离散数学_教学大纲

《离散数学》课程教学大纲课程编号:02700013

课程名称：离散数学

英文名称：Discrete Mathematics

课程类型: 专业基础课

总学时：108 讲课学时：108 实验学时：0

学分：5

适用对象: 计算机科学与技术专业

先修课程：高等数学、线性代数等

一、课程简介

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机科学的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且离散数学所提供的训练可以帮助学生提高抽象思维能力和逻辑推理能力，有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

二、课程性质、目的和任务

1.性质:本课程是为计算机专业本科开设的专业基础课。

2.目的:《离散数学》以研究离散量的结构和相互之间的关系为主要目标，在信息处理技术、计算机软硬件的设计等领域都有着广泛应用。

3.任务:通过这门课程的学习，要使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，以现代数学的方法，初步掌握处理离散结构所必须的一些基本数学工具和方法。同时，也要培养学生抽象思维、逻辑推理，符号演算和慎密概括的能力，从而使学生具有良好的专业理论素质，提高学生分析和解决实际问题的能力。

三、教学基本要求

通过本课程的学习，使学生了解和掌握关于离散量的基本概念及其相关理论，为后继课程的学习作必要的理论准备。基本要求：（1）学习数理逻辑最基本的内容，掌握命题逻辑及谓词逻辑的基本概念，掌握命题演算的方法，掌握命题推理及谓词推理的基本理论，并会用推理理论进行逻辑论证。（2）学习集合论的基本概念及性质，掌握集合运算及证明的基本理论和方法；学习二元关系的概念与性质，掌握等价关系和偏序关系，并使学生从更高层次理解函数。（3）学习代数系统的基本知识，掌握二元运算的定义和性质，了解代数系统的子代数和积代数、同态与同构等概念，掌握半群、幺半群、群、环、域和格、布尔代数等代数系统的定义及其性质。（4）学习图论的基本概念及其理论，主要掌握简单图和一些特殊图的性质，包括欧拉图和哈密尔顿图、二部图、平面图等。掌握树的基本概念及其相关运算。学会使用图论方法解决具体问题。

四、教学内容及要求

第一章命题逻辑

教学内容：命题符号化及联结词；命题公式及分类；等值演算；联结词全功能集；对偶与范式；推理理论。

基本要求：(1)理解和掌握命题逻辑中的基本概念和基本方法。(2)掌握命题、命题联结词、命题公式的概念、自然语言的形式化方法。(3)掌握公式的真值、等值演算的计算方法，熟悉常用的等值式。

(4)熟练掌握求主合取范式与主析取范式的方法，知道范式的用途。(5)能用各种方法判别公式的类型。

(6)了解其它联结词和联结词全功能集、最小联结词组的概念。(7)掌握命题逻辑的推理规则和证明方法，能熟练运用这些规则进行命题演算的推理。

重点与难点：命题联结词的正确使用；主析取范式的求法；用各种方法判断公式的类型；推理理论。

第二章一阶逻辑

教学内容：一阶逻辑基本概念；一阶逻辑合式公式及解释；一阶逻辑等值式；一阶逻辑推理理论。

基本要求：(1)掌握个体词、谓词与量词的概念，正确引入量词、辖域，正确符号化一个具体的问题。(2)掌握约束变元与自由变元的概念。(3)掌握谓词公式的定义、解释、公式在解释下的真值及谓词公式的类型的判别。(4)熟悉常用的谓词等值式。(5)熟练掌握前束范式的求法。(6)熟练掌握UG规则、UI规则、EG规则、EI规则，能进行谓词演算的推理。

重点与难点：重点是个体词、个体域、谓词、量词的概念和使用；公式的解释的；公式在解释下的真值；求公式的前束范式。谓词逻辑的基本推理方法。难点是用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；用解释的方法证明等价式和蕴涵式；谓词演算的推理理论。

第三章集合的基本概念与运算

教学内容：集合的基本概念；集合的基本运算；集合中元素的计数。

基本要求：(1)了解集合论的基本概念、集合的几种表示方法。(2)掌握集合上的运算（并、交、相对补、绝对补、对称差、幂集、子集等）及相关定律。(3)能运用文氏图、包含排斥原理求解有穷集计数问题。

重点与难点：集合的运算；有穷集计数问题的解法。

第四章二元关系和函数

教学内容：集合的笛卡尔积与二元关系；关系的运算；关系的性质；关系的闭包；等价关系和偏序关系；函数的定义与性质；函数的复合和反函数。

基本要求：(1)掌握n元组与笛卡儿积的概念、性质。(2)掌握二元关系的概念及其表示方法。(3)掌握关系的运算、性质与闭包。(4)掌握等价关系与等价类的概念和性质，了解集合的划分。(5)掌握偏序关系的概念和性质，会画哈斯图，能求极大（小）元、最大（小）元、上（下）界、上（下）确界。(6)掌握函数的定义、复合和反函数；掌握特殊函数类（满射、单射、双射，特征函数），了解逆函数、特征函数。

重点与难点：重点是二元关系的性质；等价关系和偏序关系的性质；难点是等价关系与等价类。

第五章代数系统的一般性质

教学内容：二元运算及其性质；代数系统及其子代数与积代数；代数系统的同态与同构。

基本要求：(1)熟练掌握二元运算的定义和性质，会判断一元和二元运算，指出其具有的性质和它的特异元素。(2)了解代数系统的子代数和积代数、同态与同构等概念。

重点与难点：二元运算的性质和特异元素。

第六章几个典型的代数系统

教学内容：半群与群；环与域；格与布尔代数。

基本要求：(1)掌握半群、独异点和群的基本概念和性质。掌握子群的判定，了解循环群和置换群。

(2)掌握环和域的定义，了解环和域的性质。(3)深刻理解和掌握格的概念和性质，了解几类特殊的格（有界格、有补格、分配格）。(4)掌握布尔代数的概念和运算性质及其相关理论。(5)能够判断给定的集合和运算可构成哪一类代数系统。

重点与难点：代数系统的判别；格与布尔代数的基本概念和基本运算。

第七章图的基本概念

教学内容：无向图及有向图；通路、回路、图的连通性；图的矩阵表示；最短路径及关键路径。

基本要求：(1)深刻理解和掌握图的基本概念和表示。（包括无向图和有向图的定义、子图、补图、图的运算、结点的次数、图的同构等基本概念）。(2)会画阶数较小的所有非同构的图。(3)掌握图的路径和回路、图的连通性、点割集、边割集的概念。(4)了解图的矩阵表示，掌握有向图的邻接矩阵。

(5)掌握图的两个应用：最短路径和关键路径。

重点与难点：重点是图的一些基本概念。难点是图的同构。

第八章一些特殊的图

教学内容：二部图；欧拉图；哈密尔顿图；平面图。

基本要求：(1)掌握二部图的定义和判断方法。(2)掌握欧拉图与哈密顿图的定义和判断方法，并会画图。(3)掌握平面图的定义和判断条件，会画平面图的对偶图。

重点与难点：各种图的判别。

第九章树

教学内容：无向树及生成树；根树及其应用。

基本要求：(1)掌握树的几种等价定义和定理, 掌握生成树、最小生成树的定义及生成方法，掌握基本回路和基本割集的定义和求法。(2)掌握有向树、最优树，了解树的应用，并能解决一些具体问题。

重点与难点：树与根树的概念及其应用。

五、实践环节

六、课外习题及课程讨论

1. 为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效?

前提: (1) 若A队得第一，则B队或C队获亚军;

若C队获亚军，则A队不能获冠军;

若D队获亚军，则B队不能获亚军;