函数周期性公式大总结

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篇一：函数周期性结论总结

函数周期性结论总结

①f(x+a)=-f(x)T=2a

②f(x+a)=±1T=2af(x)

③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得

f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式

f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a

证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质）设x=x+a所以

f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)代换x=x+2a得：

f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t

f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a

⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|

证明：f(a+x)=f(a-x)

f(b+x)=f(b-x)

f(2b-x)=f(x)假设

a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)

T=2(a-b)

现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可

⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞

b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称

=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)

f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)]

=-f[a-(x+a-2b)]

=-f(2b-x)

=f(x)

篇二：函数周期公式

主要知识：

1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在

非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有

周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），

(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；

(2)f?x?af?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；

(3)f?x?a1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；

fx(4)f?x?a??f?x?b?，则f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；

以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率

不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)（a?0），若f(x)为

奇函数，则其周期为T?4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T?2a．

(6)函数y?f(x)?x?R?的图象关于直线x?a和x?b?a?b?

都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数；

(7)函数y?f(x)?x?R?的图象关于两点A?a,0?、

b?b,0??a?b?都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数；

(8)函数y?f(x)?x?R?的图象关于A?a,0?和直线x?b?a?b?都对称，则函数f(x)是以4?b?a?为周期的周期函数；

（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。

（二）主要方法：

1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：

一是对定义域中任意的x恒有f(x?T)?f(x)；

二是能找到适合这一等式的非零常数T，

2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．

证明举例：若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）

（a ?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]

?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期为4(b?a).

举例:y=sinx,等.

篇三：函数的周期性

抽象函数的周期类型

抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型，供大家参考（以下x取定义域内的任意值且a、b、T为非零常数，a≠b）。1.f(x)?f(x?T)型

f(x)的周期为T。释义：对x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)，则

f(x)为周期

函数，T叫函数f(x)的周期。

2.f(x?a)?f(x?b)型

f(x)的周期为|b?a|。释义：

f(x?a)?f(x?b)?f(x)?f(x?b?a)。3.f(x?a)??f(x)型f(x)的周期为2a。释义：

f(x?2a)?f[(x?a)?a]??f(x?a)??[?f(x)]

?f(x)

例.设f(x)是R上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则

f(20XX5.)等于（）

A.0.5

b.－0.5

c.1.5

D.－1.5

.)＝解：此题符合f(x?a)??f(x)型，所以f(x)是以4