建模方法论

第二章建模方法论

2.1 数学模型

系统模型的表示方式有许多，而其中数学方式是系统模型的最主要的表示方式。系统的数学模型是对系统与外部的作用关系及系统内在的运动规律所做的抽象，并将此抽象用数学的方式表示出来。本节将讨论建立数学模型作用、数学模型与集合及抽象的关系、数学建模的形式化表示、数学模型的有效性与建模形式化、数学模型的分类等问题。

2.1.1 数学建模的作用

1、提高认识

通信、思考、理解三个层次。

首先，一个数学描述要提供一个准确的、易于理解的通信模式；除了具有清楚的通信模式外，在研究系统的各种不同问题或考虑选择假设时，需要一个相当规模的辅助思考过程；一旦模型被综合成为一组公理和定律时，这样的模型将使我们更好地认识现实世界的现象。

因此，可把现实世界的系统看成是由可观测和不可观测两部分组成。

2、提高决策能力

管理、控制、设计三个层次。

管理是一种有限的干预方式，通过管理这种方式人们可以确定目标和决定行为的大致过程，但是这些策略无法制定得十分详细。在控制这一层，动作与策略之间的关系是确定的，但是，由于控制中的动作仅限于在某个固定范围内进行选择，所以仍然限制了干预的范围。在设计层，设计者可以在较大程度上进行选择、扩大或代替部分现有的现实，以满足设计者的希望。

因此，可把现实世界的系统看成是由可控制和不可控制两部分组成。

3---

统实际系统

不可观部分不可控部分

可观部分 可控部分

目标：提高认识 目标：

提高干预能力

图 2.2 根据目标建立系统

2.1.2 集合、抽象与数学模型

抽象过程是建模工程的基础。由于建模和集合论都是以抽象为基础，集合论对于建模工程是非常有用。

1、集合：

有限集合

无限集合，整数集合I,实数集合R ，正整数集

合I +,非负整数集合I 0+=I +U{0}，}{0,0∞=++∞ I I 是非

负整数加符号∞而成的集合。与其类似，R +,R 0

+和+∞,0R 则表示实数的相应集合。

叉积是集合基本运算：令A 和B 是任意集合，则A ×B={（a,b ）,a ∈A,b ∈B}。

2、映射：是一个关系。具有形式：F t t w →

10,:.

3、理论构造

理论构造是根据充分的抽象概念来建立集合结构，从而使模型具有更广泛的应用能力和应用范围。理论构造的过程为：建立数学描述时，需要建立几个抽象，即要定义以下几个集合：输入、输出以及状态变量，再建立这些城乡的复合集合结构，定义函数关系。

4、数学模型

数学模型就是通过对系统的全部或部分的分析，对系统与外部的作用关系及系统内在的运动规律所做的抽象，并将此抽象用数学的方式表示出来。集合论正好可作为研究系统的工具，因为建模就是要得到一个被抽象集合机构的系统的定义，这个集合结构总是可以用若干同类结构的合成体来替代，从而不断地使其具体化。

2.1.3 数学建模的形式化表示（重要）

一个系统可以定义为下面的七元组集合结构：

δ

λ

Q

X

=

,Y

SΩ

,

,

,

,

,

其中，T为时间基；X为输入集；Ω为输入段集；Q为内部状态集；Y为输出集；δ为状态转移函数；λ为输出函数。它们的含义与限制如

下：

1、时间基

T是描述时间和为事件排序的一个集合。通常，T为整数集I或实数集R，则系统也就分别被称离散时间系统或连续时间系统。

2、输入集

X代表系统界面的一部分，外部环境通过它起作用于系统。通常选取X为R n,其中n∈I+，即X代表n个时值的输入变量。

3、输入段集

一个输入段描述某时间间隔内系统的输入模式。

一个输入段集是片段的一个特例，同时，又是

这样一个映射：

X

t

t

w→

1

,

:

,其中，10,t是

时间基中从初始时刻t0到终止时刻t1的一个区间，所有上述输入片段所构成的集合都记作(X,T),输入段集Ω是（X,T）的一个子集。4、内部状态集Q

是表示系统的记忆，即过去历史的遗留物，它影响着现在和将来的响应。内部状态集Q是内部结构建模的核心。

5、 状态转移函数

状态转移函数是一个映射，它Q Q →Ω⨯:δ的含义是：若系统在时刻t0处于状态q ，并且施加一个输入段X t t w →10,:，则),(w q δ表示系统t1时刻的状态。因此，任意时刻的内部状态和从该时刻起的输入段唯一地决定了段终止时的状态。

状态集主要是一个建模的概念，在真实系统中并没有什么东西和它直接相对应。

6、 输出集

输出集合Y 代表着截面的一部分，系统通过它作用于环境。除方向不同外，输出集的含义和输入集完全相同。

7、 输出函数

输出函数使假想的系统内部状态与系统对其环境的影响相关联，如系统不允许输入直接影响输出，输出函数是一个这样的映射Y Q →:λ。常用的一个输出函数是下面的一个映射Y T X Q →⨯⨯:λ，即当系统处于

状态Q 时，并且系统的当前输入是X 时，(q,x,t)

能够通过环境检测出来。

通过上面的输出函数的形式定义，则系统行为的概念为：一个系统的行为是其内部机构的外部表现形式，即在叉积(X ,Y ) ×(Y ,T )上的关系。

这个关系可做如下计算：对于每一个状态Q q ∈

和在Ω中的输入段X t t w →10,:，存在一个相关联的状态轨迹：

Q t t STRAJ w q →10,,: 使得 q t STRAJ

w q →0,: 和对于),(10t t t ∈，有 ),()(:,>→t w q w q t STRAJ δ

上述轨迹的可观测投影是和Q q ∈，Ω∈w 相关的输出轨迹：

Y t OTRAJ w q →10,,: 。

使用简单的输出函数形式)(q λ，则存在))(()(,,t STRAJ t OTRAJ w q w q λ→。这时系统的行为就可以通过输入-输出关系R ，表现出来：

)},,|),{(,Q q OTRAJ w w R w q ∈=Ω∈=对于某一个ρρ