高一上学期数学压轴难题汇总

高一上学期数学压轴难题

汇总

Newly compiled on November 23, 2020

一．已知函数()f x 满足1

2

(log )()1

a a f x x x a -=

--，其中0a >且 1a ≠，对于函数()f x ，当(1,1)x ∈-时，(1)(12)0f m f m -+-<，求实数m 的取值范围.

二．曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q=

0(1

1

3≥++x x x 已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等试将年利润y （万

元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利

三．已知函数()()()()101log 1log ≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）求()x f 的反函数()x f 1-； （2）若()3

111

=-f

，解关于x 的不等式()()R m m x f ∈<-1.

四．定义在R 上的单调增函数f(x)，对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 五．已知圆C ：044222=-+-+y x y x . (1)写出圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线m 的方程; 若不存在,说明理由.

六．已知x 满足03log 7)(log 22

12

21≤++x x ，求)4)(log 2(log 2

2x x y =的最大值与最小值及相应的x 的值.

七．已知圆方程：01222

2=+++-+a y ax y x ，求圆心到直线02=-+a y ax 的距离的取值范围

八．已知函数()2f x ax bx c =++,(,,0)a b c R a ∈≠且

九．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆

074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．

十．已知圆O ：122=+y x ，圆C ：1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如右图，满足|PA |=|PB |. （1）求实数a 、b 间满足的等量关系； （2）求切线长|PA |的最小值；

（3）是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切 并且与圆C 相外切若存在，求出圆P 的方程； 若不存在，说明理由. 答案：

一．解：设

log a t x =， t

x a

∴=

所以2

()()1t t

a f t a a a -=-- 即2

()()1

x x

a f x a a a -=-- 二 。解：设每年投入x 万元，年销量为1

1

3++=x x Q 万件， 每件产品的年平均成本为Q

332+

， 年平均每件所占广告费为

Q

x ， 销售价为Q x Q x Q 29

482123332++=⋅+⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ 年利润为x x Q x Q Q x Q y -++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=23

163322948 当x=100时，明显y<0

B

P A

故该公司投入100万元时，该公司亏损

三．解：

∈

+-=∴+-=⇒-x a a x f e e x x x y y (11)(,111

R ）；--------------------------（4分）

（2）m

x f a a a f x x <+-=∴=⇒+-=∴=--1212)(,21131,31)1(11

，

m m x +<-⇒1)1(2；--------------------------（6分）

①当1≥m 时，不等式解集为∈x R ；--------------------------（8分）

②当11<<-m 时，得

m m x -+<

112，不等式的解集为}

11log |{2m m

x x -+<；---------------（10分）

③当

∈-≤x m ,1时φ --------------------------（12分）

四．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x )+f(-x)，又f(0)=0，则有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．--------------（4分）

(2)解： f(x)在R 上是单调增函数，，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2， 32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．

令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．--------------------（6分）

--------------------------（8分）

--------------------------（10分）