概率论-第五章

2 5 1 0 5 0 0 0 0 .5 5 0 0 0 0 .1
)
1 (
) 1 (1 .4 1 4 )
1 0 .9 2 1 4
0.0786
7、计算机在进行加法时，将每个加数舍入最靠近
它的整数，设所有舍入误差是独立的，且在(-0.5,0.5) 上服从均匀分布，1）若将1500个数相加，问误差总 和的绝对值超过15的概率是多少？2）最多可有多少 个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于 0.9。 解：设 i i 个 加 数 取 整 后 的 误 差 i ~ U 0 .5, 0 .5
6000

5 6
) 1
2 (0 .0 1 1 2 0 0 3 6 ) 1 2 (0 .0 1 2 0 6 3 ) 1
2 ( 2 .0 8) 1
2 0.9812 1
0.9624
P159 3、某计算机系统有120个终端，每个终端 有5％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互
且 E X 1 0 0 0 .2
DX
20
1 0 0 0 .2 0 .8 1 6
由中心极限定理知
30 20 X 20 P X 30 1 P X 30 1 P 16 16 X 20 1 P 2 .5 1 2 .5 16
D X i 0 .1
i 1
由独立同分布的中心极限定理知
X 5 0 0 0 0 .5 5 0 0 0 0 .1 ~ N 0,1
（近似服从）
则
P X 2510 1 P X 2510
1 P(
X 5 0 0 0 0 .5 5 0 0 0 0 .1 2510 2500 5 2
P X 10 1 P X 10
1 P(
1 (
X 0 .6 5 .7 4
2 .3 8 7

1 0 0 .6 5 .7
) 1 (
4 5 .7
)
) 1 (1 .6 7 5) 1 0 .9 5 2 5 0.0475
P159 4、某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问 一盒中应装多少只螺丝钉才能使含有100只合格品 的概率不小于0.95。 解：设ζ表示一盒中不合格品个数，则ζ~（n,0.01） Eζ=np=0.01n , Dζ=np（1-p）=0.0099n 由中心极限定理 P(n-ζ≥100)=P(ζ≤n-100) ≥0.95 于是，n-100-0.01n/（根号0.0099n）≥1.64 n≥10 所以，一盒中应装有103只螺丝钉才能使其中 含有100只合格品的概率不小于0.95.
(
N E
1 5 0 0 .7
查正态分布表得
1 5 0 0 .7 0 .3 N 105 E 3 .0 1 3 1 .5
) (
N E
105 3 1 .5
)

N E
1 0 5 1 6 .8 9 3 6

N E
1 2 1 .8 9 3 6
N 121.8936 E
1 5 0 0 个 数 相 加 的 总 误 差
1500

i 1
i
则
E i 0
1) P
D i
1 12
i
1, 2,
15 1200 /12 )

15 1 P (

1200 /12
1 P (
15 1200 /12
N 122 E
P159 6、设各零件的重量是随机变量，它们相互 独立，且服从相同分布，其数学期望为0.5kg，均 方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？ 解：设Xi={5000只零件中i个零件的总重量}
5000
则
X

Xi
E X i 0 .5
1 0 .9 9 3 8 0 .0 0 6 2

2 n
D n

)
n 12
P n 10
P(
n
n /12

10
来自百度文库
P (
10 n / 12

n /12 n 10 ) n / 12 n / 12
2 (
10 n /12
) 1
2 (1 0
12 n
) 1 0 .9
查正态分布表得
10 12 n 1 .6 4 5


1200 /12
15 1200 /12
15 1200 /12 )]
)
1 [ (
15 1200 /12
) (
2[1 (
15 1200 /12
)]
0 .1 7 9 7 4
n
2）设 n 则
n个 数 相 加 的 总 误 差

i 1
n
i
a n E n 0
P159 5、某实验室有150台仪器，各自独立工作， 每台仪器平均只需70%的工作时间，而每台仪器工 作时要消耗的电功率为E，试问要供应这个实验室 多少电功率才能以99.9%的概率保证这个实验室不 致因为供电不足而影响工作。 解：设X={150台仪器工作的机床数} 则 X ~ B 1 5 0, 0 .7 由题意知：供应电功率N个单位 使 0.999 P E X N
n 4 4 3 .4 5
所以，至多444个数相加使得误差总和的 绝对值小于10的概率不小于0.9。
8、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度 不小于3m，现在从这批木柱中随机地取出100根， 问其中至少有30根短于3m的概率是多少？ 解：利用拉普拉斯中心极限定理 从一批木柱中随机地取出100根，不放回抽样 近似的看作放回抽样。对100根母猪长度测量 看成进行100次贝努里试验，设随机变量
P158 1、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其 数学期望之差大于三倍均方差的概率。 2 DX 解： 设随机变量为X， E X 则
P
X EX 3
DX

2 2
P X 3


3

1 9 1 6 ,
P158 2、现有一大批种子，其中良种占 占的比例与 6 之差小于1％的概率。 解：设X={6000粒种子中的良种数}
1
今在
其中任选6000粒，试问在这些选出的种子中良种所
则
1 X ~ B 6 0 0 0, 6
DX
6000
X 1 6
, 1
EX 5 6
6000
1 6
1000

2500 3
6000
1 6
6
则
P(
1 % ) 2 (0 .0 1
1 Xi 0
100
第 i根 木 柱 长 度 短 于 3 0 m 第 i根 木 柱 长 度 不 短 于 3 0 m
P X i 1 0 .2,
X
P X i 0 0 .8,

Xi
表示100根木柱中长度短于3m的根数
i 1
则
X ~ B 1 0 0, 0 .2
独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。
解：设 X i 则Xi
1 2 0 个 终 端 中 第 i 个 终 端 在 使 用 ~ B 1 2 0, 0 .0 5
EX
1 2 0 0 .0 5
0 .6
DX
1 2 0 0 .0 5 0 .9 5
5 .7