第22章量子力学基础教案

第二十二章量子力学基础知识

1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，

玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。

海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，

形成了完整的量子力学理论。---------------------------------------------------------------------------

教学要求：

* 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义；

* 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；

* 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，

会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；

* 理解不确定关系并作简单的计算；

* 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程

* 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，

学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。

教学内容：

§22-1 波粒二象性

§22-2 波函数

§22-3 不确定关系

§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）

§22-5 一维无限深势阱中的粒子

§22-6 势垒隧道效应 *

§22-7 谐振子 *

教学重点：

实物粒子的波粒二象性及其统计意

义；

概率密度和发现粒子的概率计算；

实物粒子波的统计意义—概率波;

波函数的物理意义及不确定关系。

作业

22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、

22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、

22-17)、22-18)、

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§22-1 波粒二象性

1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世

纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，

是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，

是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，

而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的

对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。

一 德布罗意假设

一切实物粒子都具有波粒二象性（德布罗意按对称性及类比推论提出）。 * 物质波或德布罗意波：

其波频率和波长分别为：

⎭⎬⎫==p h h E //λν

(22-1) 式中：E ——实物粒子的能量 P ——实物粒子的动

量 ————

德布罗意关系式

讨论

1）实物粒子波与光的波粒二象性

[(21-4)、(21-6)式]完全一致，

宏观物体质量大，物质波长极短，

难以观测，

微观粒子(如电子)，其质量小，物

质波长可观测到。

2) (22-1) 式左边为描写“波”的物理量，右边为描写“粒子”的物理量。

3）经电势差U 加速后的电子(初速度忽略不计, 静质量e m )，

将获得eU E k =动能，由相对论动量与能量关系：

022*********)(E E E E E E E E p c k k k +=-+=-=

可得电子动量为：

222022121c eUm U e c E E E c p e k k +=+=

由德布罗意关系式得波长：

2222c

eUm U e hc p h e +==λ

(22-2)

4）如果经电势差U 加速后电子的速率c v <<，可忽略相对论效应，

直接由动量

eU m E m p e k e 22==得到：

nm 225.12U eU m h p h e ===λ (22-3)

例22．1 计算电子经过 (1) V 100.16

⨯=v ，(2) V 150=U 电压加速后的德布罗意波

长。

解 (1) 电子经电场加速后的德布罗意波长可由(22-2)式计算：

109785.01(225.12222U c eUm U e hc

e ⨯+=+=λ

代入

V 100.16⨯=U ，可得： nm 1071.84

-⨯=λ（极短）

（电子显微镜加速电子获得波长极短电子波，提高显微镜分辨率）

(2) 加速电压为150V 时（忽略相对论效应），

采用非相对论波长公式(22-3)得：

nm 10.0225.1==U

λ 可知：由加速电压为150V 得动能eV 150=k E 电子的德布罗意波长

与X 射线波长同数量级，因此

观察电子衍射可采用与X 射线

衍射相同方法，例如用晶体作

天然光栅实现衍射。

例22.2 计算质量kg 01.0=m ，速率m/s 500=V 的子弹的德布罗意波长。 解： 根据(22-1)式得：

m 1033.1500

01.010626.63434

--⨯=⨯⨯===mV h p h λ

可见：宏观物体的德布罗意波长小到实验上难以观测，仅表现出粒子性。 二 物质波的实验验证

1、电子衍射实验（戴维逊和革末，1927

年）

热阴极K发出电子，过狭缝D成很细电子射线束，以掠射角φ投射镍单晶M上，

集电器B收集反射电子，电流计G测电子流强度I。保持掠射角φ不变，改变加

速电压U大小测量出不同电流强度I，I~曲线如图所示。

绘制U

实验表明：随加速电压U增加，当电压取某些特定值时，电流呈现峰值，

显示规律性（与X射线在晶体上衍射规律极为相似）。