复变函数与积分变换复习题2答案

一．判断题（每题2分，共12分） 1. ∨2. ⨯ 3.⨯ 4∨. 5. ∨ 6.⨯ 二、选择题（每题3分，共21分）

1. B

2.D

3.D

4.B

5.A

6.A

7.A 三、填空题（每题3分，共12分） 1. 2012k i,k ,,,

-π=±± 2. 10i π 3. ()j F ωω

4. 201 2n n

n ()z (|z |).n!

+∞

=-<+∞∑ 四、计算题（共55分）

本题主要考查学生计算能力和对计算方法的掌握程度，以及解决问题的能力。

评分标准：

1.计算过程完整，答案正确，给满分

2.部分正确可根据对错程度，依据答案评分点给分。

试题：1．设2

2

(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=.其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.（10分）

参考答案： 解：

222u x x x y ∂=∂+，22

2u y y x y ∂=∂+………………………………………………(4分) (,)

(0,0)

(,)x y y x v x y u dx u dy c =-++⎰

(,)

2222

(0,0)

22x y y x

dx dy c x y x y

-=++++⎰

220

2y

x dy c x y =++⎰

2arctan y

c x

=+………………………………………………(8分)

(1)(1,1)(1,1)ln 2(2arctan1)ln 2f i u iv i c +=+=++=

故2

c π=-

……………………………………………………( 9分)

(,)2arctan

2

y v x y x π

=- ……………………………………………………(10分) 试题：2. 利用复连通区域柯西定理及高阶导数公式计算积分

322

1z cos z

dz z (z )=π-⎰.（10分）参考答案：因为32

cos ()z (1)z

f z z π=

-在:2C z =所围成的圆域内除去0,1z =两点外解析，作

闭曲线1C 与2C 分别包含0,1z =，而1C 2C 既不相交，又不相含，又都在圆域C 的内部. ………….（3分）

由复连通区域柯西定理得

1

223323

2cos cos cos (1)z z (1)z (1)C C C z z

z

z dz dz dz z z πππ-=+--⎰⎰⎰……………………………（5分）

而

1

2

32

cos 2cos (1)=[]''z 2!(1)z C z

i z z dz z πππ=--⎰

2=(6)i ππ-

2323

1

cos 2cos z =[]'(1)1!z z C z

i z dz z πππ=-⎰

=6i π…………..…………………（9分）

22322

6+6121z cos z

dz ()i i ()i z (z )=π=-πππ=-ππ-⎰ …………（10分） 试题：3. 将函数2

1

()(2)(+1)

f z z z =

-在12z <<展开为洛朗级数.（10分） 参考答案：222112111

()(2)(+1)5+15+152

z f z z z z z z =

=--+--………（4分）

在12z <<时，有

21

1,12z z

<<成立。故可展开为 222

2211121111()11(2)(+1)55101+1+12

z f z z z z z z z z =

=----- …………………（6分）

22

221

00

2111111(1)(1)15551+n

n

n n n n z z z z z z z ∞

∞+===

-=-∑∑ 22

22(1)

02

21121

121(1)(1)15551+n

n

n n n n z z z z z ∞

∞+===

-=-∑∑

01111010212n

n z z ∞=⎛⎫

= ⎪⎝⎭-∑ …………………（8分）

所以

1

2200

111()n(2)n(2)2(3)(2)n n n n f z z z z z z ∞∞

--====-=----∑∑…….(10分)

试题：4. 利用留数定理计算定积分2

1d (a )(a cos )π

θ

>+θ⎰

.（10分）

参考答案：

解：设i e z θ

=，则 …………………（4分）

2220011222122

112111 1222 212 z z z d d I (a cos )(a cos )dz

iz [a (z z )]z dz

i [z az ]z dz

i (z )(z )π

π=-==θθ

==

+θ+θ=++=++=-α-β⎰⎰⎰⎰⎰…………………………………………………（7分）

其中a a α=-β=-为实系数二次方程2

210z az ++=的二相异实根。由根与系数的关系1αβ=，显然β>α，故必11,α<β>.…………………………（8分）

于是被积函数22

z

f (z )(z )(z )=-α-β在1z =上无奇点，在单位圆周内部只有一个二级

极点z =α.故2232

41'

z z z a Re s f (z )[](z )(a )=α

=α==-β- 故由留数定理

2232232

22411d a a I i (a cos )i (a )(a )

π

θπ

==⋅π⋅=+θ--⎰

………………………………（10分）

试题： 5. 利用变换求解下列问题（第（1）题6分，第（2）题9分，共15分） （1）利用傅里叶变换求微分积分方程'()()()()t

ax t bx t c

x d h t ττ-∞

++=⎰

的解，其中

,,,t a b c -∞<<+∞均为常数，()h t 为已知实函数；

（2）利用拉普拉斯变换求方程组''''

()2()()0,

()()0x t y t x t x t y t ⎧--=⎨-=⎩满足初始条件'000

()0,()

1()1t t t x t x t y t ======，的特解.