第22章量子力学基础教案
大学物理：第 22 章 量子力学基础
海森堡（W. Heisenberg）在1927年发表了著名的位 置—动量不确定关系
x px ~ h
以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射 “中央亮纹”半角宽度满足：
x
如果把单缝看成对电 子坐标的测量仪器， x— 相当于对电子坐 标测量的不确定度。 单缝存在使电子在x方向的动量分量出现不确定性
的概率为：
对N 个粒子， N Ψ
给出粒子数的分布密度。
* ( r , t )dV r , t r , t dV * dN NΨ r , t Ψ r , t dV
对N 粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为
[例22-2] 用几率波说明弱电子流单缝衍射 让入射电子几乎一个一个地通过单缝 底片上出现一个一个的点子，开始时 点子无规则分布 —— 说明电子具有 “粒子性”，但不满足经典的决定论。 随着电子数增大，逐渐形成衍射图 样——衍射图样来源于“单个电子” 所具有的波动性——统计规律。 一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果。 德布洛意波（物质波）也称为概率波。
Einstein-Bohr 争论（1927-1955） 在1927年Solvey会议上： Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前 一个电子落在何处有关，这是不可能的。 Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。
Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以 设计更精确的实验仪器解决。
说明：
1. Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。
有意义的是
2 * r , t r , t r , t r , t
2
对单个粒子， Ψ
第22章量子力学基础教案
第二十二章量子力学基础知识1924 年德布罗意提出物质波概念。
1926 年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。
1927 年海森堡提出著名的不确定关系。
海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。
---------------------------------------------------------------------------教学要求：*了解实物粒子的波动性及实验 , 理解物质波的统计意义；*能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；*了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；*理解不确定关系并作简单的计算；*了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程*了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。
教学内容：§22-1 波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。
作业22-01) 、 22-03) 、22-05) 、22-07) 、22-09) 、 22-11) 、22-13) 、22-15) 、22-17) 、22-18) 、-------------------------------------------------------------------§22-1波粒二象性1924 年，法国德布罗意在博士论文中提出 : “整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。
量子力学教案
§1.1 经典物理学的困难宏观物理的机械运动：牛顿力学电磁现象：麦克斯韦方程光现象：光的波动理论热现象热力学与统计物理学多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实验精度和研究理论的应用。
19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。
”：（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公式，在高频部分趋无穷。
（2）“以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。
历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。
预示物理学正面临新的挑战。
黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热光的波粒二象性玻尔原子结构理论（半经典）微观粒子的波粒二象性量子力学一．黑体辐射问题黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。
热辐射：任何物体都有热辐射。
当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设→维恩公式长波部分不一致经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二．光电效应光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。
光电效应的规律：（1）存在临界频率；（2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。
光强越大，光电子数目越多。
(３)时，光一照上，几乎立刻（）观测到光电子。
这些现象无法用经典理论解释。
三．原子的线状光谱及原子的稳定性氢原子谱线频率的巴耳末公式： ,叫波数。
原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。
§1.2 早期的量子论一．普朗克的能量子假设1．普朗克公式普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。
h叫普朗克常数焦尔.秒。
2．普朗克的能量子假设对一定频率的电磁波，物体只能以为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。
量子力学基础教案
量子力学基础教案
量子力学基础教案
一、教学目标
1.掌握量子力学的基本概念和原理，理解量子力学的实验基础和基本假设。
2.掌握量子力学中的基本运算和符号表示，了解量子力学中的基本概念和术
语。
3.理解量子力学中的基本问题和方法，了解量子力学在物理、化学、生物等
领域的应用。
二、教学内容
1.量子力学的历史背景和基本概念。
2.量子力学的基本原理和假设。
3.量子力学中的基本运算和符号表示。
4.量子力学的基本问题和解决方法。
5.量子力学的应用领域和实例。
三、教学步骤
1.导入新课，介绍量子力学的历史背景和基本概念。
2.讲解量子力学的基本原理和假设，通过实例帮助学生理解。
3.讲解量子力学中的基本运算和符号表示，让学生掌握基本操作方法。
4.讲解量子力学的基本问题和解决方法，让学生了解量子力学的应用领域和
实例。
5.课堂练习和讨论，让学生加深对量子力学的理解。
6.总结本节课内容，布置课后作业。
四、教学评价
1.通过课堂表现和作业评价学生的学习效果。
2.通过小组讨论和报告评价学生的合作能力和表达能力。
3.通过定期测验和期末考试评价学生的学习成果。
第22章量子力学基础
实物粒子的波动性（1）光的波粒二象性光的干涉和衍射现象表明了光具有波动性，光电效应和康普顿散射表明了光具有粒子性。
频率为ν、波长为λ的光波对应的光子的能量为h εν=，动量为hp λ=，光子的质量为h m c c εν==22。
（2）德布罗意物质波假设法国物理学家德布罗意从对称思想出发，大胆地设想：不仅光具有粒子和波动两种性质，而且实物粒子也具有这两种性质。
并且假设描述粒子性质的能量E 和动量p 与描述波动性质的频率和波长λ之间的关系与光子一样，具有E mc h ν==2， p m λ=hv =式中m 、v 分别是实物粒子的动质量和速度，上两式都称为德布罗意公式，和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，其波长称为德布罗意波长。
（3）实物粒子的波粒二象性在经典力学中，所谓“粒子”是指该客体既具有一定的质量和电荷等属性(即物质的“颗粒性”或“原子性”)，又具有一定的位置和一条确切的运动轨迹(即客体在每一时刻有一定的位置和速度或动量)；而所谓“波动”是指某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相干叠加性的现象。
显然，在经典概念下，粒子性和波动性是很难统一到一个客体上去的，经典物理中没有波粒二象性。
然而，大量实验表明，不但是电磁波，就是象电子、中子、质子和原子这样的物质粒子，都具有粒子性和波动性这两个方面的性质（衍射图样可证实波动性）。
1． 波函数及其统计解释（1）波函数 1925年，薛定锷提出了描述物质波的波函数。
能量为E 、动量为p 的自由粒子沿x 方向运动时，对应的物质波是单色平面波，波函数为：()()ψ,i Et px x t e ψ--=0 (22-1)如果粒子做三维自由运动，则波函数可表示为：ψ(r ,t)= ψo exp[()i Et p r h π--⋅2] = ψ()exp(Et hi π2-) (22-2) （2）波函数的统计解释 1926年德国物理学家玻恩提出，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数并不象经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波)，从而赋予了量子概念下的粒子性和波动性以统一明确的含义。
【学习课件】第22章量子力学基础
动量)去描述微观粒子。
x
但波动性使微观粒子的坐 标和动量(或时间和能量) 不能 同时取确定值。
b ph
y
o
如：电子经过缝时
位置不确定 xb
电子的单缝衍射实验
x 经过缝后 2021/7/9
方向动量也不确定
px psin
9
海森伯于 1927 年提出不确定原理 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的
满足不确定性关系式：
xpx h
这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故。
2021/7/9
14
22-2 波函数
一、对物质波的理解----概率波的概念 怎样理解物质波（德布罗意波）?
观察一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
7个电子 100个电子
2021/7/9
3000
20000 70000
底片上出现一个 个的点子电子 具有粒子性。随 着电子增多，逐 渐形成衍射图样 来源于电子所 具有的波动性，
2 m 2 2 2(x x)U (x)E (x) 一维定态薛定谔方程
2021/7/9
24
§22.6 薛定谔方程的应用
一、一维无限深势阱中的粒子 1. 粒子的波函数
2m 2 22xUE
粒子处在U的力场中作一维运动。
0 (0xa)
U
( x0及 xa)
粒子只能在宽为 a 的两个无 限高势壁间运动。
2021/7/9
21
一、寻找粒子满足的微分方程的思路：
1.一维自由粒子 由一维自由粒子的波函数
在非相对论情况下，有：
i2(Etpx)
(x,t) 0e h
t
i2
h
E
i
p2 2m
物理教学教案-量子力学
作业完成情况和质量
作业提交情况：学生是否按时提交作业 作业完成质量：作业的正确率、完整性等 作业难度评估：作业的难易程度是否合适 作业反馈情况：教师对学生作业的批改和反馈情况
期末考试和综合评价
期末考试：通过闭卷考试的形式，全面考察学生对量子力学知识点的 掌握情况。
综合评价：结合学生的平时表现、作业完成情况、课堂参与度等方面 进行综合评价，确保评价结果的客观性和全面性。
分析学生的学习 特点，采用适合 学生特点的教学 方法，提高教学 效果
关注学生的学习 进度，及时调整 教学进度和难度， 帮助学生更好地 掌握知识
注重学生的反馈， 及时改进教学方 法和手段，提高 教学质量
教学资源的优化和整合
教材选择：根据学生需求和教学目标，选择适合的教材和参考书籍。 实验设备：确保实验设备的准确性和可靠性，以及实验操作的可行性和安全性。 教学方法：采用多种教学方法，如讲解、演示、讨论等，以提高学生的学习兴趣和参与度。 信息技术：利用信息技术手段，如多媒体、网络等，丰富教学手段，提高教学效果。
案例总结：对案 例进行总结，提 炼出重要的知识 点和结论，加深 学生对课程内容 的理解。
课堂互动和小组讨论
小组讨论：分组讨论相关主题， 培养学生的合作精神和沟通能 力
互动游戏：通过互动游戏增强 学生对知识点的理解和记忆
课堂互动：鼓励学生提问和 参与讨论，促进师生互动
案例分析：结合实际案例进行 分析，帮助学生更好地理解抽
教学方法和手段的改进
增加互动环节，提高学生的参与度 采用多种教学手段，如视频、动画等，帮助学生更好地理解抽象概念 针对不同层次的学生，设计不同的教学方法和难度 加强实践环节，让学生通过实验加深对理论知识的理解
学生需求和学习特点的分析
《量子力学简明教程》授课教案
《量子力学简明教程》授课教案一、第1章：量子力学导论1.1 课程简介介绍量子力学的发展历程及其在现代物理学中的重要性。
解释量子力学与经典力学的区别和联系。
1.2 教学目标让学生了解量子力学的历史背景和发展。
让学生理解量子力学的基本概念和原理。
1.3 教学内容量子力学的历史背景和发展。
量子力学的基本概念：波函数、薛定谔方程、测量问题等。
1.4 教学方法采用讲授法，辅以案例分析、讨论等方式，帮助学生理解和掌握基本概念。
二、第2章：一维势阱与量子束缚态2.1 课程简介研究一维势阱中粒子的行为，探讨束缚态和散射态的性质。
2.2 教学目标让学生掌握一维势阱的基本性质和量子束缚态的解法。
让学生了解束缚态和散射态的区别。
2.3 教学内容一维势阱的基本性质：能级、能态、束缚态和散射态。
量子束缚态的解法：数学表达式、图形表示、解的存在性等。
2.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解一维势阱的性质。
通过实例分析，让学生掌握量子束缚态的解法。
三、第3章：势垒穿透与量子隧道效应3.1 课程简介研究在势垒作用下，粒子穿过势垒的概率问题，探讨量子隧道效应的性质。
3.2 教学目标让学生了解势垒穿透的条件和量子隧道效应的物理意义。
让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
3.3 教学内容势垒穿透的条件：入射粒子的能量、势垒的宽度、形状等。
量子隧道效应的物理意义和数学表达式。
量子隧道效应的应用：纳米技术、扫描隧道显微镜等。
3.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解势垒穿透和量子隧道效应。
通过实例分析，让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
四、第4章：哈密顿算符与量子平均值4.1 课程简介引入哈密顿算符的概念，研究量子系统的能量本征值和本征态。
探讨量子平均值的计算方法及其在实际问题中的应用。
4.2 教学目标让学生理解哈密顿算符的概念及其物理意义。
让学生掌握量子平均值的计算方法及其应用。
高中物理教案：量子力学的应用与研究
高中物理教案：量子力学的应用与研究一、量子力学的概述与基本原理量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。
与经典物理学不同，量子力学揭示了微观领域中粒子的奇特性质和行为方式。
在高中物理课程中，我们可以通过对量子力学的应用与研究，深入了解这门令人着迷的科学。
1. 物质波假说在20世纪初，法国物理学家路易·德布罗意提出了物质波假说，即将电子等微观粒子看作波动而不仅仅是粒子。
根据德布罗意波长公式λ = h/p（h为普朗克常数，p为粒子的动量），我们可以明确微观粒子也具有波动性质，并且其波长与动量成反比关系。
2. 不确定性原理尽管我们希望通过测量来准确地确定一个微观粒子的位置和动量，但根据海森堡所提出的不确定性原理，我们无法同时准确测定一个系统的位置和动量，并认识到越是精确地测定位置就越难确切测定动量。
这个原理改变了我们对于微观粒子的认识，它揭示了自然界内固有的不确定性。
3. 波函数与概率解释波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学表达式，用于描述粒子在空间中的分布情况。
根据波函数的模平方，我们可以计算出观测到某个位置上粒子的概率。
这引出了量子力学中独特的概率解释，相比于经典物理学中确定性的预测，量子物理给出了一种描述世界的统计机制。
二、量子力学在实际应用中的作用1. 半导体器件半导体器件是现代电子技术和信息技术的重要基础之一。
通过奥斯本效应、晶格振动等量子力学规律对半导体材料进行研究和设计，使得半导体器件广泛应用于计算机芯片、太阳能电池等领域。
例如，在加权球法进行半导体材料电阻率计算时就需要运用到奥斯本效应及质载流子浓度等概念。
2. 核能及放射线技术核能及放射线技术是现代能源和医学领域的重要应用。
在核裂变与核聚变过程中，需要借助量子力学原理来描述粒子间的相互作用并预测反应结果。
同时，在医学影像、肿瘤治疗等方面，放射线技术也依赖于对电子行为规律的深入研究以及量子力学模型的建立。
量子力学简明教程授课教案
量子力学简明教程授课教案第一章：量子力学概述1.1 量子力学的发展历程1.2 量子力学的基本概念1.3 量子力学与经典力学的比较第二章：波函数与薛定谔方程2.1 波函数的概念2.2 薛定谔方程的建立2.3 薛定谔方程的求解方法第三章：量子态的叠加与测量3.1 量子态的叠加原理3.2 量子态的测量3.3 测量结果的概率解释第四章：一维势阱与量子束缚态4.1 一维势阱的经典问题4.2 量子束缚态的能量与波函数4.3 束缚态的跃迁与吸收、发射现象第五章：量子力学在原子物理中的应用5.1 氢原子的能级与光谱5.2 多电子原子的能级结构5.3 激光原理与激光器第六章：量子力学在分子物理中的应用6.1 分子轨道理论的基本概念6.2 分子轨道的能级与形状6.3 分子间相互作用与化学键第七章：量子力学在凝聚态物理中的应用7.1 晶体结构的基本概念7.2 电子在晶体中的能带结构7.3 半导体与超导体的量子性质第八章：量子力学在量子计算中的应用8.1 量子比特与量子电路8.2 量子门的操作与量子计算的基本原理8.3 量子算法与量子计算机的优势第九章：量子力学在量子通信中的应用9.1 量子态的传输与量子纠缠9.2 量子密钥分发与量子通信的安全性9.3 量子通信的未来发展与应用第十章：量子力学在粒子物理中的应用10.1 粒子物理的基本概念10.2 量子场论的基本原理10.3 粒子的产生与衰变过程重点和难点解析一、量子力学的发展历程难点解析：理解量子力学与经典力学的本质区别，以及量子概念的引入对物理学带来的革命性变革。
二、波函数与薛定谔方程难点解析：解薛定谔方程的技巧，特别是束缚态和散射态的求解，以及如何从解中提取物理信息。
三、量子态的叠加与测量难点解析：量子测量理论，包括测量结果的概率解释和量子纠缠现象。
四、一维势阱与量子束缚态难点解析：理解量子束缚态的概念，以及如何计算束缚态的能量和波函数。
五、量子力学在原子物理中的应用难点解析：如何用量子力学解释氢原子的光谱线系列，以及激光产生的物理过程。
大学物理第22章量子力学基础知识《唐南》
③电子显微镜 显微镜的分辨率与波长成反比。 显微镜的分辨率与波长成反比。 由于电子的De Broglie波长比可见光 由于电子的De Broglie波长比可见光 小得多，因此， 小得多，因此，电子显微镜的分辨率 比光学显微镜高得多。 比光学显微镜高得多。当电子的动能 eV时 量级； Ek～102eV时，λ～1Å量级；Ek～105 量级 eV时 更短。 eV时，λ更短。 1932年 Ruska（ 1932年，Ruska（德）制成第一台 电子显微镜（磁聚焦）。目前， ）。目前 电子显微镜（磁聚焦）。目前，分辨 0.2nm。 率～0.2nm。 1981年 Binnig（ 1981年，Binnig（德）和Rohrer 瑞士）制成扫描隧道显微镜， （瑞士）制成扫描隧道显微镜，分辨 横向～0.1nm；纵向～0.001nm。 率：横向～0.1nm；纵向～0.001nm。 已广泛用于纳米材料、 已广泛用于纳米材料、生命科学和微 电子学等领域。 1986年Nobel奖 电子学等领域。获1986年Nobel奖。
第五篇
近代物理
两束电子动能分别为100eV 200eV， 电子的De Broglie波长 100eV和 波长。 例2：两束电子动能分别为100eV和200eV，求电子的De Broglie波长。 电子的 Broglie波长分别为 波长分别为： 解：电子的De Broglie波长分别为：
重 大 数 理 学 院第五篇来自近代物理波粒二象性
§22.1
重 大 数 理 学 院
由光电效应和Compton散射可知，光具有波粒二象性。1924年 由光电效应和Compton散射可知，光具有波粒二象性。1924年，法国 Compton散射可知 物理学家De Broglie向巴黎大学提交的一篇博士论文中 向巴黎大学提交的一篇博士论文中， 物理学家De Broglie向巴黎大学提交的一篇博士论文中，提出了物质波的 假设。他认为：19世纪以前对光的研究里过分重视波动性而忽略其微粒性 假设。他认为：19世纪以前对光的研究里过分重视波动性而忽略其微粒性 但对实物的研究正好相反，即过分重视粒子性而忽视其波动性。 ，但对实物的研究正好相反，即过分重视粒子性而忽视其波动性。实物粒 子也具有波粒二象性。由于在量子领域的杰出贡献， Broglie在1929年 子也具有波粒二象性。由于在量子领域的杰出贡献，De Broglie在1929年 获诺贝尔物理学奖，成为量子波动力学的奠基人。 获诺贝尔物理学奖，成为量子波动力学的奠基人。 Broglie之前 人们对自然界的认识， 之前， De Broglie之前，人们对自然界的认识，只局限于两种基本的物质 类型：实物和场。前者由原子、电子等粒子构成，光则属于后者。但是， 类型：实物和场。前者由原子、电子等粒子构成，光则属于后者。但是， 许多实验结果出现了难以解释的矛盾。物理学家们相信， 许多实验结果出现了难以解释的矛盾。物理学家们相信，这些表面上的 矛盾，势必有其深刻的根源。 Broglie最早想到了这个问题 最早想到了这个问题， 矛盾，势必有其深刻的根源。De Broglie最早想到了这个问题，并大胆 地设想，人们对于光子的波粒二象性会不会也适用于实物粒子。 地设想，人们对于光子的波粒二象性会不会也适用于实物粒子。如果成 立的话，实物粒子也同样具有波动性。为了证实这一设想，1923年 立的话，实物粒子也同样具有波动性。为了证实这一设想，1923年，德 布罗意提出了电子衍射实验的设想。1924年 布罗意提出了电子衍射实验的设想。1924年，又提出用电子在晶体上作 衍射实验的想法。1927年 戴维孙和革末用实验证实了电子具有波动性 用实验证实了电子具有波动性， 衍射实验的想法。1927年，戴维孙和革末用实验证实了电子具有波动性， 不久，G.P.汤姆孙与戴维孙完成了电子在晶体上的衍射实验 此后， 汤姆孙与戴维孙完成了电子在晶体上的衍射实验。 不久，G.P.汤姆孙与戴维孙完成了电子在晶体上的衍射实验。此后，人 们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。 们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。德布罗意的设想最终 ∝ 都得到一一证实。这些实物所具有的波动称为德布罗意波 德布罗意波， 物质波。 都得到一一证实。这些实物所具有的波动称为德布罗意波，即物质波。
高中物理竞赛课件 第二十二章 量子力学实验基础 (共79张)
黑体辐射规律
MBl ( T )
黑 体 的 单 色 辐 出 度
斯特藩-玻耳兹曼定律
s = 5.67×10 W- 8·m ·K - 2 - 4
维恩位移定律
b = 2.898 ×10 m-·3K
0
1
2
3
4
5
6
波长 l
10 - 6m
紫外灾难
但沿用经典物理概念（如经典电磁辐射理论和能量均分定理）去推导一个符合
c
c
l
原子实视为静止，其质量 电子静止质量
故外层电子可视为自由电子 与光子碰撞前近似看成静止
康普顿偏移公式 光子与外层电子发生弹性碰撞时，服从动量守恒和能量
守恒定律。由此推导出波长偏移量表达式：
康普顿偏移公式
电子静止质量
普朗克常量
真空中光速
均为常量
故
为常量，用 表示，称为 康普顿波长
2.43×10 -12 (m) 0.00243 ( nm )
(2)由爱因斯坦方程
查表, 钾的逸出功 A = 2.25 eV,
代入后解得
6.76×10 (m5 ·s ) - 1
由截止电势差概念
及爱因斯坦方程解得
1.3 (V )
康普顿效应概述
用X射线照射一散射体（如石墨）时，X射线发生散射，散射
l 线中除有波长和入射线 相同的成分外，还有波长
象称为康普顿效应。
銫 Cs 4.69 銣 Rb 5.15 钾 K 5.43 钠 Na 5.53 锑 Sb 5.68 钙 Ca 6.55 锌 Zn 8.06 铀 U 8.76
1.94 2.13 2.25 2.29 2.35 2.71 3.34 3.63
铝 Al 硅 Si 铜 Cu 钨W 锗 Ge 硒 Se 银 Ag 铂 Pt
九年级物理教案 (全册)人教版
九年级物理教案(全册)人教版第一章：力和运动1.1 牛顿第一定律学习目标：了解牛顿第一定律的内容及其应用。
教学内容：讲解牛顿第一定律，通过实验演示物体在无外力作用下的运动状态。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
1.2 牛顿第二定律学习目标：掌握牛顿第二定律的公式及应用。
教学内容：讲解牛顿第二定律，通过实验演示力与物体加速度的关系。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
1.3 牛顿第三定律学习目标：理解牛顿第三定律的内容及其应用。
教学内容：讲解牛顿第三定律，通过实验演示相互作用力的概念。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
第二章：能量和功2.1 动能和势能学习目标：了解动能和势能的概念及其转化。
教学内容：讲解动能和势能的定义，通过实验演示能量的转化。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
2.2 功和能量守恒学习目标：掌握功的计算及能量守恒定律。
教学内容：讲解功的计算方法，通过实验演示能量守恒的现象。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
第三章：压强和浮力3.1 压强的概念学习目标：了解压强的定义及其计算方法。
教学内容：讲解压强的概念，通过实验演示压强与受力面积的关系。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
3.2 浮力的概念学习目标：掌握浮力的计算方法及其应用。
教学内容：讲解浮力的概念，通过实验演示浮力与物体在液体中的状态的关系。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
第四章：电路和电流4.1 电路的基本概念学习目标：了解电路的组成及其工作原理。
教学内容：讲解电路的基本元件，通过实验演示电路的闭合与断开。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
4.2 电流的概念学习目标：掌握电流的定义及其计算方法。
教学内容：讲解电流的概念，通过实验演示电流与电压、电阻的关系。
教学方法：实验观察，小组讨论，教师讲解。
第五章：电磁现象5.1 电磁感应学习目标：了解电磁感应的原理及其应用。
教学内容：讲解电磁感应的现象，通过实验演示发电机的原理。
理解量子力学高中二年级物理科目教案
理解量子力学高中二年级物理科目教案第一部分：导入思想（介绍量子力学的基本概念）量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论，它主要研究微观世界中微粒的性质和相互作用规律。
通过学习量子力学，学生将能够更好地理解和解释诸如原子和分子结构、光与物质相互作用等现象。
本节课将以导入思想的方式，引起学生对量子力学的兴趣和好奇。
1.1 实验与观察（20分钟）根据导入思想的不同，教师可选择合适的实验或观察现象，以激发学生对于量子力学的兴趣。
例如，可以展示电子双缝干涉实验的图像或者讲述质子波和粒子的双重性质等。
1.2 小组讨论（15分钟）将学生分成小组，要求他们在小组内讨论所观察到的现象，并提出自己的解释。
引导学生思考微粒的性质是否与经典物理学的理论相符，以引发对于量子力学的好奇。
第二部分：量子力学的基本原理和概念（基础知识的讲解）在学生对于量子力学感到好奇后，我们将引导他们进一步了解量子力学的基本原理和概念，以打下坚实的基础。
2.1 光子理论（20分钟）讲解光的粒子性质，说明光子是一种什么样的粒子，并引导学生思考光子的波动性质与粒子性质之间的关系。
2.2 波粒二象性（25分钟）引导学生了解波粒二象性，即微粒既能表现出波动性质也能表现出粒子性质。
通过示例，让学生理解这种独特的双重性质在实验中的具体表现。
2.3 测不准原理（25分钟）介绍测不准原理，即在同一时间内，无法同时准确测量微粒的位置和动量。
通过思考实验和讨论，让学生明白这种现象的存在和局限性。
第三部分：量子力学的应用（培养学生的实践能力）在学习了量子力学的基本原理和概念后，我们将引导学生应用所学知识解决实际问题。
3.1 电子结构与元素周期表（30分钟）通过讲解电子结构与元素周期表的关系，让学生理解电子在原子中的排布规律及其对元素性质的影响。
3.2 分子结构与化学键（30分钟）引导学生了解分子结构与化学键的产生原因及其本质，通过模型和示意图，让学生理解分子的稳定性和性质与电子结构的关系。
课件-第二十二章 量子力学1
Ψ = Ae
i v v ( p⋅ r − E t ) h ～
波函数统计诠释涉及对世界 本质的认识 争论至今未息
哥本哈根学派 爱因斯坦
Ψ
Ψ
x x
Ψ
Ψ
x x
上述四种曲线哪种可能是表示波函数？
例：将波函数归一化
f ( x ) = exp(−α 2 x 2 2 )
设归一化因子为C，则归一化的波函数为
第二十二章 量子力学基础
描述微观实物粒子 运动规律的理论
§22-1
德布罗意假设
一. 德布罗意物质波假设 h p = 光的粒子性与波动性的关系式： ε = h ν λ 光具有波粒二象性，实物粒子是否具有波粒二象性？ 德布罗意假设： 实物粒子和光子一样，也具有波粒二 象性。如果用能量ε 和动量 p来表征实物粒子的粒子 性，则可用频率 ν 和波长 λ 来表示实物粒子的波动性 （1）实物粒子具有波动性，称为物质波或德布罗意波 德布罗意关系式： E = hν = hω ,
λ
v v Ψ = A cos[ (k ⋅ r − 2π ν t )]
复数式：
v v v v r = xi + yj + zk
vv i ( k ⋅r −2π ν t )
v 2π v n 令 k=
λ
Ψ = Ae v v 2π v v h v ～ E v hv ν= Q p = n , k = n ∴ p = k = hk 2π λ λ h i r r r 2 ( p⋅ r − ε t ) r Ψ ( r , t ) = Ae h ， Ψ ( r , t ) = 常数
电子不是经典的波包
二、关于粒子和波的分析 1、波包说：认为粒子实为波包。 波包说夸大了波动性一面， 抹杀了粒子性一面。 2、疏密波说：认为波动是大量粒子分布在空间的一种 疏密分布。疏密波说夸大了粒子性一面，抹杀了波动 性一面。 三、波函数的统计解释(物理意义) 1926年 玻恩 将物质波与光波作类比： 在单缝衍射实验中，从单个粒子的偶然行为和大量粒子 的规律性，可见一个粒子在空间某处出现的几率具有一 定的规律性，物质波的强度正反映了粒子出现的几率。 物质波的强度：
周世勋量子力学教案
周世勋量子力学教案一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四算符之积定义: 算符与的积为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。
五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六算符的复共轭，转置，厄密共轭1．两个任意波函数与的标积2．复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力学量O，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。
二力学量算符的性质1.力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
厄密算符的本征值必为实数证：设为厄密算符取是实数表示力学量的算符为厄密算符2．力学量算符为线性算符态叠加原理决定了力学量算符为线性算符【证】：设也应是体系的态即为线性算符三厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。
大学物理第22章量子力学基础知识
第五篇
近代物理
单电子双缝衍射实验：
7个电子
100个电子
3000 说明衍射图样不是电子相互 作用的结果,它来源于单个电子具 有的波动性。每个电子到达屏上 各点有一定概率，衍射图样是一 个电子出现概率的统计结果。
20000
70000
第五篇
近代物理
物质波的统计意义：某处物质波的强度与粒子在该处邻近出现的概 率成正比。 粒子观点 电子密处，概率大 电子疏处，概率小
， c 是待定实数。求发现粒子
概率最大的位臵和粒子出现在[0,1]上的概率。 解：先定归一化系数c
* 2 x 2 ( x ) ( x ) dx c e dx c 1
2
c
1
4
发现粒子的概率为：
( x) * ( x) ( x)
发解释
设描述粒子运动状态的波函数 为 r , t ，则： 空间某处波的强度与在该处发现 粒子的概率成正比； 在该处单位体积内发现粒子的 概率（即概率密度）与波函数的 模的平方成正比，并取比例系数 为1，即：
P r , t r , t r ,t r ,t
在量子力学中用复数表达式：
x i 2 t
Euler formula
y x, t Ae
e i cos i sin
取实部
沿X方向匀速直线运动的自由 粒子，动量、能量恒定不变。按照 De Broglie关系，此物质波的波长 和频率也保持恒定不变，即为平面 单色波，其波函数写作：
那么对于实物粒子我们很容易想到是不是以前过分强调粒子性的一面而忽略了实物波动性的一面第二十二章量子力学基础知识第五篇第五篇近代物理近代物理一切实物粒子也具有波粒二象性
量子力学教案
c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。
量子态的叠加 相干性 新特点
• 可能性和概率 • 干涉项的概率性 • 是粒子运动状态概率波自身的干涉，
不是不同粒子之间的干涉
若体系处于迭加态ψ时，则体系部分处于ψ1态，部 分处于ψ2态。
ψ1几率
例：电子在晶体表面衍射实验，粒子在晶体表面反射 后，可能以各种不同的动量 p 运动
以一个确定的动量 p 运动的状态用波函数描写：
p (r, t) Ae i (Et pr)
按态叠加原理，晶体表面反射后，粒子的状态ψ 可以表示为 p取各种可能的平面波的线性叠加：
(r,t) c( p) p (r,t)
经典粒子：确定的力学量。 量子粒子：力学量（例如位置）不确定，只有平均值
确定。
4、几率归一化
粒子在全空间出现的几率为1。
(A)-1/2 (x,y,z)是归一化的波函数，与 (x,y,z)描写
同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。波函数归一化与 否，并不影响概率分布有何变化。
令
(x, y, z) A1 2 (x, y, z,t)
在 (r,t) 态的粒子，它的动量没有确定的值，由上 式可知：粒子可处于任何一个态 p (r ,t) ，但是当粒子
的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一 定的。
可描写体系状态, 也可描写体系状态 是同一个态,不同自变量
代表在 的几率
态中，出现单色平面波
如若 则
五、力学量平均值
1、仅与坐标有关的力学量平均值
经典概念中波意味着：
1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2. 干涉、衍射现象，即相干叠加性。
大学物理教案：量子力学基础
大学物理教案：量子力学基础引言量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界中粒子的行为和相互作用。
本教案将介绍量子力学的基本概念和原理，帮助学生在大学物理课程中建立起对量子力学的初步认知。
1. 量子力学的发展历程1.1 经典物理到量子物理的转变•描述经典物理无法解释的实验现象•黑体辐射、光电效应等实验结果推动了量子力学的发展1.2 著名科学家与量子力学的关系•麦克斯·普朗克与黑体辐射问题•阿尔伯特·爱因斯坦与光电效应、波粒二象性•尤金·维格纳与玻尔原子模型2. 波粒二象性2.1 光的波动性质•杨氏双缝干涉实验及其结果解释2.2 光电效应实验及其结果解释•根据爱因斯坦提出的能量元概念来解释实验现象2.3 德布罗意假设•物质也具有波动性质•波粒二象性的提出和解释3. 波函数与薛定谔方程3.1 波函数的定义•归一化条件和物理意义3.2 薛定谔方程及其解•定态薛定谔方程的求解方法和物理意义3.3 自由粒子、有限深势阱等简单系统的例子讲解4. 测量与不确定性原理4.1 算符与算符代数•物理量对应算符，算符的乘法规则等基本概念4.2 不确定性原理•测量中存在的无法完全确定位置和动量两个物理量的原因•测不准关系的推导与物理意义5. 叠加原理与量子纠缠5.1 叠加原理及其实验验证•双缝干涉实验中叠加态的观察结果5.2 EPR悖论与贝尔不等式实验•揭示了量子力学中非局域性和纠缠现象结论通过本教案对量子力学基础知识的学习，学生将深入了解量子力学的发展历程、波粒二象性、波函数与薛定谔方程、测量与不确定性原理以及叠加原理与量子纠缠等重要概念。
这些基础知识将为进一步学习和研究量子力学提供坚实的基础。
（本教案共计342字，如需补充可继续添加相关内容）。
简明量子力学教程教学设计
简明量子力学教程教学设计1. 教学目标本教学课程的目标是帮助学生了解量子力学的基础概念和理论，并了解其在实际生活中的应用。
我们希望通过本课程，学生能够掌握以下技能：•了解量子力学的基本概念和原理•掌握量子力学的数学表述和计算方法•了解量子力学实验的基本原理与方法•了解量子力学在实际应用中的重要性和意义2. 教学方法我们将采用以下教学方法来帮助学生实现上述目标：2.1 讲授通过引入实例、生动的解释和图像，讲授许多基本概念并帮助学生理解它们的背景与实际意义。
2.2 互动教学通过在小组之间展示基本原理计算，并向学生展示量子计算机的基本知识等，引导他们通过理解表达和解释量子力学的基本知识，从而巩固他们的理解。
2.3 讨论将学生分成小部分，展开小组讨论和分享，以加深他们对量子力学的理解。
3. 教学步骤我们将在以下三个部分中，按照以下步骤进行教学：3.1 基础概念与原理3.1.1 引入量子物理学概念•引入原子核与电子的结构•量子力学描述的基本应用3.1.2 柏林学派的原子理论•历史简介•线性代数的基础应用3.1.3 研究基本物理量的operators•箭头标注•基态和上述步骤所得到的结果3.1.4 将量子描述为状态向量•描述数据结构和表示•扩展数据结果3.2 数学表述和计算方法3.2.1 描述量子系统的演化•系统操作•经典系统的对比3.2.2 量子力学 in action•讨论纠缠的著作证据•测量和降解3.3 实验和应用3.3.1 量子计算机的前沿研究•前沿研究文献的集成•讨论量子计算机所有替代品3.3.2 应用量子力学到生命科学和工程领域•有生命物质的初探•生态物质和创新技术的发展趋势4. 教学评估我们将采用以下方式来评估学生的学习情况：•在每一个教学模块之后，我们将进行小测验以帮助学生检验他们对该主题的理解。
•我们将在最后一个模块中为学生准备一个开放式问题、作业，以强化他们的理解力，并展示他们对课程所学内容的运用。
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第二十二章量子力学基础知识1924年德布罗意提出物质波概念。
1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。
1927年海森堡提出著名的不确定关系。
海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。
---------------------------------------------------------------------------教学要求：* 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义；* 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；* 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；* 理解不确定关系并作简单的计算；* 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程* 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。
教学内容：§22-1 波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。
作业22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、22-17)、22-18)、-------------------------------------------------------------------§22-1 波粒二象性1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。
一 德布罗意假设一切实物粒子都具有波粒二象性（德布罗意按对称性及类比推论提出）。
* 物质波或德布罗意波：其波频率和波长分别为：⎭⎬⎫==p h h E //λν(22-1) 式中：E ——实物粒子的能量 P ——实物粒子的动量 ————德布罗意关系式讨论1）实物粒子波与光的波粒二象性[(21-4)、(21-6)式]完全一致，宏观物体质量大，物质波长极短，难以观测，微观粒子(如电子)，其质量小，物质波长可观测到。
2) (22-1) 式左边为描写“波”的物理量，右边为描写“粒子”的物理量。
3）经电势差U 加速后的电子(初速度忽略不计, 静质量e m )，将获得eU E k =动能，由相对论动量与能量关系：022*********)(E E E E E E E E p c k k k +=-+=-=可得电子动量为：222022121c eUm U e c E E E c p e k k +=+=由德布罗意关系式得波长：2222ceUm U e hc p h e +==λ(22-2)4）如果经电势差U 加速后电子的速率c v <<，可忽略相对论效应，直接由动量eU m E m p e k e 22==得到：nm 225.12U eU m h p h e ===λ (22-3)例22．1 计算电子经过 (1) V 100.16⨯=v ，(2) V 150=U 电压加速后的德布罗意波长。
解 (1) 电子经电场加速后的德布罗意波长可由(22-2)式计算：109785.01(225.12222U c eUm U e hce ⨯+=+=λ代入V 100.16⨯=U ，可得： nm 1071.84-⨯=λ（极短）（电子显微镜加速电子获得波长极短电子波，提高显微镜分辨率）(2) 加速电压为150V 时（忽略相对论效应），采用非相对论波长公式(22-3)得：nm 10.0225.1==Uλ 可知：由加速电压为150V 得动能eV 150=k E 电子的德布罗意波长与X 射线波长同数量级，因此观察电子衍射可采用与X 射线衍射相同方法，例如用晶体作天然光栅实现衍射。
例22.2 计算质量kg 01.0=m ，速率m/s 500=V 的子弹的德布罗意波长。
解： 根据(22-1)式得：m 1033.150001.010626.63434--⨯=⨯⨯===mV h p h λ可见：宏观物体的德布罗意波长小到实验上难以观测，仅表现出粒子性。
二 物质波的实验验证1、电子衍射实验（戴维逊和革末，1927年）热阴极K发出电子，过狭缝D成很细电子射线束，以掠射角φ投射镍单晶M上，集电器B收集反射电子，电流计G测电子流强度I。
保持掠射角φ不变，改变加速电压U大小测量出不同电流强度I，I~曲线如图所示。
绘制U实验表明：随加速电压U增加，当电压取某些特定值时，电流呈现峰值，显示规律性（与X射线在晶体上衍射规律极为相似）。
理论计算：按德布罗意波长公式：nm 225.1Up h ==λ （忽略相对论效应）及电子波λ， φ及晶格常数d 的布拉格公式：λφk d =sin 2 （ k = 1,2,3,……. ）有：U k d /225.1sin 2=φ得电流峰值处对应的电压为：φsin 2/225.1d k U ⨯=实验结果与理论预期值符合相当好 （实验还测量电子波长与德布罗意关系式计算一致）2、 电子衍射实验（汤姆逊，1927年，英国），高能电子束穿过多晶薄膜，照相底片上得到电子衍射环状图样。
3、电子的单缝、双缝和多缝衍射实验（约恩逊，1961年）图为电子双缝衍射实验明暗衍射条纹，直接表现电子的波动性。
* 对质子、中子及原子、分子等的有关实验：证实波动性，其波长也都和德布罗意关系相符合。
三、物质波的统计诠释——概率波粒子概念和波动概念代表仅有两种可能的不同的能量输送方式。
经典波动代表某物理量周期性变化，可产生干涉、衍射现象。
而粒子为颗粒性，其空间广延性却等于零，并在确定轨道上运行。
（性质如此迥异的两概念如何互相联系统一到同一个客体上？）1、概率波概念（波恩）（电子的双缝衍射实验说明这种波动性的意义）两种实验方法：1）射向双缝电子流强度很大，屏上出现衍射图样（图f）--------电子波动性；2）控制电子流，电子一个个发射到屏，一个个感光点（图a、b）----电子粒子性；实验发现：1）当到达屏电子数少，感光点分布无规则，随机性大。
但电子数目不断增多，落点位置分布逐渐显出一定规律性，数目越多，规律性明显，（图c~f）。
2）电子分布最集中地方正好是衍射明纹中心的位置，电子分布几乎为零的地方正好是衍射暗纹中心的位置。
2）在实验条件相同下，不管开始时电子落点分布多么不规则，最终大量电子落点形成衍射图样都一样。
（大量电子不规则落点的群体行为遵从统计规律）2、波恩统计观点解释：衍射明纹地方，到达电子多，电子在这些地方出现概率大；衍射暗纹地方，到达电子少，电子在这些地方出现概率小，衍射条纹明暗分布与到达该处电子数目成正比，实物粒子的波动性是一种统计行为，实物粒子波是概率波。
（波恩统计解释不仅对电子波适用，其它微观粒子波动性也如此）* 注意：1）物质波不是指微观粒子以波形式在空间运动，而是指粒子在空间各处出现的概率分布服从波的规律。
2）物质波是概率波的统计解释，不意味必须有大量粒子存在时才具有波动性，容易误解为波动性是粒子间相互作用的结果。
3）单个电子具有波动性，电子自身与自身干涉形成衍射图样。
波动性是微观粒子自身具有的特性。
4）在量子力学的概念中实物粒子波与经典波有明显区别。
实物粒子波不代表描述粒子某一物理量在时空中周期性变化，5）粒子在空间各处出现的概念分布呈现的波动表现——概率波，保留波具有迭加性，不是经典波，是量子波。
6）实物粒子不是经典粒子，经典粒子在运动过程中有确定的轨道，实物粒子具有波动性，没有明确轨道概念，只是一颗量子粒子。
量子粒子与量子波是统一的。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------§22-2 波函数（实物粒子具有波动性，其运动状态由概率波描述）* 波函数：概率波的数学表达式。
波函数通常以ψ表示（一般是空间和时间的函数）：ψψ)t(r,（不同的粒子，在不同的作用条件下，波函数的具体形式不同）1、粒子一维自由运动的波函数：设：自由粒子沿x轴正方向运动，能量E和动量p恒定。
按照德布罗意关系：德布罗意波长p h =λ德布罗意频率h E =ν （保持不变）在波动理论中频率和波长恒定波为单色平面波（一无限长的波列），有：)(2cos λνπx t A y -=也可表示成复指数函数形式：)(2λνπx t i Ae y --=将波长和频率代入上式，并以ψ表示波函数，0ψ表示波函数振幅，可得：)(0)(20)(20xp Et i xp Et h i h xp t h E i e ee------===ηψψψψππ（在一般情况下，表示实物粒子运动的波函数用复函数形式）2、实物粒子波的强度：用波函数描述概率波是体现粒子在空间各处出现概率大小。
（以电子双缝衍射为例理解两理论解释间关系）（由此可知粒子(电子)在某处出现概率大小正比于该处粒子(电子)波强度） 可将实物粒子波的强度表示为：*2ψψψ⋅=（波函数模的平方，*ψ为波函数ψ的复共轭函数）3、 概率密度函数：考虑空间某点(x ，y ，z )附近的一个小体积元dV ，若粒子出现在dV 内的概率用ρd 表示，ρd 正比于该处粒子波的强度，即正比于波函数模的平方：dV d 2ψ∝ρ（如果将比例常数包含在波函数ψ中）则概率密度——粒子出现在单位体积中概率为：*2ψψψ⋅===dVd ρρ (22-4)—— 概率密度函数（波函数模平方等于波函数描述粒子在t 时刻出现在空间(x ，y ，z )处的概率密度） 注意：1）波函数意义：波函数在经典物理中没有相对应力学量，也不具可观察测量的直接物理意义， 波函数意义体现在波函数模的平方上，给出了粒子出现的概率密度，并以概率的形式提供有关粒子运动的全部信息，所以：波函数又称为概率幅，其平方等于概率密度。
2）波函数的标准化条件：波函数必须保证粒子在任一时刻任一空间范围内出现的概率具有唯一性，并且不应在某处发生突变和变得无限大， 这要求波函数满足单值，连续，有限的条件——波函数的标准化条件。
3）波函数的归一化条件：任一时刻粒子在整个空间出现的总概率应该等于1，12=⎰dV V ψ(22-5) —— 波函数的归一化条件------------------------------------------------------------------------------------------------------------例22．3 求沿x 轴运动的自由粒子的概率密度函数。