高考数学(2021)易错题精选之函数、导数

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2021年高考数学复习《导数---泰勒不等式专题》

导数——泰勒不等式专题一、泰勒公式：泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。

如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有).()(!)()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式：)(!)0(!2)0(!1)0(!0)0()(22x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式：++++=32!31!21!111x x x e x ①+-+-=+432413121)1ln(x x x x x ②+-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③-+-=42!41!211cos x x x ④++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式：x e x +≥1①；1ln -≤x x ②；212x x e x ++≥③对0≥x 恒成立；x x x x≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立；x x x x ≤≤-sin 63⑤对0≥x 恒成立；2421cos 21422x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立（1）若21=a ，求)(x f 的单调区间；（2）若当0≥x 时0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.例2.（新课标全国理科21）设函数f (x )=e x -1-x -ax 2.（1）若a =0，求f (x )的单调区间；（2）当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围.例1.（新课标全国文科21）设函数f (x )=x (e x -1)-ax 2.例3.（前两问同例2）设函数.1)(2ax x e x f x ---=（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数a 的取值范围；（3）若0>x ，证明：2)1ln()1(x x e x >+-.例4.（全国1卷理）设函数f (x )=e x -e-x ．（Ⅰ）证明：f (x )的导数f '(x )≥2；（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围．例5.（2019北京四中期中考试）已知函数.,31)(23R a ax x ex f x ∈---=（1）当0=a 时，证明：当0≥x 时，0)(≥x f ；（2）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.例6.（全国2卷理科22）设函数f (x )=1-e-x .（1）证明：当x >-1时，f (x )≥1+x x;（2）若当x ≥0时，f (x )≤ax x +1，求实数a 的取值范围.ln 1a x b x x++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．]2π，其中a 为常数.（1）若函数)(x f 在2,0[π上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤.例8.（2020届鄂东南联考）已知函数f (x )=ax -sin x ,x ∈[0,例7.（新课标）已知函数f (x )=A.21x e x x ++211124x x <-+C.21cos 12x x - D.21ln(1)8x x x+- 312cos 2x x x ++.当[]0,1x ∈时，例9.（辽宁理12）若x ∈[0,+∞)，则下列不等式恒成立的是（）例10.（辽宁理21）已知函数f (x )=(1+x )e -2x ,g (x )=ax +（1）求证：1-x ≤f (x )≤1+1x ；（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.。

【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值、最值

当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲利用导数求函数的单调性、极值、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减．二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

2021高考数学新高考版一轮习题：专题2 第20练函数中的易错题 (含解析)

1．若函数f (x )定义域为[0,1]，则f (x ＋a )·f (x －a )⎝⎛⎭⎫0<a <12的定义域为 ( ) A ．[0,1] B ．[－a ，a ] C ．[a,1－a ]D ．[0,1－a ]2．已知函数y ＝2－x ＋x ＋4的最大值为M ，最小值为m ，则m ·M 等于( ) A ．8 2 B ．6 2 C ．4 2 D ．2 23．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2)D ．(－2,1)4．(2020·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－e x ，x ≤0，x 2－2x ，x >0，若函数y ＝f (x )－m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,1) B ．(－1,1] C ．(－1，＋∞)D ．[－1，＋∞)5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47), b ＝13(log 3)f ，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c b >c >0)满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>a C ．x 0<bD ．x 0<c8．(多选)定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足：f (x )＋g (x )＝4x ，下列结论正确的有( ) A ．f (x )＝4x －4－x 2，且0<f (1)<g (2)B ．∀x ∈R ，总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C ．∀x ∈R ，总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D ．∃x 0∈R ，使得f (2x 0)>2f (x 0)g (x 0)9．(2020·湖北荆州中学期末)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( ) A.13 B.12 C.34D ．1 10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1,3]内，关于x 的方程g (x )＝0有4个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤0，14 D.⎣⎡⎦⎤14，1311．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)12．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数f (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A ．2a －1 B ．1－2－a C ．－log 2(1＋a )D ．log 2(1－a )13．若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a 0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－12＝________，若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7．ABC 8.ABC 9.D 10.C 11.A12．C [当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，又f (x )是奇函数，由图象可知，f (x )＝0⇒f (x )＝a (0<a <1)有5个零点，其中有两个零点关于x ＝－3对称，还有两个零点关于x ＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y ＝a 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x－1，x ∈(－1,0]交点的横坐标，即方程a ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的解，x ＝－log 2(1＋a )．] 13．(0,1] 14．(3，＋∞)解析若m ＝0，g (x )＝0，不存在g (x 0)<0.若m >0，因为当x <1时， g (x )<0，所以f (x )<0在(－∞，1)有解，则⎩⎨⎧ f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ>0，f (1)≥0，m ≤1，也即是m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m ≤1(无解)，故m >3.若m <0，因为当x >1, g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此时不等式组无解．综上， m 的取值范围为(3，＋∞)． 15.14(4,8) 解析 f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫－122＋2a ·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＝14. 作出函数f (x )的示意图，如图．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2) 转动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0. 由Δ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0. 由Δ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上，得4<a <8. 16．(0,2)解析因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．。

高考函数导数及其应用训练

函数导数以及应用【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（） A ．a b C ．2ab a <D ．2ab a >2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<二、填空题3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.三、解答题5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．6．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +123．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．124．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．yx =-C ．2y x =D ．y x =6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为． A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12-B ．13C ．12D ．19．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞12．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-13．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））函数()f x 在0x x =处导数存在，若p:()000,:f x q x x '==是()f x 的极值点，则 A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件14．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞15．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= A ．0 B ．1C ．2D ．316．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设函数()xf x mπ=．若存在()f x的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-18．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷带解析））已知函数f(x)=32x ax bx c +++,下列结论中错误的是A ．∃0x R ∈, f(0x )=0B ．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C ．若0x 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, 0x ）单调递减D ．若0x 是f （x ）的极值点，则 f '(0x )=019．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷带解析））设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+二、填空题20．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. .21．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．22．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________．23．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．24．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______．25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是__________．27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a =________.28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．29．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷）曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________三、解答题30．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.31．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 32．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．33．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()f x ≤（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .34．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．35．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．36．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．37．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x的导数．证明：（1）()'f x 在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．38．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 39．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 40．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围. 41．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.42．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 43．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．44．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．45．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知函数()2xe xf x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.46．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知函数()21xax x f x e+-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．47．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．48．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1））已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.50．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设函数2()(1)x f x x e =-. （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）函数()f x 在(,1)-∞和1,+)∞上单调递减，在(11)上单调递增. （II ）[1,)+∞.51．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.52．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3））已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明3()24f x a≤--. 53．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学））已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm +++<，求m 的最小值． 54．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.55．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.56．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.57．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）(1)讨论函数()22xx f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，()220;xx e x -++>(2)证明：当[)0,1a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.58．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）设函数()ln 1f x x x =-+．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<；（Ⅲ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.59．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中α＞0，记 ()f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()'f x ；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明()2f x A '≤.60．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数()2ln xf x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+.61．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数． 62．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））设函数2()e mx f x x mx =+-．（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．64．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 求b;若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。

易错点04 导数及其应用-备战2021年高考数学(文)一轮复习易错题(解析版)

易错点04 导数及其应用易错点1：导数与函数的单调性导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．易错点2：导数与函数的极（最）值求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．易错点4：导数与函数的零点研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等。

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

01 导数与函数的单调性例1（2020•天津卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅰ）当3k-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【警示】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅰ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【解析】(Ⅰ) (i) 当k ＝6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)； g (x )的极小值为g (1)＝1，无极大值.（Ⅰ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭. ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞.当x ＞1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t ＞1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【叮嘱】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．1．（2014新课标Ⅰ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞ 【解析】∵，∴，∵在单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立， ∵，∴，所以，故选D ． 2．（2020•全国1卷）已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a ＝1时，讨论f （x ）的单调性；【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()21x f x e x '=+-，由于()20xf x e ''=+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.02 导数与函数的极（最）值例2．（2020•北京卷）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅰ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【警示】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【解析】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，()ln f x kx x =-1()f x k x'=-()f x (1,)+∞1x >1()0f x k x '=-≥1k x≥(1,)+∞1x >101x<<k ≥1设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程：()1121y x -=--，即2130x y +-=.（Ⅰ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t-处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t ++==++，所以4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t-+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【叮嘱】求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

高考数学专题《函数与导数》解读

从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。

一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。

通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法：方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题07 二次函数综合问题

专题07 二次函数综合问题一．考情分析二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，千变万化，但又是基础的基础，万变不离宗。

所以二次函数也是高中学习的重要基础．与其他知识交汇的最值问题以及恒成立问题是目前高考中最基础的两个考试方向。

复合函数也越来越重要。

所以二次函数的学习，都显示的特别重要。

二．经验分享1.二次函数解析式的三种形式：①一般式方程：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式方程：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). ③零点式方程：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称最值当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；函数取最小值y ＝244ac b a-．当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a；函数取最大值y ＝244ac b a-．3.恒成立问题①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或00a <⎧⎨∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

三、题型分析（一）二次函数之恒成立与存在性问题例1 已知函数().222m mx x x f -+-=（1）若不等式()mx x f -≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围;（2）记(){},10,≤≤==x x f y y A 且[)，，∞+⊆0A 求实数m 的最大值。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》基础测试题附答案

【高中数学】单元《函数与导数》知识点归纳一、选择题1．已知函数()2100ax x f x lnx x ⎧+≤=⎨⎩，，＞，，下列关于函数()()0f f x m +=的零点个数的判断，正确的是（）A ．当a ＝0，m ∈R 时，有且只有1个B ．当a ＞0，m ≤﹣1时，都有3个C ．当a ＜0，m ＜﹣1时，都有4个D ．当a ＜0，﹣1＜m ＜0时，都有4个【答案】B 【解析】【分析】分别画出0a =，0a >，0a <时，()y f x =的图象，结合()t f x =，()0f t m +=的解的情况，数形结合可得所求零点个数．【详解】令()t f x =，则()0f t m +=，当0a =时，若1m =-，则0t ≤或t e =，即01x <≤或e x e =，即当0a =，m R ∈时，不是有且只有1个零点，故A 错误；当0a >时，1m ≤-时，可得0t ≤或m t e e -=≥，可得x 的个数为123+=个，即B 正确；当0a <，1m <-或10m -<<时，由0m ->，且1m -≠，可得零点的个数为1个或3个，故C ，D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-，函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确．对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.5．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（） A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数；又()'2cos222cos20xxf x e ex x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f xf x f x ->-=-，∴221x x ->-，即2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．6．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》易错题汇编含答案解析

新《函数与导数》专题解析一、选择题1．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（） A ．1 B ．32C ．2D ．34【答案】B 【解析】【分析】将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B.【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ，因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.5．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．6．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.7．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32921224V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)12x -,所以正六棱柱容器的容积为()())()329214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（）A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f << B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.31.130.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.9．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．10．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <，由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（）A ．-5B ．5C ．0D ．4043【答案】B 【解析】【分析】根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=，且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.12．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞ C ．()1,+∞D ．()+∞【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4x x xf x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x Q 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ sin ,142x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.13．函数()3ln 2xf x x x=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-【答案】B 【解析】【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x-=+，则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=，且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2，由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥15．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】【分析】由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.16．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案；【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（）A ．(),2-∞-B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．()2,-+∞【答案】D【解析】【分析】设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.【详解】设()()36g x f x x =--， Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.18．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭UD ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）,由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222aaa a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩.当0＜a＜23时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜12.所以0＜a＜12.综合得a的范围为a＜12或1≤a≤2，故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．曲线3πcos02y x x⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x轴以及直线3π2x=所围图形的面积为（）A．4B．2C．52D．3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：()332222(0cos)sin2S x dx xππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取lg30.4771≈，lg20.3010≈）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。

专题3.3导数与函数的极值、最值(2021年高考数学一轮复习专题)

专题导数与函数的极值、最值一、题型全归纳题型一利用导数解决函数的极值问题【题型要点】利用导数研究函数极值问题的一般流程命题角度一由图象判断函数的极值【题型要点】由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点： (1) 由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性，两者结合可得极值点【例1】设函数()x f 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()()x f x y '-=1的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （1）B.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （1）C.函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （－2）D.函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （2）【解析】由题图可知，当x ＜－2时，()x f '＞0；当－2＜x ＜1时，()x f '＜0；当1＜x ＜2时，()x f '＜0；当x ＞2时，()x f '＞0.由此可以得到函数f （x ）在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 【例2】已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )在(－∞，－4)上单调递减B ．函数f (x )在x ＝2处取得极大值C ．函数f (x )在x ＝－4处取得极值D ．函数f (x )有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当x ≤2时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以函数f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)，故A 错误．当x ＝2时函数取得极大值，故B 正确．当x ＝－4时函数无极值，故C 错误．只有当x ＝2时函数取得极大值，故D 错误．故选B.命题角度二求已知函数的极值【题型要点】求函数极值的一般步骤（1）先求函数f （x ）的定义域，再求函数f （x ）的导函数. （2）求()x f '＝0的根.（3）判断在()x f '＝0的根的左、右两侧()x f '的符号，确定极值点. （4）求出具体极值.【例3】已知函数f （x ）＝（x －2）（e x －ax ），当a ＞0时，讨论f （x ）的极值情况. 【解析】 ∵()x f '＝（e x －ax ）＋（x －2）（e x －a ）＝（x －1）（e x －2a ），∵a ＞0，由()x f '＝0得x ＝1或x ＝ln 2a .∵当a ＝e2时，f ′（x ）＝（x －1）（e x －e ）≥0，∵f （x ）在R 上单调递增，故f （x ）无极值.∵当0＜a ＜e2时，ln 2a ＜1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：∵当a ＞e2时，ln 2a ＞1，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：综上，当0＜a ＜e2时，f （x ）有极大值－a （ln 2a －2）2，极小值a －e ；当a ＝e2时，f （x ）无极值；当a ＞e2时，f （x ）有极大值a －e ，极小值－a （ln 2a －2）2.【例4】已知函数f (x )＝ln x ＋a －1x ，求函数f (x )的极小值．【解析】 f ′(x )＝1x －a －1x 2＝x －（a －1）x 2(x >0)，当a －1≤0，即a ≤1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．当a －1>0，即a >1时，由f ′(x )<0，得0<x <a －1，函数f (x )在(0，a －1)上单调递减；由f ′(x )>0，得x >a －1，函数f (x )在(a －1，＋∞)上单调递增．f (x )极小值＝f (a －1)＝1＋ln(a －1)．综上所述，当a ≤1时，f (x )无极小值；当a >1时，f (x )极小值＝1＋ln(a －1)．命题角度三已知函数的极值求参数值(范围)【题型要点】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【易错提醒】若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【例5】设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求实数a 的值； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 时，f ′(x )<0; 当x ∵(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∵(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．题型二函数的最值问题【题型要点】求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．【例1】（2019·全国卷Ⅲ）已知函数f （x ）＝2x 3－ax 2＋b . （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f （x ）在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）f ′（x ）＝6x 2－2ax ＝2x （3x －a ）.令f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∵（－∞，0）∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在（－∞，0），⎪⎭⎫⎝⎛+∞,3a 单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛3,0a 单调递减. 若a ＝0，f （x ）在（－∞，＋∞）单调递增.若a ＜0，则当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ∵（0，＋∞）时，f ′（x ）＞0；当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3a 时，f ′（x ）＜0.故f （x ）在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-3,a ，（0，＋∞）单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛0,3a 单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（∵）当a ≤0时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递增，所以f （x ）在区间［0,1］的最小值为f （0）＝b ，最大值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1. （∵）当a ≥3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］单调递减，所以f （x ）在区间［0,1］的最大值为f （0）＝b ，最小值为f （1）＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1. （∵）当0＜a ＜3时，由（1）知，f （x ）在［0,1］的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛3a f ＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾.若－a 327＋b ＝－1,2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾.综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f （x ）在［0,1］的最小值为－1，最大值为1.【例2】(2020·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．【解析】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0∵0<x <1，f ′(x )<0∵x ＞1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又⎪⎭⎫ ⎝⎛e f 1＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e，且⎪⎭⎫⎝⎛e f 1<f (e)．所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值为0，最小值为2－e.题型三函数极值与最值的综合应用【题型要点】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．【例1】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .若f (x )在x ＝2处取得极小值，则a 的取值范围为_______．【解析】 f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x ，若a >12，则当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛2,1a 时，f ′(x )<0；当x ∵(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∵(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21. 【例2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【解析】：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所以当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)∵由(1)知，当－1≤x <1时，函数f (x )在[－1，0)和⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0上单调递增．因为f (－1)＝2，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f ＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.∵当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增．所以f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .所以当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.题型四利用导数研究生活中的优化问题【题型要点】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f （x ）.（2）求函数的导数()x f '，解方程()x f '＝0.（3）比较函数在区间端点和()x f '＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. （4）回归实际问题，结合实际问题作答.【例1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y ＝ax －3＋10（x －6）2，其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】（1）因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10（x －6）2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f （x ）＝（x －3）⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10（x －3）（x －6）2,3＜x ＜6.则()x f '＝10［（x －6）2＋2（x －3）（x －6）］＝30（x －4）（x －6）. 于是，当x 变化时，()x f '，f （x ）的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f （x ）取得最大值且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【例2】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0＜x ≤10，108x －1 0003x 2，x ＞10.（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）【解析】（1）由题意得W ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫10.8－130x 2x －2.7x －10，0＜x ≤10，⎝⎛⎭⎫108x －1 0003x 2x －2.7x －10，x ＞10，即W ＝⎩⎨⎧8.1x －130x 3－10，0＜x ≤10，98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ，x ＞10.（2）∵当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝81－x 210＝（9＋x ）（9－x ）10，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；当9＜x ≤10时，W ′＜0，则W 递减.所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.∵当x ＞10时，W ＝98－⎪⎭⎫⎝⎛+x x 7.231000≤98－21 0003x×2.7x ＝38. 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.二、高效训练突破一、选择题1．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14【解析】：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∵[－4，－3)或x ∵(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∵(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 2．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，给出下列判断：∵函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内单调递增；∵当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值； ∵函数y ＝f (x )在区间(－2，2)内单调递增；∵当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值．则上述判断正确的是( ) A ．∵∵ B ．∵∵ C ．∵∵∵D ．∵∵【解析】：对于∵，函数y ＝f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛--21,3内有增有减，故∵不正确；对于∵，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故∵正确；对于∵，当x ∵(－2，2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2，2)上单调递增，故∵正确；对于∵，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故∵不正确．3.（2020·东莞模拟）若x ＝1是函数f （x ）＝ax ＋ln x 的极值点，则（） A.f （x ）有极大值－1 B.f （x ）有极小值－1 C.f （x ）有极大值0D.f （x ）有极小值0【解析】∵f （x ）＝ax ＋ln x ，x ＞0，∵f ′（x ）＝a ＋1x ，由f ′（1）＝0得a ＝－1，∵f ′（x ）＝－1＋1x ＝1－xx .由f ′（x ）＞0得0＜x ＜1，由f ′（x ）＜0得x ＞1， ∵f （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.∵f （x ）极大值＝f （1）＝－1，无极小值，故选A.4.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于（）A.89B.109C.169D.289【解析】函数f （x ）的图象过原点，所以d ＝0.又f （－1）＝0且f （2）＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f （x ）＝x 3－x 2－2x ，所以f ′（x ）＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′（x ）＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 5.已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．2ln 2－2 C ．eD ．2－e【解析】：函数f (x )定义域(0，＋∞)，f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝1，f (x )＝2ln x －x ，令f ′(x )＝2x－1＝0，解得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0，所以当x ＝2时函数取得极大值，极大值为2ln 2－2. 6.已知函数f （x ）＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f （x ）在区间［k,2］上的最大值为28，则实数k 的取值范围为（） A.［－3，＋∞） B.（－3，＋∞） C.（－∞，－3）D.（－∞，－3］【解析】由题意知f ′（x ）＝3x 2＋6x －9，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：7.用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 3【解析】：设水箱底长为x cm ，则高为120－x2cm.由⎩⎪⎨⎪⎧120－x 2＞0，x ＞0，得0＜x ＜120.设容器的容积为y cm 3，则有y ＝－12x 3＋60x 2.求导数，有y ′＝－32x 2＋120x .令y ′＝0，解得x ＝80(x ＝0舍去)．当x ∵(0，80)时，y ′＞0；当x ∵(80，120)时，y ′＜0. 因此，x ＝80是函数y ＝－12x 3＋60x 2的极大值点，也是最大值点，此时y ＝128 000.故选B.8.(2020·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∵N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A ．2折函数 B ．3折函数 C ．4折函数D ．5折函数【解析】：.f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)·(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点．又e －2≠3×(－2)＋2＝－4. 所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．9.(2020·昆明市诊断测试)已知函数f (x )＝(x 2－m )e x ，若函数f (x )的图象在x ＝1处切线的斜率为3e ，则f (x )的极大值是( )A ．4e －2 B ．4e 2 C ．e －2D ．e 2【解析】：f ′(x )＝(x 2＋2x －m )e x .由题意知，f ′(1)＝(3－m )e ＝3e ，所以m ＝0，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x .当x >0或x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝－2时，f (x )取得极大值，f (－2)＝4e －2.故选A.10.函数f （x ）＝x 3－3x －1，若对于区间［－3,2］上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）－f （x 2）|≤t ，则实数t 的最小值是（） A.20 B.18 C.3D.0【解析】原命题等价于对于区间［－3,2］上的任意x ，都有f （x ）max －f （x ）min ≤t ， ∵f ′（x ）＝3x 2－3，∵当x ∵［－3，－1］时，f ′（x ）＞0，当x ∵［－1,1］时，f ′（x ）＜0，当x ∵［1,2］时，f ′（x ）＞0. ∵f （x ）max ＝f （2）＝f （－1）＝1，f （x ）min ＝f （－3）＝－19. ∵f （x ）max －f （x ）min ＝20，∵t ≥20.即t 的最小值为20.故选A.二、填空题1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a －b ＝．【解析】：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1.若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是．【解析】：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，结合题意f ′(1)＝3a ＋9＝6，解得a ＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）>0，f ′（3）>0，解得－337<a <－3.3．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝，f (x )的极小值为．【解析】：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.4.（2019·武汉模拟）若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是．【解析】：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.5.若函数f （x ）＝x 3－3ax 在区间（－1,2）上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .【解析】因为f ′（x ）＝3（x 2－a ），所以当a ≤0时，f ′（x ）≥0在R 上恒成立，所以f （x ）在R 上单调递增，f （x ）没有极值点，不符合题意；当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′（x ）与f （x ）的变化情况如下表所示：因为函数f （x ）在区间（－1,2）上仅有一个极值点，所以⎩⎨⎧a ＜2，－a ≤－1或⎩⎨⎧－a ＞－1，2≤a ，解得1≤a ＜4.三解答题1.(2020·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值．【解析】：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．所以f (x )max ＝f (1)＝－1.所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∵(0，e]，1x ∵⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e .∵若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，所以f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意；∵若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∵(0，e]，解得0<x <－1a，令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∵(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上为增函数，在⎥⎦⎤⎝⎛-e a ,1上为减函数，所以f (x )max ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 1＝－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln .令－1＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1ln ＝－3，得⎪⎭⎫⎝⎛-a 1ln ＝－2，即a ＝－e 2.因为－e 2<－1e ，所以a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.2.(2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝mx －nx－ln x ，m ∵R .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，求实数n 的值； (2)试讨论函数f (x )在区间[1，＋∞)上的最大值．【解析】：(1)由题意得f ′(x )＝n －x x 2，所以f ′(2)＝n －24.由于函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线与直线x －y ＝0平行，所以n －24＝1，解得n ＝6.(2)f ′(x )＝n －xx2，令f ′(x )<0，得x >n ；令f ′(x )>0，得x <n .∵当n ≤1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝m －n ；∵当n >1时，函数f (x )在[1，n )上单调递增，在(n ，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (n )＝m －1－ln 3.（2019·郑州模拟）已知函数f （x ）＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值和最小值.【解析】 f ′（x ）＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x2.∵若k ＝0，则f ′（x ）＝－1x 2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒有f ′（x ）＜0，所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减.∵若k ≠0，则f ′（x ）＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.（∵）若k ＜0，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0.所以f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上单调递减，（∵）若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立，所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0，所以f （x ）在1e ，e 上单调递减.综上，当k ＜1e 时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递减，所以f （x ）min ＝f （e ）＝1e ＋k －1，f （x ）max ＝⎪⎭⎫⎝⎛e f 1＝e －k －1.4.已知函数f （x ）＝a ln x ＋1x （a ＞0）.（1）求函数f （x ）的单调区间和极值；（2）是否存在实数a ，使得函数f （x ）在［1，e ］上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】由题意，知函数的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝a x －1x 2（a ＞0）.（1）由f ′（x ）＞0解得x ＞1a ，所以函数f （x ）的单调递增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a ；由f ′（x ）＜0解得x ＜1a ，所以函数f （x ）的单调递减区间是⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0.所以当x ＝1a 时，函数f （x ）有极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值. （2）不存在.理由如下：由（1）可知，当x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0时，函数f （x ）单调递减；当x ∵⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 时，函数f （x ）单调递增.∵若0＜1a≤1，即a ≥1时，函数f （x ）在［1，e ］上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （1）＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件.∵若1＜1a ≤e ，即1e ≤a ＜1时，函数f （x ）在⎪⎭⎫⎢⎣⎡a 1,1上为减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e a ,1上为增函数，故函数f （x ）的最小值为f （x ）的极小值⎪⎭⎫⎝⎛a f 1＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a （1－ln a ）＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，而1e≤a ＜1，故不满足条件.∵若1a ＞e ，即0＜a ＜1e时，函数f （x ）在［1，e ］上为减函数，故函数f （x ）的最小值为f （e ）＝a ＋1e ＝0，解得a ＝－1e ，而0＜a ＜1e ，故不满足条件.综上所述，这样的a 不存在.。

导数的概念及其几何意义-直击2021年高考中的导数问题(1)

导数的概念及其几何意义一、导数的定义设函数y=f（x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x 在x0处取得增量∆x（点x0+∆x仍在该邻域内）时，相应的函数y 取的增量∆y = f (x+∆x)-f(x0)；如果∆y与∆x之比当∆x → 0 时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数，记为：y' =lim∆y =lim f (x+∆x)-f (x0)x=x0∆x→0 ∆x∆x→0∆x其他形式：f ' (x )= f(x0 +h)-f(x0)f ' (x )= lim f (x)-f (x0 )0 limh→0 ，x→x0x-x0二、导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P 时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim f (x+∆x)-f (x0)．0 h∆x ∆x→0技巧 1 导数的几何意义例1 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )[思路分析] (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？[解析] 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A 选项符合．『规律方法』1、f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2、若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x) 的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y 轴的直线的一部分．例2、已知y＝f(x)的图象如图所示，则f ′(x A)与f ′(x B)的大小关系是( )A．f ′(x A)>f ′(x B) B．f ′(x A)＝f ′(x B)C．f ′(x A)<f ′(x B) D．f ′(x A)与f ′(x B)大小不能确定[解析] 由y＝f(x)的图象可知，在A，B 点处的切线斜率k A>k B，根据导数的几何意义有：f ′(x A)>f ′(x B)．技巧2 求切线方程例3、已知曲线C：f(x)＝x3.) 0 0 (1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与曲线 C 相切的直线方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝ l im [(Δx )2＋3x 2＋3x ·Δx ]＝3x 2，Δx →0∴f ′(1)＝3×12＝3，又 f (1)＝13＝1，∴切线方程为 y －1＝3(x －1)，即 3x －y －2＝0.(2)设切点为 P (x 0，x 3)，由(1)知切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 2，故切线方程为 y －x 3＝3x 2(x －x )．0 0 0 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x 3＝3x 2(1－x )，即 2x 3－3x 2＋1＝0，∴(x －1)2(2x ＋1)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－1.0 0 0 0 0 02故所求的切线方程为：y －1＝3(x －1)或 y ＋1＝3(x ＋1，8 4 2即 3x －y －2＝0 或 3x －4y ＋1＝0.『规律方法』 1.求曲线在点 P (x 0，y 0)处切线的步骤：(1)求出函数 y ＝f (x )在点 x 0 处的导数 f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．过曲线外的点 P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为 Q (x 0，y 0)；(2)求出函数 y ＝f (x )在点 x 0 处的导数 f ′(x 0)；(3)利用 Q 在曲线上和 f ′(x 0)＝k PQ ，解出 x 0，y 0 及 f ′(x 0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．3．要正确区分曲线 y ＝f (x )在点 P 处的切线，与过点 P 的曲线 y ＝f (x )的切线．4．f ′(x 0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)<0 时，切线的倾斜角为钝角；f ′(x 0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f (x )在 x 0 处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴或不存在．一、单选题1．已知函数y =f (x)在x =x 处的导数为11，则lim f(x0-∆x)-f(x0)1 A．11 B．-11 C．∆x→0∆xD．-111 11 【答案】B【解析】【分析】直接化简lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)∆x得解.【详解】由题得lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)∆x=- lim∆x→0f (x0-∆x)-f (x0)-∆x=-f '(x) =-11.故选：B【点睛】本题主要考查函数导数公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．函数f (x )在x =x 处导数f ' (x )的几何意义是（）0 0A．在点x =x0 处的斜率B．在点(x0 , f (x0 ))处的切线与x轴所夹的锐角正切值C．点(x0 , f (x0 ))与点(0，0)连线的斜率D．曲线y =f (x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率=（）【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义即可得出.【详解】解： f '(x )的几何意义是在切点(x , f (x )) 处的切线斜率.故选：D.0 0【点睛】考查导数的几何意义，属于基础题.3．函数 f(x)＝e x cosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )A ．B ．0D ．1【答案】A【解析】【分析】求函数导数，代入 x=0 得到切线斜率，进而得倾斜角.【详解】由 f′(x)＝e x (cosx －sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率 k ＝f′(0)＝1，故倾斜角为 π，选 A.4【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 二、填空题x24．曲线y =+ ln x 在点2【答案】2x -y -3= 02(1, f (1)) 处的切线方程为．【解析】【分析】先对函数求导，求出在点(1, f (1))的切线斜率，再由点斜式，即可得出切线方程.【详解】因为y =x2+，所以y'=x +1，所以y'= 1+1 = 2.ln x2x x=1又因为f (1) =1，所以切线方程为y -1= 2(x -1) ，即2x -y -3= 0 .2 2 2故答案为2x -y -3= 02【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 5．曲线y =(-3x +1)e x 在点(0, 1)处的切线方程为．【答案】y =-2x +1.【解析】【分析】求出导数，得切线斜率，从而得切线方程．【详解】x=0y'=-3e x +(-3x +1)e x =(-3x - 2)e x ，所以k =y ' =-2 ,故切线方程为y -1 =-2(x - 0).即y =-2x +1.故答案为：y =-2x +1．【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求出导数得出切线斜率．三、解答题6．已知定义在R 上的连续函数y = f ( x) 的图像在点M (1, f (1)) 处的切线方程为y=-12x + 2 ，求f (1) +f '(1) . 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可直接求出f '(1) =-1，f (1) =-1+ 2 =3，进而可得出结果.2 2 2 【详解】因为函数y = f ( x) 在点M (1, f (1)) 处的切线方程为y=-12x + 2 ，所以f '(1) =-1，f (1) =-1+ 2 =3，因此f (1) +f '(1) = 1.2 2 2【点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.x x 2 x2 x 0 x 0 2 x 01+ 4x 051．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f (x ) = x 4 - 2x 3 的图像在点(1，f (1)) 处的切线方程为A ．y = -2x -1 B ． y = -2x +1 C ． y = 2x - 3 D ．y = 2x +1【答案】B【解析】 f (x )= x 4- 2x 3，∴ f '(x ) = 4x 3- 6x 2，∴ f (1) = -1， f '(1) = -2 ，因此，所求切线的方程为 y +1 = -2(x -1)，即 y = -2x +1.故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.2．【2020 年高考全国 III 卷理数】若直线 l 与曲线 y =1 和 x 2+y 2= 5都相切，则 l 的方程为A ．y =2x +1B ．y =2x + 12 C ．y = 12 x +1D ．y = 12 x + 12【答案】D【解析】设直线l 在曲线 y =上的切点为(x 0 ,x 0 )，则 x 0 > 0 ，函数 y = 的导数为y ' = 1，则直线l 的斜率 k = 1 ，设直线l 的方程为y - = 1(x - x )，即 x - 2 y + x 0 = 0，由于直线l 与圆 x 2+ y 2= 1相切，则x 05= 1 ，两边平方并整理得5x 2- 4x -1 = 0 ，解得 x = 1， x = - 1（舍），5x x 0 0则直线l 的方程为x - 2 y+1= 0 ，即y =1x +1.2 2故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线y =a e x +x ln x 在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．a = e，b =-1 B．a=e，b=1 C．a = e-1，b = 1D．a = e-1 ，b =-1【答案】D【解析】∵ y'=a e x + ln x +1,∴切线的斜率k =y'|x=1 =a e +1= 2 ，∴a = e-1 ，将(1,1) 代入y = 2x +b ，得2 +b =1, b =-1.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b 的等式，从而求解，属于常考题型.4．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y= f (x) 在点(0, 0) 处的切线方程为A．y =-2x B．y =-x C．y = 2x D．y =x【答案】D【解析】因为函数f崘᮱新是奇函数，所以aെ1െ0，解得aെ1，所以f崘᮱新െ᮱3+᮱，f᮱崘᮱新െ3᮱2+ 1，所以f᮱崘0新െ1᮱f崘0新െ0，所以曲线yെf崘᮱新在点崘0᮱0新处的切线方程为yെf崘0新െf᮱崘0新᮱，化简可得yെ᮱.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线yെf崘᮱新在某个点崘᮱0᮱f崘᮱0新新处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f᮱崘᮱新，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线y=3(x2+x)e x在点(0，0)处的切线方程为．【答案】3x -y = 0【解析】y'= 3(2x +1)e x + 3(x 2 +x)e x = 3(x 2 + 3x +1)e x ,所以切线的斜率k =y'|x=0 = 3，则曲线y = 3(x2 +x)e x 在点(0, 0) 处的切线方程为y = 3x ，即3x -y = 0 ．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．6.【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】曲线y = 2 ln(x +1) 在点(0, 0) 处的切线方程为．【答案】y െ2᮱【解析】y᮱െ2᮱+1，在点（0᮱0）处切线的斜率为kെ20+1െ2，则所求的切线方程为y െ2᮱.【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a =．【答案】െ 3【解析】y'=a e x +(ax +1)e x ，则y'|=a+1=-2，所以aെെ3.x=0【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.。

2021高考数学一轮复习易错题易错点03 基本初等函数 (解析版)

努力的你，未来可期!易错点03 基本初等函数—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天【答案】B【解析】【分析】根据题意可得()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果.【详解】因0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.69 1.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.【易错警示】易错点1．函数定义域理解不透【例1】已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域【错解】由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤∴(1)f x +的定义域是[1，2]【错因】不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白： ()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.【正解】由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足110≤+≤x ，10x -≤≤， ∴(1)f x +的定义域是[－1，0]易错点2．没有理解分段函数的意义【例2】已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .【错解】∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=- 故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.【错因】没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.【正解】∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2易错点3．忽略函数的定义域【例3】判断函数()(1f x x =+的奇偶性.【错解】∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===∴()(1f x x =+ 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.【正解】()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x-≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数易错点4．奇偶性的判别方法不灵活【例4】判断2()log (f x x =+的奇偶性.【错解】∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ∴)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以该函数既不是奇函数也不是偶函数【错因】对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.【正解】方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f ，∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数易错点5．不理解定义域和单调性的联系【例5】已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.【错解】∵f (x )是奇函数，∵f (x －3)<－f (x 2－3)= f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∵x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0 解得x >2或x <－3又 f (x )是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x ＜3【错因】只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.【正解】由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∵f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∵x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},易错点6．不理解符合函数的单调性【例6】已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是【错解】∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1【错因】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.【正解】∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可，∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解【例7】已知18log 9,185,b a ==求36log 45【错解】∵185,b =∴18log 5b = ∴1818183618181818log 45log 5log 9log 45log 36log 4log 9log 4b a a++===++错因：因对性质不熟而导致题目没解完. 【正解】∵185,b =∴18log 5b =∴18181836218181818log 45log 5log 9log 4518log 36log 4log 9log ()9b a a ++===++ 181822log ()9b a b a a a ++==-+ 易错点8．关于方程根考虑不全面【例8】已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围.【错解】设2()1f x mx x =++∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内 ∴(0)(1)0f f ⋅<得m ＜－2【错因】对于一般()f x ，若()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数()f x ，若()()0f a f b ⋅<则在区间（a,b ）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根时，不仅是()()0f a f b ⋅<，也有可能()()0f a f b ⋅≤.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根，但是()()0f a f b ⋅≤【正解】设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，又(0)f ＝1＞0 ∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2或者②1(1)02f m=-且0<<1得m 不存在综上所得，m ＜－2易错点9．应用题理解题意有误【例9】将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.【错解】设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y=)20200)(8(x x -+]81)1([202+--=x ∵x =1时，1620max =y （元）【错因】没理解题意，每天销售200件是在定价10元时的情况下，所设的应理解为在定价目10元的基础上，再每件售价提高x 元，故利润每件应为（2+x ）元，此时的销售量为（200－20x ）元【正解】设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y=)20200)(2(x x -+=720)4(202+--x 故当4=x ，即定价为14元时，每天可获得最大利润为720元.易错点10．不理解二次函数在闭区间上恒成立【例10】已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围.【错解一】()0f x ≥恒成立，∴△＝24(3)a a --≤0恒成立解得a 的取值范围为62a -≤≤【错解二】∵2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立∴(2)0(2)0f f -≥⎧⎨≥⎩即22(2)2302230a a a a ⎧--+-≥⎪⎨++-≥⎪⎩ 解得a 的取值范围为773a -≤≤ 【错因】对二次函数()f x ＝2ax bx c ++当x R ∈上()f x ≥0恒成立时，△≤0片面理解为，2ax bx c ++≥0，[2,2]x ∈-恒成立时，△≤0【正解】设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2【变式练习】1．函数y =的定义域为( ) A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)()1,22,⋃+∞D ．111,,122⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】要使得函数y =有意义，必须满足22102320x x x ⎧-≥⎨--≠⎩，解得：112x -≤<-或112x -<≤，故选D 2．已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，(2)f x -的定义域是（）A ．[2,3)-B ．[1,4)-C ．[0,5)D ．[1,6) 【答案】D【解析】()1f x +的定义域为[)2,3-；23x ∴-≤<；114x ∴-≤+<；()f x ∴的定义域为[)1,4-；124x ∴-≤-<；16x ∴≤<；()2f x ∴-的定义域为[)1,6．故选：D ．3．若0.33133,log 0.3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a <,∴3log 0.31<-,∴1b <-,∵1,0c a =->,∴b c a <<. 故选：A 4．幂函数()()2122a f x a a x -=--在()0+∞，上是减函数，则a =（） A ．3-B ．1-C ．1D ．3 【答案】D 【解析】2221a a --=，1a =-或3a =.当1a =-时，()2f x x =在()0,∞+上是增函数，排除；当3a =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，∴3a =. 故选：D .5．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.69 1.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.6．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）（）A ．()20y ax bx a =+且1)a ≠D ．(0x y a b a =+>且1)a ≠ 【答案】A【解析】因为该饮料在人均GDP∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵()20y ax bx a =+<来模拟比较合适，故选项A 正确.而,,B C D 选项表示的函数在区间[]0.5,8上是单调函数，所以不合适.故选：A .7．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则a =（） A ．4B ．2C ．14D ．12 【答案】C【解析】若01a <<，由()()1f a f a =+2(11)a =+-，所以14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得2(1)2(11)-=+-a a ，无解. 综上，14a =. 故选：C8．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】函数f (x )=e x |lnx |﹣2的零点可以转化为：|lnx |2x e =的零点；在坐标系中画出两个函数2ln ,x y x y e==的图象，根据图象可得有两个交点；故原函数有两个零点.故选：B .9．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,3【答案】D【解析】1x ≤时，2()22f x x x k =-+，所以其对称轴为x k =，开口向上，当1k <时，()f x 在(,)k -∞上递减，在(,1)k 上递增，所以x k =时，()f x 有最小值()0f k ≥，解得01k ≤<，当1k 时，()f x 在(,1)-∞上递减，所以当1x =时，()f x 有最小值(1)10f =≥，综上得0k ≥，当1x >时，3()(1)x f x x k e e =--+， '()()k f x x k e =-，当1k ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增，所以3()(1)0f x f ke e >=-+≥，解得2k e ≤，所以此时1k ≤，当1k >时，()f x 在(1,)k 上递减，在(,)k +∞上递增，所以3min ()()0k f x f k e e ==-+≥，解得3k ≤，此时13k <≤，综上0k ≤≤3，即k 的取值范围是[0,3]，故选：D.10．函数ln ||cos ()sin x x f x x x ⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C , 故选：D .11．已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[1,]2- B ．3[,1]2-C ．1[1]2-，D ．1[,1]2-【答案】C 【解析】因为()31sin f x x x x=+++设()()31sin g x f x x x x=-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数，()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增，不等式()()2122f a f a -+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项.【真题演练】1．【2020年高考全国I 卷理数】若242log 42log a b a b +=+，则 A ．2a b > B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【解析】设2()2log x f x x=+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B ．【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 故选：D ．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t KI t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C ．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b=，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c=，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数， x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A ．【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 7．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A ．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D ．【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B ．【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =. 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D ．【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+，所以222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D ．【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴> 故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A ．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．16．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0 【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.17．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ．【答案】4- 【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 的。

导数重难点、易错点题型梳理

导数重难点、易错点题型归纳题型1 导数的定义例题1 已知直线l 经过()1,0-，()0,1两点，且与曲线()y f x =切于点()2,3A ，则()()22lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【解析】直线l 经过()1,0-，()0,1两点，∴:1l y x =+直线与曲线()y f x =切于点()2,3A ，可得曲线在2x =处的导数为：21f所以()()()22l 2im1x f xf x f ∆→+∆-∆=='，选C巩固1 设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为（） A ．-1B ．-2C ．1D ．2【解析】()y f x = 在点()()1,1f 处的切线的斜率为()()()112'1lim 12x f f x f x∆→--∆==-∆ ,选A巩固2 已知函数()f x 在0x x =处可导，若000(3)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '=（）A ．1B ．13C ．3D ．0【解析】由已知可得()()()()()00000033lim 3lim3'13x x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+∆-+∆-===∆∆所以()01'3f x =．选B 题型2 导数的几何意义例题2 曲线xy xe =在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，则ab 的值为（）A ．12e-B ．2e-C ．2eD ．12e【解析】曲线xy xe =，则xxy e xe '=+，则12x y e ='=∵曲线在点()1,e 处的切线与直线0ax by c垂直，∴12a b e -=-，∴12a b e=，选D 巩固3 己知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（）A ．()1,3B ．()1,3--C ．()2,3--D ．()2,3-【解析】222y x x =+-的导数为22y x '=+，设(),M m n ，则在点M 的切线斜率为22m + 由于在点M 处的切线与x 轴平行，则220m +=，解得1m =- 所以1223n =--=-，即有M ()1,3--，选B巩固4 如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为（） A ．(1,0)B ．(0,1)-C ．(0,1)D ．(1,0)-【解析】设点P(a ,b )，则4b a a =-，由题得3()41f x x =-' 因为曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，所以3413a -=，所以a =1 所以b =4110-=,所以点P 的坐标为（1,0），选A巩固5 已知曲线3211()532f x x x =+-在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则2cos 2sin 2cos ααα=+( ) A ．12 B ．35 C ．2 D ．85【解析】因为3211()532f x x x =+-，故可得()2f x x x '=+，则切线的斜率()12tan f α'==又因为2cos 2sin 2cos ααα=+2222cos sin 1tan 1432cos 21415sin cos tan ααααααα---===-+++，选B题型3 导数几何意义与参数例题3 函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（）AB ．C ．2D ．【解析】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b = 所以()g b的最小值为即min k =选B巩固6 直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k = 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+ 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b = 所以144()422a b +=⨯-+=，选A巩固7 函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线与直线10ax y --=平行，则实数a =（）． A ．1- B ．14C ．12D ．1【解析】'1()f x a x =-，∴'11(2)24f a a a =-=⇒=，选B 巩固8 函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等实根，则实数k 范围（）A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负）当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =- 切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时，实数k 的取值范围是112k <<，选D题型4 曲线上动点到直线距离的最值问题例题4 设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（） A ．1717B ．21717C ．31717D ．41717【解析】()10f =，()4f x x '=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=，又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行这两条平行线间的距离为317d =PQ 317，选C 巩固9 已知点P 在曲线22y x lnx =-上，点Q 在直线32y x =-上，则||PQ 的最小值为( )A ．1313B ．1C ．1010D ．14【解析】函数22ln y x x =-的定义域为(0,)+∞，14y x x'=-令143x x-=，可得1x =，14x =-（舍去）所以切点为(1,2)，它到直线32y x =-的距离d ==即点P 到直线32y x =-的距离的最小值为10，则||PQ的最小值为10，选C 题型5 公切线问题例题5 函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（） A ．4 B ．2 C ．1 D ．12【解析】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x > 则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域为增函数，又()10h =，则解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111m f '=+=+解得4m =，选A 巩固10 已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（） A ．24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得2000420x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩ 由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004e x x a =，令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()e x x h x =在(2,)+∞上递减，所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭巩固11 已知函数211()142f x x x a =++-（0x <），()ln g x x =（0x >），其中a R ∈，若()f x 的图象在点11(,())A x f x 处的切线与()g x 的图象在点22(,())B x g x 处的切线重合，则a 的取值范围是( ) A ．(1ln 2,)-++∞ B ．(ln 2,)+∞ C ．(1ln 2,)--+∞ D ．(ln 2,)-+∞【解析】211()142f x x x a =++-，11'()22f x x =+故切线方程为：()21111111112242y x x x x x a ⎛⎫=+-+++-⎪⎝⎭()ln g x x =，故1'()g x x =，切线方程为：()2221ln y x x x x =-+ 故1211122x x +=，()()21111222111111ln 2242x x x x a x x x ⎛⎫+-+++-=-+ ⎪⎝⎭ 化简整理得到：()2111111ln ,0422a x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，111022x +>，故110x -<< 设()()2111ln ,10422g x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，()()()()2111'2121x x g x x x x +-=-=++故函数在()1,0-上单调递减，故()0ln 2g =，当1x →-时，()g x →+∞，故ln 2a >，选B巩固12 若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（）A．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B．13,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C．3ln 4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设公切线与函数()ln f x x =的图象切于点()11,ln A x x ()101x <≤因为()ln f x x =，所以()1f x x'=，所以在点()11,ln A x x 处斜线的斜率1111()k f x x '==所以切线方程为()1111ln y x x x x -=-，设公切线与函数()2g x x a =+的图象切于点()222,B x x a + 因为()2g x x a =+，所以()2g x x '=，所以在()222,B x x a +处点斜线的斜率()222k g x x '==所以切线方程为()()22222y x a x x x -+=-，所以有2121212ln 1x x x x a⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 因为101x <≤，所以21121x x =≥，212x ≥．又222ln 21a x x =-+- 令21,2t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，则()22ln 21ln 2ln 1h t t t t t =-+-=--+-，所以()221t h t t-'=令()0h t '>且12t ≥，得22t >；令()0h t '<且12t ≥，得1222t ≤<所以()h t 在12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上为减函数，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数. 所以函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线满足()2122h h t h ⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()13ln 224h t --<≤-，所以13ln 2,24a ⎛⎤∈--- ⎥⎝⎦，选D 题型6 导数几何意义与函数性质综合例题6 已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】函数的图象的对称中心为，所以，即，得，又的图象在点处的切线过点，即，解得，选A巩固13 已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（） A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =- 则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x << 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-. 由两切线重合可知21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤. 不妨设()()()22102x g x x e x =-≤,则()()22',''12x x g x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-，选B 巩固14 函数2,0()2,0x xx f x ex x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 范围是【解析】由图知()y f x =与1()2y k x =+有4个公共点即可即()0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，则0000011()2x x x k e x k x e -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0122x k e ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2k e ∴∈ 巩固15 已知函数22e 1,0,()22,0,x x f x x x x ⎧->=⎨---≤⎩若|()|f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围为【解析】作出函数|()|f x 的图象如图所示；当0x ≤时；令222x x mx ++=，即2(2)20x m x +-+=令0∆=，即2(2)80m --=，解得222m =±222m =-当0x >时，令2e 1x mx -=，则此时2()e 1xf x =-，()h x mx =相切设切点()020,1x x e-，则00202e 1,2e ,x x mx m ⎧-=⎨=⎩解得2m =，观察可知，实数m 的取值范围为222,2⎡⎤-⎣⎦，选A 巩固16 设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()3y g x x π=-+）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】设()()22f x a b x ωϕ=++()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤ 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2723212x πππ+∴==为()()22f x a b x ωϕ=++的一条对称轴且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()22f x a b x ωϕ=++的一个对称中心由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=224a b +=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y =,03π⎛-⎫⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示4>时，163x π>-，所以()y g x =-7个，选D 题型7 两条曲线上动点距离最值例题7 设函数()2sin f x x ππ=-在()0,∞+上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点()0,0x 处的切线上有一点P ，曲线23ln 2y x x =-上有一点Q ，则PQ 的最小值为【解析】令()x k k ππ=∈Z ，则x k =，最小为01x =因为()2cos f x x π'=-，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为()12cos 2f π'=-= 则切线方程为22y x =-设()23ln 2g x x x =-，()23ln 222h x x x x =--+ 则()132h x x x '=--，()10h '=，()h x 在1x =处取最小值()3102h =>所以()0h x >恒成立，所以直线22y x =-与曲线()y g x =没有交点令()132g x x x '=-=，得1x =或13x =-（舍去），()312g = 则PQ 的最小值为点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线22y x =-的距离d，所以10d == 巩固17 已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为【解析】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点 ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方对ln y x =求导得1y x '=，令1y e '=，得x e =，所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小该点到直线l==因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+ 巩固18 若x ，a ，b 为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+-的最小值为（）AB ．18C．1 D．19-【解析】22(2)(3)1a b ++-=，可得(),a b 在()2,3-为圆心，1为半径的圆上22()(ln )x a x b -+-表示点(),a b 与点(),ln x x 的距离的平方又(),ln x x 在曲线ln y x =上，设曲线ln y x =上一点为(),ln m m 设过点(),ln m m 的切线与点(),ln m m 与()2,3-的连线垂直可得ln 3112m m m-⋅=-+，即有2ln 23m m m ++=由()2ln 2f m m m m ++＝在0m >递增，且()13f =，可得切点为()1,0圆心与切点的距离为d ==可得22()(ln )x a x b -+-的最小值为()2119=-D巩固19 已知111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则( )A ．M 的最小值为25 B ．M 的最小值为45 C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为125【解析】由题意，()()221212M x x y y =-+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，ln 2y x x =-+，得11y x'=-与直线242ln 20x y +--=平行的直线斜率为12- 令1112x -=-，解得2x =，所以切点的坐标为()2ln 2，切点到直线242ln 20x y +--=的距离22ln 242ln 225514d +--==+ 即()()221212M x x y y =-+-的最小值为45，选B 巩固20 若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为【解析】由题意得，结果为线ln y x =上的点与以()2,3C -为圆心，以1为半径的圆上的点距离平方最小值可以求曲线ln y x =上的点与圆心()2,3C -的距离的最小值，在曲线ln y x =上取一点(),ln M m m 曲线有ln y x =在点M 处的切线的斜率为1'k m =，从而有'1CM k k ⋅=-，即ln 3112m m m-⋅=-+ 整理得2ln 230m m m ++-=，解得1m =，所以点()1,0满足条件其到圆心()2,3C -的距离为()()22213032d =--+-=，故其结果为()23211962-=-巩固21 设点P 在曲线2xy e =上，点Q 在曲线上，则Q P 的最小值为 A ．1ln2-B ．()21ln 2-C ．D ．()21ln 2+【解析】因为曲线2xy e =与曲线互为反函数，其图象关于直线y x =对称，故可先求点P 到直线y x =的最近距离，函数2xy e =的导数为2xy e '=，由21xy e '==得，ln 2x =-，所以ln 221y e -==所以当P 点为点(ln 2,1)-时，点到直线y x =的最近距离为ln 2122d --==所以min 222(1ln 2)2PQ d ===+ 题型8 导数几何意义综合例题8 设曲线()1*n y xn N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，令lg nn ax =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为【解析】因为()()1*n y f x xn N +==∈，所以()()1nf x n x '=+，所以()()11,11f n f '=+=所以切线方程为：()111y n x -=+-，令0y =，得1n x n =+所以()lg lglg lg 11n n na x n n n ===-++ 所以1299lg1lg 2lg 2lg3lg3lg 4...lg99lg1002a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- 巩固22 不等式，恒成立，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【解析】令，则，很明显函数的周期为由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示考查临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为，选A题型9 函数的单调性求参数例题9 已知函数()()()211ln ln 22x x f k k x x R =---∈ （1）当0k =时，求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）当1k >时，讨论函数()f x 零点的个数【解析】（1）()l 'n ln 1x f x x x x x -=-=，令()()1ln '1x x g x g x x=-⇒=-，易得()g x 在(]0,1上递减()1,+∞上递增，∴()()()min 110'0g x g f x ==>⇒>，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增（2）()n 'l ln 1x k x x xf x x k x --=--=，由（1）知当1k >时，方程ln x x k -=有两个根1x ，2x 且易知1201x x <<<，则()f x 在()10x ，上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞单调递增. 所以1x 为()f x 的极大值点，2x 为()f x 的极小值点显然()22211022kk f ee e ---=-<-<，()()1112f x f >=，∴()f x 在()10,x 仅有唯一零点又()222221122nk nk nk f e e n k nk e n k =--->-，（当n 为较大的整数时）设()2xh x e x =-，则()2xh x e x '=-，()2xh x e ''=-当1x >时，()0h x ''>，()2xh x e x '=-在1+，单调递增,即()()120h x h e ''≥=->所以()2xh x e x =-在1+，单调递增，即()()110h x h e ≥=->，即()0nkf e>（当n 为较大整数时）于是下面讨论()2f x 的正负情况：()2222211ln ln 22f x x x k x =---()22222211ln ln ln 22x x x x x =----2222211ln ln 22x x x x =-+-构造函数()211ln ln 22F x x x x x =-+-()()1ln ln '11ln 0x x xF x x x x-⇒=+--=≤，且()0f e = ① 当21x e <<时，22ln k x x =-在()1,e 递增，得()1,1k e ∈-，此时()()220f x F x =>，则函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点②当2x e =时，显然1k e =-，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点③当2x e >时，22ln k x x =-在(),e +∞递增，得()1,k e ∈-+∞，此时()()220f x F x =<，则函数()f x 在()0,∞+上有三个零点综上，()1,1k e ∈-，函数()f x 在()0,∞+上有一个零点；1k e =-时，函数()f x 在()0,∞+上有两个零点；()1,k e ∈-+∞，函数()f x 在()0,∞+上有三个零点巩固23 已知函数2()ln (21)?(0)f x a x x a x a =-+-≥. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围【解析】（1）由()()()()21221x a x af x x a x x-+=-+-=-' 当a =0时，()210f x x '=-+<，则f （x ）在（0，+∞）上递减当a ＞0时，令f '（x ）＝0得x a =或12x =-（负根舍去），令f '（x ）＞0得0x a ＜＜；令f '（x ）＜0得x a ＞，所以f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减综上：a =0时， f （x ）在（0，+∞）上递减，a ＞0时，f （x ）在()0a ，上递增，在()a +∞，上递减（2）由（1）当a ＝0时，f （x ）＝﹣2x x -≤0，符合题意，当a ＞0时，()2()0max f x f a alna a a ==+-≤，因为a ＞0，所以10lna a +-≤令()g a =1lna a +-,则函数单调递增，又()10g = ，故 10lna a +-≤，得01a <≤ 综上，a 的取值范围为[]0,1巩固24 已知函数2()()(1)x f x x a e a x =+-+（1）当0a =时，求函数()f x 在()()11f ，处的切线方程（2）若2a -，证明：当0x 时，()0f x【解析】当0a =时，2()x f x x e =，2()(2)x f x x x e '=+，()13f e '=，()1f e =∴函数()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程3(1)y e e x -=-，即320ex y e --=（2）证明：2()(2)x f x x x a e a '=++-，令2()(2)x g x x x a e a =++-，则2()(42)x g x x x a e '=+++2a -，∴当0x 时，22(42)(4)0x x x x a e x x e ++++，即()0g x '且不恒为零()g x ∴在[0，)+∞上是增函数，故()(0)0g x g =，即()0f x '()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，()(0)0f x f ∴=，即()0f x ，故若2a -，则当0x 时，()0f x巩固25 已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+- （1）讨论()f x 的单调性（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围【解析】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数②当0∆>，即2a <-或2a >时当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭为减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数（2）()()()()22213ln ln 022x xF x f x g x x x ax e x x x x ax x e x =-=++--+=-++->()F x 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln x e x x a x-+=有解令()()2ln 0x e x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11x xe x x x e x x x x h x x x++-+='-+++-= 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x <，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增； ()()11h x h e ∴≥=+，当1a e ≥+时，()F x 有不动点a ∴的范围为[)1,e ++∞题型10 极值与参数例题10 已知函数321()3f x x x mx m =+++ （1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值（2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点【解析】（1）由题得2()2f x x x m '=++由题可知()()12f x f x =，所以32321112221133x x mx m x x mx m +++=+++ 所以22112212+++3+3+30x x x x x x m =（i ）因为()10f x '=，所以21120x x m ++=.即2113630x x m ++=（ii ）（ii ）-（i ）得221122121212122330,(2)()3()0x x x x x x x x x x x x --+-=∴+-+-= 所以12121212(23)()0,,23x x x x x x x x ++-=≠∴+=-（2）令321()03f x x x mx m =+++=，则321(1)3x x m x +=-+ 令321()3h x x x =+，2()2h x x x '=+ 可知()h x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在[]2,0-上单调递减，又4(2)3h -=，(0)0h =(1)y m x =-+为过(1,0)-点的直线，又0m >，则0m -<因此321(1)3x x m x +=-+有且只有一个交点，即321()3f x x x mx m =+++有唯一的零点巩固26 已知函数()3213f x x x a =-+（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值与极小值（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值是最小值的3倍，求a 的值【解析】（1）当0a =时，()3213f x x x =-，所以()22f x x x '=- 令()0f x '=，则0x =或2x =，当(),0x ∈-∞和()2,x ∈+∞时，()0f x '>当()0,2x ∈时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减所以()f x 的极大值为()00f =；()f x 的极小值为()423f =- （2）由题,()3213f x x x =-，由（1）可得()f x 在[]1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增，所以()f x 的最小值即为()f x 的极小值()423f a =-+因为()213f a =-+,()3f a =,所以()()max 3f x f a ==因为()()max min 3f x f x =，则433a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2a =题型11 最值与参数例题11 设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围【解析】（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x --+----'=-+==，由函数存在极值可知，14a ≠ 1()2i a =时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x 在(1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减.1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202a x a-<<，由()0f x '<可得，1212ax a -<< 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，122a a-），单调递减区间12(,1)2aa - 综上所述：当14a =，()()2102x f x x-'=≥恒成立，不符合题意当1142a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增当12a ≥时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增（2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx-<令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1()21h x lnx x'=-+- 222112()=0xh x x x x--''=-< ，则()h x '在(1,)e 上单调递减，所以()h x h '<'（1）0= 所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '< 所以()g x 在(1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-，故2b e e - 巩固27 已知函数()()2ln f x ax b =+，其中,a b ∈R（1）当0a >时，若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值（2）设1b =，函数()()()()()211,0g x ax a ax f x a R a =+++-∈≠有两个不同的零点，求a 的最大整数值.（参考数据50.2234ln≈：）【解析】1）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b + 2'()a f x ax b=+，002'()1a f x ax b ∴==+，()020ax b a a ∴+=> 又因为点P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=.所以02ln 2a x =02222b a ax a aln a ∴＝-=﹣.因此()222220a a a b ln a a =>﹣，设()22222,0g a a a ln a a =﹣＞，则()'2422122)g a a aln a a ln a ＝﹣＝(﹣ ，令'()0g a >得，02a <<；令'()0g a <得，2a >，()g a ∴在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， ()g a ∴的最大值为4e g =⎝⎭.则ab 的最大值为4e（2）函数()()21)(1)(,0)g x ax a ax f x a R a +++-∈≠=(有两个不同的零点等价于方程22(1)1)(1)ln ax ax a ax ++++=(有两个不相等的实根设1t ax +＝，则等价于方程2200lnt t at t =﹣﹣（＞）有两个不同的解即关于t 的方程22ln 0)t t a t t -=(＞有两个不同的解，设()22ln t th t t-=则2222ln '()t t h t t --=.设2()22m t t lnt ＝﹣﹣，由0t >可知2'()20m t t t =--< ()m t ∴ 在()0,∞+上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =，即200 22ln 0t t --=，则2002ln 2t t += 当()00,t t ∈时，()0m t >，'()0h t >，函数()h t 单调递增；当()0,t t ∈+∞时()0m t <，'()0h t <，函数()h t 单调递减.所以函数()h t 的极大值为()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭要使得关于t 的方程()22ln 0t ta t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <当1a =-时，设2()2p t lnt t t -+＝，则2'()21p t t t=-+可知()p t 在1170,⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在117,⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减又2117(1)0,0,()20p p p e e e ⎛⎫+=>=-+<⎪⎝⎭p （1）＝0所以()p t 有两个不同的零点，符合题意，所以a 的最大整数值为1-题型12 值点偏移例题12 已知函数()ln 2(0)f x ax x a =+≠. （1）求函数()f x 的最值（2）函数()f x 图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为()1,()2f x g x x=-有两个零点12,x x ，求证：124x x +> 【解析】（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设因为，，所以变形为，欲证，只需证即证，令，则只需证对任意的都成立令，则所以在上单增，，即对任意的都成立，所以巩固28 已知函数()212xf x e x ax =--有两个极值点12,x x（Ⅰ）求实数a 的取值范围（Ⅱ）求证：120x x +<（III ）求证：()()122f x f x +> 【解析】Ⅰ）21()2x f x e x ax =--，()x f x e x a '∴=--设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-，令()10xg x e -'==，解得0x =∴当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(0)1min g x g a ∴==-当1a 时，()()0g x f x '=，∴函数()f x 单调递增，没有极值点当1a >时，(0)10g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点1x ，2x ，不妨设12x x <，则120x x << ∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为(1,)+∞．（Ⅱ）不妨设120x x <<，要证12+0x x <，即证12<x x -，而()g x 在(),0-∞上单调递减，所以即证()()12>g g x x -，即证()()22>g g x x -，即2222x x e x e x -->+，2222210x x e x e -->，设()221,0xx h x exe x =-->，则()2(1)x x h x e e x '=--令()1xH x e x =--，则()1xH x e '=-，当()10xH x e '=-=，则0x =，即()H x 在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减，所以()()00min H x H ==，即1x e x ≥+，()0h x '∴≥，()h x ∴单调递增，()()00h x h ∴>=，所以原不等式成立（III ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知1x ，2x 为()0g x =两个实数根，120x x <<，()g x 在(,0)-∞上单调递减且120x x <-<函数()f x 在1(x ，0)上也单调递减，12()()f x f x ∴>-∴要证12()()2f x f x +>，只需证22()()2f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->设函数2()2x x k x e e x -=+--，(0,)x ∈+∞，则()2x x k x e e x -'=-- 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->()x ϕ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴>=，即()0k x '>()k x ∴在(0,)+∞上单调递增，()(0)0k x k ∴>=∴当(0,)x ∈+∞时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->22()()2f x f x ∴-+>，12()()2f x f x ∴+>巩固29 已知函数()ln f x kx x =-（1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求k 的取值范围（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >【解析】（1）∵()ln f x kx x =-，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增 ∴1()0f x k x '=-≥在()1,+∞恒成立，∴1k x≥，∴1k（2）证明：不妨设120x x >>∵()()120f x f x ==，∴11ln 0kx x -=， 22ln 0kx x -= 可得()1221ln ln k x x x x +=+， ()1212ln ln k x x x x -=-要证明212x x e >，即证明21ln ln 2x x +>，也就是证()122k x x +>∵1212lnx lnx k x x -=-，∴即证明：1212122lnx lnx x x x x --+＞，即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+＞令12x t x =，则1t >，于是()21ln 1t t t ->+ 令()()21ln 1t g t t t -=-+，1t >，则()22(1)(1)t g t t t -'=+ 故函数()g t 在()1,+∞上是增函数，∴()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立，∴原不等式成立题型13 恒成立问题求参数例题13 已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =（1）求函数()()f x yg x =的极小值（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值。

2021年高考数学复习专题02 函数与导数对数与对数函数易错点

2021年高考数学复习专题02 函数与导数对数与对数函数易错点主标题：对数与对数函数易错点副标题：从考点分析对数与对数函数易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：对数，对数函数，易错点难度：3重要程度：5内容：【易错点】1．对数运算的辨析(1)已知x ，y 为正实数，①2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y ，②2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y ，③2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y ，④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y ，以上四个式子错误的是①②③.(√)(2)若log 4[log 3(log 2x )]＝0，则＝24.(√) 2．对数函数的理解(3)函数y ＝log 3(2x －4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝2.(×)(6)log2x2＝2log2x.(×)[剖析]三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错.26490 677A 杺S{Q32379 7E7B 繻a37568 92C0 鋀36398 8E2E 踮22918 5986 妆 `20324 4F64 佤h27106 69E2 槢28446 6F1E 漞。

高考导数常考、易错、失分点分析

高考导数常考、易错、失分点分析【易错点1】复合函数的求导例1、函数1cos x y x e -=⋅ 的导数为。

【易错点诊断】复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即x u x y y u '''=⋅。

解析： ()()1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos x x x x x y e x e e xe x e -----'''=+=+-=+1cos sin x xe x -()1cos 1sin x x x e -=+.【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。

[适用性练习]（1）设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。

（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ）答案：23b a =--.（2）y =ln （x ＋21x +）答案: y ′=211x x ++·（x ＋21x +）′=211x x ++（1＋21x x +）=211x +.【易错点2】关于导数的几何意义(还有一个易错题)例2、曲线33:x x y S -=在点(0,16)A 处的切线方程为。

【易错点诊断】此题易由/2/()33,(0)3f x x f =-+=，从而得到以A 点为切点的切线的斜率为3，即所求切线方程为3160x y -+=的错误结果，事实上要注意到点A 不在曲线S 上。

解析：设过点A 的切线与曲线S 切于点()3000,3M x x x -处，由于/2()33,f x x =-+由导数的几何意义可知切线的斜率()20033k f x x '==-+①，又由两点连线的斜率公式知30003161x x k x --=②，联立①②得02x =-，从而切线的斜率()20033k f x x '==-+=-9，故切线方程为9160x y +-=。

高考数学复习：导数单调性问题练习与答案

高考数学复习：导数单调性问题一、解答题1．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数()2ln f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调增区间.3．（2021·北京101中学高二期中）己知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明()324f x a≤--；（3）若不等式()0f x >恰有两个整数解，求实数a 的取值范围.4．（2021·北京牛栏山一中高二期中）已知函数()e xf x ax =-()R a ∈.（1）如果曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设23()12g x x ax =-+-，求证：当[0,1]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立.5．（2021·北京清华附中高二期中）已知：函数()xe f x x a=-（0a ≠）．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()y f x =的单调区间；（3）函数()f x 在区间[0,1]上满足()1f x ，求a 的取值范围．6．（2021·北京市丰台第八中学）已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（Ⅰ）求,a b 的值（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间（Ⅲ）若函数()y f x k =-在区间-2⎡⎣上有三个零点，写出k 的取值范围（无需解答过程）7．（2021·北京市丰台第八中学）已知函数()()()22ln 24a f x a x x a x a R =-+--∈.（Ⅰ）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41y x =-+平行时，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当函数()f x 在区间()1,4单调递增时，求实数a 的取值范围.8．（2021·北京五十五中高二期中）已知函数()313f x x ax a a R =-+∈，（1）当a =1时，求曲线()y f x =在点(0，1)处的切线方程；（2）当a =1时，求函数()y f x =的单调区间：（3）若函数()f x 有三个零点，求a 的取值范围.9．（2021·北京市一零一实验学校）已知函数()21mx f x x n-=+是奇函数，且()322f =（1）求实数,m n 的值（2）设函数()()1g x f x =+，函数()y g x =在点()()1,2P t g t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的单调区间及最值.10．（2021·北京丰台·高二期中）已知函数()ln ()af x x a R x=+∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）求出函数()f x 零点的个数．11．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心高二期末）已知函数()x f x e ax =+.（a R ∈）（1）若0a <，求函数()f x 的单调区间；（2）若3a =，证明：当0x >时，()231f x x x >++恒成立.12．（2021·北京丰台·高二期中）已知函数1()ln f x x x=+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值和最小值．13．（2021·北京海淀·高二期中）已知函数())ln .f x x a =-∈R （1）当2a =时，求函数的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围．14．（2021·北京房山·高二期中）已知函数321()313f x x x x =--+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 的极值.15．（2021·北京房山·高二期中）已知函数()ln (R)f x x ax a =+∈.（1）当a =1时，求曲线()y f x =在x =1处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在0x ，使得()00f x >，求a 的取值范围.16．（2021·北京日坛中学高二期中）已知函数()()ln .x f x e x a =-（1）若函数()y f x =在[]1,e 存在单调减区间，求实数a 的取值范围;（2）若1a >,求证:函数()f x 存在极小值;（3）若对任意的实数[]1,+x ∈∞,()1f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．17．（2021·北京日坛中学高二期中）已知函数()22,R.x f x xe ax ax a =++∈（1）若=1a ,求()f x 在点()()00f ，处的切线方程;（2）求函数()f x 的单调区间;18．（2021·北京日坛中学高二期中）已知函数()()2ln 12x f x a x a x =+-+，求其单调区间.19．（2021·北京密云·）已知函数()1xf x ae x =-+，()23g x x ax =-+，a R ∈．（1）证明：函数()f x 在()()0,0f 处的切线恒过定点；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）证明：对任意实数b ，当1a =时，都有()()()()1cos 0bx f x g x +-≥．20．（2021·北京丰台·）已知函数()e x f x ax =-．（1）讨论f （x ）的单调区间；（2）对(0,)x ∀∈+∞，都有f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围．21．（2021·北京西城·高二期末）已知函数2()(31)e x f x x x =-+．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[2,0]-上的最大值和最小值．22．（2021·北京平谷·高二期末）已知函数2()3ln =-+f x x x x ．（1）求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间，并判断函数()f x 的零点个数．23．（2021·西城·北京育才学校高二期中）已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()0f x 恒成立，求a 的取值范围．24．（2021·西城·北京育才学校高二期中）已知函数()321252f x x x x =--+（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间和减区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈-时，求函数()y f x =的最值和最值点.25．（2021·北京东直门中学高二期中）已知函数()()1ln f x x x ax a =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅲ）请直接写出()f x 的零点个数．26．（2021·北京朝阳区·高二期末）设函数()1x f x e kx =--，0x ≥，k ∈R （1）求()f x 的单调递增区间；（2）当1k =，12a ≤时，求证：2()f x ax ≥.27．（2021·北京石景山·高二期末）已知函数32()22f x x ax =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0<<3a 时，求()f x 在区间[0,1]上的最大值及最小值.28．（2021·北京市清华志清中学高二期末）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．29．（2021·北京朝阳·高二期末）已知函数()ln .f x x x =（1）求曲线()y f x =在点（e ，()f e ）的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.30．（2021·北京清华附中）已知函数()()ln 1f x x a x =--，()x g x e =.（1）过原点作曲线()y g x =的切线1l ，求切线1l 的方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）过原点作曲线()()()0,1y f x x =∈的切线2l ，若切线2l 的斜率与1l 的斜率互为倒数，求证：211e e a e e--<<.31．（2015·北京高二期末（文））已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3]，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.32．（2020·北京）已知函数()39f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.33．（2020·北京西城区·）已知函数3()3f x x x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.34．（2020·北京西城区·）已知函数()ln f x x ax a =+-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.35．（2020·北京海淀·101中学高二期末）已知函数2()af x x x=+（0x ≠，常数a ∈R ）.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.36．（2020·首都师范大学附属中学高二期末）已知a ∈R ，函数()2()()xf x x ax e x =+∈R .（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递减，求a 的取值范围.37．（2020·北京海淀·人大附中）已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.38．（2020·北京朝阳·高二期末）已知函数1()ln =+f x a x x，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值；（3）若()y f x =在1x =时取得极值，设1()()g x f x x=-，当120x x <<时，试比较21()()2g x g x -与2121x x x x -+大小，并说明理由.39．（2020·北京高二期末）已知函数()2123ln 2f x x x x =--.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.40．（2015·北京房山·高二期中（文））已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.41．（2020·北京高二期末）已知函数()ln x e mf x m x x x=++.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围.42．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）.（1）当0a =时，求()f x 过原点的切线方程；（2）讨论()f x 的单调区间和极值；（3）若[]0,1x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.43．（2017·北京海淀区·）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a ，b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围．44．（2019·北京西城区·高二期末）已知函数321()3f x x x bx =-+，且(2)3f '=-.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间.45．（2020·北京平谷·高二期末）定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M —数列”（Ⅰ）已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，满足294711,28a a a a +=⋅=，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n b 是n S 和1的等差中项，证明：数列{}n b 是"M －数列"；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M —数列”{}n c ，对于任意正整数k ，都有1k k a c +≤成立．求此时数列{}n c 公比q 的最小值．46．（2020·北京高二期末）已知函数f (x )＝2x 3﹣3ax 2﹣1，a ∈R .（1）当a ＝1时，求f (x )在区间[﹣1，1]上的最值；（2）讨论f (x )的单调性；（3）若f (x )有3个零点，求a 的取值范围.（只需写出结论）47．（2020·北京高二期末）已知函数f (x )＝x ﹣lnx .（1）求定义域及单调区间；（2）求f (x )的极值48．（2011·北京高二期中（文））已知函数()ln f x x =，()ag x x=(0a >)，设()()()F x f x g x =+.（1）求函数()F x 的单调区间；（2）若以函数()y F x =，(0,3]x ∈的图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值.49．（2020·北京延庆区·高二期末）已知函数()1xx f x e -=.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当(),0x ∈-∞时，()21212f x x x <-+-；（Ⅲ）当0x <时，若曲线()y f x =在曲线241y ax ax =-+-的下方，求实数a 的取值范围.50．（2020·北京通州区·高二期末）已知函数21()22f x x mx lnx =--，m R ∈.（1）若1m =，求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（2）求()f x 的极值点.51．（2020·北京通州区·高二期末）已知函数4()(22)ln 2f x ax a x x=-+-+，34()2x g x e x x=--.（1）若1a ≤，讨论()f x 的单调性；（2）若32a =-，求证：()()f x g x <.52．（2020·北京理工大学附属中学通州校区）已知函数32()(,)f x x ax bx a b =++∈R 的图象过点(1,2)P ，且在点P 处的切线斜率为8．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值．53．（2021·北京一七一中高二期中）已知函数3()31f x x x =-+.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).54．（2020·北京市陈经纶中学高二期中）已知函数()x f x e =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记AMN ∆的面积为()S t ．（Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间;（Ⅱ）当2a >时，若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，求实数a 的取值范围．55．（2020·北京市陈经纶中学高二期中）已知函数()2()23x f x x ax a e =+--，其中a ∈R ，2.71828e = 为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时，若函数()f x 的图象恒在直线y e =的上方，求实数a 的取值范围．56．（2020·北京实验学校（海淀））已知函数3()33f x x x =-++.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[]0,2上的最大值和最小值.57．（2021·北京密云·高二期末）已知函数321()32()3f x x x x x R =---∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()f x 零点的个数，并说明理由.58．（2019·北京市八一中学）已知函数()()22xf x x x e =-.（1）求该函数的单调增区间；（2）当2x >-时，()f x a ≥总成立，求常数a 的最大值.59．（2018·北京北师大实验中学高二期末（文））已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++∈.（1）若0a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，讨论函数()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调区间.60．（2018·北京师大附中高二期末（理））已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a R =-++∈.（1）若0a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.61．（2020·北京清华附中高二期末）已知函数f （x ）=lnx ﹣x +1.（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程：（2）若非零实数a 使得f （x ）≥ax 12-ax 212a -对x ∈[1，+∞）恒成立，求a 的取值范围.62．（2020·中央民族大学附属中学高二期末）函数()()211ln 2f x x a x x x =+--，（1）若()f x 在定义城内为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当3a =时，关于x 的方程()0f x b +=在区间(]1,e 上有且只有一实数根，求b 的取值范围.63．（2019·北京朝阳·高二期末）已知函数2()e (e)x f x a x ax =+--，(0)a ≤．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：当0a <时，函数()f x 在区间()0,1内存在唯一零点．64．（2019·北京朝阳·高二期末）设函数321()(1)41()3f x ax a x x a =-+++∈R．（Ⅰ）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．65．（2021·北京人大附中高二期末）已知函数()ln xf x x=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln xx x x e e <-成立.66．（2019·北京丰台区·）已知函数()()21()1x f x e x a x a R ⎡⎤⎣⎦=-++∈.(I)若1a =-时，求曲线() y f x =在()(0)0f ，处的切线方程;(II)求函数()f x 的单调区间.67．（2021·北京师范大学实验二龙路中学高二期中）已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．68．（2019·北京市十一学校高二期中）已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．69．（2021·首都师范大学附属中学高二期中）已知函数()32f x x ax bx =++的图象与直线15280x y --=相切于点()2,2．(Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间．参考答案1．（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞-2．（1）0x y -=（2）2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭3．（1）若0a ，()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a <，()f x 在1(0,2a-上单调递增，在1(,)2a-+∞上单调递减．（2）证明见解析；（3）13ln 3(,]315+--4．（1）2y x =；（2）当0a ≤时，f （x ）的单调递减区间为(,)-∞+∞，无单调增区间；当0a >时，f （x ）的单调递增区间为(,ln )a -∞，单调递减区间为(ln ,)a +∞；（3）证明见解析.5．（1）21y x =--；（2）递减区间为(,)a -∞，(,1)a a +；递增区间为(1,)a ++∞；（3）[1,0)-.6．（Ⅰ）1,3a b =-=；（Ⅱ）单调增区间为()1,1-；减区间为()(),1,1,-∞-+∞；（Ⅲ）[)0,2k ∈7．（Ⅰ）3a =；（Ⅱ）答案见详解；（Ⅲ）8a ≥8．（1）10x y +-=，（3）()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上递增，在(1,1)-上递减，（3）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．（1）0n =，1m =；（2）()S t 在1[,2)2上递减，(2,)+∞上递增；且最小值为0.10．（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；（Ⅱ）0a ≤或1a e =，()f x 有1个零点；1a e >，()f x 有0个零点；10a e<<，()f x 有2个零点．11．（1）在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增；（2）证明见解析.12．（1）()f x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增；（2）最大值1e -；()f x 最小值1．13．（1）单调递增区间是()0,1，单调递减区间是()1,+∞；（2）2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．14．（1）增区间：()(),1,3,-∞-+∞，减区间：()1,3-.（2）极大值83，极小值8-.15．（1）210x y --=；（2）0a ≥时，()f x 在()0,∞+单增；0a <，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单减；（3）1a e >-.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2021届高考数学(理)考点复习：导数与函数的极值、最值(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．概念方法微思考1．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示必要不充分2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解析】（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11()1x f x lnx lnx x x-'=+-=-，y lnx =单调递增，1y x=单调递减，()f x ∴'单调递增，又f '（1）10=-<，f '（2）1412022ln ln -=-=>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点．（2）由（1）知0()f x f <（1）2=-，又22()30f e e =->，()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =，由01a x >>，得011x a<<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a=---==， ∴1a是()0f x =在0(0,)x 的唯一根，综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．2．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数．（1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ．【解析】（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=． ()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去． 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去． 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去． 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，．因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-．（3）证明：0a =，01b <，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++． △22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：21111(0,]3b b b x +--+=，2211b b b x ++-+=．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，令11(0,]3x t =∈，可得：23221t tb t -=-．43211112()()(1)()(1)21t t t M f x x x b x t t b t t -+-∴==--=--=-， 432261282(21)t t t tM t -+-+'=-．令32()61282g t t t t =-+-+，22()182482(32)0g t t t t '=-+-=--<，∴函数()g t 在1(0,]3t ∈上单调递减，14()039g =>． ()0t g t ∴>．0M ∴'>．∴函数()M t 在1(0,]3t ∈上单调递增，14()()327M t M ∴=． 3．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++．曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，可得2(4221)0a a e --+=，解得12a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(1)1](1)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--，若0a =则1x <时，()0f x '>，()f x 递增；1x >，()0f x '<，()f x 递减． 1x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且1a =，则2()(1)0x f x x e '=-，()f x 递增，无极值；若1a >，则11a<，()f x 在1(a ，1)递减；在(1,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在1x =处取得极小值；若01a <<，则11a >，()f x 在1(1,)a递减；在1(a ，)+∞，(,1)-∞递增，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则11a<，()f x 在1(a ，1)递增；在(1,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意．综上可得，a 的范围是(1,)+∞．4．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(21)2]x f x ax a x e '=-++．由题意可得曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为0，可得(212)0a a e --+=，且f （1）30e =≠，解得1a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(21)2](2)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--，若0a =则2x <时，()0f x '>，()f x 递增；2x >，()0f x '<，()f x 递减． 2x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且12a =，则21()(2)02x f x x e '=-，()f x 递增，无极值；若12a >，则12a <，()f x 在1(a，2)递减；在(2,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在2x =处取得极小值；若102a <<，则12a >，()f x 在1(2,)a 递减；在1(a，)+∞，(,2)-∞递增，可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则12a <，()f x 在1(a，2)递增；在(2,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意．综上可得，a 的范围是1(2，)+∞．5．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解析】（1）当0a =时，()(2)(1)2f x x ln x x =++-，(1)x >-．()(1)1xf x ln x x '=+-+，2()(1)x f x x ''=+，可得(1,0)x ∈-时，()0f x ''，(0,)x ∈+∞时，()0f x '' ()f x ∴'在(1,0)-递减，在(0,)+∞递增， ()(0)0f x f ∴''=，()(2)(1)2f x x ln x x ∴=++-在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =．∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）解：由2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-，得222(12)(1)(1)()(12)(1)211x ax ax x ax x ln x f x ax ln x x x ++-++++'=+++-=++，令2()(12)(1)(1)h x ax x ax x ln x =-++++， ()4(421)(1)h x ax ax a ln x '=++++．当0a ，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()(0)0h x h ∴>=，即()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，故0x =不是()f x 的极大值点，不符合题意．当0a <时，12()84(1)1ah x a aln x x -''=++++，显然()h x ''单调递减， ①令(0)0h ''=，解得16a =-．∴当10x -<<时，()0h x ''>，当0x >时，()0h x ''<，()h x ∴'在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()(0)0h x h ∴''=，()h x ∴单调递减，又(0)0h =，∴当10x -<<时，()0h x >，即()0f x '>，当0x >时，()0h x <，即()0f x '<，()f x ∴在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 0x ∴=是()f x 的极大值点，符合题意；②若106a -<<，则(0)160h a ''=+>，161644(1)(21)(1)0a a aah ea e++-''-=--<，()0h x ∴''=在(0,)+∞上有唯一一个零点，设为0x ，∴当00x x <<时，()0h x ''>，()h x '单调递增，()(0)0h x h ∴'>'=，即()0f x '>，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，不符合题意；③若16a <-，则(0)160h a ''=+<，221(1)(12)0h a e e''-=->，()0h x ∴''=在(1,0)-上有唯一一个零点，设为1x ，∴当10x x <<时，()0h x ''<，()h x '单调递减，()(0)0h x h ∴'>'=，()h x ∴单调递增， ()(0)0h x h ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在1(x ，0)上单调递减，不符合题意．综上，16a =-．6．（2017•全国）已知函数32()3(1)12f x ax a x x =-++．（1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a 时，讨论方程()0f x =实根的个数．【解析】2()36(1)123(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--．（1）当0a >时，令()0f x '=，得2x =或2x a=； ①当01a <<时，有22>，列表如下： x(,2)-∞2 2(2,)a 2a 2(,)a+∞ ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值故极小值为22124()a f a a -=．②当1a =时，有22a=，则2()3(2)0f x x '=-，故()f x 在R 上单调递增，无极小值； ③当1a >时，有22<，列表如下： x2(,)a-∞2a 2(,2)a 2 (2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值故极小值为f （2）124a =-．（Ⅱ）解法一：①当0a =时，令2()3123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根； ②当0a <时，令()0f x '=，得2x =或2x =，有202<<，列表如下： x2(,)a -∞2a2(,2)a2 (2,)+∞ ()f x ' -0 +0 -()f x极小值极大值故极大值为f （2）1240a =->，极小值22124()0a f a a -=<，因此()0f x =有三个根．解法二：①当0a =时，令2()3123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根； ②当0a <时，2()[3(1)12]f x x ax a x =-++，对于二次函数23(1)12y ax a x =-++，0x =不是该二次函数的零点，△29(1)240a a =+->，则该二次函数有两个不等的非零零点，此时，方程()0f x =有三个根．7．（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e ≈⋯是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g =()x a -()()f x a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】2()()2I f ππ=-．()22sin f x x x '=-，()2f ππ∴'=．∴曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程为：2(2)2()y x πππ--=-．化为：2220x y ππ---=．()()II h x g =()x a -2()(cos sin 22)(2cos )x f x e x x x a x x =-+--+()(cos sin 22)(sin cos 2)(22sin )x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+-- 2(sin )()2(sin )()x x lna x x e a x x e e =--=--．令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x '=-，∴函数()u x 在R 上单调递增． (0)0u =，0x ∴>时，()0u x >；0x <时，()0u x <．（1）0a 时，0x e a ->，0x ∴>时，()0h x '>，函数()h x 在(0,)+∞单调递增；0x <时，()0h x '<，函数()h x 在(,0)-∞单调递减． 0x ∴=时，函数()h x 取得极小值，(0)12h a =--．（2）0a >时，令()2(sin )()0x lna h x x x e e '=--=．解得1x lna =，20x =．①01a <<时，(,)x lna ∈-∞时，0x lna e e -<，()0h x '>，函数()h x 单调递增； (,0)x lna ∈时，0x lna e e ->，()0h x '<，函数()h x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，0x lna e e ->，()0h x '>，函数()h x 单调递增．∴当0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极大值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++． ②当1a =时，0lna =，x R ∈时，()0h x '，∴函数()h x 在R 上单调递增． ③1a <时，0lna >，(,0)x ∈-∞时，0x lna e e -<，()0h x '>，函数()h x 单调递增； (0,)x lna ∈时，0x lna e e -<，()0h x '<，函数()h x 单调递减； (,)x lna ∈+∞时，0x lna e e ->，()0h x '>，函数()h x 单调递增．∴当0x =时，函数()h x 取得极大值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极小值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．综上所述：0a 时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增；0x <时，函数()h x 在(,0)-∞单调递减． 0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)12h a =--．01a <<时，函数()h x 在(,)x lna ∈-∞，(0,)+∞是单调递增；函数()h x 在(,0)x lna ∈上单调递减．当0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极大值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．当1a =时，0lna =，函数()h x 在R 上单调递增．1a >时，函数()h x 在(,0)-∞，(,)lna +∞上单调递增；函数()h x 在(0,)lna 上单调递减．当0x =时，函数()h x 取得极大值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极小值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．8．（2017•江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：23b a >；（Ⅲ）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）解：因为32()1f x x ax bx =+++，所以2()()32g x f x x ax b ='=++，()62g x x a '=+，令()0g x '=，解得3ax =-．由于当3a x >-时()0g x '>，()()g x f x ='单调递增；当3ax <-时()0g x '<，()()g x f x ='单调递减；所以()f x '的极小值点为3ax =-，由于导函数()f x '的极值点是原函数()f x 的零点，所以()03af -=，即33102793a a ab -+-+=，所以223(0)9a b a a=+>．因为32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，所以2()320f x x ax b '=++=有实根，所以24120a b ->，即222903a a a-->，解得3a >，所以223(3)9a b a a=+>．（Ⅱ）证明：由（1）可知h （a ）42332245913(427)(27)81381a a b a a a a a=-=-+=--，由于3a >，所以h （a ）0>，即23b a >；（Ⅲ）解：由（1）可知()f x '的极小值为2()33a a fb '-=-，设1x ，2x 是()y f x =的两个极值点，则1223ax x +=-，123b x x =，所以332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3422273a ab=-+，又因为()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，所以23242372327392a a ab a b a -+-+=--，因为3a >，所以3263540a a --，所以22(36)9(6)0a a a -+-，所以2(6)(2129)0a a a -++，由于3a >时221290a a ++>，所以60a -，解得6a ，所以a 的取值范围是(3，6]．9．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()f x ax ax xlnx =--，且()0f x ．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．【解析】（1）因为2()()(0)f x ax ax xlnx x ax a lnx x =--=-->，则()0f x 等价于()0h x ax a lnx =--，求导可知1()h x a x'=-．则当0a 时()0h x '<，即()y h x =在(0,)+∞上单调递减，所以当01x >时，0()h x h <（1）0=，矛盾，故0a >．因为当10x a <<时()0h x '<、当1x a>时()0h x '>，所以1()()min h x h a=，又因为h （1）10a a ln =--=，所以11a=，解得1a =；另解：因为f （1）0=，所以()0f x 等价于()f x 在0x >时的最小值为f （1），所以等价于()f x 在1x =处是极小值，所以解得1a =；（2）由（1）可知2()f x x x xlnx =--，()22f x x lnx '=--，令()0f x '=，可得220x lnx --=，记()22t x x lnx =--，则1()2t x x'=-，令()0t x '=，解得12x =，所以()t x 在区间1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，所以1()()2102min t x t ln ==-<，又2212()0t e e=>，所以()t x 在1(0,)2上存在唯一零点，所以()0t x =有解，即()0f x '=存在两根0x ，2x ，且不妨设()f x '在0(0,)x 上为正、在0(x ，2)x 上为负、在2(x ，)+∞上为正，所以()f x 必存在唯一极大值点0x ，且00220x lnx --=，所以222200000000000()22f x x x x lnx x x x x x x =--=-+-=-，由012x <可知20002111()()224max f x x x <-=-+=；由1()0f e '<可知0112x e <<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，1)e 上单调递减，所以0211()()f x f e e>=；综上所述，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<． 10．（2016•山东）设2()(21)f x xlnx ax a x =-+-，a R ∈．（1）令()()g x f x ='，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求正实数a 的取值范围．【解析】（1）由()f x ln '= 22x ax a -+，可得()g x ln = 22x ax a -+，(0,)x ∈+∞，所以112()2axg x a x x-'=-=，当0a ，(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >，1(0,)2x a∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1(2x a∈，)+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以当0a 时，()g x 的单调增区间为(0,)+∞；当0a >时，()g x 的单调增区间为1(0,)2a，单调减区间为1(2a ，)+∞．⋯（6分）（2）由（1）知，f '（1）0=．①当102a <<时，112a >，由（1）知()f x '在1(0,)2a内单调递增，可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当1(1,)2x a∈时，()0f x '>．所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ②当12a =时，112a=，()f x '在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，不合题意． ③当12a >时，1012a <<，()f x 在1(0,)2a上单减，当1(2x a∈，1)时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以()f x 在1x =处取极大值，符合题意．综上可知，正实数a 的取值范围为1(2，)+∞．⋯（12分）11．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解析】（1）函数()cos x f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x f x e x x '=--，可得曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线斜率为0(cos0sin 0)10k e =--=，切点为0(0,cos00)e -，即为(0,1)，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为1y =；（2）函数()cos x f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x f x e x x '=--，令()(cos sin )1x g x e x x =--，则()g x 的导数为()(cos sin sin cos )2sin x x g x e x x x x e x '=---=-，当[0x ∈，]2π，可得()2sin 0x g x e x '=-，即有()g x 在[0，]2π递减，可得()(0)0g x g =，则()f x 在[0，]2π递减，即有函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值为0(0)cos001f e =-=；最小值为2()cos 2222f e πππππ=-=-．1．（2020•道里区校级一模）已知函数21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，则实数m 的取值范围为( ) A ．1(e-，0)B ．1(1,1)e--C ．1(,1)e-∞-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】由21()(1)2f x xlnx m x x =-+-，得()(1)f x lnx m x '=-+，0x >．要使21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，只需()(1)0f x lnx m x '=-+=有两个变号根，即1lnxm x+=有两个变号根．令()lnxg x x=，(0)x >，则21()lnx g x x -'=，由()0g x '=得x e =，易知当(0,)x e ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 单调递减．所以1()()max g x g e e==，而1()0g e e=-<，1lim lim 01x x lnx x x →+∞→+∞==，作出()y g x =，1y m =+的图象，可知：101m e <+<，解得111m e-<<-+．故选B ．2．（2020•内江三模）函数2()(12)22ax f x a x lnx =+--在区间1(2，3)内有极小值，则a 的取值范围是( ) A ．1(2,)3--B ．1(2,)2--C ．(2-，11)(33--⋃，)+∞D ．(2-，11)(22--⋃，)+∞【答案】D【解析】22(12)2(1)(2)()(12)ax a x ax x f x ax a x x x+--+-'=++-==，当0a =时，()2f x x '=-，所以在1(2，2)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(2,3)上，()0f x '>，()f x 单调递增， f （2）为函数()f x 的极小值，符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得1x a=-，2x =，且102a -<<，所以在1(2，2)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(2,3)上，()0f x '>，()f x 单调递增， f （2）为函数()f x 的极小值，符合题意，当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-，2x =，且102a <-<，若()f x 在1(2，2)有极小值，只需12112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩或12a ->，解得122a -<<-，或102a -<<，综上所述，122a -<<-，或12a -<，故选D ．3．（2020•德阳模拟）已知函数2()2f x ax x lnx =-+有两个极值点1x ，2x ，若不等式1212()()f x f x x x t +<++恒成立，那么t 的取值范围是( )A ．[1-，)+∞B ．[222ln --，)+∞C ．[32ln --，)+∞D ．[5-，)+∞【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2221()ax x f x x-+'=(0)x >，因为函数2()2f x ax x lnx =-+有两个极值点1x ，2x ，所以方程22210ax x -+=在(0,)+∞上有两个不相等的正实数根，则121248010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．因为222121211122212121212122()()()22[()2]3()()12f x f x x x ax x lnx ax x lnx x x a x x x x x x ln x x ln a a+-+=-++-+--=+--++=---，设h （a ）212ln a a=---，h '（a ）22aa-=，易知h '（a ）0>在1(0,)2上恒成立，故h （a ）在1(0,)2上单调递增，故h （a ）1()52h <=-，所以5t -，所以t 的取值范围是[5-，)+∞．故选D ．4．（2020•汕头校级三模）已知函数21()(1)2x x f x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，10][2，)+∞B ．(-∞，10][3，)+∞C ．(-∞，10][4，)+∞D ．(-∞，1][03-，)+∞【答案】A 【解析】21()(1)2x x f x x e ae ax =--+，2()x xf x xe ae a '∴=-+，()f x 只有一个极值点，()f x '∴只要一个变号零点．（1）当0a =时，()x f x xe '=，易知0x =是()f x 的唯一极值点；（2）当0a ≠时，方程2()0x x f x xe ae a '=-+=可化为1x x x e e a-=-，令1()g x x a=，()x xh x e e -=-，可得两函数均为奇函数， ∴只需判断0x >时，两函数无交点即可．①当0a <时，1()0g x x a=<，()0x x h x e e -=->，所以()g x 与()h x 有唯一交点0x =，且当0x >时，()()g x h x <；当0x <时，()()g x h x >． 0x ∴=是()f x 的唯一极值点；②当0a >时，()0x x h x e e -'=+>，即()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(0)0h =，lim ()x h x →+∞=+∞，设()h x 过原点的切线为y kx =，切点为(m ，)(0)km m >，则m m m me e k km e e --⎧+=⎨=-⎩，解得0m =，2k =，如图所示，当1y x a=在直线2y x =下方（第一象限）或与2y x =重合时，0x =是唯一交点，能满足()0f x '=的变号零点，即函数()f x 的极值点， 12a∴．综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，10][2，)+∞．故选A ．5．（2020•山西模拟）已知函数3()(2)x e f x t lnx x x x=-++仅有一个极值点1，则实数t 的取值范围是( ) A ．1(,]33e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭B ．1(,]3-∞C ．1(,]23e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．1(,]2-∞【答案】B 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222(1)(23)()(1)1323()(2)xx e x x t x e x f x t x x x x -+--+'=-+-=，因为函数恰有一个极值点1，所以023xe t x -=+无解，令()(0)23x e g x x x =>+，则2(21)()0(23)x e x g x x +'=>+，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而1()(0)3g x g >=，所以13t 时，023x e t x -=+无解，3()(2)x e f x t lnx x x x =-++仅有一个极值点1，所以t 取值范围是1(,]3-∞．故选B ．6．（2020•南平三模）函数3211()(2)(0)32f x x a x x a =-++>在(,)e +∞内有极值，那么下列结论正确的是( )A ．当1(0,2)a e e ∈+-时，11a e e a -->B ．当1(2,)2ea e e ∈+-时，11a e e a --<C ．当(,)2ea e ∈时，11a e e a -->D ．当1(,)a e e e∈+时，11a e e a --<【答案】B【解析】令2()()(2)1(0)g x f x x a x a ='=-++>，则△2(2)40a =+->，若()f x 在(,)e +∞内仅有一个极值点，即()g x 在(,)e +∞内有一个零点，则20()(2)10a g e e a e >⎧⎨=-++<⎩，解得12a e e >+-；若()f x 在(,)e +∞内仅有两个极值点，即()g x 在(,)e +∞内有两个零点，则20()(2)1022a g e e a e a e ⎧⎪>⎪=-++>⎨⎪+⎪>⎩，无解， ∴当12a e e>+-时，函数()f x 在(,)e +∞内有极值，现考查不等式11a e e a --<，两边同时取对数可得，1(1)a e lna -<-，即1(1)0a e lna ---<，令1()1(1),2h a a e lna a e e=--->+-，则1()1e h a a-'=-，令h '（a ）0>，解得1a e >-， ∴函数h （a ）在1(2,1)e e e+--上单调递减，在(1,)e -+∞上单调递增，又111(2)3(1)(2)h e e e ln e e e e+-=+---+-112(1)10e e lne e e<+---=-<，h （e ）(1)(1)0e e lne =---=，∴当1(2)a e e e∈+-时，h （a ）0<成立，即11a e e a --<，∴选项B 正确．故选B ．7．（2020•龙岩模拟）已知函数()xf x ax lnx=-在(1,)+∞上有极值，则实数a 的取值范围为( ) A ．1(,]4-∞B ．1(,)4-∞C ．1(0,]4D ．1[0,)4【答案】B 【解析】21()()lnx f x a lnx -'=-，设22111()()()lnx g x lnx lnx lnx -==-，函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，()()f x g x a ∴'=-在(1,)+∞上有变号零点，令1t lnx=，由1x >可得0lnx >，即0t >，得到22111()244y t t t =-=--+， ∴14a <．故选B ．8．（2020•武汉模拟）设函数2()(32)()f x lnx a x x a R =+-+∈在定义域内只有一个极值点，则实数a的取值范围为( ) A ．8(,)9+∞B ．8(0,)9C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】C【解析】2()(32)f x lnx a x x =+-+，定义域为(0,)+∞，21231()(23)ax ax f x a x x x-+'=+-=，设2()231g x ax ax =-+，①当0a =时，()1g x =，故()0f x '>， ()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，所以无极值点．②当0a >时，△298a a =-，若809a<时△0，()0g x ，故()0f x '，故()f x 在(0,)+∞上递增，所以无极值点．若89a >时△0>，设()0g x =的两个不相等的实数根为1x ，2x ，且12x x <，且1232x x +=，而(0)10g =>，则12304x x <<<，所以当1(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(x x ∈，2)x ，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当2(x x ∈，)+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增．所以此时函数()f x 有两个极值点；③当0a <时△0>，设()0g x =的两个不相等的实数根为1x ，2x ，且12x x <，但(0)10g =>，所以120x x <<，所以当2(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递増；当2(x x ∈，)+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．所以此时函数()f x 只有一个极值点．综上得：当0a <时()f x 有一个极值点．故选C ．9．（2020•昆明一模）已知函数221()(44)(4)2x f x e x x k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．2[e -，)+∞ B ．3[e -，)+∞ C ．2[e ，)+∞ D ．3[e ，)+∞【答案】D【解析】由题可知，21()(4424)(24)(2)[(4)]2x x f x e x x x k x x e x k '=--+-++=+-+，2x =-是()f x 的唯一极小值点，(4)0x e x k ∴-+恒成立，即(4)x k e x --，令()(4)x g x e x =-，则()(3)x g x e x '=-，当3x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴3()(3)min g x g e ==-，3k e ∴--，即3k e ．故选D ．10．（2020•江西模拟）已知定义在(0,)+∞上的函数()()x a f x e ln x a -=-+，其中0a >，e 为自然对数的底数．（1）求证：()f x 有且只有一个极小值点；（2）若不等式()212f x x a ln ++-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）证明：由于1()x a f x e x a-'=-+ 21()0()x a f x e x a -''=+>+，则()f x ' 在(0,)+∞ 上单调递增．令()x g x e x =-，则()1x g x e '=-，故当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减当(0,)x ∈+∞ 时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()(0)1min g x g ==，即1x e x x +>，由于1(0)0aaa a e f e a e a --'=-=<，1(1)021f a e a '+=->+，故0(0,1)x a ∃∈+，使得0()0f x '=，且当0(0,)x x ∈时0()0f x '<，()f x 单调递减；当0(x x ∈，)+∞时，0()0f x '>，()f x 单调递增．因此()f x 在(0,)+∞ 有且只有一个极小值点0x ，无极大值点．（2）由于不等式()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立，()i 必要性：当1x = 时，不等式成立，即 1(1)312a e ln a a ln --++--令1()(1)312,()0a g a ln a a e ln g a -=+++--，由于11()0123a g a e a a -'=++>++，则g （a ）在 (0,)+∞ 上单调递增，又由于g （1）0=，则g （a ）0 的解为01a <． ()ii 充分性：下面证明当01a < 时， ()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立令()()2112x a h x e ln x a x a ln -=-++++，由于01a <，01a >--，1x a x --，1x a x e e --，01a x x <++，()(1)ln x a ln x ++，()(1)ln x a ln x -+-+，12,2122,2122,2122a x a x x a x x a x +++++++-++-+，则1()(1)2212x h x e ln x x ln --+++令1()(1)2212x m x e ln x x ln -=-+++，则 11()122x m x e x x -'=-++，1231()0(1)(22)x m x e x x -''=++>++， ()m x ' 在(0,)+∞ 上单调递增，由于m '（1）0=，则当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，当(1,)x ∈+∞ 时，()0m x '>，()m x 单调递增，故()m x m =（1）0=，即()0m x 恒成立，因此，当01a < 时，()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立．故a 的取值范围为(0，1]．11．（2020•红河州三模）已知函数()()1af x lnx a R x =-∈+．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：1()f x ，f （1），2()f x 成等差数列．【解析】（1）由()1af x lnx x =-+得21()(1)a f x x x '=++，故切线斜率k f ='（1）14a=+，又f （1）2a =-，故切线方程为：(1)(1)24a ay x +=+-，即(4)4430a x y a +---=；（2）2221(2)1()(0)(1)(1)a x a x f x x x x x x +++'=+=>++，由题意知：1x ，2x 是方程()0f x '=在(0,)+∞内的两个不同实数解，令2()(2)1(0)g x x a x x =+++>，注意到(0)10g =>，其对称轴为直线2x a =--，故只需220(2)40a a -->⎧⎨=+->⎩，解得：4a <-，即实数a 的取值范围是(,4)-∞-，由1x ，2x 是方程2(2)10x a x +++=的两根，得：122x x a +=--，121x x =，故12()()f x f x + 1212()()11a a lnx lnx x x =-+-++ 121212122()1x x ln x x a x x x x ++=-+++22121a aa --+=---+a =-，又f （1）2a=-，即12()()2f x f x f +=（1），故1()f x ，f （1），2()f x 成等差数列．12．（2020•启东市校级模拟）已知函数()(0)f x alnx a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(,)P s t 处具有相同的切线．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数2()(1)()g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求21()g x x 的取值范围．【解析】（1）根据题意，函数()(0)f x alnx a =≠与212y x e= 可知()af x x'=，1y x e '=，两图象在点(,)P s t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s=，化简得s ae =，将(,)P s t 代入两个函数可得22s alns e=②，综合上述两式①②可解得1a =，所以()f x lnx =．（2）函数22()(1)()(1)g x x mf x x mlnx =-+=-+，定义域为(0,)+∞，222()2(1)m x x mg x x x x-+'=-+=，因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x +=，122mx x =，(*)，又已知12x x <，所以121012x x <<<<，222211()(1)g x x mlnx x x -+=，将(*)式代入得22222222212()(1)2(1)121g x x x x lnx x x lnx x x -+-==-+-，令()12h t t tlnt =-+，1(2t ∈，1)，()21h t lnt '=+，令()0h t '=，解得：t e=，当1(2t ∈)e 时，()0h t '<，()h t 在1(2e 单调递减；当(t e ∈，1)时，()0h t '>，()h t 在(e，1)单调递增；所以2()(11min eh t h ee===-， 1(){()2h t max h <，h （1）}，11()2022h ln h =-<=（1），即21()g x x 的取值范围是2[1e -0)． 13．（2020•河南模拟）设函数()f x xlnx =，()()x g x ae a R =∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也与曲线()y g x =相切，求a 的值．（2）若函数()()()G x f x g x =-存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当22ae 时，证明：()0G x <．【解析】（1）()f x xlnx =，()1f x lnx '=+，(0,)x ∈+∞，f ∴（1）0=，f '（1）1=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程是1y x =-；设直线1y x =-与()y g x =相切于点0(x ，01)x -，()x g x ae '=，00()x g x ae ∴'=，由00011x x ae ae x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得022x a e -=⎧⎨=⎩；（2）()1x G x lnx ae '=+-， ①()G x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0G x '=在(0,)+∞上有2个不同的根，由10x lnx ae +-=，可得1xlnx a e +=，令1()xlnx t x e +=，则11()xlnx x t x e --'=，令1()1h x lnx x =--，可得211()0h x x x'=--<，故()h x 在(0,)+∞递减，且h （1）0=，当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0t x '>，()t x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0t x '<，()t x 递减，故t （1）1e=是极大值也是最大值，又当0x →时，()t x →-∞，当x →+∞时，()0t x >且趋向于0，要使()0G x '=在(0,)+∞有2个根，只需10a e<<，故a 的取值范围是1(0,)e；②证明：设()()xG x ae F x lnx x x==-， 2(1)()xx a x e F x x--'=，当01x <时，22a e，()0F x ∴'>，则()F x 在(0,1)递增，()F x F ∴（1）0ae =-<，当1x >时，2(1)()[](1)x a x xF x e x a x -'=---，令()(1)x x H x e a x =--，则21()0(1)x H x e a x '=+>-，22a e ，H ∴（2）22220ae e a a -=-=，取(1,2)m ∈，且使2(1)m e a m >-，即2211ae m ae <<-，则22()0(1)m mH m e e e a m =-<-=-，()H m H （2）0，故()H x 存在唯一零点0(1,2)x ∈，故()F x 有唯一的极大值点0(1,2)x ∈，由0()0H x =，可得000(1)x x e a x =-，故0001()1F x lnx x =--，0(1,2)x ∈，020011()0(1)F x x x '=+>-，故0()F x 为(1,2)上的增函数， 0()F x F ∴<（2）222102ae ln ln =--<，综上，当22a e 时，总有()0G x x<，即()0G x <．14．（2020•河南模拟）已知函数21()22f x x ax lnx =-+，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求21()2()f x f x -的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-+'=-+=，令221y x ax =-+，当△2440a =-即11a -时，0y ，此时()f x 在(0,)+∞递增，当1a <-时，2210x ax -+=有2个负根，此时()f x 在(0,)+∞递增，当1a >时，2210x ax -+=有2个正根，分别是211x a a =-221x a a =+- 此时()f x 在1(0,)x 递增，在1(x ，2)x 递减，在2(x ，)+∞递增，综上，1a 时，()f x 在(0,)+∞递增，1a >时，()f x 在2(0,1)a a -递增，在2(1a a --21)a a +-递减，在2(1a a +-)+∞递增；（2）由（1）得：122x x a +=，121x x =，1a >，21121ax x =+，22221ax x =+， 1a >，1(0,1)x ∴∈，2(1,)x ∈+∞， 222122211111()2()22(2)22f x f x x ax lnx x ax lnx ∴-=-+--+ 2221211212x x lnx lnx =-++-+222222111()212x lnx ln x x =-++-+2222211312x lnx x =-+++，令22t x =，则1t >，113()122g t t lnt t =-+++，则222211332(1)(2)()2222t t t t g t t t t t -+----'=--+==，当12t <<时，()0g t '>，当2t >时，()0g t '<，故()g t 在(1,2)递增，在(2,)+∞递减，g （2）13222ln =+， 21()2()f x f x ∴-的取值范围是(-∞，132]22ln +． 15．（2020•运城模拟）设函数()f x xlnx =．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）当120x x >>时，221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）()1f x lnx '=+，()f x 在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）1=，则切线方程为1y x =-，（2）()()212F x f x ax lnx ax '='-=+-．()F x 有两个极值点．即()F x '有两个零点，即120lnx ax +-=有两个不等实根，12lnxa x+=，令21()()lnx lnxg x g x x x+-='=，在(0,1)上()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增．在(1,)+∞上单调递减，()max g x g =（1）1=．x →+∞时，()0g x →．即12(0,1),(0,)2a a ∈∈．（3）221212()()()2m x x f x f x ->-可化为222211()()22m m f x x f x x ->-．设2()()2m Q x f x x =-，又120x x >>． ()Q x ∴在(0,)+∞上单调递减，()10Q x lnx mx ∴'=+-在(0,)+∞上恒成立，即1lnxmx+．又1()lnxh x x+=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ()h x ∴在1x =处取得最大值．h （1）1=．1m ∴．16．（2020•鹿城区校级模拟）已知函数2()(3)1()f x axlnx x a x a R =-+-+∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，212()x x x <． ①求a 的取值范围；。

【2021新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
三.导数的运算法则若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′(x)＝ex f′(x)＝axlna
f′(x)＝1 x
f′(x)＝ 1 xln a
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f（x） (3) g（x） ′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0).
[g（x）]2
四.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.
【举一反三】
1．下列求导运算正确的是（）
A．㺀 ʒ산 ᙰ ʒ ʒ
B．㺀 ʒ산 ᙰ ʒ（其中 e 为自然对数的底数）
C．㺀ʒ ͳ ʒ 산 ᙰ ʒ ͳ ʒ 【答案】B
D．㺀
ʒ cosʒ
산
ᙰ
cosʒ ʒsinʒ cos ʒ
【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．
详解：㺀 ʒ산 ᙰ ʒln ，㺀 ʒ산 ᙰ 㺀 ʒ산 ᙰ
ᙰ
；②若
ʒ
ᙰ
ʒ，则
ᙰ
⚪㺀ʒ산 ᙰ ʒ，则 ⚪ 㺀 산 ᙰ ，其中正确的个数是________________．
ʒ；③若 ᙰ ʒ ，则 ᙰ

2021高考数学导数专题及答案

++值，有极值时求出极值．8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．2017年高考真题导数专题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．2．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f （a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*．一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，即（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2；从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，所以m的最小值为3．4．（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a≥3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．5．（2017•新课标Ⅱ）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）e x，x∈R，所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）e x，令f′（x）=0可知x=﹣1±，当x＜﹣1﹣或x＞﹣1+时f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）e x．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以e x≥x+1．因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．6．（2017•浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．7．（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．8．（2017•北京）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．9．（2017•天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．10．（2017•山东）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x3﹣x2，∴f′（x）=x2﹣2x，∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a3﹣sina当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a3﹣sina当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴g（x）在R上单调递增，无极值．11．（2017•天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．12．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x=e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣ae x﹣a2=（2e x+a）（e x﹣a），①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]。