19-20版 第1章 1.2 第3课时 三角形中的几何计算

第3课时三角形中的几何计算学习目标核心素养1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养．2．借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1．三角形的面积公式(1)S＝12a·h a＝12b·h b＝12c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ca sin B；(3)S＝12(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．2．三角形中常用的结论(1)∠A＋∠B＝π－∠C，∠A＋∠B2＝π2－∠C2；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4)三角形的诱导公式sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C⎝⎛⎭⎪⎫∠C≠π2，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2.1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()A ．32 B ．332 C ．3D ．3B [S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.]2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6×sin 120°＝9 3.]3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝32AC ＝3，∴AC ＝2.∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.]三角形面积的计算【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝45， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)知sin A＝35，sin C＝3＋4310.又∵∠B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝b sin Asin B＝65.∴△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.对于此类问题，一般用公式S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．1．在△ABC中，已知∠C＝120°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．[解]由正弦定理知ABsin C＝AC sin B，即23sin 120°＝2sin B，所以sin B＝12，由于AB>AC，所以∠C>∠B，故∠B＝30°.从而∠A＝180°－120°－30°＝30°. 所以△ABC的面积S＝12AB·AC·sin A＝12×23×2×sin 30°＝ 3.三角形中的计算【例2】在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为72，求边长A．[解]如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD＝DB＝x，则CB＝a＝2x.因为c＝4，b＝7，AD＝7 2，在△ACD中，有cos C＝72＋x2－⎝⎛⎭⎪⎫7222×7×x，在△ABC中，有cos C＝72＋(2x)2－42 2×7×2x.所以72＋x2－⎝⎛⎭⎪⎫7222×7×x＝72＋(2x)2－422×7×2x.解得x＝9 2.所以a＝2x＝9.1．正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．2．此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．2．在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足AD →·AC →＝0，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，BD ＝ 3.(1)求AD 的长； (2)求cos C ．[解] (1)因为AD →·AC →＝0， 所以AD ⊥AC ，所以sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ，因为sin ∠BAC ＝223， 所以cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理可知BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， 即AD 2－8AD ＋15＝0， 解得AD ＝5或AD ＝3. 由于AB >AD ， 所以AD ＝3.(2)在△ABD 中，由正弦定理可知， BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB ，又由cos ∠BAD ＝223，可知sin ∠BAD ＝13， 所以sin ∠ADB ＝AB ·sin ∠BAD BD ＝63，又∠DAC ＝90°，所以cos C ＝sin ∠CDA ＝sin ∠ADB ＝63.三角形中的综合问题1．如图所示，图中共有几个三角形？线段AD 分别是哪些三角形的边，∠B 是哪些三角形的内角？[提示] 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC ，△ABD ，△ADC ；线段AD 是△ADC 与△ABD 的公共边，∠B 既是△ABC 的内角，又是△ABD 的内角．2．在探究1中，若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 是什么形状的三角形？在此条件下，若已知∠ADB=α，AB ＝m ，DC ＝n ，如何求出AC?[提示] 若sin B ＝sin ∠ADB ，则△ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD 中先求出AD ，然后利用余弦定理在△ADC 中求出AC ，也可以在△ABD 中先求出BD ，然后在△ABC 中，利用余弦定理求出AC ．3．在探究1的图形中若已知∠B 与∠C 的大小，如何表示(或求)∠A ，如何用∠B 与∠C 的正、余弦值表示∠A 的正弦值？[提示] ∠A ＝π－(∠B ＋∠C )，sin A ＝sin [π－(B ＋C )] ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．【例3】 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝A ．(1)求证：∠B －∠C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[思路探究] (1)先由正弦定理化边为角，再化简即证．(2)结合第(1)问可直接求出∠B ，∠C ．再利用面积公式求值；也可以作辅助线得出b ，c 的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．[解] (1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1， 因为0<∠B <34π，0<∠C <34π，从而∠B －∠C ＝π2. (2)因为∠B ＋∠C ＝π－∠A ＝3π4，所以∠B ＝58π，∠C ＝π8.由a ＝2，∠A ＝π4得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8·sin π8＝2cos π8sin π8＝12.1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．3．如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝CD ＝12AB ＝1，AB →·AC →＝1，sin ∠BCD ＝35.(1)求BC 边的长；(2)求四边形ABCD 的面积．[解] (1)∵AC ＝CD ＝12AB ＝1，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2cos ∠BAC ＝1，∴cos ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴BC ＝ 3.(2)由(1)知，在△ABC 中，有AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12×3×1＝32. 又∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°＋∠ACD ， sin ∠BCD ＝35，∴cos ∠ACD ＝35， 从而sin ∠ACD ＝1－cos 2∠ACD ＝45， ∴S △ACD ＝12AC ·CD ·sin ∠ACD ＝12×1×1×45＝25. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋25＝4＋5310.1．本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形．2．本节要重点掌握的规律方法 (1)与三角形面积有关的计算． (2)与三角形中线段长度有关的计算． (3)与解三角形有关的综合问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S ＝(a＋b＋c)r.()(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝3，则∠A＝60°.()(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6.()(4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B．()[解析](1)×.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝12ar＋12br＋12cr＝12(a＋b＋c)r.(2)×.由三角形面积公式S＝12bc sin A得，12×2×2×sin A＝3，所以sin A＝32，则∠A＝60°或∠A＝120°.(3)√.因为三角形的面积S＝12ab sin C＝12×6×4×sin 30°＝6.(4)×.因为在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝π2－∠B．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则()A．∠A＝30°B．∠A＝60°C．∠A＝30°或150°D．∠A＝60°或120°D[∵S＝12bc sin A＝32，∴12×2×3sin A＝32，∴sin A＝32，∴∠A＝60°或120°.故选D．]3．在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为________．7[∵S△ABC＝12×3×b×sin 120°＝1534，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.]4．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，已知c＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a ． 联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C＝c a ＋b，则∠A ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．π3或2π3B [由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332 C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A ．32B ．34C ．32或 3D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________． 43 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45. 故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b ＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，则sin B ＝12，因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6， 所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin Bsin A ＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos Bsin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A ＝右边(cos C ≠0)， ∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6. (2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32. 由正弦定理csin C ＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.]4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________． 27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得， 12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13， 从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎨⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧b ＝3，c ＝2.。