两角和与差的三角函数教案

两角和与差的三角函数

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12

D ．－12

解析：将已知两式化为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－12

.

答案：D

2．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12

D ．－2

解析：由已知得 5 sin(α＋φ)＝－ 5 ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝1

2，即有 sin(α＋φ)＝－1，所以α＋φ＝2k π－π2，α＝2k π－π2－φ，所以tan α＝tan(－π

2

－φ)＝cot φ＝2.

答案：B 3.

3－ sin70°

2－cos 210°

＝( )

A.12

B.22 C ．2

D.32

解析：3－ sin70°2－cos 2

10°＝3－ sin70°2－

1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20°

＝2. 答案：C

4．(2011·南通)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2

3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值

是( )

A.214

5

B ．－2145

C ．±2145

D ．±51428

解析：∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2

3，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x

＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝π2，∴由cos x －cos y ＝2

3，得sin y －cos y

＝2

3

，∴2sin ⎝⎛⎭⎫y －π4＝23， ∴sin ⎝⎛⎭⎫y －π4＝23

， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2y －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫y －π4＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫y －π4 ＝1－2×29＝59，∴sin2y ＝59

.

又∵sin y －cos y ＝23＞0，且y 为锐角，故π4＜y ＜π

2，

∴π

2

＜2y ＜π， ∴cos2y ＝－1－sin 22y ＝－1－2581＝－569

＝－2149

.

∴tan(x －y )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－2y ＝cot2y ＝cos2y sin2y ＝－2149×95＝－214

5.

答案：B

5．(2011·西城)已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，那么sin2α

cos 2α的值等于( ) A ．－3

4

B ．－3

2

C.34

D.32

解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α.

∵sin α＝3

5

，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45，tan α＝－34，2tan α＝－3

2，选择B.

答案：B

6．(2011·合肥)已知角α在第一象限且cos α＝3

5，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π

4sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π2＝( )

A.25

B.75

C.145

D ．－25

解析：角α是第一象限角且cos α＝35，∴sin α＝4

5，

∴1＋2cos ⎝

⎛⎭⎫2α－π

4sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π2＝1＋cos2α＋sin2αcos α

＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2cos α＋2sin α＝14

5，故正确答案是C.

答案：C

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．cos π5cos 2

5π的值是__________．

解析：原式＝12sin

π5·2sin π5cos π5cos 2π

5

＝

1

4sin π5·2sin 2π5cos 25π＝14sin

π5sin 45π＝14. 答案：14

8．已知sin α2＝5

13，α∈(π，2π)，则tan α＝__________.

解析：解法一：由已知cos α

2

＝－

1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213

， ∴sin α＝2sin α2cos α2＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169， cos α＝1－2sin 2α

2＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169， ∴tan α＝sin αcos α＝－120169×169119＝－120119.

解法二：由已知cos α

2＝－

1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213

， ∴tan α2＝sin

α2cos α2

＝－5

12

，

∴tan α＝2tan

α2

1－tan

2α2＝2×⎝⎛⎭⎫－5121－⎝⎛⎭

⎫－5122＝－120

119.