1.2.1任意角的三角函数优秀PPT课件

2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.
（2）180°＝ rad.
3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
β=α＋k·360°（k∈Z） 2k (k Z )
4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，
tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的 值分别等于什么？
例3、已知角 的终边经过点P0 (3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
法二解：由已知可得：
r x2 y2 32 (4)2 5
于是，sin y 4 r5
cos x 3 r5
tan y 4 x3
返回
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
例2、求 5 的正弦、余弦和正切值.
理论
3
迁移
解：在直角坐标系中，作 AOB 5 ，易知 AOB
31 3
的终边与单位圆的交点坐标为 ( , )
所以 sin 5 3 cos 5 1 2 tan25 3
y
wk.baidu.com
32
32
3
，
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
o
﹒
A
x
3
6
sin 7 1 ,
6
2
终边上的位置无关.
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
4
3
2
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
2
1
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P12,5 ，
M 0P0 4
OM x
O
x
OM 0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
Px, y P0 3,4
于是，sin y y | MP | M 0P0 4 ;
1 OP
OP0
5
cos x x OM OM 0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
sin 2 2 5 , cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号：
1、正弦函数值sin y
A1,0 x
sin
cos
tan
R
R
2
k
(k
Z )
任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 sin b , cos a , tan b
r
r
a
直角坐标系中定义锐角三角函数 sin b , cos a , tan b
r
r
a
单位圆中定义锐角三角函数 sin b, cos a, tan b
定义推广：2、任意角的三角函数第二定义：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0
那么① y 叫做 的正弦，即 sin y
r
r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos x
r
③
y x
叫做
的正弦，即
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的
C ﹒B
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
例3 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0P0 M0 M
tan MP b
OM a
o
﹒
aM x
诱思探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP ∽ OM P
sin MP M P
OP OP
cos OM
OP
OM OP
x
tan MP
OM
M P OM
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若 OP r 1，则以原点为圆心,以单位
B
α
C
A
5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα， tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.
知识
探究一
思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP r
y
﹒Pa, b
r b
思考一
二 三
四
例1
例2 例3 例4 检测
作业
问题提出
1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的， 包括哪些情形？
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. （2）按逆时针方向旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有
作任何旋转形成的角为零角.
（3）角的大小是任意的.
a
单位圆中定义任意角的三角函数 sin y, cos x , tan y x
实例剖析
例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ，P( 1 , 3 )
求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
2
P( 1 , 3 ) 22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
y
（3） 叫做
的正切，记作tan ，即 tan y (x 0)
x
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思 考 3
y
Px, y﹒
O
根据三角函数的定义，确定它们的 定义域（弧度制）
三角函数
定义域
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x2 y2 122 52 13
于是，sin y 5
r 13
cos x 12
r 13
tan y 5
x 12
变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、 余弦、正切值．
2 当角的终边在第三象限时， 在角的终边上取点1, 2，则r 12 22 5
长度为半径的圆叫做 单位圆.
Y
P(a, b)
sin
MP OP
b
O
M
cos OM a
X
OP
tan MP b OM a
1、任意角的三角函数第一定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
规定:（1）y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
x （2） 叫做 的余弦，记作 cos，即 cos x ；