线段的定比分点
5-4新田中学-线段的定比分点与平移
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
线段的定比分点
·P ·P1
·P2 （3）λ＝－1/6
小结
2021/3/11
通过本课时的学习，要求 同学们掌握线段的定比分点坐 标公式及中点坐标公式，并能 熟练运用这两个公式解决相关 问题。
作业
2021/3/11
1、P117习题5.5第1、3、4、5
2、预习：P118—119
预习提纲：
（1）两向量的夹角有何前提？ （2）平面向量的数量积的定义及其几何意义。 （3）平面向量的数量积的运算律有哪些？
足：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
①
我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点 坐标公式。
想一想
2021/3/11
设点P1（x1，y1），P2（ x2，y2 ），P（ x，y ），
且P1P＝λPP2，那么点P分有向线段P2P1的定比分点坐 标公式与①相同吗？
结果是：相同
因x为：x2P2P1x11Px1P1,
2021/3/11
例2 如图，△ABC三个顶点的坐标分
别为A（x1，y1）、B （x2，y2）、C （x3，
y3），D是边AB的中点，G是CD上一点，
且CG：GD＝2。求点G的坐标。
y
A
D
·G
B C
O
x
2021/3/11
例3 已知A（1，3），B（－2，0）， C（2，1）为三角形的三个顶点，L、M 、N分别是BC、CA、AB上的点，满足 BL︰BC＝CM︰CA＝AN︰AB＝1︰3， 求L、M、N三点的坐标。 y
提示：由已知，可
得L分CB、M分AC、 N分BA所成的比均为λ ＝2
A
N· ·M
·L
C x
BO
定比分点的向量公式
定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。
想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。
这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。
那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。
听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。
于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。
我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。
现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。
咱们继续说这个公式啊。
定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。
比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。
在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。
比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。
还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。
再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。
这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。
总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。
线段的-定比分点
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0
7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5
线段的定比分点
的概念
分析要点
若 p1 p pp2 ，则称λ叫点 P 分有 2．强调λ，P 分析
向线段 p1 p2 所成的比，点 P 叫线段
P1，P2，λ，P 的位置， 含义
通过学生自己 思考来充分发 挥自己的聪明 才智。
p1 p2 的定比分点
分析：想想，给定 P1P2，P 在 l 上可 能的位置有几种？并判断λ的符号 （3 种）
引导学生独立分析 解答
学生独立完成
上的一点，且 CG 2 求点 G 的坐标 GD
图
培养学生独立 观察，分析问 题的能力
培养学生观 察，分析问题 的能力
y
A
D G
B
o
C
x
练习：
课堂 小结
本节学习的主要内容是 (1)线段的定比分点公式。 (2)求λ的方法 ①定义法 ②公式法 (3)中点公式是定比分点公式的特例，应用方泛。
提出问题
P1 P
P2
λ>0
P 内分有向线段 P1P2
P1 P2
P
λ<0
强调 p1 p pp2
中字母顺序
学生思考 学生分析 学生给出结果
通过交流来培 养学生的相互 学习精神。
强调细节
P P1
P2
λ<0
P 外分有向线段 P1P2 探讨：
（1）．P 在 p1 p2 的延长线上，λ值 提出问题
的范围？（λ<-1）
难
点 难点：理解定比分点的概念，掌握定比分点公式的应用。
教学 方法 引导、启发
线段的定比分点坐标公式是向量坐标运算的应用之一，是把有向线段和
教材结构分
分点所具有的图形特征，通过坐标运算表示出来．通过本节学习，要正
线段的定比分点
课题：线段的定比分点．目的：掌握有向线段的定比分点和线段的中点公式，并能简单应用． 重点、难点：线段的定比分点．过程：一、复习引入前面我们学习了有向直线，有向线段，有向线段的长度，有向线段的数量等许多概念和符号．今天我们想在此基础上跟大家讨论线段的定比分点．二、新授1．定义：有向直线l 上的一点P ，把l 上的有向线段21P P 分成两条有向线段P P 1和2PP ．P P 1和2PP 数量的比叫做点P 分21P P 所成的比，通常用字母λ来表示这个比值，21PP P P =λ，点P 叫做21P P 的定比分点． 2．说明： （1）21P P 是在过两点1P 、2P 的一条有向直线上的有向线段，1P 是起点，2P 是终点；（2）P P 1是以1P 为起点，P 为终点；2PP 是以P 为起点，2P 为终点．顺序不能颠倒，否则λ的值就会随之改变；（为了联系紧密，P 为分点，∴21PP P P =λ中，P P →1，2P P →，就是起点→分点，分点→终点．）（3）21PP P P 不是线段的长度之比，而是有向线段的数量之比，这个比与过21P P 的有向直线无关；（4）在21PP P P 中，分子是由线段的起点1P 到分点P 的有向线段P P 1的数量，分母是由分点P 到终点2P 的有向线段2PP 的数量．请思考，点P 分21P P 所成的比和点P 分12P P 所成的比有何关系．3．练习：如图，求点B 分AC ，点B 分CA ，点C 分AB ，点C 分BA ，点A分BC ，点A 分CB 所成的比．（23，32，25-，52-，53-，35-） 由此回答：（1）P 分21P P 的比与P 分12P P 的比互为倒数；（2）λ的符号与点P 的位置有关．4．小结：若点P 在线段21P P 上，点P 叫做21P P 的内分点，此时0>λ；若点P 在线段12P P 或21P P 的延长线上，点P 叫做21P P 的外分点，此时0<λ．三、解几的基础是坐标系、点的坐标，那么我们怎样求定比分点的坐标呢？问题：设21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点P 分21P P 所成的比为λ（1-≠λ），求分点P 的坐标),(y x ．分析：过点1P 、2P 、P 分别作x 轴的垂线11M P 、22M P 、PM ，则垂足分别是)0,(11x M 、)0,(22x M 、)0,(x M ．根据平行线分线段成比例定理，得2121MM M M PP PP =．如果点P 在线段21P P 上，那么点M 也在线段21M M 上；如果点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上．因此21PP P P 与21MM M M 的符号相同，所以21PP P P =21MM M M ． ∵11x x M M -=，x x MM -=22，∴xx x x --=21λ， 即21)1(x x x λλ+=+，当1-≠λ时，得λλ++=121x x x ． 同理可以求得y y y y --=21λ，λλ++=121y y y ． 因此，当已知两个端点为),(111y x P 、),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为λ时，点P 的坐标是λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y （1-≠λ）． （1）把P P 1、2PP ，M M 1、2MM 看成一般的线段，根据初中几何平行截割定理得2121MM M M PP PP =；（2）从有向线段的数量的符号来验证这个比例． 当点P 在两点1P 、2P 之间，这时点M 也在两点1M 、2M 之间，有向线段P P 1和2PP 都具有相同的方向，它们的数量符号相同，∴=λ21PP P P 是正的．同样有向线段M M 1、2MM 也具有相同的方向，它们的数量的符号也相同，所以21MM M M 也是正的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上，那么点M 也在线段21M M 或12M M 的延长线上，而P P 1与2PP 的符号相反，于是=λ21PP P P 0<．同样M M 1、2MM 的符号也相反，所以21MM M M 也是负的，因此，=λ21PP P P =21MM M M ． 所以1P 、2P 不论在哪个象限，相互位置关系怎样，也不论点P 在21P P 上或在延长线上，定比分点公式都是正确的．特别地，当点P 是线段21P P 的中点时，有21PP P P =，即1=λ，因此线段21P P 中点P 的坐标是221x x x +=，221y y y +=．四．简单应用例．点1P 和2P 的坐标分别是)6,1(--和)0,3(，点P 的横坐标为37-．求点P 分21P P 所成的比λ和点P 的纵坐标y ． 解：由λ的定义，可得x x x x --=21λ41373)1(37-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=． 84110416121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++=λλy y y ． 点P 分21P P 所成的比是41-，点P 的纵坐标是8-． 五．练习1．已知两点)2,3(1-P 、)4,9(2-P ．求点)0,(x P 分21P P 所成的比λ及x 的值．2．点M 分有向线段21M M 的比为λ，求点M 的坐标),(y x ，其中)5,1(1M 、)3,2(2M ，2-=λ； 六．小结1．定比分点P 的位置与λ的符号关系；2．定比分点坐标公式；3．λ的求法．七．作业。
线段的定比分点
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⑵ A(－7，－1)，B(3，－6)
(2) M(－2,－ ）
2.求与下列各点关于坐标原点O对称的点的坐标：
P(2，3)，Q(－2，3)，
答案： (-2,-3)
(2,-3)
3.求与P(2，3) 关于点Q(－2，4)对称的点的坐标
(-6,5)
四 小 结： 1，定义
λ是关键，λ>0内买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
线段的定比分点公式及图象的平移
(
点P内分 1P2时，λ 0;点P外分 1P2时，λ 0 P P
)
二.线段定比分点坐标
公式： x1 λx2 x 1 λ ①设P分有向线段 P1P 2比λ，即 P1P λPP 2，P 1(x 1 ,y 1 ) P 2(x 2 ,y 2 ),P(x, y), 则： y y1 λy2 1 λ
2
1焦点坐标为____ _
__;
准线方程为_____
x1 x 2 λ 1时，中点公式： x 2 a λ b ②向量式： OP y y1 y 2 P 1 λ P1 2 P为中点时， OP a b a
P2
b
三.平移公式
/
2
/
O
●
设A(x, y), B(x ,y )
a
B
OB OA a / x x h / y y k
/ /
设 a (h,k)
/
x x h / y y k / / x 1 y 2 x h 1 yk 2
即：y 2
x h 1
k 1且h 1 0 k 1且h 1
法2：图象变换
y), 平移后对应点(x
,y )
y 2 1 y 2
_________
反思：平移公式解决三
类问题：
已知原解析式
a (h, k)
？
a (h, k) ? 新解析式 a ？ 新解析式 已知原解析式
例2：(定比分点公式
应用) P1(3, y),
①如果P 1，P 2，P 3 三点在同一直线上，且 | P1P 3 |
P 2(x, 1), P 3(0, 3), 3,求P 2 坐标 | P 3 P 2 | ( 1, 1)及(1, 1) ②点A( 1,6)和B(3,0 )在直线AB上，求一 使 | AP | 1 3 | AB | ( 点P，
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
线段的定比分点
41 ) ∴点D坐标为： (1, 坐标为： 5
补充题： 补充题：
△ABC的三条边的中点分别为 (2,1),(−3,4),(−1,−1)，则:△ ABC
G 坐标为＿＿＿＿ 坐标为＿＿＿＿ 解：令：重心 G 的坐标为 ( x , y )
的重心
2 + (−3) + (−1) 2 =− 则： x = 3 3
B D C
BAC 2 2 | AC|= 2 + 6 = 2 10
2 2
| AB|= (−3) +9 =3 10
A
D分向量 CB 设点D坐标 ( x, y ) ，则:
∴
2 所成比 λ = 3
2 2 3 + (−2) 7 + 10 × 3 3 = 41 x= = 1, y = 2 2 5 1+ 1+ 3 3
P P2
当λ
P’
= 3 得：P (5,0 )
O
3 P 当 λ = − 得： (8,−3)
A 顶点坐标为： 例3：已知△ ABC 顶点坐标为： (1,1), B ( − 2,10 ), C (3,7 ) ， ：已知△
∠ BAC 平分线交 BC 边于D ,求点D 坐标。 求点 坐标。 平分角∠ 解： ∵AD 平分角∠
3、已知点 P（4,-3）、 P2 （-2,6），若 P P = 2 PP2 ，求点P坐标。 1 1 4、已知平行四边形ABCD三个顶点A（-2,1）、 D B（-1,3）、C（3,4），求顶点D的坐标。 A C
M
B
课题： 课题：线段的定比分点
授课人： 授课人：陈雷
1、向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 有且只有一个
.
实数 λ ，使得 b = λ a 。 2、设点A为 (x1 , y1 ) ，B为(x2 , y2 ) ，则向量 AB 的坐标 为
5.5 线段的定比分点
P 1P PP 2
PP 2 ( x2 x, y2 y)
( x x1, y y1 ) ( x2 x, y2 y)
x x1 ( x2 x) y y1 ( y2 y)
x1 x2 x 1 y y1 y 2 1
……公式形式
② 中点公式、重心公式要熟记 ③ 定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、 平行的有效方法
1
存在一个实数λ，使 P1 P PP2 ，λ叫做点P分有向线 段 P1 P2 所成的比．
练习：若点P分有向线段 则点P分 P 2P 1 所成的比为
P 1P 2
1 2
所成的比为2，
；
点
P2
分
3 所成的比为 P P 1
；
设P 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y 2 , P分 P 1P 2 所成的比为 ， 如何求 P点的坐标呢？
ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ， 例2．如图， C ( x 3 , y 3 )，D是边AB的中点，G是CD上的一点， B( x2 , y2 ) ， CG y 2，求点G的坐标． 且 D A GD
B O G C x
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为 (
CG B 2 CG 2GD GD 由定比分点坐标公式可得G点坐标为： x1 x 2 x3 2 x1 x 2 x 3 2 x 1 2 3 y y2 y3 2 1 y1 y2 y3 2 y 1 2 3 x1 x2 x 3 y1 y2 y3 , ) 即点G的坐标为 ( 3 3
5-4线段的定比分点与平移
答案：A
)
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第五章
平面向量
4．(教材P1352题改编)将点A(－4,3)按向量a＝(5，－2)
平移后的坐标是 ( A．(9，－5) C．(1,1) B．(－9,5) D．(－8,1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 数 学 配 统 编 教 材 版
解析：按向量平移公式计算得知应选C.
为________．
答案：y＝log2(x＋6)＋4
)
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第五章
平面向量
5．将函数 y＝2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移，得到 π 函数 y＝2sin(2x＋ )＋1 的图象，则向量 a 的坐标为( 3 π A．(－3，1) π B．(－6，1) )
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · 数 学 配 统 编 教 材 版
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第五章
平面向量
2．平移公式 设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移 后的图形 F′上对应点为
x′＝x＋h P′(x′， y′)， 则有 y′＝y＋k
，
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第五章
平面向量
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第五章
平面向量
该类问题要正确地选取线段的起点与终点，应用定比
定比分点的定义及求解方法
定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。
而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。
定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。
其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。
定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。
定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。
比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。
通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。
2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。
首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。
因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。
同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。
3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。
因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。
总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。
无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。
高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移
高考数学一轮复习必备：第42课时：第五章平面向量线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．把握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称咨询题；2．把握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定； 2．定比分点坐标公式是 ；线段的中点坐标公式是 ；3．平移公式是 ． 1．假设点P 分AB 的比为34，那么点A 分BP 的比是 ． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =-平移后，图象的解析式是〔 〕 ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，那么a = ． 4．ABC ∆中三边中点分不是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，那么ABC ∆的重心是 ．四．例题分析：例1．两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP =，求点A 和点B 的坐标．例2．(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．函数 22(2)1y x =---的图象通过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，那么点(2,1)按向量a 平移后的坐标是〔 〕()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED =，那么E 点的坐标为〔 〕 ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,)33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为〔 〕()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π=平移后图象的解析式为sin()24y x π=++，那么原先函数图象的解析式为 ． 5．函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，那么向量a = ，化简后的函数式为 ． 6．(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，假设1OA OB OP λλ+=+，那么P 点的轨迹方程为 ．7．三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，〔1〕求三边的长；〔2〕求AB 边上的中线CM 的长；〔3〕求重心G 的坐标；〔4〕求A ∠的平分线AD 的长；〔5〕在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5的两部分，求点P 的坐标．8．如图三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，D 点内分AB 的比是1:3，E 在BC 上，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求E 点的坐标．9．将函数2y x =-的图象进行如何样的平移，才能使平移后得到的图象与函数22y x x =--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。
线段的定比分点
（1）如图，点B 分有向线段 AC旳比为1 __3___ ，点C
分有向线段BA 旳比为 为3 ____53_ ．
2
___52__
，点A分有向线段BC 旳比
A
B
C
（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点旳直线，和x轴
交点旳坐标是 （6，0，）和y轴交点旳坐标是 （0，．3）
5.5 线段旳定比分点
∴点D旳坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
CG 2 CG 2GD
B
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
x
x3
2
x1
2
x2
x1
x2
x3
1 2
3
y
y3
2
y1
2
y2
y1
y2
y3
1 2
3
yD G
O
即点G旳坐标为
( x1
x2 3
x3
,
y1
y2 3
y3
)
A
C x
5.5 线段旳定比分点
练习：
B( x2 , y2 ) ，C( x3 , y3 )，D是边AB旳中点，G是CD上旳一点，
且CG 2，求点G旳坐标． GD
yD
A
解：∵D是AB旳中点
B
G
∴点D旳坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
C
CG 2 CG 2GD
O
x
GD
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
5.5 线段旳定比分点
解：∵D是AB旳中点
线段的定比分点
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方
向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j.
1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标,
记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
2
2
y P2
P P1
所以，点P的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2
y P2
A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
A
D
E
G
B
C
P P
P1
P1
O
x
O
x
(2)
5.5 线段的定比分点
直线l上两点 P1 、P2 ，在l上取不同于 P1 、P2的任一点P，则 P点与 P1P2 的位置有哪几种情形？
P在之间 P1P2，P在 P1P2 的延长线上， P在P2 P1的延长线上.
P1
P
P2
P1 P2
P
0
1
P
P1 P2
1 0
存在一个实数λ，使 P1P PP2，λ叫做点P分有向线
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二、新课 （一）定比分点的概念 P P1 P P2 P
设P1,P2是直线l上的两点,点P是直线l上不同于P1,P2
称为点P分有向线段 PP 1 2 所成的比,定比点P叫做 PP 1 2 的定比分点.
PP2 的任意一点,则 PP 1
说明： 1. 当P在线段PP 1 2上时, 0 （内分点）
2. 当P在PP 1 2的延长线上时, 1 3. 当P在P2 P 的延长线上时,-1 0 1
4. 特别地:当 =1时,有 PP PP2 , 这时P是线段P1P2的中点. 1
外分点
（二）定比分点坐标公式
设 PP PP2 , 且点P 1 1 , P, P 2的坐标 分别为( x1 , y1 ),( x, y),( x2 , y2 )
x x x ( x x ) 1 2 (1 ) x x1 x2 y y1 ( y2 y ) (1 ) y y1 y2 y
这个公式叫P1P2 的定比分点坐标公式.
x1 x2 y1 y2 D , 2 2
y D B G
A
C o x
又
CG 2 GD
CG 2 GD
又
CG 2 GD 设G(x,y)， 则
x1 x2 x3 2 2 x 1 2 y1 y2 y3 2 y 2 1 2
铜梁一中高一数学组
一、复习 1.向量共线的充要条件： 向量 b 与非零向量
a
共线的充要条件是有
且只有一个实数λ ，使得 2.平面向量的坐标运算
b a
若 a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则
(1) a b x1 x2 , y1 y2 (2) a b x1 x2 , y1 y2 (3) a x1 , y1
2. 已知点M是 ABC的重心D,E,F分别是BC,CA,AB的中点, 则 MA MB MC 等于(
A 0
B 6 ME
C 6 MF
D 6 MD
3.已知点P(4, 9), Q(2,3), 则y轴与直线PQ的 交点分 PQ 所成的比是 C
1 A 3 B 1 2 C 2 D 3
P是边AB上一点,PQ//BC交AC于Q,且
SAPQ : S四边形PQCB 4 : 5,
求点P的坐标.
（四）课堂练习
1.已知 ABC的两个顶点A(3,7), B(2,5), 若AC的中点在 x轴上,BC的中点在y轴上,则顶点C的坐标( B ).
A (-7，2)
B(2，-7) A )
C(-3，-5) D(5，-3)
2. 1
x-x1 y-y1 分点-起点 3. 变形公式: = x2 -x y2 -y 终点-分点
1 例1 已知两点P 1 (2,3)、P 2 ( 8,3).求点P , y 分 PP 1 2 2 所成的比及y的值.
1 5 3 x-x1 解： 2 2 x2 -x 8 1 17 2 2
(( x2 x), ( y2 y))
定比分点坐标公式
x y x1 x2 (1 ) y1 y2 (1 )
说明：
x1 x2 x= 2 1. 当 1时, 为中点坐标公式. y = y1 y2 2
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杀他,也是轻而易举の事情丶这就是大境界の差距,是无法弥补の,是无法逾越の天沟丶"你说说看,咱哪里说错了?"天阳子有些戏谑の笑了笑丶晴天能够活着回来,他就很惊奇,这家伙怎么会从葬神山谷忠逃出来の,那里就是现在の自己也不敢掉进去丶而他为何又会从九华红尘界忠而来,而且 为何身上の气息,好像没有那么阴冷了丶至于他到底是不是因为身上附着了,魔仙血脉の魔煞之气,现在还无法断定,好像是有壹些气息,与下面の这个封印之阵忠の女人有些相似の地方丶他也想知道,这家伙为何还能活着出来,又为何能来到这里,还能将他の宝贝女尔给祸害了丶真是命呀,自 己才来这里几年,女尔就稀里糊涂の把自己给卖了,竟然还和这个家伙壹起想自爆元灵来让自己就犯丶只是她以为,自己将他们送进来,就壹定会帮他吗?不如将他们给弄进来,然后将女尔打昏,直接找个地方将这个家伙给灭了,让他永远也不会再活过来了丶根汉盘腿坐下,让自己恢复壹些,天阳 子也不好意思现在再压制根汉丶反正这宫殿外被他下了封印了,他就不信这家伙能在自己の眼皮子底下逃走,不过壹旁の天仙尔,却被他壹手给送进了自己の乾坤世界丶他可不想天仙尔听到自己和晴天の谈话,更不想让天仙尔知道,自己将晴天给灭杀了丶"说说吧,咱让你做壹个明白鬼丶"天阳 子笑道："好歹咱们の渊源也挺深の,咱不能让你做个饿死鬼,不然别人知道了,得说咱天阳子小气丶"说完这家伙还送上了美食和美酒,根汉也不和他客气,径自抓起酒壶灌了壹口丶他说道："第壹,本少可不是从葬神山谷忠爬出来の,咱还不至于如此狼狈,需要从里面爬出来丶""那你怎么出来 の?"天阳子觉得根汉在吹牛丶"是魔兵送咱出来の,你信吗?"根汉笑了笑丶"哦?魔兵送你出来?"天阳子笑了："这世上还会有魔兵专门运人の?""呵呵,你不知道,就代表这世上没有吗?"根汉讪笑道："亏你也是魔仙,能不这么土吗!""你!"天阳子想动怒,但是还是压制下来了："那你说说,到底是 何物送你上来の!""大魔剑の断剑!"根汉道丶"大魔剑?哪个大魔剑!"天阳子心忠壹震丶根汉笑了笑："你说这当今魔界,还有几把大魔剑,威震天下の吗?""小子,别在这里胡扯了,阿波菲斯の大魔剑,怎么可能会断呢?而且也不会断在那葬神山谷忠の丶"天阳子笑了笑,觉得根汉在唬自己丶根汉 则道："那是你孤露寡闻罢了,你不知道就算了,还要质疑别人告诉你の真相?""你当真以为阿波菲斯当年是走进了星空,而不是被人所杀吗?"根汉笑道丶"被人所杀?笑话,他是大魔仙,还有谁能杀他?"天阳子虽然嘴上说得好像不信,但是心里还是有些震撼の,心想难道那阿波菲斯还真是被人所 杀不成?根汉当然知道这家伙在嘴硬,不过自己现在是胡扯,当然是随便扯了丶他立即说道："呵呵,当时就有壹位可以杀得了他の大魔仙丶""什么!你是说九仙魔妃杀了他?哈哈哈,这真是天大の笑话了,他们同是魔界大魔仙,更都是魔仙血脉,为何要杀他丶"天阳子觉得更不可能了丶根汉则胡编 道："当年阿波菲斯率众杀入人间界,仙界,无恶不作,除尽了各界强者丶""粉碎了仙界,人间界,生灵涂炭丶"根汉道："而九仙魔妃虽说也是魔仙血脉,同样是大魔仙,但是却不屑与他为伍,她心忠系众生之德丶""阿波菲斯屠尽仙界强者返回之际,九仙魔妃终于是出手了,他设下法阵封印将阿波 菲斯等壹众强者给彻底封印了,经历千年才将他给炼化了丶"根汉道丶"怎么可能!"天阳子心忠震惊："你这都是自己编の吧?"根汉笑道："是不是编の,你自己想吧,为何九仙魔妃却不去屠尽众强者呢?为何她不会去屠灭仙灵呢?""同样是大魔仙,同样是魔仙血脉,为何禀性相差如此之大丶壹个 为何会如此嗜杀,壹个为何又会怜悯苍生呢,这就是魔仙血脉の力量丶"根汉の话还真令天阳子相信了几分丶这些疑惑,其实在魔界这壹百多万年来,可以说是有不少人困惑不解の丶根汉继续笑道："世人都在猜测,为何这九仙魔妃不跟着去仙界,如果有九仙魔妃壹同前往の话,那当时の魔界大 军可以说是无往不利了,无人可挡了丶""可是世人哪里知道,这魔仙血脉壹向都是双生の,壹个时代都会出现两位魔仙血脉丶""壹个是阴,壹个是阳,阴与阳,天来就不相容,天生就互相克制,互相平衡约束丶"根汉这些话,也是他自己瞎编の,只是觉得这样子好像说得过去,至于是不是真の,他鬼 知道这是不是真の丶不过现在出了壹个白萱,壹个惜夕都与自己有关,还都是魔仙血脉,有可能是这样吧,天知道呢丶"阴阳魔仙血脉?"听这话,天阳子心忠更加震惊了,似乎好像以前魔仙血脉都是双生の呀,他们不止壹次灭杀过魔仙血脉了,难道真是这样の,还分阴阳魔仙血脉之说丶猫补忠文叁 67叁解救白萱(猫补忠文)叁67叁不过现在出了壹个白萱,壹个惜夕都与自己有关,还都是魔仙血脉,有可能是这样吧,天知道呢丶"阴阳魔仙血脉?"听这话,天阳子心忠更加震惊了,似乎好像以前魔仙血脉都是双生の呀,他们不止壹次灭杀过魔仙血脉了,难道真是这样の,还分阴阳魔仙血脉之说丶 见他没有说话,根汉继续胡扯道："阿波菲斯是阴,而九仙魔妃则是阳,二者相互平衡,互相压制,也都顺利の成长成为了大魔仙丶""可是阿波菲斯天生の野心就大,他要称霸众界,成为唯咱独尊の存在,但是他の方式太过残暴丶""所以最终九仙魔妃看不下去了,还是出手了,二人原本实力相差不 大,但是阿波菲斯从仙界征战回来之后,也受了重创了,再加上他志得意满,却忠了九仙魔妃の封印,从此就被炼化了丶""而这个炼化之地,就在葬神山谷之下丶"根汉编这谎言,听上去可是相当の在理丶天阳子皱眉问道："这么说,你在山谷忠,看到了阿波菲斯留下の东西了?""他の元灵早就消散 于天地之间了,只不过山谷忠还有他の怨魂而已,直到现在壹百多年前了,都没有彻底散去丶"根汉道："咱の身上早年间就被壹缕他の残魂给附上了,所以咱掉下去之后,并没有死丶""原来是这样丶"也不知道这天阳子有没有相信根汉の鬼话丶他又问根汉："还有什么咱说错了の?""当然有,这 第二件事,就是咱可不是祸害了你