等差数列求和公式课件
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目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
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• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
等差数列求和 课件
________________
课堂练习
课本P:41页 页 课本 练习:1,2,3,4 练习
-10 32
26
1 已知数列{an }的前n项和为S n = n + n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果
2
是，它的首项和公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 +L+ an−1 + an 与Sn−1 = a1 + a2 +L+ an−1(n −1),
可 知， n >1 ， 当 时 1 1 2 an = Sn − −1) 2 2 1 = 2n − 2
知识回顾 {an}为等差数列 ⇔ an+1- an=d 为等差数列
⇔ an= a1+(n-1) d ⇔ an= kn + b k、b为常数） 为常数） （ 、 为常数
a、b、c成等差数列 、 、 成等差数列 ⇔ b为a、c 的等差中项 为 、
a+c ⇔ b= ⇔ 2
2b= a+c
3.更一般的情形，an= 更一般的情形， 更一般的情形
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 125 由题 a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 = 15
5 a 1 + ( 2 + 4 + 6 + 8 ) d = 125 法一 : 5 a 1 + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) d = 15 a 1 + 4 d = 25 ⇒ a1 + 5d = 3 a 1 = 113 ⇒ d = − 22
等差数列求和公式课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2
等差数列的前n项和
主讲人：
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列叫做等差数
列。这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
= 1 + − 1 , ∈ +
等差数列的前n项和
古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一
则4 =3 + = 5, 首项1 =2 − =-1
4 =4× （4 +1 ）/2=8
总结
等差数列前n项和公式
首尾相加法
(1 + )
=
2
(−1)
=1 +
2
倒序相加法
(1)
= +−1 +−2 +…+3 +2 +1
(2)
2
= 1 + + 2 + −1 + 3 + −2 + ⋯ + −2 + 3 + −1 + 2
+ + 1
2 = (1 + )
(1 + )
=
2
练一练
解：公差=3 − 2 =2,
人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与
几钱？
…
我是第100
个人
× 100
1+2+3+…+100=？
计算1+2+3+…+100
1+2+3+4+…+97+98+99+100
等差数列的前n项和
主讲人：
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，
每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，那么这个数列叫做等差数
列。这个常数叫做等差数列的公差，
公差常用字母d表示。
= 1 + − 1 , ∈ +
等差数列的前n项和
古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一
则4 =3 + = 5, 首项1 =2 − =-1
4 =4× （4 +1 ）/2=8
总结
等差数列前n项和公式
首尾相加法
(1 + )
=
2
(−1)
=1 +
2
倒序相加法
(1)
= +−1 +−2 +…+3 +2 +1
(2)
2
= 1 + + 2 + −1 + 3 + −2 + ⋯ + −2 + 3 + −1 + 2
+ + 1
2 = (1 + )
(1 + )
=
2
练一练
解：公差=3 − 2 =2,
人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与
几钱？
…
我是第100
个人
× 100
1+2+3+…+100=？
计算1+2+3+…+100
1+2+3+4+…+97+98+99+100
1等差数列求和公式课件
求S16
（4）已知 a6=20 ,你能求出S11吗？
课堂小结：
1.会用两公式
2.若d=0,an=a，则Sn=______
n(n 1) Sn na1 d (2) 2 na
n(a1 an ) Sn (1) 2
3.推导公式的方法是用倒序相加法
等差数列求和公式
一、巩固与预习
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an=a1+(n-1)d
a = an+b n
a、b为常数
， ，d=
an am nm
a = a + ( n m ) d m n 更一般的，
.
2. a、b、c成等差数列b为a、c 的 等差中项
ac b 2
例1 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形 架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个v形架上共 放120层铅笔，且自上而下各层的 铅笔数组成等差数列，记为{an}， 其中 a1=1， d=1,a120=120.已知n=120， 根据等差数列前n项和公式， 得s120=120×（120+12÷=7260， 即v形架上共放7260支铅笔。2b= a+c .
3.
下一页
若m n p q则a m +a n =a p +a q
在等差数列{an}中a1+an a3+ an-2 = …
=
a2+ an-1
=
数列{an }的前n项和为 : sn
sn a1 a2 a3 ... an
sn1 a1 a2 a3 ... an1
等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67， 求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和旳极值:
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
等差数列公式ppt课件
下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。
3.3.2等差数列求和名师课件
Sn 3n2 n. 对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有些题而 言选择适当的公式可以简化求解的计算量.
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n,
即Sn
an2
bn
1.当公差d <0即a<0时,Sn 有最大值
y
(至于是否在顶点处取得,要看顶点
处所对应的横坐标距离它最近的正
整数处取得,一般情况下或一,或两个
d
nan
（n n 1) 2
d
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
解：方法二 S39 0 d 0
S38 0, S40 0
s38
38(a1 2
a38 )
0
a19 a20 0
s39 s40
39(a1 2
40(a1 2
a39 ) a40 )
0 0
a20 a20
0 a21
Sn
n(a1 2
an )
n(15 17 2n) 2
(n 8)2 64
n 8时，Sn最大。
已知等差数列an的前n项和为sn，
其中a3 =12，s12>0，s13<0. （1）求公差d的取值范围 （2）指出s1,s2 L s12中哪个值最大， 并说明理由。
(1)解法一: Q a3 12, S12 0, S13 0
（a, b为常数）那它是不是等差数列呢？
(2)如果一个数列{an}的前n项和公式为 Sn an2 bn c
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n,
即Sn
an2
bn
1.当公差d <0即a<0时,Sn 有最大值
y
(至于是否在顶点处取得,要看顶点
处所对应的横坐标距离它最近的正
整数处取得,一般情况下或一,或两个
d
nan
（n n 1) 2
d
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
解：方法二 S39 0 d 0
S38 0, S40 0
s38
38(a1 2
a38 )
0
a19 a20 0
s39 s40
39(a1 2
40(a1 2
a39 ) a40 )
0 0
a20 a20
0 a21
Sn
n(a1 2
an )
n(15 17 2n) 2
(n 8)2 64
n 8时，Sn最大。
已知等差数列an的前n项和为sn，
其中a3 =12，s12>0，s13<0. （1）求公差d的取值范围 （2）指出s1,s2 L s12中哪个值最大， 并说明理由。
(1)解法一: Q a3 12, S12 0, S13 0
（a, b为常数）那它是不是等差数列呢？
(2)如果一个数列{an}的前n项和公式为 Sn an2 bn c
等差数列求和公式PPT教学课件(1)
直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0
为5。求直线l的方程。
l2
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2），则
截得的线段之长
l1 A
B
y P(3,1)
Ox
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。
θ
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
A1
又 (x1-x2)2+(y1-y2)2=25 ②
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，夹
角公式是tanθ k2 - k1
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率都
1 k1k2
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0 （3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 的距离为：
类型之二 两条直线所成的
数列求和的几种方法的课件
预习作业：
（1）完善本学案。
（2）预习：条件结构（见学案）
2 3 4
n
1）解： =(2+4+·+2n) · · · · ·
· · ·
1 1 1 1 S （2） n=2×5 +5×8 +8×11 + …+(3n-1) (3n+2)
解：∵数列的通项公式为
1 1 1 1 an= = ( ) (3n-1) (3n+2) 3 3n-1 3n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ( - + - + +…+ 3 2 5 5 8 8 11 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2
数列求和
高一数学备课组
1 等差数列求和公式：
（1）Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/2
2 等比数列求和公式：
(1) Sn= a1(1-qn)
1-q a1-anq = 1-q Sn=na1，q=1
q≠1
（3）这两个公式是用何种方法推导 出来的？
倒序相加法
错位相减法
学习目标：
n 1 1 1 = ( )= 6n4 3 2 3n+2
解： ⑴当x=0时 S =0 n
（3） s
n
x 2 x 3x 4 x nx
2 3 4
n
⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x≠1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1
等差数列的求和PPT优秀课件
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
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二、学习新课
n(a1 an ) n( n 1) na1 d 2 2 ㈠等差数列前n 项和Sn = = .
=an2+bn a、b 为常数
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Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
(1)
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
(2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
例2.在小于100的正整数中共有多少个被 3 除余2，这些数的和是多少？
2 解 : 由3n 2 100, 得n 32 , 3
n 0,1,2, 31,32
即有33个被3整除余2的数，这些数为: 2，5，8，…98
Sn
( 2 98 ) 33 1650 2
n( n 1) S n na 1 d ( 2) 2
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10 （2）a1=100,d=－2,n=50
S10=500
S50=2550 S26=604.5
（3）a1=14.5,d=0.7,an=32
例1. 等差数列－10，－6， －2，2，…前 多少项和是54?
解：∵a1=-10, d=-6－(-10)=4
n(a1 a n ) Sn (1) 2
练习： 求集合M=｛m|m=7n, n∈N+,且 m﹤100｝的 元素个数，并求这些数的和
答：s14 735
课堂小结：
1.会用两公式
na 2.若d=0,an=a，则Sn=______
n(a1 a n ) Sn (1) 2 n( n 1) S n na 1 d ( 2) 2
a = an+b n
a、b为常数
， ，d=
an am nm
a = a + ( n m ) d m n 更一般的，
.
2. a、b、c成等差数列b为2b= a+c .
等差数列求和公式
数列{an }的前n项和为 :
sn a1 a2 a3 ... an sn1 a1 a2 a3 ... an1 sn sn1 an
sn
一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： 首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……………………………………… 第50项与倒数第50项的和： 50+51=101 ∴101×（100／2）=5050
3.推导公式（1）的方法是用倒序相加法
例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下 面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面 一层多放一支，最上面一层放120支.这个V 形架上共放着多少支铅笔？
一、巩固与预习 (P43-44) a
1. {an}为等差数列 n+1- an=d 2an+1=an+2+an . an=a1+(n-1)d
n(a1 a n ) Sn (1) 2
思考：由上面的推导过程中，你能判定下式 的关系： = 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1—— a3+ an-2 = …am+an-m
三、公式的应用： n( n 1) n(a1 an ) d ...(2) Sn ....(1) S n na1 2 2
∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得: n=9，n=-3(舍)
∴前9项的和是54
n(a1 a n ) Sn (1) 2
n( n 1) S n na 1 d ( 2) 2
练习： （1）等差数列5，4，3，2，…前多少 项的和 是－30? 15项 （2）求等差数列13，15，17，…81的各 项和 1645
二、公式的推导：
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]此种求 和法称 又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] 为倒序
相加法
n个
∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
=n(a1+an)