必修四1.4.3正切函数的性质与图象

3.诱导公式：
正切函数 y tan x
问： 1）正切函数的图像是什么样？
2）它又有哪些性质呢？
正切函数的图像和性质 问题1、正切函数 y
= tanx 是否为周期函数？（周期性）
∵f x +π = tan x +π = tanx f x
∴
y = tanx 是周期函数，最小正周期为 ．
k 3. (1) y tan 2 x, x ( k ) 4 2
x (2) y 5 tan , x (2k 1) ( k ) 2

预习自测
4. (1) tan138 ____ tan143


13 17 (2) tan( ) ____ tan( ) 4 5
3 (1) 2 4 (1)
(2)2
(2)
题型三
【例 3】 求下列函数的最小正周期: ( 1) y=- tan x 3 ;
求周期
3
5
( 2) y=| tan x| . 分析: ( 1) 利用 T= 求解; ( 2) 画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解: ( 1) ∵ ω= , ∴ 最小正周期 T= = 3.
|ω|
（1）正切函数的图象
（2）正切函数的性质：
定义域： x | x k , k Z 2
3 2


2


值域： 全体实数R
3 2
正切函数是周期函数， 周期性： 最小正周期T= 奇函数， 奇偶性：

k , k , k Z 正切函数在开区间 2 单调性： 2 内都是增函数。
T
?

1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域； y 的终边不在y轴上 tan x 0 x
k

2
k z
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan( x) tan x 是y tan x的周期；
正切函数的图像和性质 问题3、正切函数 y
3 2

0
回顾： 1.如何作正弦函数的图像？ 2.如何研究正弦函数，余弦函数的性质？ y y=sinx
1 -6 -5 -4 -3 -2 - o -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 2 3 4 5 6 x
y=cosx
2 3 4 5 6 x
3 变式：求函数y tan(2 x )的定义域、周期和单调区间。 4
5 k 定义域： , k x x 8 2 周期：T = 2 k 5 k 单调减区间： + , , k 2 8 2 8
预习自测
1.(1) tan x 0 (2) tan x 0 (3) tan x 0
y tan x

正切函数的图象
3 2

0
y
3 2

2


3 2
o
x
问题4、正切函数 y
= tanx 的单调性。

2 k ,
正切函数在开区间(问题5、正切函数 y

= tanx
2 的值域。
k ), k 内都是增函数.
值域为R
正 切 函 数 图 像
性质 :
3
3
( 2) 函数 y=| tan x| 的图象是将函数 y= tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去, 其余不变, 如图所示.
由图知函数 y=| tan x| 的最小正周期为 π. 反思: 函数 y= Atan(ωx+ φ) 与函数 y=| Atan(ωx+ φ)| (A≠0, ω≠0)的最小正周期均为 T= .
作图
3 8
，
4
， 8
，
8
， 4
3 ， 8
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
作图(-

4
, 1), (0, 0), (

4
,1), x -

2
,x

2
y
1
3 2



2
-1
0
2
来自百度文库

3 2
x
正切曲线是由被相互平行的直线 x k (k Z ) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的。 三点两线法作图
x k x k , k 2
x x k , k
x k x k , k 2
预习自测
2. tan3x的定义域
k , k x x 3 6
预习自测
Y
x ， ， 2 2
的图

（ ， tan ）
3 3
A
0
3
X
x ， 的图像: 利用正切线画出函数 y tan x ， 2 2
作法: (1) 等分： (2) 作正切线 (3) 平移 (4) 连线 把单位圆右半圆分成8等份。
预习自测 1 (1) x k x k , k (2) x x k , k 2 (3) x k x k , k 2 k 2 x x , k 3 6
⑴ 定义域： ⑵ 值域： ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性： ⑸ 单调性：
渐 近 线
渐 近 线

R
{x | x k, k Z} 2
奇函数，图象关于原点对称。
在每一个开区间 (

(6)渐近线方程： (7)对称中心
2 x k , k Z 2
k ,

2
kZ k ) ，
内都是增函数。
kπ , ( ,0) k Z 2
对称轴呢？
典型例题
例1.求函数y= tan(

2
x

3
)的定义域、周期和单调区间。
5 定义域： x x 2k , k 3
周期：T 2
5 1 单调增区间： +2k , 2k , k 3 3
= tanx 的奇偶性。
定义域为 x x k , k ，关于原点对称 2 f ( x) tan( x) tan x f ( x) f ( x)为奇函数
正切函数的图像和性质
如何利用正切线画出函数 像？
角 的终边 3 T
y tan x