第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版)
2019年第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷(纯WORD版)
2019年第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷(纯WORD版)个电压值的差C.保持电流方向不变,改变磁场方向(B→-B),求出改变前后的两个电压值的差D.同时改变电流方向和磁场方向,求出改变前后的两个电压值的差5.如图,一根长为L的均匀细杆质量为m,可绕过其中一端点O作为转动轴在竖直平面内转动。
现将杆从竖直向下的位置缓慢放开,使其绕O匀速旋转,旋转速度为。
设在杆上距离O的位置为x处有一质量为M的小球,小球与杆的碰撞是完全弹性碰撞。
当小球与杆相碰后,杆的角速度为'。
若碰撞后小球向上弹起的高度为h,则h与L、M、m、、'的关系式为[]A.h=ML 22mg MLB.h=ML 2mg ML2C.h=2ML 2mg MLD.h=2ML 22mg ML6.一物体沿x轴正方向做直线运动,第1秒的位移为1m,第2秒的位移为3m。
则第3秒的位移为[]A.5mB.7mC.9mD.11m7.如图,一平板电由两块平行的金属板组成,板间距为d,面积为S。
一电荷为Q的点电荷从板间距离为L处沿垂直于板面方向飞向电。
最终停在下金属板上。
若点电荷在飞行过程中做功W,则电荷Q与电的电容C、板间电势差V和电场强度E的关系式为[] A.W=Q2d20C=20SdB.V=QC,C.E=Q0SB.W=Q2dC=0S2dD.V=Q2C,D.E=Q20S8.如图,一电阻为R的电阻器,两端分别接有电压为U的电源和一电容为C的电。
一开始电未充电,然后接通电源,此时电的电荷Q(t)随时间t的变化关系式为[]A.Q(t)=CU(1-e-t/RC)B.Q(t)=CU(1-e-t/2RC)C.Q(t)=CU(1-e-t/3RC)D.Q(t)=CU(1-e-t/4RC)9.如图,一根长为L的均匀细杆质量为m,可绕过其中一端点O作为转动轴在竖直平面内转动。
现将杆从竖直向下的位置缓慢放开,使其绕O匀速旋转,旋转速度为。
设在杆上距离O的位置为x处有一质量为M的小球,小球与杆的碰撞是完全弹性碰撞。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套-解答v2
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第07套解答【第一题】40分如图所示，有一长为2l的轻质细杆，两端各固连一个质量为m的小球（A和B），中点处有一原长为0，劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧一端与杆的中点相连，另一端与一个套在杆上质量也是m的小球C相连，这个小球可以沿杆无摩擦滑动. 初始时系统静止在光滑水平桌面上，一个质量也是m的小球D以速度v0与小球B发生弹性正碰，v0垂直于杆.(1)求碰后瞬间四个小球的速度.(2)在碰后的运动中，如果小球C稍稍偏离杆的中点，为了在中点附近相对于杆做简谐振动，弹簧的劲度系数k至少多大？(3)在(2)的条件下，求出振动的周期.答案(1)选择杆中点为转轴，ABC系统的转动惯量I0=2ml2[1]设碰后ABC系统质心速度（即C的速度）为v C，角速度为ω0，小球D的速度为v D，则有动量守恒mv0=3mv C+mv D[2]角动量守恒mv0l=mv D l+I0ω0[3]机械能守恒1 2mv02=123mv C2+12mv D2+12I0ω02[4]联立解得v C=4v011v D=−v011ω0=6v011l[5] 则有v A=v C−ω0l=−2v011v B=v C+ω0l=10v011[6] (18分，每式2分)(2)在ABC系统质心系研究此问题. 假设杆中点到质心的距离为x，则小球C到质心的距离为2x，C偏离杆中点共3x. 此时系统绕质心的转动惯量I=m(l+x)2+m(l−x)2+m(2x)2=2ml2+6mx2[7] 角动量守恒，有Iω=I0ω0[8] 所以转动动能为T1=12Iω2=L22I=L24m(l2+3x2)[9]其中L=I0ω0=12mv0l/11表示系统的角动量. 研究径向运动时，转动动能化为有效势能的一部分. 有效势能V eff=12k(3x)2+T1=12k(3x)2+L24m(l2+3x2)[10]利用小量展开1/(1+α)≈1−α，有V eff≈92kx2−3L24ml4x2+L24ml2[11]要形成简谐振动，x=0处V eff应极小，即要求9 2k−3L24ml4>0[12]所以k min=L26ml4=24mv02121l2[13](14分，每式2分)(3)由(14)式，等效劲度系数K=9k−3L22ml4=9k−216mv02121l2[14]径向运动的动能T2=12(2m)ẋ2+12(2ẋ)2=3mẋ2[15]等效质量M=6m[16] 所以周期T=2π√MK =2π√2m3k−72mv02121l2[17](8分，每式2分)【第二题】40分如图所示，在水平地面上放着一个物体，其由两个全同的刚体在O点光滑铰接组成。
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版).docx
第 35 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大）1、（ 35 分）如图，半径为R、质量为 M的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r 的匀质小球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置描述，为两球心连线与竖直线的夹角。
己知小球绕其对称轴的转动惯量为2mr 2，小球与半球5间的动摩擦因数为，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为 g。
（1）（ 15 分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为的速度大小 V M ( 1) 和加速度大小a M ( 1) ；1 时，半球运动（2）（ 15分）当小球纯滚动到角位置2 时开始相对于半球滑动，求 2 所满足的方程（用半球速度大小V M ( 2 )和加速度大小a M ( 2 ) 以及题给条件表示）；（3）（ 5 分）当小球刚好运动到角位置3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小v m ( 3 ) 2、（ 35 分）平行板电容器极板 1 和 2 的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U。
不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m、尺寸与电容器极板相同。
平板 3 平放在极板 2 的正上方，且与极板 2 有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电常量为0 。
合电键K 后，平板 3 与极板 1 和2 相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板 3 与极板 1 或2 碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g。
（1）（ 17 分）电源电动势 U至少为多大？（2）（ 18 分）求平板 3 运动的周期（用 U 和题给条件表示）。
已知积分公式dx1ln 2ax b 2 a ax2bx C ，其中a>0，C为积分常数。
2019年第35届全国中学生物理竞赛预赛真题试卷(纯WORD版)
第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题,满分200分一、选择题.本题共5小题,每小题6分,在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分。
1.居里夫人发现了元素钋(Po),其衰变的核反应方程式为206082a c eb d b f P P αγ→++,其中,a 、b 、c 、d 、e 、f 的值依次为[ ]A.211、84、4、2、1、0B.210、84、4、2、0、0C.207、84、1、1、0、1D.207、83、1、1、0、02.如图,一劲度系数为k 的轻弹簧上端固定在天花板上,下端连接一质量为m 的小球,以小球的平衡位置O 作为坐标原点,x 轴正方向朝下。
若取坐标原点为系统势能的零点,则当小球位于坐标为x 0的位置时,系统的总势能为[ ]A.20012kx mgx -B.001()2k x mgx k+- C.201()2mg k x k + D.2012kx3.库伦扭摆装置如图所示,在细银丝下悬挂一根绝缘棒,棒水平静止;棒的两端各固定一相同的金属小球a 和b,另一相同的金属小球c 固定在插入的竖直杆上,三个小球位于同一水平圆周上,圆心银丝为棒的悬点O 。
细银丝自然悬挂时,a 、c 球对0点的张角α=4°。
现在使a 和c 带相同电荷,库伦力使细银丝扭转,张角a 增大,反向转动细银丝上端的旋钮可使张角a 变小;若将旋钮缓慢反向转过角度β=30°,可使小球a 最终回到原来位置,这时细银丝的扭力矩与球a 所受球c 的静电力的力矩平衡。
设细银丝的扭转回复力矩与银丝的转角B 成正比。
为使最后a 、c 对0点的张角α=2°,旋钮相对于原自然状态反向转过的角度应为[ ]A.β=45°B.β=60°C.β=90°D.β=120°4.霍尔传感器的结构如图所示,图中H为一块长方体半导体薄片外加磁场的磁感应强度B 和外加电流/的方向如相应箭头所示(B与长方体的后两个表面及电流均垂直),电压表(可判断直流电压的正负)按图中方式与H的上下表面相连。
35届物理竞赛决赛试题
35届物理竞赛决赛试题一、选择题1. 关于光的干涉现象，以下哪项描述是错误的？A. 杨氏双缝实验是研究光干涉的经典实验B. 干涉现象说明光具有波动性C. 光的干涉图样总是由一系列亮暗条纹组成D. 干涉现象不能在金属表面观察到2. 一个质量为m的物体，从高度h自由落下，不考虑空气阻力，落地时速度为v。
如果空气阻力不可忽略，且与物体下落速度成正比，那么物体落地时的速度将：A. 大于vB. 小于vC. 等于vD. 无法确定3. 一个电子在电场中受到的力是F，如果电场强度加倍而电子的电荷减半，电子受到的力将：A. 保持不变B. 减少到原来的一半C. 增加到原来的两倍D. 增加到原来的四倍4. 一个弹簧振子的周期是T，当振幅减半时，周期将如何变化？A. 增加到原来的两倍B. 减少到原来的一半C. 保持不变D. 变为原来的三分之一5. 一块厚度为d的金属板，其热导率是k，当温度从T1升至T2时，通过金属板的热量Q与时间t的关系为：A. Q ∝ √tB. Q ∝ tC. Q ∝ t^2D. Q ∝ 1/√t二、填空题1. 一个质量为m的物体，以初速度v0沿水平面内投射，受到的摩擦力是其重力的0.1倍，求物体在水平面上滑行的距离L。
2. 一个电路中包含一个电阻R1和一个电容器C，电阻R1的阻值为10Ω，电容器C的电容值为200μF。
当电路接入一个电压为220V的交流电源时，求电路的阻抗Z。
3. 一束光从介质1（折射率为n1）射入介质2（折射率为n2），入射角为θ1，折射角为θ2，求斯涅尔折射定律的表达式，并计算当n1=1.5，θ1=30°时，光在介质2中的传播速度v。
三、计算题1. 一个质量为2kg的物体，以初速度10m/s沿水平面内投射，受到的摩擦力是其重力的0.2倍。
求物体在水平面上滑行的最大距离。
2. 一个RLC串联电路接入一个电压为220V，频率为50Hz的交流电源。
已知电阻R=100Ω，电感L=0.1H，电容C=200μF，求电路的总阻抗Z，并计算电路中电流的有效值I。
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版)
第35届全国中学生物理竞赛决赛试题(word版)35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（XXX）1、（35分）如图，半径为R、质量为M的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m、半径为r的匀质小球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过程中，小球相对半球的位置由角位置$\theta$描述，$\theta$为两球心连线与竖直线的夹角。
已知小球绕其对称轴的转动惯量为$\frac{2}{5}mr^2$，小球与半球间的动摩擦因数为$\mu$，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加速度大小为g。
1）（15分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为$\theta_1$时，半球运动的速度大小$V_M(\theta_1)$和加速度大小$a_M(\theta_1)$；2）（15分）当小球纯滚动到角位置$\theta_2$时开始相对于半球滑动，求$\theta_2$所满足的方程（用半球速度大小$V_M(\theta_2)$和加速度大小$a_M(\theta_2)$以及题给条件表示）；3）（5分）当小球刚好运动到角位置$\theta_3$时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小$v_m(\theta_3)$。
2、（35分）平行板电极板1和2的面积均为S，水平固定放置，它们之间的距离为d，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U。
不带电的导体薄平板3（厚度忽略不计）的质量为m、尺寸与电极板相同。
平板3平放在极板2的正上方，且与极板2有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电常量为$\epsilon$。
合电键K后，平板3与极板1和2相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g。
1）（17分）电源电动势U至少为多大？2）（18分）求平板3运动的周期（用U和题给条件表示）。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第03套-解答
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第03套解答【第一题】40分如图所示，一个质量为m ，半径为R 的匀质圆环静止竖立在地面上，二者间的摩擦系数为μ.图中A 点所在直径与竖直方向夹角为()0/2θθπ<<，现在在A 点瞬间给予圆环一个冲量I ，与竖直方向夹角为()0/2φφπ<<.假设收到冲击后圆环竖直方向上速度为零。
(1) 参数μ,θ,ϕ满足何种条件时，圆环最低点（M 处）将与地面发生滑动？ (2) 分别在发生滑动与不发生滑动的条件下求出末态圆环的质心速度和转动角速度. (3) 在一定条件下，圆环可能在一段时间之后滚回初始位置. 这要求参数μ,θ,ϕ满足何种条件？解答：(1) 由于冲量是瞬间作用的，可以不考虑重力的作用. 考虑到圆环竖直方向没有运动，地面支持力的冲量为cos I ϕ.设摩擦力冲量为i .先确定冲量i 的方向，如果地面光滑，则容易看出sin C v I ϕ=,()sin //C I mR v R ωϕθ=-<，故最低点速度向右，由此判断摩擦力向左. 水平方向动量定理：sin C mv I i ϕ=- [1]对质心C 的角动量定理：()2sin mR IR iRωϕθ=-+ [2]假设底部没有滑动，则C v R ω= [3]联立以上三式可解得()sin sin 2I i ϕϕθ--⎡⎤⎣⎦= [4]而摩擦力可提供的冲量最大为max cos i I μϕ=,故发生滑动摩擦的条件是()sin sin cos 2ϕϕθμϕ--⎡⎤⎣⎦<[5](16分，判断摩擦力方向2分，[3]式2分，其他四式各3分)（2）不发生滑动摩擦的情况下，联立[1]-[3]式可解得()sin sin 2C I v mϕϕθ+-⎡⎤⎣⎦=,()sin sin 2I mRϕϕθω+-⎡⎤⎣⎦=[6] 发生滑动得情况下，联立[1]、[2]式以及cos i I μϕ=可解得sin cos c I I v mϕμϕ-=, ()cos sin I I mR μϕϕθω+-=[7](12分，两种情况各6分)（3）要滚离初始位置再滚回，首先要求I 作用完成后圆环底部与地面有相对滑动（否则将一直匀速纯滚动，不可能滚回来），即要满足[5]式.在这个前提下，就有可能质心速度向右，但逆时针转动，在地面摩擦力作用下达到纯滚动时向左运动，最终回到初始位置. 以地面上的固定点M 为参考点，I 作用完成后的运动中，重力与支持力的力矩相互抵消，摩擦力过M 点不产生力矩，故圆环角动量守恒. 圆环能滚回来要求初始时角动量向纸面外（逆时针转动）.由于冲量I 作用过程中支持力和摩擦力对M 点也没有力矩，故这就要求M 在I 的延长线上方，即/2ϕθ<.所以参数应满足的条件为()cos sin sin /2/2μϕϕϕθϕθ⎧<--⎡⎤⎪⎣⎦⎨<⎪⎩ [8](12分，利用上一问解得的速度和角速度计算纯滚动速度时得到结果也可，其他方法也可)【第二题】40分在数轴的原点有一只球形猪，每过0t 时间，猪就会随机向左或者向右走单位长度1。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第05套解答v4
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题 第05套解答【第一题】40分疯狂的科学家想制造一条太空锁链.在地球赤道上两处，立起等长的足够坚固、长度可调的两根柱子，忽略地球自转，地球半径为R ，地表重力加速度为g .在两根柱子的顶端之间连接一根质量线密度为λ的链条，链条处于平衡状态. 锁链所能承受的最大张力为max T .若要求锁链最低点距离地心为0r 、有张力2002gR T r λ=，已知2max 00gR T T r λ<+，求在锁链恰好不断裂时：（1） 端点处链条切线与柱子的夹角C α； （2） 锁链的形状()r θ； （3） 两根柱子之间的夹角C φ；解答：易知引力势能为：2P R E mg r=-[1]由虚功原理，可以得到r 处张力T 的大小：()20011T T ds dsgR r r λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()20011T T ds dsgR r r λ⎛⎫-=-⎪⎝⎭20011T T gR r r λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[2]由于对称性，取一半锁链对地心有力矩平衡：00sin Tr T r α=[3]极坐标下有几何关系：sin α==[4]联立以上方程可得：22000011T gR T r r r λ⎡⎤⎛⎫+-=⎢ ⎪⎝⎭⎣ [5]作换元1u r=：()200011gR u u T u λ⎡⎤+-=⎢⎣进一步整理：()20000gR u u u u T λ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦[6]由于θ↑r ↑u ↓，于是：d θ= [7]代入2002T gR u λ=及00r r θ==可以得到:()1arcsin1022rrπθθ⎡⎤⎛⎫=-+>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[8]()0rθ=>[9]()()()0r rθθθ=-<[10] 由[2]可知：11max0max220013CT T Trr gR r gRλλ--⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[11]代入[3]有Cα：()2max00max02max max02arcsin1arcsin3CT TT T rgRT g T r gRλαλλ-⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[12]代入[8]有：max0212arcsin422C CT rgRπφθλ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥⎪⎝⎭⎦[13][1-5]共10分[8][9]共10分[12]10分[13]10分【第二题】40分记太阳质量为sM、地球质量为eM、火星质量为MM、地球半径为er、火星半径为mr.认为地球和火星在同一平面内绕太阳圆周运动，轨道半径分别为eR和mR. 现通过某种机制使火星突然获得一指向太阳的速度v.（1）（15分）若火星此后的轨道可以与地球轨道相交，求v的最小值.（2）（25分）在（1）的条件下，设火星在到达地球轨道附近时地球恰在轨道上该位置，在地球与火星的间距d满足,,e m e mr r d R R<<<<时，火星相对地球的速度的矢量线与地球球心的距离为b（如图）. 若火星和地球可以发生碰撞，求b的最大值.解答：（1） 202m s mm m mv GM M M R R = [1]0m m m m t e M v R M v R =[2]()()22221122s m s m m m m m t m eGM M GM M M v v M v v R R +-=+-[3]由t v =22212m ms e m e R v GM v R R R ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭[4]则可知v ≥[5][1]-[4]共10分[5]5分（2） ()2220rel t e m v v v v =-+[6]由0e v =2231rels em v GM v R R ⎛=--+ ⎝[7]质心系角动量守恒()rel rel m e v b v r r μμ'=+[8]能量守恒221122e m rel relm eGM M v v r r μμ'=-+ [9]其中约化质量e me mM M M M μ=+可解得)max m e b r r =+[10][6]-[9]共15分[10]10分【第三题】（40分）如图所示, 一个粗糙的, 半径为b 的半球固定在水平面上, 其顶部有一个半径a 的匀质薄球壳. 重力加速度为g .1两球球心的连线与地面夹角为0θ。
2019年第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷(纯WORD版)
第35届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题,满分200分一、选择题.本题共5小题,每小题6分,在每小题给出的4个选项中,有的小题只有一项符合题意,有的小题有多项符合题意.把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内.全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错或不答的得0分。
1.居里夫人发现了元素钋(Po),其衰变的核反应方程式为206082a c eb d b f P P αγ→++,其中,a 、b 、c 、d 、e 、f 的值依次为[ ]A.211、84、4、2、1、0B.210、84、4、2、0、0C.207、84、1、1、0、1D.207、83、1、1、0、02.如图,一劲度系数为k 的轻弹簧上端固定在天花板上,下端连接一质量为m 的小球,以小球的平衡位置O 作为坐标原点,x 轴正方向朝下。
若取坐标原点为系统势能的零点,则当小球位于坐标为x 0的位置时,系统的总势能为[ ]A.20012kx mgx -B.2001()2mg k x mgx k+- C.201()2mg k x k + D.2012kx3.库伦扭摆装置如图所示,在细银丝下悬挂一根绝缘棒,棒水平静止;棒的两端各固定一相同的金属小球a 和b,另一相同的金属小球c 固定在插入的竖直杆上,三个小球位于同一水平圆周上,圆心银丝为棒的悬点O 。
细银丝自然悬挂时,a 、c 球对0点的张角α=4°。
现在使a 和c 带相同电荷,库伦力使细银丝扭转,张角a 增大,反向转动细银丝上端的旋钮可使张角a 变小;若将旋钮缓慢反向转过角度β=30°,可使小球a 最终回到原来位置,这时细银丝的扭力矩与球a 所受球c 的静电力的力矩平衡。
设细银丝的扭转回复力矩与银丝的转角B 成正比。
为使最后a 、c 对0点的张角α=2°,旋钮相对于原自然状态反向转过的角度应为[ ]A.β=45°B.β=60°C.β=90°D.β=120°4.霍尔传感器的结构如图所示,图中H为一块长方体半导体薄片外加磁场的磁感应强度B 和外加电流/的方向如相应箭头所示(B与长方体的后两个表面及电流均垂直),电压表(可判断直流电压的正负)按图中方式与H的上下表面相连。
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题第06套-解答v2
第35届全国中学生物理竞赛决赛训练试题 第06套【第一题】40分根据伯努利定律，流体沿着一条稳定、不可压缩的流线移动时，根据能量守恒，其动能、势能总保持为常数，也就是212v gh P const ρρ++= （1）由于圆柱比较简单，我们先计算一个质心cx v 水平运动，角速度ω（方向为图示中y 方向），半径为R ，高度为h （对称轴为y 轴，>>h R ）的圆柱受到的合力。
假设其表面的空气和圆柱保持同样的速度，并且假设圆柱转动比较快以至于其表面流体的流动可以看做沿着表面的流管进行流动，并且不同位置的高度差可以忽略，如图请先用对称性分析受到的合力方向再计算出其大小。
（13分）（2）假如圆柱质心以cz v 竖直运动，其他条件和（1）中一样，求受到的气体压力的大小和方向。
（5分）（3）作为一个简单的假设，只考虑流体对圆柱平动的影响而不考虑对其转动的影响，圆柱以初速度00ˆˆ(0)c y z v v y v z =+，角速度ˆy ωω=，求速度与时间的关系。
（12分）解答：（1）关于x-z 平面对称，合力无y 分量，速度大小关于y-z 平面对称，合力无x 分量，故合力应该延z 方向。
以柱为系，认为系统为定常理想流体。
则流体的定常流动如图所示，可以认为如图情形在y 方向是无限延伸的。
流体流场为u v +，其中u 为向x 轴负方向常量，v 为环流场，在R 处速度为R ω，随着距离圆柱的距离增大衰减。
对于环路12,C C ，分别是无限靠近圆柱和远离圆柱的两个环路，它们之间用两个从上和从下无限靠近x 轴的路径连接起来。
考察体积内流体动量变化为零()()()()120C C pds u v u v ds ρ-+++⋅=⎰【1】则有()()()()()()()()12--C C Fpds u v u v ds h pds u v u v ds ρρ=+++⋅=+++⋅⎰⎰【2】对于稳定流体()()2011=22P u v u v P u ρρ++++()()()()2201---2C F P v u v ds u u v ds v u ds v v ds h ρρρρρ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰考虑到在环路2C 上<<v u ，()u v ds +⋅为环路内流体流量，则净流量为零，上式化简为()()()()()22=--=-C C Fu v ds v u ds h u v ds ρρ⋅+⋅⨯⨯⎰⎰可知合力为y 方向，其大小为()()2----x y y x C x y Fuv ds v uds h u v dx v dy ρρ=+=⎰⎰ 【3】由茹可夫斯基定理，以及将u 代换成cx v22cx F hR v πρω=【1】【2】各3分，结果方向2分，大小2分（2）在计算F 时，x 轴与z 轴是等地位的，所以圆柱延z 轴方向运动时所受到的力为22cz F hR v πρω=- 【4】负号代表方向沿x 轴负方向。
第 届全国中学生物理竞赛决赛真题及答案 高清pdf版
荡一架底板和摆杆均为刚性的秋千，底板和摆杆的质量均可忽略，假定人的质量集中在其质心。人在
秋千上每次完全站起时起质心距悬点 O 的距离为 l ，完全蹲下时此距离变为 l d 。实际上，人在秋千
上站起和蹲下过程都是在一段时间内完成的。作为一个简单的模型，假设人在第一个最高点 A 点从完
全站立的姿势迅速完全下蹲，然后荡至最低点 B ，A 与 B 的高度差为 h1 ；随后他在 B 点迅速完全站起
)2
1/ 2
T0
⑬
]
（3）根据⑫式，当 M ≥ (M m)/2 的时候，⑬式不再成立，轨道不再是椭圆。所以若 M 星和 m 星最
终能永远分开，须满足
M ≥ (M m)/2
⑰
由题意知
M M
⑱
联立⑰⑱式知，还须满足
M m
⑲
⑯⑲式即为所求的条件。
评分参考：第（1）问 8 分，①②③④式各 2 分；
（且最终径向速度为零），继而随秋千荡至第二个最高点 C ，这一过程中该人质心运动的轨迹如图所示。 此后人以同样的方式回荡，重复前述过程，荡向第 3、4 等最高点。假设人站起和蹲下的过程中，人与 秋千的相互作用力始终与摆杆平行。以最低点 B 为重力势能零点。
（1）假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中没有机械能损失，求该人质心在 A A B B C 各个阶段的机械能及其变化； （2）假定在始终完全蹲下和始终完全站立过程中的机械能损失 E 与过程前后高度差的绝对值 h 的关 系分别为 E k1mg(h0 h) ，0 k1 1，始终完全蹲下
)3
(h1
d)
mgd
U B1
⑦
由⑥⑦式得
h2
d
l
l
d
3
全国物理中学生竞赛决赛试题及答案
全国中学生物理竞赛决 赛 试 题一、（15分）图决18-1中A 是一带有竖直立柱的木块，总质量为M ，位于水平地面上。
B 是一质量为m 的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端。
现拉动小球使绳伸直并处于水平位置。
然后让小球从静止状态下摆。
如在小球与立柱发生碰撞前，木块A 始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A 不会发生转动）二、（15分）圆形线圈C 轴线z 沿水平方向。
有一用钕铁硼材料制成的圆柱形强磁体M ，其圆形端面分别为N 极和S 极，将磁体M 与线圈C 共轴放置。
磁体的对称中心置于z 轴的原点O 。
Q 点是线圈C 对称截面的圆心，当Q 点位于z 轴不同位置时，用实验的方法测得穿过线圈C 的总磁通ψ。
由此测得的ψ值沿z 轴的分布函数图线如图决18-2（a ）所示。
图中横轴上z 值是Q 点的坐标。
现令强磁体M 沿线圈的轴线方向穿过该线圈C ，将C 两端接一电阻，其阻值R=1000Ω，远大于线圈的电阻阻值。
将接在电阻R 两端的电压信号通过计算机实时处理[如图决18-2（b ）所示]，可在计算机屏幕上显示出线圈C 两端的电压信号如图决18-2（c ）所示，信号轨迹近似看作三角波形。
1．试估算强磁体M 通过线圈时的速度。
（不计线圈中的感应电流对运动磁体的影响。
） 2．试求图（c ）中，1t 至3t 期间流过电阻R 的电量。
三、（20分）有一薄透镜如图决18-3，S 面是旋转椭球面（椭圆图决18-1绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为F 1和F 2；S 2面是球面，其球心C 与F 2重合。
已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e 。
（1）求此透镜材料的折射率n （要论证）；（2）如果将此透镜置于折射率为n '的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？四、（20分）空间有半径为R 长度L 很短的圆柱形的磁场区域，圆柱的轴线为z 轴，磁场中任一点的磁感应强度的方向沿以z 轴为对称轴的圆的切线，大小与该点离z 轴的距离r 成正比，B=K r ，K 为常数，如图决18-4中“· ”与 “×”所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第35届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题（上海交大）
1、（35分）
如图，半径为R 、质量为M 的半球静置于光滑水平桌面上，在半球顶点上有一质量为m 、半径为r 的匀质小
球。
某时刻，小球收到微扰由静止开始沿半球表面运动。
在运动过
程中，小球相对半球的位置由角位置θ描述，θ为两球心连线与竖直线的夹角。
己知小球绕其对称轴的转动惯量为225
mr ，小球与半球间的动摩擦因数为μ，假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
重力加
速度大小为g 。
（1）（15分）小球开始运动后在一段时间内做纯滚动，求在此过程中，当小球的角位置为θ1时，半球运动的速度大小1()M V θ和加速度大小1()M a θ；
（2）（15分）当小球纯滚动到角位置θ2时开始相对于半球滑动，求θ2所满足的方程（用半球速度大小2()M V θ和加速度大小2()M a θ以及题给条件表示）；
（3）（5分）当小球刚好运动到角位置θ3时脱离半球，求此时小球质心相对于半球运动速度的大小3()m v θ
2、（35分）
平行板电容器极板1和2的面积均为S ，水平固定放置，它们之间的距离为
d ，接入如图所示的电路中，电源的电动势记为U 。
不带电的导体薄平板3（厚
度忽略不计）的质量为m 、尺寸与电容器极板相同。
平板3平放在极板2的
正上方，且与极板2有良好的电接触。
整个系统置于真空室内，真空的介电
常量为0ε。
合电键K 后，平板3与极板1和2相继碰撞，上下往复运动。
假设导体板间的电场均可视为匀强电场；导线电阻和电源内阻足够小，充放电时间可忽略不计；平板3与极板1或2碰撞后立即在极短时间内达到静电干衡；所有碰撞都是完全非弹性的。
重力加速度大小为g 。
（1）（17分）电源电动势U 至少为多大？
（2）（18分）求平板3运动的周期（用U 和题给条件表示）。
已知积分公式
(
2ax b C =+++，其中a >0，C 为积分常数。
如图，质量线密度为λ、不可伸长的软细绳跨过一盘状定滑轮，定滑轮半径为R ，轴离地
面高度为L ，系统原处于静止状态。
在t=0时，滑轮开始以恒定角速度ω逆时针转动，绳
子在滑轮带动下开始运动，绳子与滑轮间的动摩擦因数为μ。
滑轮两侧的绳子在运动过
程中始终可视为沿竖直方向，绳的两端在运动过程中均没有离开地面，地面上的绳了可
视为集中在一点。
已知重力加速度大小为g 。
绳子在与滑轮左、右侧相切处的张力分别
记为T 1、T 2（均非己知量）。
（1）（20分）分别列出在绳子速度达到最大值之前，滑轮两侧绳子的竖直部分及滑轮上任意一小段绳子的运动所满足的动力学方程：
（2）（15分）求绳子可达到的最大速度的大小。
4、（35分）
如图，一张紧的弦沿x 轴水平放置，长度为L 。
弦的左端位于坐标原点。
弦可通过其左、右端与振源连接，使弦产生沿y 方向的横向受迫振动，
振动传播的速度为u 。
（1）（22分）固定弦的右端P 2，将其左端P 1与振源连接，稳定时，左端
的振动表达式为()0(0,)cos y x t A t ω==，其中A 0为振幅，ω为圆频率。
（i ）（10分）已知弦上横波的振幅在传播方向上有衰减，衰减常量为()0γγ>，求弦上各处振动的振幅，（己知：在无限长弦上沿x 轴正方向传播的振幅逐渐衰减的横波表达式为
(,)cos x x y x t Ae t u γωωϕ-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，其中A 和ϕ分别为x=0处振动的振幅和初相位。
） （ii ）（12分）忽略波的振幅在传播方向上的衰减，求弦上驻波的表达式，并确定其波腹和波节处的x 坐标。
（2）（13分）将P 1、P 2都与振源连接，P 1、P 2处的振动表达式分别为：()0(0,)cos y x t A t ω==、()00(,)cos y x L t A t ωϕ==+，其中ϕ0为常量。
忽略波的振幅在传播方向上的衰减，分别计算ϕ0=0和ϕ0=π情形下弦上各处振动的表达式以及共振时圆频率ω应满足的条件。
质量为M 的绝热壁容器处于远离其他星体的太空（可视为真空）中。
在某惯性系中观察，该容器的初始速度为零。
容器的容积为V ，容器中充有某种单原子分子理想气体，气体的初始分子数、分于质量分别为N 0、m ，气体的初始温度为T 0。
t=0时容器壁上出现面积为S 的一个小孔，由于小孔漏气导致容器开始运动，但容器没有转动。
假设小孔较小，容器中的气体在泄漏过程中始终处于平衡态。
己知气体分子速度沿x 方向
的分量x v 的麦克斯韦分布函数为()2
2x mv kT x f v -=（k 为玻尔兹曼常量）。
在泄漏过程中，求： （1）（6分）当气体的分子数密度为n 、温度为T 时在单位时间内从小孔单位面积泄出的气体分子数；
（2）（6分）当容器中气体温度为T 时，从小孔泄出的气体分子相对于容器的平均动能：
（3）（15分）t 时刻容器中气体的温度；
（4）（8分）t 时刻容器运动速度的大小（假设M >> N 0m ）。
6、（35分）
介质的折射率n 可以大于0，也可以小于0。
n 小于0的介质称为负折射介质。
光在负折射介质内传播，其
光程为负值（相位随传播距离的变化规律与在折射率为正的介质
中的相反）。
如果定义折射角与入射角在界面法线同侧时折射角为
负，可以证明折射定律在介面两边有负折射介质时仍然成立，即
1122sin sin n n θθ=，其中1n 和2n 均可以大于0或小于0，θ2为折
射角。
（1）（10分）设想一束平行光入射到界面上，根据惠更斯原理，在答题纸上画出图a 和图b 所示情况下进入介质2的光线及对应的子波的示意图，并依此证明折射定律成立；
（2）（13分）如图c 所示，半径为R 的球面将空间隔开为两个区域，其
折射率分别记为1n （1n >0）、2n （2n <0），C 点是球面的球心，取某一
光轴与球面的交点0为原点。
图中己画出此情形下一段入射光线和折射
光线，x 和y 分别为入射光线、折射光线与光轴的交点坐标。
记物距为1s ，
像距为2s ．在傍轴近似下导出球面的成像公式和横向放大率公式。
请明确指出最后结果中各个量的正负号约定；
（3）（12分）设介质1为空气，即11n ≈，2n 可大于0也可小于0。
在球面（参考图c ）的前放置一普通薄
凸透镜，透镜的光轴通过球心C ，焦点位于负折射介质区域内，透镜的距f=1.5R ，
透镜中心O '点与O 点的距离为d 。
一束沿光轴传播的平行光入射到薄透镜。
分别就表中四组参数计算入射光在光轴上会聚点离O 点的距离，并在答题纸
上画出序号4情形的光路示意图。
7、（35分）
在固体材料中，考虑相互作用后，可以利用“准粒子''的概念研宄材料的物理性质。
准粒子的动能与动量之间的关系可能与真实粒子的不同：当外加电场或磁场时，准粒子的运动往往可以用经典力学的方法来处理。
在某种二维界面结构中，存在电量为q 、有效质量为m 的准粒子，它只能在x -y 平面内运动，其动能K 与
动量大小p 之间的关系可表示为2
2p K p m
α=+，其中α为正的常量。
（1）（4分）对于真实的自由粒子，动能2
2p K m
=，其中m 为该粒子质量，试从动能定理出发，推导该粒子运动的速度v 与动量p 之间的关系式；
（2）（5分）仿照（1）的方法，推导准粒子运动的速度v 与动量p 之间的关系式；
（3）（4分）用动能表示准粒子运动速度的大小：
（4）（11分）将该二维界面结构置于匀强磁场中，磁场沿z 轴正方向，磁感应强度大小为B ，求动能为K 的准粒子做匀速率圆周运动的半径、周期和角动量的大小；
（5）（11分）将该二维界面结构放置在匀强电场中，准粒子可能在垂直于电场的方向上产生加速度。
如果电场沿x 轴正方向，电场强度大小为E 当准粒子的速度大小为()v v α≠、方向与x 轴正方向成θ角时，求其运动的加速度分量x a 和y a 。
8、（35分）
热辐射入射到反射镜，反射镜可利用热辐射的辐射压力对外做功，这一过程可以用动力学或热学来研究。
为简化起见，将热辐射视为一维黑体辐射，正入射到平面理想反射（完全反射）镜上。
反射镜所受辐射压力与外界阻力相互平衡，以速度v 做匀速运动，运动方向与入射辐射的方向相同：己知在实验室参考系中温度为T 的一维黑体辐射谱（单位时间内在频率v 附近单位频率间隔内辐射出的辐射能）为/2(,)1
hv kT hv v T e ϕ=-，式中h 为普朗克常量，k 为玻耳曼常量。
真空中的光速为c 。
（1）（14分）从一维黑体辐射光子与运动理想反射镜碰撞的动力学观点出发，计算在实验室参考系中镜子利用光子能量克服阻力做功的效率 。
（2）（15分）从热学角度看，辐射的入射过程与相继发生的反射过程可视为作为工作物质的反射镜经历一微小的理想热机循环：入射过程可视为镜子从高温热源吸热，反射过程可视为镜子向低温热源放热，最后镜子恢复原状。
基于这一观点，证明在反射镜参照系中入射辐射与反射辐射均为一维黑体辐射，并在反射镜参照系中计算该热机的效率。
（3）（6分）在实验室参考系中计算该热机的效率。