题)
22
离散数学第10章 谓词逻辑
18
练习题: 在谓词逻辑中将下列命题符号化 。
（1）乌鸦都是黑色的。 令H(x): x是乌鸦。W(x): x是黑色的。 则符号化为： x (H(x) W(x)) （2）有的人天天锻炼身体。 令H(x): x是人。W(x): x天天锻炼身体。 则符号化为： x(H(x)∧ W(x))
19
10.2 谓词公式
存在唯一量词：“存在唯一的”、“恰有一个”等，符
10
4、基于谓词逻辑的命题符号化 例：在谓词逻辑中将下列命题符号化。
（1）凡是人都呼吸。 （2）有的人是左撇子。 ① 当个体域为人类集合时： 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。则 （1）xF(x) (2) xG(x) ② 当个体域为全总个体域时： 令F(x): x呼吸。G(x): x是左撇子。M(x): x是 人。则 （1）x(M(x) F(x)) (2) x(M(x)∧ G(x))
11
例：在谓词逻辑中将下列命题符号化。
（1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 解：令 M(x): x是人。 （1） 令F(x): x长头发。则符号化为： x(M(x) F(x)) （2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： x(M(x)∧S(x))
12
例：在谓词逻辑中将下列命题符号化。
一、谓词公式 定义
（谓词公式的递归定义）
( 1）命题常元、命题变元和简单命题函数都是谓词公式。
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
离散数学(谓词逻辑)课后总结
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
《离散数学》 第二章 谓词逻辑
2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化
例2.1.3 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下面的命题
符号化： （1）对任意的x，都有x2-5x+6 =（x-2）（x-3）
（2）存在x，使得x+1=0。
其中：（a）个体域D1为自然数集合。 （b）个体域D2为实数集合。
10
2.1
命题公式的推广在命题逻辑中任意一个永真式其中同一命题变元用同一命题公式代换所得到的公式仍为永真式把这个情况推广到谓词逻辑之中命题逻辑中的永真公式所有相同的变元用谓词逻辑中的同一公式代替所得到的谓词公式为永真式所以命题演算中的等价公式都可以推广到谓词逻辑中使用
第二章 谓词逻辑
1
本章学习目标
命题逻辑中原子命题是最小的单位， 不能够再进行分解，这给推理带来了很 大局限性，本章引入谓词逻辑。学习关 于谓词逻辑的相关概念和定理，解决实 际问题。
22
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
例2.2.4 对公式x（P（x）→ R（x，y））∧Q（x，y）进行换名。 解 对约束变元x换名为t后为 t（P（t）→ R（t，y））∧Q（x，y） 同理，对公式中的自由变元也可以更改，这种更改称作代入。自 由变元的代入规则是：
（1）对于谓词公式中的自由变元，可以代入，此时需要对公式
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 解 （a）令F（x）：x2-5x+6 =（x-2）（x-3）；G（x）：x+1=0。 （1）可符号化为：
x F(x)
（2）可符号化为： x G（x） 在个体域D1中命题（1）为真命题，命题（2）为假命题。 （b）在个体域D2中（1）、（2）符号化分别为 （1） （2） x F（x） x G（x）
离散数学(命题逻辑)课后总结
离散数学（课件上习题）第一章例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。
⑴2是个素数。
⑵雪是黑色的。
⑶2013年人类将到达火星。
⑷如果a>b且b>c，则a>c 。
（其中a,b,c都是确定的实数）⑸x+y<5⑹请打开书！⑺您去吗？⑴⑵⑶⑷是命题例1-2.1 P：2是素数。
⌝P：2不是素数。
例1-2.2 P：小王能唱歌。
Q：小王能跳舞。
P∧Q：小王能歌善舞。
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。
（析取“∨”）例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。
（异或、排斥或。
即“⊽”）注意：P ⊽Q 与(P∧⌝Q)∨(Q∧⌝P ) 是一样的。
归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“⌝”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“⊽”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“↔”例1-2.5：P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。
P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。
也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。
还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
以下是关于蕴含式的一个例子P：天气好。
Q：我去公园。
1.如果天气好，我就去公园。
2.只要天气好，我就去公园。
3.天气好，我就去公园。
4.仅当天气好，我才去公园。
5.只有天气好，我才去公园。
6.我去公园，仅当天气好。
命题1.、2.、3.写成：P→Q命题4.、5.、6.写成：Q→P例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。
Q ：△ABC是等角三角形。
P↔Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。
课后练习：填空已知P∧Q为T，则P为( )，Q为( )。
已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。
已知P为F，则P∧Q为( )。
已知P为T，则P∨Q为( )。
已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。
已知P→Q为F，则P为( )，Q为( )。
已知P为F，则P→Q为( )。
离散数学第二章谓词逻辑
例如：设谓词H表示“…是劳动模范”， a表示个 体
张明，b表示个体李华，c表示个体这只老虎，那么 H(a) 、 H(b)、H(c)表示三个不同的命题，但它们 有一个共同的形式，即H(x)。
12
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
一般地， H(x)表示个体x具有性质H。这里x表示抽 象的或泛指的个体，称为个体变元，常用小写英文字母 x,y,z, …表示。相应地，表示具体或特定的个体的词称 为个体常元，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
2.1 谓词的概念与表示
注意: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填
上个体所得到的式子称之为谓词形式。 (2)在谓词形式中，若个体确定，则A(a1，a2，...，
an)就变成了命题。 (3)在多元谓词表达式中，个体字母出现的先后
次序与事先约定有关，一般不可以随意交换 位置。
9
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
定义:由一个谓词H和n个个体变元组成的表达式 H(x1,x2 , …, xn)称为n元简单命题函数。
由定义可知，n元谓词就是有n个个体变元 的命题函数。当n=0时，称为0元谓词。因此， 一般情况下，命题函数不是命题；特殊情况0元 谓词就变成一个命题。
14
第二章 谓 词 逻 辑
（x）(M(x) F(x))
34
第二章 谓 词 逻 辑
2.2 命题函数与量词
（2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x))
（3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： （x）(M(x)∧D(x))
（4）令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高 素质的。则符号化为： （x）(Q(x) H(x))
离散数学第五章__谓词逻辑详述
(3) (x) (y) (P(x,y)∨Q(y,z))∧(x)R(x,y),在公 式(x) (y) (P(x,y)∨Q(y,z))中，量词(x)的辖 域是(y) (P(x,y)∨Q(y,z))，量词(y)的辖域是 (P(x,y)∨Q(y,z))，x和y为约束出现，z为自由 出现；在公式(x)R(x,y)中,量词(x)的辖域是 R(x,y)，x为约束出现，y为自由出现。在整个 公式中，x为约束出现，y为约束出现又为自由 出现，z为自由出现。
自由变元，关键是要看它在A中是约束出现，还 是自由出现。
例 指出下列各合式公式中的量词辖域、个体变元 的约束出现和自由出现。
(1) (x) (P(x)→(y) Q(x,y)),量词(x)的辖域是 P(x) → (y) Q(x,y),量词(y)的辖域是Q(x,y),对 于(y)的辖域而言，y为约束出现，x为自由出 现。对于(x)的辖域而言，x和y均为约束出现， x约束出现2次，y约束出现1次。
对一元谓词P(x)前面加上x或者x叫做对
个体变元x进行量化。
如果在解答时，指明了个体域，便不用特性谓词， 例如在①、③中令个体域为全体大学生，②和④中的个 体域为全部自然数，则可符号化为：
①(x)L(x)
②(x)R(x)
③(x)I(x)
④(x)P(x)
谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若 一个谓词中所有个体变元都量化了，则该谓词 就变成了命题。这是因为在谓词被量化后，可 以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同
例如，在全总论域中，用M(x)表示x是人；用R(x)表 示பைடு நூலகம்是实数等。
离散数学谓词逻辑复习
第2章 谓词逻辑一、重点内容1．谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念．谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a , b , c ,…表示)和个体变项(用x , y , z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F , G , P ,…表示. 注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义. 谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应. 在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域．一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2．公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则(1) 每一个常项指定D 中一个元素；(2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀ 谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3．前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成 B x Q x Q x Q k k (2211)那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.二、实例 例1 将下列命题符号化：(1) 每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数．(2) 不是所有的素数都不是偶数(3) 鸟会飞．注意：一般地，全称量词“∀”后，跟条件联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题符号化为：))()(())()((x N x Z x x Z x N x ⌝∧∃∧→∀．(2) 设F (x )：x 是素数，E (x )：x 是偶数，命题符号化为：⌝∀x (F (x )→⌝E (x ))或∃x （F （x ）∧E （x ））(3) 设F (x )：x 是鸟，G (x )：x 会飞翔．则命题符号化为：)()((x G x F x →∀) ． 例2 设谓词公式)(),()),,(),((y F z y yR z x y zQ y x P x ↔∀∧∀→∃，试写出量词的辖域，并指出该公式的自由变元和约束变元．解 ∃x 的辖域是：P (x , y )→∀zQ (y , x , z )；∀z 的辖域是：Q (y , x , z )；∀y 的辖域是：R (y , x )公式的自由变元是：y , z ；约束变元是：x , y , z ．例3 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→∀的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．解 ))(())((a f R x Q P x ∧→∀=))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=注：这是给定解释下，求谓词公式的真值，个体域有限，比较好求．只需将量词消去，函数值代入谓词，根据谓词的真值，即可求出谓词公式的真值.要判断一个谓词公式的真、假是较为难的. 在谓词逻辑中，在任何解释下都真的公式，才是永真式；在任何解释下公式A 为假，才是永假式；公式A 不总是假，或者至少有一个解释使得公式A 为真，才是可满足式. 困难之点是在全总个体域中所有的解释如何说清楚. 因此只能要求会作简单问题.例 4 将谓词公式),()()),()()((z x zS x xR z x Q x R x P x ∃→∃∧∨→∀中的约束变元换名．解 ),()()),()()((z x zS x xR z x Q x R x P x ∃→∃∧∨→∀=),()()),()()((w x wS v vR z u Q u R u P u ∃→∃∧∨→∀例5 求谓词公式),,()),,()((z y x zH z y x yG x F x ∃→∀∧∃的前束范式．. 解 ①消去联结词→(若有↔也要消去).),,()),,()((z y x zH z y x yG x F x ∃→∀∧∃),,()),,()((z y x zG z y x yG x F x ∃∨∀∧⌝∃⇔② 将联结词⌝移至原子公式之前.),,()),,()((z y x zH z y x G y x F x ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔③ 换名.),,()),,()((w y x wH z v u G v u F u ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔(自由变元的x , y , z 未改) ④ 把量词提到整个公式的前面.)),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u ∨⌝∨⌝∃∃∀⇔ (前束范式) (或))),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u →∧∃∃∀⇔为所求前束范式.注：变元字母表示不惟一．写在一起，所求前束范式是),,()),,()((z y x zH z y x yG x F x ∃→∀∧∃),,()),,()((z y x zG z y x yG x F x ∃∨∀∧⌝∃⇔),,()),,()((z y x zH z y x G y x F x ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔),,()),,()((w y x wH z v u G v u F u ∃∨⌝∃∨⌝∀⇔)),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u ∨⌝∨⌝∃∃∀⇔ (前束范式) (或))),,(),,()((w y x H z v u G u F w v u →∧∃∃∀⇔为所求前束范式.注：重要的是弄清楚前束范式的定义，求前束范式主要是利用基本等值式、蕴含式和换名规则，把一个谓词公式化为量词在最前面，后面不含量词的公式，即前束范式. 虽然前束范式是谓词公式的一种标准形式，但是一般一个谓词公式的前束范式并不是唯一的.三、练习题 1. 选择填空题：(1) 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( C )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q(2) 谓词公式∃xA (x )∧⌝∃xA (x )的类型是（ B ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A),(B),(C)任何类型(3) 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( A )(A) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x(4) 公式))(),()),()((x S z y zR y x Q x P x →∃∨→∀的自由变元是 , 约束变元是：y ,x ; x ,z(5) 换名规则施于 变元，代入规则施于 变元(6) 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是(A )(A) 永真式 (B) 永假式 (C) 非永真的可满足式 (D) 蕴涵式(7) 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y )<x )，下面4个命题中为真的是( C )(A)P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是谓词公式，但不是命题 (D) P 不是谓词公式(8) 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为7. (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b ))) ．2. 设个体域D ＝{岳飞，文天祥，秦荟}，谓词F (x )：x 是民族英雄．求∀xF (x )的真值．3. 设P 是二元谓词，给定解释I 如下：D ＝{a ,b },P (a ,a )=P (b ,a )=1，P (b ,a )=P (b ,b )=0 求下列公式的真值：(1) ),(x x xP ∀； (2) ),(y x yP x ∃∀; (3) ),(y x yP x ∃∃4. 用归谬法，构造下面的推理证明.)()(x xB x xA ∀→∃⇒))()((x B x A x →∀四、练习题答案1. (1) C (2) B (3) A (4) y ,x ; x , z (5) 约束，自由 (6) A(7) C (8) (G (a )→(H (a , a )∨H (a , b )))∧ (G (b )→(H (b , a )∨H (b , b ))) ．2. 设a , b , c 分别为岳飞，文天祥和秦桧，∀xF (x )⇔F (a )∧F (b )∧F (c )⇔03. (1)0；(2)∀x ∃y (P (y , x )⇔∃yP (y , a )∧∃yP (y , b )⇔(P (a , a )∨P (b , a ))∧(P (a , b )∨ P (b , b ))⇔1∧0⇔0(3) ∃x ∃y (P (x , y )⇔∃yP (a , y )∨∃xP (b , y )=P (a , a )∨P (a , b )∨P (b , a )∨P (b . b )⇔14. 前提：)()(x xB x xA ∀→∃ 结论：))()((x B x A x →∀证明：① )))()(((x B x A x →∀⌝ 附加前提② )))()(((x B x A x →⌝∃ T ①E③ ))()((c B c A →⌝ T ①②ES④ A (c )∧⌝B (c ) T ③ E⑤ A (c ) T ④ I⑥ ⌝B (c )∧A (c ) T ④ .E⑦ ⌝B (c ) T ⑥ I⑧ )()(x xB x xA ∀→∃ P⑨ ∀x (⌝A (x )∨B (x )) T ⑧ E ⑩ ⌝A (c )∨B (c ) T ⑨ US11 ⌝A (c ) T ⑩ ,⑦ I12 )()(c A c A ∧⌝ T 11 , ⑤I可见，推理成立．。
离散数学____第二章_谓词逻辑(很清晰)
3. n元谓词(wèi cí)与命题的区别： 一个n元谓词(wèi cí)不是一个命题，但将n元谓词(wèi
cí)中的客体变元都用具体的客体取代后，就成为一个
命题。而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及 命题的真值有很大的影响。
精品资料
T(x) x∈{自然数}
（5）有(一x)些T自(x)然x∈数{是自素然数数。}。
精品资料
不便(bùbiàn)之处
1. 从书写上十分不便，总要特别注明个体域；
2. 无法清晰表达(biǎodá)不同的个体域：在同一个
比较复杂的句子中，对于不同命题函数中的客体
可能属于不同的个体域，此时无法清晰表达
(biǎodá)；
精品资料
例子(lì zi)
例如.令Ｐ：小张是大学生。 Ｑ：小李是大学生。
命题Ｐ与Ｑ中的谓语是相同的(是大学生)，只是主语不 同。 从符号Ｐ、Ｑ中不能归纳出他们都是大学生的共性 (gòngxìng)。 命题逻辑的局限性之一：无法表达原子命题之间所具有 的共同特点。
精品资料
所有的人都是要死的。P
苏格拉底是人。 Q
精品资料
2-1 谓词(wèi cí)逻辑中的基本概念与 表示
要求(yāoqiú)： 掌握的概念：谓词、谓词填式、n元谓词。
精品资料
一、客体(kètǐ)与谓词
原子(yuánzǐ)命题
客体
谓词
谓 能够独立存在的事物（句子
词 逻 辑
中的主语、宾语等)。它可
以是具体的，也可以是抽 象的事物。客体一般是充当主
小写英文字母。
的谓词形式。
谓词：用带或不带下标的大
写英文字母。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题1. 所有的自然数都是整数。
设N(x):x是自然数。
I(x):x是整数。
此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。
设E(x):x是偶数。
此命题可以写成?x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x,谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数,则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有(1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
?x(N(x)∧I(x))?(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an)) 比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
所以此表达式不能表示这个命题。
2.有些大学生吸烟。
此命题的真值也是真的。
?x(S(x)∧A(x))?(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an)) 且x只有用吸烟的大学生代入才为真,例如a2不是大学生或者不会吸烟的客体,则(S(a2)∧A(a2))为假。
所以用?x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。
而?x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真,例如(S(a2)→A(a2))为真。
所以表达式?x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。
3.所有大学生都喜欢一些歌星。
令S(x):x是大学生,X(x):x是歌星,L(x,y):x喜欢y。
则命题的表达式为: ?x(S(x)→?y(X(y)∧L(x,y)))4.没有不犯错误的人。
此话就是“没有人不犯错误”,“没有”就是“不存在”之意。
令P(x):x是人,F(x): x犯错误,此命题的表达式为:??x(P(x)∧?F(x)) 或者?x(P(x)→F(x))5.不是所有的自然数都是偶数。
令N(x):x是自然数,E(x):x是偶数,命题的表达式为: ??x(N(x)→E(x)) 或者?x(N(x)∧?E(x))16.如果一个人只是说谎话,那么他所说的每句话没有一句是可以相信的。
令A(x):x是人,B(x,y):y是x说的话,C(x):x是谎话,D(x):x是可以相信的命题的表达式为:?x(A(x)→(?y(B(x,y)→C(y))→??z(B(x,z)∧D(z))))7.每个自然数都有唯一的后继数。
令N(x):x是自然数,A(x,y):y是x的后继数,E(x,y):x=y 则命题的表达式为?x(N(x)→?y(N(y)∧A(x,y)∧?z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z))))小结1.命题的符号表达式形式与论域有关系。
论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。
2.如果量词前有否定符号,如“没有...”“不是所有的...”等,可以按照字面直译。
如“??x…”“??x...”3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约束变元,才表示命题。
有时给定命题中有些量词没有明确给出,要仔细分析并写出这隐含的量词。
例如a) 金子闪光,但闪光的不一定都是金子。
G(x),F(x)?x(G(x)→F(x))∧??x(F(x) →G(x))b) 没有大学生不懂外语。
S(x),K(x,y),F(x)??x(S(x)∧?y(F(y)→?K(x,y)))2-3谓词演算的等价式与蕴涵式例1.设论域D={1,2} a=1 b=2f(1)=2 ,f(2)=1P(1,1)=T ,P(1,2)=T ,P(2 ,1)=F P(2,2)=F 求谓词公式?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。
解:?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))??y(P(1,y) →P(f(1),f(y))) ∧?y(P(2,y) →P(f(2),f(y)))?((P(1,1) →P(f(1),f(1)))∨ (P(1,2) →P(f(1),f(2))))∧((P(2,1) →P(f(2),f(1)))∨(P(2,2) →P(f(2),f(2))))?((P(1,1) →P(2,2))∨(P(1,2) →P(2,1)))∧((P(2,1) →P(1,2))∨(P(2,2) →P(1,1)))?((T→F )∨ (T→F))∧((F→T) ∨ (F→T))?(F∨ F)∧(T ∨ T)?F∧T ?F量词辖域的扩充公式1. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)2. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)3. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)4. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)5. B→?xA(x)??x(B→A(x))6. B→?xA(x)??x(B→A(x))7. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)8. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)量词分配公式1. ?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)2. ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)3. ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)4. ?xA(x)∨?xB(x)??x(A(x)∨B(x))其它公式1. ?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x)2. ?x A(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x))两个量词的公式1. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)2. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)3. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)4. ?x?yA(x,y)??x?yA(x,y)5. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)6. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)7. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)8. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)下面证明公式1.。
证明:设论域为{a1,a2,....,an},则?x?yA(x,y)??yA(a1,y)∧?yA(a2,y)∧…∧?yA(an,y) ?(A(a1,a1)∧A(a1,a2)∧…∧A(a1,an))∧(A(a2,a1)∧A(a2,a2)∧…∧A(a2,an))∧…∧(A(an,a1)∧A(an,a2)∧…∧A(an,an))?(A(a1,a1)∧A(a2,a1)∧…∧A(an,a1))∧(A(a1,a2)∧A(a2,a2)∧…∧A(an, a2))∧…∧(A(a1,an)∧(A(a2,an)∧…∧A(an,an))??xA(x,a1)∧?xA(x,a2)∧…∧?xA(x,an)??y?xA(x,y)例2. 令A(x,y)表示x+y=xy, 论域是{1,2,3}, 求谓词公式??x?yA(x,y)的真值。
解:??x?yA(x,y)??x?y?A(x,y)??y?A(1,y)∨?y?A(2,y)∨?y?A(3,y)?(?A(1,1)∧?A(1,2)∧?A(1,3))∨(?A(2,1)∧?A(2,2)∧?A(2,3))∨(?A(3,1)∧?A(3,2)∧?A(3,3))?(T∧T∧T)∨(T∧F∧T)∨(T∧T∧T)?T∨F∨T?T2-4 前束范式例1. ?xA(x)→?xB(x)???xA(x)∨?xB(x) ??x?A(x)∨?xB(x)??x?A(x)∨?yB(y) (换元)??x(?A(x)∨?yB(y)) (量词辖域扩充)??x?y(?A(x)∨B(y))另一个方法:?xA(x)→?xB(x)???xA(x)∨?xB(x) ??x?A(x)∨?xB(x)??x(?A(x)∨B(x)) (量词分配公式)例2.?x(P(x)∧R(x))→(??xP(x)∧Q(x))???x(P(x)∧R(x))∨(??xP(x)∧Q(x)) (去→)??x?(P(x)∧R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (量词转换)??x(?P(x)∨?R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (后移?)??x(?P(x)∨?R(x))∨(?y?P(y)∧Q(z)) (换变元)??x(?P(x)∨?R(x))∨?y(?P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)??x?y((?P(x)∨?R(x))∨(?P(y)∧Q(z)))(扩量词辖域)2-5 谓词演算的推理理论例1. 令A(x)表示x是自然数,B(x)表示x是整数。
⑴?x(A(x)→B(x)) P⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1⑶?xA(x) P⑷A(c) ×ES A(0.1)为F⑴?xB(x) P⑵B(c) ES 如c=-1⑶?xA(x) P⑷A(c) ×ES A(-1)为F正确解法如下:⑴?xA(x) P⑵A(c) ES⑶?x(A(x)→B(x)) P⑷A(c)→B(c) US⑸B(c) T ⑵⑷I11例2 所有金属都导电。
铜是金属。
故铜导电。
令M(x):x是金属。
C(x):x导电。
a:铜。
符号化为:?x(M(x)→C(x)),M(a) ?C(a)⑴?x(M(x)→C(x)) P⑵M(a)→C(a) US ⑴⑶M(a) P⑷C(a) T ⑵⑶I11例3 所有自然数都是整数。
有些数是自然数。
因此有些数是整数。
令A(x)表示x是自然数,B(x)表示x是整数。
?x(A(x)→B(x)),?xA(x) ??xB(x)⑴?xA(x) P⑵A(c) ES ⑴⑶?x(A(x)→B(x)) P⑷A(c)→B(c) US ⑶⑸B(c) T ⑵⑷I11⑹?xB(x) EG ⑸例4不认识错误的人,也不能改正错误。
有些诚实的人改正了错误。