1.2.1任意角的三角函数优秀PPT课件
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1.2.1任意角的三角函数课件
小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-
《1.2.1 任意角的三角函数》PPT课件(浙江省市级优课)
P1(x, y)
cos x x 1 1
M M1 O
x
12 2
tan y 3 3
x 1
【考考你】
（1）说出几个使得 cosα＝1 的α的值．
(2)角的终边在直线y 2x上，求sin,cos,tan的值。
情景引入
在数学的天 地里，重要的不 是我们知道什么， 而是我们怎么知 道什么！ ——毕达哥拉斯
问题1：锐角 的正弦函数如何定义？
P
sin | PM | | PM | | PM | rsin
| OP | r
O
ห้องสมุดไป่ตู้
M
结论： t 0在锐角的范围中，h h0 r sin t 0
问题2: 请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的
【练习】
1、已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的
三个三角函数值。
22
2、求角 的三个三角函数值。
【例4】 ：已知角α的终边经过点 P(1, 3)，求角α的 正弦、余弦和正切值。
分析：OM1P1∽ OMP
| OP | (1)2 ( 3)2 2
sin y y 3
12
P(1, 3) y
7 y
O
x
点评：要判断三角函数值的符号，只需判断角的 终边所在位置即可
【例3】：已知角α的终边经过点
P（
1 2
，－
3 ），求角α
2
的正弦、余弦和正切值．
y
解：根据任意角的三
角函数定义：
1 O2
sin 3
2
cos 1
2
3 x tan 3
2
点直评接：利用若定已义知求角三α的角终函P边数与值12单,。位2圆3 的 交点坐标，则可
cos x x 1 1
M M1 O
x
12 2
tan y 3 3
x 1
【考考你】
（1）说出几个使得 cosα＝1 的α的值．
(2)角的终边在直线y 2x上，求sin,cos,tan的值。
情景引入
在数学的天 地里，重要的不 是我们知道什么， 而是我们怎么知 道什么！ ——毕达哥拉斯
问题1：锐角 的正弦函数如何定义？
P
sin | PM | | PM | | PM | rsin
| OP | r
O
ห้องสมุดไป่ตู้
M
结论： t 0在锐角的范围中，h h0 r sin t 0
问题2: 请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的
【练习】
1、已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的
三个三角函数值。
22
2、求角 的三个三角函数值。
【例4】 ：已知角α的终边经过点 P(1, 3)，求角α的 正弦、余弦和正切值。
分析：OM1P1∽ OMP
| OP | (1)2 ( 3)2 2
sin y y 3
12
P(1, 3) y
7 y
O
x
点评：要判断三角函数值的符号，只需判断角的 终边所在位置即可
【例3】：已知角α的终边经过点
P（
1 2
，－
3 ），求角α
2
的正弦、余弦和正切值．
y
解：根据任意角的三
角函数定义：
1 O2
sin 3
2
cos 1
2
3 x tan 3
2
点直评接：利用若定已义知求角三α的角终函P边数与值12单,。位2圆3 的 交点坐标，则可
1.2.1任意角的三角函数(一)PPT课件
解 设
P(以x，αy＝)为32πα为＝例32π，上其任余一略点。，易知点
P(x，y)在
y
轴负半轴上。
∴x＝0，y<0，r＝ x2＋y2＝－y>0。
∴sin 32π＝yr＝－1；cos 32π＝-xr＝0；tan 32π＝yx，无意义。 7
1.2.1（一）
例1、 已知角 α 的终边上一点 P(－15a,8a) (a∈R 且 a≠0)，求
-
12
1.2.1（一）
探究点四 诱导公式一 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同
α 的各三角函数值。
解：∵x＝－15a，y＝8a ∴r＝ －15a2＋8a2＝17|a| (a≠0) (1)若 a>0，则 r＝17a，于是sin α＝187 cos α＝－1157 tan α＝－185 (2)若 a<0，则 r＝－17a,于是sin α＝－187 cos α＝1157 tan α＝－185
tan B＝ba＝43.
-
2
1.2.1（一）
问题 2 如图，锐角 α 的顶点与原点 O 重合， 始边与 x 轴的非负半轴重合，在 α 终边上 任取一点 P(a，b)，它与原点的距离为 r， 作 PM⊥x 轴，你能根据直角三角形中三角 函数的定义求出 sin α，cos α，tan α 吗？
答 sin α＝br，cos α＝ar，tan α＝ba.
(2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0， ∴sin 285°·cos(－105°)>0。
随堂练习 2 (1)若 sin αcos α<0，则 α 是第__二__或__四___象限角。 (2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4 的符号是_负___号____。
1.2.1任意角的三角函数优秀课件
实例剖析
例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ，P( 1 , 3 )
求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
2
P( 1 , 3 ) 22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
y
上述等式中的绝对值
ห้องสมุดไป่ตู้
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0)
O
x
向,使它们的取值与点P α的 P
的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
例2、求 5 的正弦、余弦和正切值.
理论
3
迁移
解：在直角坐标系中，作 AOB 5 ，易知 AOB
31 3
的终边与单位圆的交点坐标为 ( , )
所以 sin5 3 cos5 1 2 tan25 3
y
32
32
3
，
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
6
7 1
（3）角的大小是任意的.
2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.
（2）180°＝ rad.
1.2.1 任意角的三角函数.ppt
作业：
P21 习题1.2 A组 7，8，
2019-10-9
感谢你的欣赏
8
2019-10-9
感谢你的欣赏
9
（1）
cos
9
4
（2）tan( 11 )
6
解：（1）cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
（2）tan( 11 ) tan( 2 ) tan tan 3
6
6
6 63
练习 求下列三角函数值
tan 19
3
3
1 tan( 31 ) 4
2019-10-9
感谢你的欣赏
6
归纳 总结
1. 内容总结：
①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象 限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结：
运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .பைடு நூலகம்现的数学思想：
2019-1划0-9 归的思想，数形感谢结你的欣合赏 的思想.
7
练习
P15 练习 4，5, 6, 7 P20 习题1.2 A组 6 , 9
o
x
（ ）（ ）
cos
y
（ ） （ ）
o
x
（
）（
tan
）
2019-10-9
感谢你的欣赏
2
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
sin 0 ①
角 为第三象限角.
tan
0
②
证明：因为①式 sin 0成立,所以 角的终边可能位
于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
P21 习题1.2 A组 7，8，
2019-10-9
感谢你的欣赏
8
2019-10-9
感谢你的欣赏
9
（1）
cos
9
4
（2）tan( 11 )
6
解：（1）cos 9 cos( 2 ) cos 2
4
4
42
（2）tan( 11 ) tan( 2 ) tan tan 3
6
6
6 63
练习 求下列三角函数值
tan 19
3
3
1 tan( 31 ) 4
2019-10-9
感谢你的欣赏
6
归纳 总结
1. 内容总结：
①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象 限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结：
运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .பைடு நூலகம்现的数学思想：
2019-1划0-9 归的思想，数形感谢结你的欣合赏 的思想.
7
练习
P15 练习 4，5, 6, 7 P20 习题1.2 A组 6 , 9
o
x
（ ）（ ）
cos
y
（ ） （ ）
o
x
（
）（
tan
）
2019-10-9
感谢你的欣赏
2
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
sin 0 ①
角 为第三象限角.
tan
0
②
证明：因为①式 sin 0成立,所以 角的终边可能位
于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
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2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？
（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.
（2）180°＝ rad.
3. 与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
β=α＋k·360°（k∈Z） 2k (k Z )
4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，
tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的 值分别等于什么？
B
α
C
A
5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα， tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.
知识
探究一
思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP r
y
﹒Pa, b
r b
tan MP b
OM a
o
﹒
aM x
诱思探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP ∽ OM P
sin MP M P
OP OP
cos OM
OP
OM OP
x
tan MP
OM
M P OM
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若 OP r 1，则以原点为圆心,以单位
定义推广：2、任意角的三角函数第二定义：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x 2 y 2 0
那么① y 叫做 的正弦，即 sin y
r
r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos x
r
③
y x
叫做
的正弦，即
tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的
思考一
二 三
四
例1
例2 例3 例4 检测
作业
问题提出
1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的， 包括哪些情形？
（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. （2）按逆时针方向旋转形成的角为正角， 按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有
作任何旋转形成的角为零角.
（3）角的大小是任意的.
y
（3） 叫做
的正切，记作tan ，即 tan y (x 0)
x
x
y
注意：正弦，余弦，正切都
Px, y﹒
O
A1,0 x
是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
思 考 3
y
Px, y﹒
O
根据三角函数的定义，确定它们的 定义域（弧度制）
三角函数
定义域
例2、求 5 的正弦、余弦和正切值.
理论
3
迁移
解：在直角坐标系中，作 AOB 5 ，易知 AOB
31 3
的终边与单位圆的交点坐标为 ( , )
所以 sin 5 3 cos 5 1 2 tan25 3
y
32
32
3
，
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
o
﹒
A
x
3
6
sin 7 1 ,
6
2
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x2 y2 122 52 13
于是，sin y 5
r 13
cos x 12
r 13
tan y 5
x 12
变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、 余弦、正切值．
2 当角的终边在第三象限时， 在角的终边上取点1, 2，则r 12 22 5
例3、已知角 的终边经过点P0 (3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
法二解：由已知可得：
r x2 y2 32 (4)2 5
于是，sin y 4 r5
cos x 3 r5
tan y 4 x3
返回
点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数 值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得 解。
长度为半径的圆叫做 单位圆.
Y
P(a, b)
sin
MP OP
bOBiblioteka Mcos OM a
X
OP
tan MP b OM a
1、任意角的三角函数第一定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
规定:（1）y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
x （2） 叫做 的余弦，记作 cos，即 cos x ；
终边上的位置无关.
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
4
3
2
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
2
1
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P12,5 ，
A1,0 x
sin
cos
tan
R
R
2
k
(k
Z )
任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 sin b , cos a , tan b
r
r
a
直角坐标系中定义锐角三角函数 sin b , cos a , tan b
r
r
a
单位圆中定义锐角三角函数 sin b, cos a, tan b
a
单位圆中定义任意角的三角函数 sin y, cos x , tan y x
实例剖析
例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ，P( 1 , 3 )
求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
2
P( 1 , 3 ) 22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。
M 0P0 4
OM x
O
x
OM 0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
Px, y P0 3,4
于是，sin y y | MP | M 0P0 4 ;
1 OP
OP0
5
cos x x OM OM 0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
sin 2 2 5 , cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号：
1、正弦函数值sin y
C ﹒B
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
例3 已知角 的终边经过点 P0(3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
y
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0P0 M0 M