离散数学左孝陵版第二章答案

x(C(x) A(x)) TT F FF
（ⅱ）描述命题：“一些猫是黑色的” 。 x(C(x) B(x)) FF F F F 而 x(C(x) B(x))F F T TT
§4变元的约束
7.量词对变元的约束，往往与量词的次序有关。 例：
yx(x<y-2))表示任何y均有x，使得x<y-2。
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
基本定义 《定义》A，B为二个谓词公式，E为它们共同个体域，若对
A和B的任一组变元进行赋值，使得A和B的值相同，则称 A和B遍及E是互为等价的，记为AB或
E
A B
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体 变元指派E中的每一个客体名称所得命题的值均为真，则 称A在E中是永真的。若E为任意域则称A是永真的。
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体变 元指派E中每一个客体名称，在E中存在一些客体名称， 使得指派后的真值为“T”，则A称是可满足的。
《定义》若给A中客体变元指派个体域中任一客体名称，使 命题的值均为“F”，则称A是永假的。
1.不含量词的谓词公式的永真式 : 只要用原子谓词公式去代命题公式的永真式中的原子命题变
§2 命题函数与量词
2.量词
（1）全称量词 “”为全称量词符号，读作“对于所有的”，“对任一 个”，“对一切”。 例：“这里所有的都是苹果”
可写成： xA(x)或(x)A(x) 几种形式的读法：
·xP(x)： “对所有的x，x是…”； ·x¬P(x) ： “对所有x，x不是…”； ·¬xP(x) ： “并不是对所有的x，x是…”； ·¬x¬P(x) ： “并不是所有的x，x不是…”。
例：P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 可以将命题函数命题，有两种方法：
§2 命题函数与量词
a)将x取定一个值。如：P(4)，P(5) b)将谓词量化。如：xP(x)，xP(x)
个体域的给定形式有二种： ①具体给定。 如：｛j, e, t｝ ②全总个体域任意域：所有的个体从该域中取得。
4.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若在谓词公式中出现有自由变元，则该公式为命题 函数； （b）若在谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为 命题。
例： xP(x,y,z)是二元谓词， yxP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一
个命题。
§4变元的约束
举例： 例1：“没有不犯错的人。”
H作为“谓词”（或者谓词字母）用大写英文字母表示， j,m为主语，称为“客体”或称“个体”。
§1 谓词的概念与表示法
（1）谓词填式：谓词字母后填以客体所得的式子。
例：H(a, b)
（2）若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词；若谓 词字母联系着二个客体，则称作二元谓词；若谓词字母联 系着n个客体，则称作n元谓词。
对于全称量词，其特性谓词以前件的方式加入； 对于存在量词，其特性谓词以与的形式加入。
§4变元的约束
例：设个体域为: {白虎（白猫），黄咪（黄猫），，}，
同时令C(x)：x是猫（特性谓词）；B(x)：x是黑色的；A(x)：x是动物。 （ⅰ）描述命题：“所有的猫都是动物”。
即： x(C(x) A(x))（T）（真命题） 写成x(C(x) A(x)) （F）则为假命题了。 ∵ x(C(x) A(x))TT T TT
§4变元的约束
6.个体域（论述域，客体域）:用特定的集合表示的被约束变 元的取值范围。
(1)个体域不同，则表示同一命题的谓词公式的形式不同。 例：“所有的人必死。”令D(x)，x是要死的。
下面给出不同的个体域来讨论： (ⅰ)个体域为：{人类}， 则可写成xD(x)； (ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必须首先从任意
. .
.
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
2.含有量词的等价式和永真蕴含式
设个体域为：S={a1,a2,…an}，我们有： xA(x)A(a1) A(a2) … A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
上例说明： 若个体域是有限的，则可省掉量词。 若个体域是无限的，则可将上述概念推广从而省去量词，不
这样会产生二大缺点： （1）不能研究命题的结构，成分和内部逻辑的特征； （2）也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征，甚 至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。
例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则 推导出来。
“所有的人总是要死的。
A
“苏格拉底是人。
B
“所以苏格拉底是要死的。” C
下面证明：设个体域为： S={a1,a2,…an}
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
¬xP(x) ¬(P(a1) P(a2) … P(an)) ¬P(a1) ¬P(a2) … ¬P(an)x¬P(x)
下面举例说明量化命题和非量化命题的差别:否定形式不同 例： 否定下列命题： (a)上海是一个小城镇 A(s) (b)每一个自然数都是偶数 x(N(x)E(x))
xP(x)P(a1)… P(an) xQ(x)Q(a1)… Q(an)
§3谓词公式与翻译
1.谓词公式 原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式称 为词原，Leabharlann Baidux1谓…词xn公称式为，客并体用变P元(x）1…，x当n)n来=表0时示称。为（零P元称谓为词n元公谓式。
《定义》（谓词公式的归纳法定义） ⑴原子谓词公式是谓词公式； ⑵若A是谓词公式，则¬A也是谓词公式； ⑶若A, B都是谓词公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)都 是谓词公式； ⑷若A是谓词公式，x是任何变元，则xA, xA也都是谓词 公式；
§2 命题函数与量词
例：将“对于所有的x和任何的y，如果x高于y，那么y不高 于x”写成命题表达形式。 解： x y(G(x,y) ¬ G(y,x)) G(x,y)：x高于y
（2）存在量词 “”为存在量词符号，读作“存在一个”，“对于一 些”，“对于某些”，“至少存在一个”，“这里存在着 这样的”等等。
§3谓词公式与翻译
⑸只有按⑴-⑷所求得的那些公式才是谓词公式（谓词公式又 简称“公式”）。
例1：任何整数或是正的，或是负的。 解：设：I(x): x是整数； R1(x)：x是正数；R2(x)：x是负 数。
此句可写成：x(I(x)(R1(x) R2(x) )。
例2：试将苏格拉底论证符号化：“所有的人总是要死的。 因为苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。” 解：设M(x)：x是人；D(x)：x是要死的； M(s)：苏格拉底是人；D(s)：苏格拉底是要死的。
元，则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演 算中的永真式：
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
命题逻辑 ¬¬ＰＰ Ｐ∨ＰＰ
.
. Ｐ→Ｑ ¬Ｑ→ ¬Ｐ
谓词逻辑 ¬¬Ｐ(x)Ｐ(x) Ｐ(x)∨Ｐ(x)Ｐ(x)
.
. Ｐ(x)→Ｑ(x) ¬Ｑ(x)→ ¬Ｐ(x)
ＰＰ∨Ｑ ＰΛＱ Ｐ
. .
.
Ｐ(x)Ｐ(x)∨Ｑ(x) Ｐ(x)ΛＱ(x) Ｐ(x)
下面介绍约束变元的改名规则： （a）在改名中要把公式中所有相同的约束变元全部同时 改掉； （b）改名时所用的变元符号在量词辖域内未出现的。
§4变元的约束
例： xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ，但不 能改成xP(x) xR(x,x) ， xR(x,x)中前面的x原为自由 变元，现在变为约束变元了。
2.自由变元与约束变元 约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 自由变元：当且仅当不受量词的约束。 例： xP(x,y) , x(P(x) y(P(x,y)) 。
§4变元的约束
3.约束变元的改名规则 任何谓词公式对约束变元可以改名。
我们认为xP(x,y)和zP(z,y)是一等价的谓词公式，但是需 注意，不能用同一变元去表示同一谓词公式中的二个变元。 例如： yP(y,y)是不正确的。
§3谓词公式与翻译
写成符号形式： x(M(x) D(x))， M(s) D(s)
2.由于对个体描述性质的刻划深度不同，可翻译成不同 形式的谓词公式。
§4变元的约束
1.辖域：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 例： xP(x) , x(P(x) Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
过要注意这是由无限项组成的命题。
§5谓词演算的 等价式与蕴含式
例：设个体域为：N={0,1,2…}， P(x)表示：x>3 ,则可写出：
xP(x)P(0) P(1) … P(i) … xP(x) P(0)P(1) … P(i) …
下面分类介绍在谓词公式中含有量词的等价式和永真蕴含式。 （1）量词转换律： E25(Q3) ¬xP(x) x¬P(x) E26(Q4) ¬xP(x) x¬P(x)
Charter two
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第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
§1 谓词的概念与表示法
在研究命题逻辑中，
原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行 分解，
§1 谓词的概念与表示法
1.谓词： 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。
我们可把陈述句分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”， 则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
解：规定：M(x)：x是人；C(x)：x是很聪明； R1(x)：x是实数(特性谓词) R2(x)：x是有理数。
则 （a） x M(x) ； （b） x (M(x) C(x))； （c） x (R1(x) R2(x)) 。
（3）量化命题的真值：决定于给定的个体域 给定个体域：{a1…an}以{a1…an}中的每一个代入
《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组 成的表达式，称为简单命题函数。
§2 命题函数与量词
讨论定义： （a）当简单命题函数仅有一个客体变元时，称为一元简 单命题函数； （b）若用任何客体去取代客体变元之后，则命题函数就 变为命题； （c）命题函数中客体变元的取值范围称为个体域（论述 域）。
“”表达式的读法： · x A(x) ：存在一个x,使x是…； · x¬A(x) ：存在一个x, 使x不是…； ·¬ x A(x) ：不存在一个x, 使x是…； ·¬ x¬A(x) ：不存在一个x, 使x不是…。
§2 命题函数与量词
例：（a）存在一个人； （b）某个人很聪明； （c）某些实数是有理数 将（a）,（b）,（c）写成命题。
（3）客体的次序必须是有规定的。 例：河南省北接河北省。
nL
b
写成二元谓词为：L(n,b)，但不能写成L(b,n) 。
§2 命题函数与量词
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。
在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元 （客体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x) 为命题函数。
域中分离出来， 设M(x)，x是人，称M(x)为特性谓词。
命题可写成 x(M(x) D(x))
§4变元的约束
（2）个体域不同，则表示同一命题的值不同。Q(x): x<5
xQ(x) xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
{15,30} F F
（3）对于同一个体域，用不同的量词时，特性谓词 加入的方法不同。
解：设F(x)为“x犯错误”，M(x)为“x是人”（特性谓 词）。 可把此命题写成： ¬(x(M(x) F(x)))
x(M(x)F(x)) 例2：“x是y的外祖父” “x是z的父亲且z是y的母亲”
设P(z)：z是人；F(x,z)：x是z的父亲；M(z,y)：z是y的母 亲。 则谓词公式可写成：z(P(z) F(x,z) M(z,y)) 。 5.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同。