函数周期性公式大总结
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
函数周期性结论总结
函数周期性结论总结函数周期性是数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题中起到了重要的作用。
在本文中，我将对函数周期性的结论做一个总结，以便对读者有更清晰的认识。
以下是我对函数周期性的总结：1. 周期性定义在数学中，一个函数被称为具有周期性，当且仅当存在一个正数T，使得对于每一个x值都有f(x+T) = f(x)成立。
其中，T被称为函数的周期。
2. 常见函数的周期性2.1 三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数。
常见的三角函数有正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；余弦函数的周期也为2π，即cos(x+2π) = cos(x)。
这意味着在一个周期内，正弦函数和余弦函数的值会周期性地重复。
2.2 指数函数的周期性指数函数也具有周期性。
以自然对数为底的指数函数具有周期为2πi的形式，即e^(x+2πi) = e^x。
其中，i是虚数单位。
这意味着在一个周期内，指数函数的值也会周期性地重复。
3. 周期性性质3.1 零点的周期性如果一个函数的周期为T，那么对于任意一个零点x0，它的周期性可以表示为x0 + Tn，其中n为任意整数。
这意味着函数的零点也具有周期性，每隔一个周期就会出现一个零点。
3.2 值域的周期性如果一个函数具有周期T，那么对于函数值f(x)来说，它的周期性可以表示为f(x+T) = f(x)。
这意味着函数的值域也具有周期性，每隔一个周期就会重复一次。
4. 应用举例函数周期性在各个领域都有广泛的应用。
举几个例子来说明：4.1 电力系统在电力系统中，交流电的变化是具有周期性的。
电压和电流随着时间呈周期性变化，周期性的特点使得电力系统能够稳定地运行。
4.2 信号处理在信号处理领域，周期性信号的分析和处理是很重要的。
通过对周期信号的分析，可以准确地获取信号的频率和振幅等信息。
4.3 声音与音乐声音和音乐是具有周期性的。
乐器的音调是具有周期性的，音乐也是以一定的节拍和律动来展现周期性。
周期性函数
周期性函数函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。
当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现。
假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。
(1)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b-a|。
(2)若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b-a|。
(3)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为2a。
(4)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a。
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。
函数周期性公式大总结：f（x+a）＝－f（x）。
那么f（x+2a）＝f=-f（x+a）＝－［－f（x）］＝f（x）。
所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）＝1/f（x）。
那么f（x+2a）＝f=1/f（x+a）＝1/[1/f（x）］＝f（x）。
所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）＝－1/f（x）。
那么f（x+2a）＝f=-1/f（x+a）＝1/[-1/f（x）］＝f（x）。
所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。
cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结首先，我们将讨论三角函数的周期性公式。
三角函数是周期函数的重要例子，其中最常见的是正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期为2π，可以表示为sin(x+2πn)，其中n为整数。
同样，余弦函数的周期也为2π，可以表示为cos(x+2πn)。
因此，正弦函数和余弦函数都以2π的周期性在函数图像上循环。
接下来，我们来讨论其他函数的周期性公式。
一些常见的周期函数包括矩形波、方波和三角波函数。
矩形波函数的周期为T，可以表示为rect(x/T)，其中rect为矩形波函数。
方波函数的周期也为T，可以表示为square(x/T)。
而三角波函数的周期为2T，可以表示为sawtooth(x/2T)。
除了这些常见的周期函数外，我们还可以通过对函数进行平移、伸缩和反转等操作来获得不同的周期性函数。
通过平移操作，我们可以将函数沿x轴平移k个单位，从而改变其周期。
例如，对于函数f(x)，如果我们将其平移k个单位，则新的函数可以表示为f(x+k)。
同样地，通过伸缩操作，我们可以改变函数的周期。
对于函数f(x)，如果我们将其沿x轴伸缩比例为a，则新的函数可以表示为f(ax)。
最后，通过反转操作，我们可以改变函数的周期。
对于函数f(x)，如果我们反转它的原点，则新的函数可以表示为f(-x)。
此外，还有一些特殊的周期函数，例如斜坡函数和周期单位脉冲函数。
斜坡函数的周期为T，可以表示为ramp(x/T)。
周期单位脉冲函数是由一系列重复的单位脉冲构成的周期函数，可以表示为p(x/T)，其中p为单位脉冲函数。
最后，我们需要注意的是，在实际应用中，函数的周期性可能不仅仅是简单的周期函数或方法所能描述的。
一些函数可能具有复杂的周期性，例如混沌函数和周期分形函数等。
这些函数的周期特性往往需要使用更高级的方法来进行分析。
总结起来，函数周期性公式是数学中非常重要的概念。
在本文中，我们总结了一些常见的函数周期性公式，包括三角函数的周期性、其他周期函数的周期性以及函数的平移、伸缩和反转等操作。
函数周期知识点总结
函数周期知识点总结一、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定区间内具有重复性的性质。
如果函数在一个区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数f(x)在该区间上有周期T，T称为函数f(x)的周期。
函数的周期性是函数中非常重要的一种性质，对于周期函数而言，其周期性是其定义的本质。
二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指函数的取值在每个周期内具有重复性。
周期函数的周期是指函数在一个区间内具有重复性。
设f(x)是定义在一定区间上的函数，如果存在正数T，使得任意x∈[a,a+T]，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。
周期函数的周期一般是不唯一的。
2. 周期函数的图像特点周期函数的图像表现出在一个周期内具有重复性的特点。
周期函数的图像通常是具有规律的波动，在一定周期内呈现出反复的形状。
3. 周期函数的基本性质周期函数在一个周期内具有相同的性质，包括最大值、最小值、零点等。
周期函数还具有周期平移、镜像对称等性质。
周期函数的和、差、积、商也是周期函数。
4. 周期函数的分类周期函数根据周期的不同可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等。
根据周期的形式还可以分为奇函数和偶函数。
5. 周期函数的应用周期函数在自然界和各种科学领域有着非常广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等等。
周期函数的研究对于理解自然规律和解决实际问题具有重要的意义。
三、常见周期函数1. 正弦函数正弦函数是最基本的周期函数之一。
其函数表达式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性。
2. 余弦函数余弦函数也是最基本的周期函数之一。
其函数表达式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
3. 正切函数正切函数的函数表达式为y=A tan(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
周期函数公式大全推导
周期函数公式大全推导2019-11-25 16:56:26文/张敏函数周期性公式及推导：f（x+a）=-f（x）周期为2a。
证明过程：因为f(x+a)=-f(x)，且f(x)=-f(x-a)，所以f(x+a)=f(x-a)，即f(x+2a)=f(x)，所以周期是2a。
公式及推导f（x+a）=-f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=-[-f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1/f（x+a）=1/[1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
f（x+a）=-1/f（x）那么f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1/f（x+a）=1/[-1/f（x）]=f（x）所以f（x）是以2a为周期的周期函数。
所以得到这三个结论。
函数的周期性设函数f(x)在区间X上有定义，若存在一一个与x无关的正数T,使对于任一x∈X,恒有f(x+T)=f(x)则称f(x)是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f(x)的周期。
二、周期函数的运算性质:①若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为T/al。
②若f(x),g(x)均是以T为周期的函数,则f(X)+g(X)也是以T为周期的函数。
③若f(x),g(x)分别是以T1,T2,T1≠T2为周期的函数,则f(x)+g(x)是以T1,T2的最小公倍数为周期的函数。
周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2πcosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。
tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。
secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。
函数的周期、对称公式大总结
函数的周期、对称公式一、函数的周期性（识别方法：看括号里面的x 系数相同为周期）()()()..1a b x f b x f a x f -+=+的周期为，则若 ()()().2.2a x f x f a x f 的周期为，则若-=+ ()()().21.3a x f x f a x f 的周期为，则若=+()()().21.4a x f x f a x f 的周期为，则若-=+()()()().211.5a x f x f x f a x f 的周期为，则若+-=+()()()().411.6a x f x f x f a x f 的周期为，则若-+=+()()()().62.7a x f x f a x f a x f 的周期为，则若-+=+二、函数的轴对称(识别方法：看括号里面的x 系数相反为对称，若f()外的系数相同则为轴对称，简称对称轴)()()()()()()()()()()()()()().2.4.2.3..2.22.1对称的图象关于直线对称的图象关于直线对称的图象关于直线对称图象关于直线若a x x f y x a f x f a x x f y x a f x f a x x f y x a f x a f b a x b x a x x f y x b f x a f ==⇔+=-==⇔-===⇔-=++=-++==⇔-=+三、函数的点对称(识别方法：看括号里面的x 系数相反为对称，若f()外的系数相反则为点对称，简称对称中心)()()()()()()()()()()()()()()()()()()().0,.5.,22.4.,22.3.,2.2.,22.1对称的图象关于点对称的图象关于点对称的图象关于点对称的图象关于点对称图象关于点若a x f y x a f x a f b a x f y b x a f x f b a x f y b x a f x f b a x f y b x a f x a f c b a x f y c x b f x a f =⇔--=+=⇔=++-=⇔=-+=⇔=-++⎪⎭⎫⎝⎛+=⇔=-++四、奇偶性的拓展()().)0,()()(,.2;.1对称关于件是是奇函数的充分必要条对于任意对称关于件是是偶函数的充分必要条，对于任意a x f y a x f x a x x f y a x f x =+==+五、对称与周期的关系()()().2.1a b x f b x a x x f -==的周期为对称，则、关于直线若函数两线对称型()()()()().20,0,.2a b x f b a x f -的周期为对称，则、点关于点若函数两点对称型()()()().40,.3a b x f b a x x f -=的周期为对称，则及点关于直线若函数一线一点对称型六、对称与周期常用的小结论.2)()()(.1对称还关于对称，那么关于直线，且的周期为若Ta x x f a x x f T x f ±==().02)(0,)()(.2对称，还关于对称，那么关于点，且的周期为若⎪⎭⎫ ⎝⎛±T a x f a x f T x f（在已有的对称轴，对称中心上加减半个周期即可得到新的对称轴与对称中心）七、三种关系的转化（已知其一必写其二，总有一个能用于解题）()()()为偶函数对称关于直线已知a x f x a f x a f a x x f +⇔-=+⇔=)(.1。
函数周期性公式大总结
（1）F（x + a）=-f（x）周期为2A。
在本文中，我们证明（F + x）= 2a-f（x）= F-X（F-X）。
（2）SiNx的功能周期公式为t = 2π。
SiNx是正弦函数，周期为2π（3）cosx的函数周期公式为t = 2π，cosx为余弦函数，周期为2π。
（4）TaNx和Cotx的周期公式为t =π，TaNx和Cotx分别为切线和Cotx（5）secx和CSCX的周期公式为t = 2π，secx和CSCX为secx和余割。
扩展数据：以下方法分为几个步骤（1）确定F（x）的域是否有界；（2）根据函数周期的定义，我们可以知道非零实数T在关系f （x + T）= f（x）中与X无关，因此可以求解方程f（x）-f（x）= 0，如果我们可以求解独立于X的非零常数t，则可以得出结论：函数f（x）是周期函数，如果不存在t，则f （x）是非周期性函数。
（3）通常用相反的证明方法证明。
（如果f（x）是周期函数，则推论矛盾，因此f（x）是非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B（a≠0）是一个非周期函数。
证明如果f（x）= ax + B是周期函数，则存在t（≠0），使其成立。
A（x + T）+ B = ax + Bax +在AX = 0，在at = 0且a≠0，t = 0与t≠0矛盾的情况下，﹤f（x）是一个非周期函数。
示例：证明f（x）= ax + B是一个非周期函数。
证明：如果f（x）是周期函数，则必须有一个t（≠0）对，并且必须有（x + T）= f（x）。
当x = 0时，f（x）= 0，但是x + T≠0，νf（x + T）= 1，νf（x + T）≠f（x）且f（x + T）= f （x）。
高中数学公式大全函数的奇偶性与周期性的判定公式
高中数学公式大全函数的奇偶性与周期性的判定公式高中数学公式大全：函数的奇偶性与周期性的判定公式在高中数学中，函数的奇偶性和周期性是我们常常需要研究的性质之一。
通过判定函数的奇偶性和周期性，我们可以更好地了解函数的特点，解决问题。
本文将介绍函数的奇偶性和周期性的判定公式，帮助高中数学学习者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的奇偶性判定公式函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值是否具有对称性的特点。
下面是函数奇偶性的判定公式：1. 若对任意的 x，有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 为偶函数。
例如，f(x) = x^2 就是一个典型的偶函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
2. 若对任意的 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。
例如，f(x) = x^3 就是一个典型的奇函数，因为 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
通过奇偶性的判定公式，我们可以方便地判断一个函数是偶函数还是奇函数。
这在解题过程中具有重要的作用。
二、函数的周期性判定公式函数的周期性是指函数在某一区间内，其函数值具有重复的规律性。
下面是函数周期性的判定公式：1. 若存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。
例如，f(x) = sin(x) 是一个周期为2π 的函数，因为sin(x+2π) =sin(x)。
2. 若函数 f(x) 的定义域为全体实数集合 R，且存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x+T) = f(x)，则函数 f(x) 具有周期 T。
例如，f(x) = tan(x) 是一个周期为π 的函数，因为tan(x+π) = tan(x)。
通过周期性的判定公式，我们可以快速确定函数是否具有周期，并且求出函数的周期值。
总结：函数的奇偶性和周期性是数学中重要的概念，对于我们理解和应用函数有着重要的帮助。
函数周期性公式大总结
函数周期性公式大总结
高中函数对称性、周期性以及奇偶性最全总结
在高考时，有一类知识点是非常重要的。
数学老师在课上讲的内容是非常基础的，但是在高考时对于这部分内容的考察确实非常综合的，并且难度颇高。
这部分内容就是函数的性质，函数的性质包含的内容主要有：函数的定义域、值域、最大值最小值、单调性、对称性、奇偶性和周期。
当然，函数的图像也是函数的一个性质，函数的图像是我们解决很多函数题目的一个工具，比如说在导数大题中，就需要我们能够根据单调性简单的画出大概的图像。
再在圆锥曲线大题中，也需要画出其图像。
这一点需要大家牢记。
在这些性质里面，有几个是高考后几道选择题中最爱考的内容。
第一个，就是对称性。
对称性指的是函数的图像，其中包含有两部分知识：点对称和轴对称；
例如，y=sinx的图像是点对称的图像；
又如，y=cosx的图像是轴对称的图像；
第二个，就是周期性。
周期性是指：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数。
T叫做这个函数的一个周期。
例如，y=sinx是一个周期函数，
它的周期是2π；
又如，y=cosx也是一个周期函数，
它的周期也是2π；
第三个，就是奇偶性。
奇函数和偶函数最重要的特性在于，奇函数：f(-x)=-f(x)，
例如正弦函数y=sinx；
偶函数：f(-x)=f(x)，
例如余弦函数y=cosx;。
三角函数周期性公式大总结
三角函数周期性公式大总结是数学中的重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中经常被使用。
在计算和解决各种问题中，我们经常会遇到需要使用周期性公式的情况。
本文将对周期性公式进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
1. 正弦函数的周期性公式正弦函数是最基本的之一，它以正弦曲线的形式展示。
正弦函数的周期性公式可以表示为：sin(x+2πn) = sin(x)，其中n为整数。
这个周期性公式的含义是，正弦函数在经过每个2π的周期后，函数值会再次重复。
我们可以用图像来直观地理解这种周期性。
以y=sin(x)为例，当x增加2π时，y的值会重复前一个周期中相同点的函数值。
这就是周期性公式的应用，可以帮助我们简化计算和分析过程。
2. 余弦函数的周期性公式与正弦函数类似，余弦函数也具有周期性。
余弦函数的周期性公式可以表示为：cos(x+2πn) = cos(x)，其中n为整数。
这个周期性公式的含义是，余弦函数在经过每个2π的周期后，函数值会再次重复。
同样地，我们可以用图像来直观地理解这种周期性。
以y=cos(x)为例，当x增加2π时，y的值会重复前一个周期中相同点的函数值。
对于解决问题或分析问题来说，这种周期性公式是非常实用的工具。
3. 正切函数的周期性公式正切函数也是常见的之一，它以正切曲线的形式展示。
正切函数的周期性公式可以表示为：tan(x+πn) = tan(x)，其中n为整数。
这个周期性公式告诉我们，正切函数在经过每个π的周期后，函数值会再次重复。
同样地，我们可以用图像来直观地理解这种周期性。
以y=tan(x)为例，当x增加π时，y的值会重复前一个周期中相同点的函数值。
正切函数的周期性公式在求解各种问题中都有广泛的应用。
4. 倍角公式和半角公式除了周期性公式之外，还有一些重要的性质，如倍角公式和半角公式。
倍角公式可以帮助我们将一个角的函数值表示为另一个角函数值的形式，而半角公式则相反。
倍角公式可以写为：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)，tan(2x) = (2tan(x))/(1-tan^2(x))。
(六)抽象函数的周期性
周期性1、已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x ＋m)＝－f(x),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝－f(x) 所以，f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m] ＝－f(x ＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.2、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝f(x －m ),求证:2m 是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()1()1()11()f x f x m f x f x m f x ---++==++++＝f(x)所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m]1()11()11()1()()11()f x f x m f x f x m f x f x -+-++=-=-=-++-+ 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x)∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得所以，2|a －b|是f(x)的周期6、已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2) 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2) 即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004习题:1、f(x)是定义在R 上的奇函数，f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有： f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2、f(x)是定义在T 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4、已知函数f(x)对任意实数x,都有： f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m 是f(x)的一个周期.5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数, 求证:4m 是f(x)的一个周期.周期性的应用1、函数)(x f 在（0，2）上是增函数，且)2(+x f 是偶函数，那么下列不等式成立的是（ ）2、设f x x R ()()∈是以3为周期的奇函数， 且f f a ()()112>=，，则（ ）3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 2)1(=f ，且)6()1(+=+x f x f ，求)4()10(f f +的值4、)(x f 是定义在R 上的偶函数，图象关于直线2=x 对称，且x ∈[-2，2]时，1)(2+-=x x f ， 求：当x ∈[-6，-2]时，)(x f 的解析式5、)(x f 定义域为R ，)()2(x f x f -=+。
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
(完整版)函数的周期性与对称性.
函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称例题分析：1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．23．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___5．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称。
周期函数的八个基本公式推导
周期函数的八个基本公式推导周期函数指的是周期性变化的函数，主要用于描述一定时间内出现的各类来回变化的事物，比如音乐的节拍、能量的消耗和脉搏的振动等。
它可以用来表示具有完全相同形状、相等间隔的正弦曲线，其基本公式有八条：A、sinθ=y；B、cosθ=x；C、tanθ=y/x；D、cotθ=x/y；E、secθ=1/cosθ；F、cscθ=1/sinθ；G、sin2θ=y/r；H、cos2θ=x/r。
以A、B式为例，它们分别指出在极坐标系中，与原点连接的向量与极轴间的夹角是θ时，sinθ等于直角坐标系中与原点连接的向量的y轴坐标值y，cosθ等于x轴坐标值x。
这两条公式的结合可以用来求出任意一个极坐标系中的向量的x轴和y轴坐标，例如已知sinθ = y = 0.2，cosθ = x = 0.9，值得注意的是θ也成了一个有用的结果，其值为sin⁻¹(0.2) = 12°。
然后运用C、D式，tanθ=y/x，cotθ=x/y可以获得tanθ、cotθ的值，两者的比值即为tanθ/cotθ = y/x = 0.2/0.9 = 0.22。
E、F式可以用来求得secθ和cscθ的值，secθ=1/cosθ，cscθ = 1/sinθ，以cosθ =0.9和sinθ = 0.2为例，该值得secθ = 1/0.9 = 1.11，cscθ = 1/0.2 = 5，其中应落实的是由于计算的是有限精度的小数，所以后续得出的值只能作为参考。
最后结合G、H式，可以求出sin2θ和cos2θ，首先根据其他知识可知，sinθ=y/r和cosθ=x/r，将其带入到G、H式中，得到sin2θ = y²/r²，cos2θ = x²/r²。
将已知数据带入公式可以得到sin2θ = 0.04和cos2θ = 0.81。
综上所述，周期函数的八条基本公式可以为其他如正弦曲线函数等提供有力的数学计算支持，并得出与极坐标系等方面有关的结果。
函数周期性公式大总结
函数性质：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的标准符号为f(x)。
包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。
顶点式：二次函数有多条顶点式对于任意一条顶点在坐标轴原点上的二次函数，有y=ax²对于函数y=ax²,在X轴上平移h个单位，有y=a(x-h)²对于函数y=ax²,在Y轴上平移k个单位，有y=ax²+k对于函数y=a(x-h)²在Y轴上平移k个单位，或函数y=ax²+k 在X轴上平移h个单位有：y=a(x-h)²+ky=a(x-h)²+k也是最常用的一条顶点式，通过代入特殊的点坐标，均可以转换成y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=ax²三者之一。
三角函数：三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc对边（a）临边（b）斜边（h）正弦函数sin（A）=a/h余弦函数cos（A）=b/h正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a正割函数sec (A) =h/b余割函数csc (A) =h/a同角三角函数间的基本关系式·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]本章教学目标1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算.(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义.2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.(2)已知三角函数值求角.3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换，理解A、ω、φ的物理意义.4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.函数的几种特性①有界性②单调性③奇偶性④周期性公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα(以上k∈Z)。
周期公式总结
周期公式总结1. 什么是周期公式？周期公式是指能够描述某一现象的周期性变化规律的数学公式。
在物理学、数学、经济学等领域，周期公式被广泛应用于描述和预测各种周期性现象。
周期公式可以帮助我们了解和分析周期性数据，以及预测未来的变化趋势。
2. 常见的周期公式2.1 三角函数周期公式三角函数是常见的周期性函数，并且可以通过周期公式来描述其变化规律。
常见的三角函数周期公式有正弦函数和余弦函数。
正弦函数的周期公式为：y = A * sin(2πft + φ)其中，A表示振幅，f表示频率，t表示时间，φ表示初相位。
余弦函数的周期公式为：y = A * cos(2πft + φ)正弦函数和余弦函数的周期都是2π/f，其中f是频率。
2.2 波动型周期公式波动型周期公式常用于分析和预测经济和金融领域中的周期性行为。
波动型周期公式可以描述价格、股市指数等的周期性波动。
波动型周期公式形式多样，常见的有：y = A * sin(Bt + C) + D其中，A表示振幅，B表示频率，t表示时间，C表示相位差，D表示平衡值。
2.3 科学周期公式科学周期公式常用于描述自然界中的周期性现象，如日月潮汐、气候季节变化等。
科学周期公式的形式多种多样，根据所研究的现象特点来确定。
例如，日月潮汐的周期公式为：h = A + B * sin(ωt + φ)其中，h表示潮汐高度，A和B表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，φ表示初相位。
3. 周期公式的应用周期公式广泛应用于各个领域，如物理学、数学、经济学等。
下面介绍几个常见领域中的应用。
3.1 物理学中的周期公式物理学中的周期公式可以用于描述振动、波动等现象。
例如，调制信号的周期公式可以用正弦函数来表示。
周期公式在物理学中的应用不仅局限于描述现象，还可以用于预测未来的变化趋势。
例如，通过分析一段时间内的数据，可以获得物理系统的频率和振幅，并基于此预测未来的变化趋势。
3.2 经济学中的周期公式经济学中的周期公式可以用于分析和预测经济周期和商业周期。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结
篇一：函数周期性结论总结
函数周期性结论总结
①f(x+a)=-f(x)T=2a
②f(x+a)=±1T=2af(x)
③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得
f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式
f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b
④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a
证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)
证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以
f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a
证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a
证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：
f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a
⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)
f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t
f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a
⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|
证明：f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x)
f(2b-x)=f(x)假设
a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)
T=2(a-b)
现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可
⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞
b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称
=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)
f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)
=f[a+(x+a-2b)]
=-f[a-(x+a-2b)]
=-f(2b-x)
=f(x)
篇二：函数周期公式
主要知识：
1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在
非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有
周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），
(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；
(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；
(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；
fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；
以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率
不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
(5)函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)（a?0），若f(x)为
奇函数，则其周期为T?4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T?2a．
(6)函数y?f(x)?x?R?的图象关于直线x?a和x?b?a?b?
都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数；
(7)函数y?f(x)?x?R?的图象关于两点A?a,0?、
b?b,0??a?b?都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数；
(8)函数y?f(x)?x?R?的图象关于A?a,0?和直线x?b?a?b?都对称，则函数f(x)是以4?b?a?为周期的周期函数；
（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。
（二）主要方法：
1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：
一是对定义域中任意的x恒有f(x?T)?f(x)；
二是能找到适合这一等式的非零常数T，
2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．
证明举例：若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）
（a ?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]
?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期为4(b?a).
举例:y=sinx,等.
篇三：函数的周期性
抽象函数的周期类型
抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。
本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x取定义域内的任意值且a、b、T为非零常数，a≠b）。
1.f(x)?f(x?T)型
f(x)的周期为T。
释义：对x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，则
f(x)为周期
函数，T叫函数f(x)的周期。
2.f(x?a)?f(x?b)型
f(x)的周期为|b?a|。
释义：
f(x?a)?f(x?b)?f(x)?f(x?b?a)。
3.f(x?a)??f(x)型f(x)的周期为2a。
释义：
f(x?2a)?f[(x?a)?a]??f(x?a)??[?f(x)]
?f(x)
例.设f(x)是R上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则
f(20XX5.)等于（）
A.0.5
b.－0.5
c.1.5
D.－1.5
.)＝解：此题符合f(x?a)??f(x)型，所以f(x)是以4
为周期的函数。
f(20XX5
f(15.?501×
4)?f(15.)?f(?05.?2)??f(?05.)?f(05.)?05.，选A。
4.f(x?a)??
1
型f(x)
f(x)的周期为2a。
释义：f(x?2a)?f[(x?a)?a]??
1
??
f(x?a)
1
?f(x)。
1?
f(x)
5.f(x?a)?
1
型f(x)
f(x)的周期为2a。
释义：f(x?2a)?f[(x?a)?a]?
1
?
f(x?a)
1
?f(x)。
f(x)
6.f(x?a)?
1?f(x)
型
1?f(x)
f(x)的周期为4a。
释义：f(x?2a)?f[(x?a)?a]? 1?f(x?a)
1?f(x?a)
1?1?
?
1?1?
1?f(x)
1f(x)??，f(x)f(x)
1
??
f(x?2a)
1
?f(x)。
1?
f(x)
∴f(x?4a)?f[(x?2a)?2a]??。