第8届全国力学竞赛试题及答案

结论 3 分
证明方法不 限。 结论错误，0 分； 结论正确且能 够证明，3 分； 结论正确但证 明不完善，1 分。
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 y = −a(x − b)2 + c 的形式（a、b、c 与初始条件有 关且均为正值）。在 x = −r + Δx 处，抛物线的高为 y2 = −a(−r + Δx − b)2 + c 。假设抛物线过 A 点，则有 0 = −a(−r − b)2 + c 。因此有 y2 = 2a(r + b)Δx − aΔx2 ，略去高阶小量，即 y2 ∼ Δx 。
ε1
=
1 E
⎡⎣σ1
−ν
(σ 2
+ σ3 )⎤⎦
=
−
p E
(1−
2ν
)
代入(2-5)式，有： − FpL (1− 2ν ) = − pΔV ( F ) ，
E
从而得到体积改变量：
(2-5) 1 分 1分
(2-6) 2 分
ΔV ( F ) = FL (1− 2ν ) = σπ D2L (1− 2ν )
E
（1－8）
2 分，可以带入 角度。如果坐 标系选取不 同，或符号不 同，只要正确 即可。下面类 似处理
2分
同时根据系统水平动量守恒，有
u
=
v+n x'y'
cosϕ
−
v+τ x'y'
sin ϕ
联立（1－7），（1－8），（1－9），解出
（1－9） 1 分
v+n x'y'
=
v0
sinϕ(e − cos2 1+ cos2 ϕ
（3）为了求出碰撞后的速度，可以用不同的方法。以碰撞点处的法向 n 和切向τ为坐标
轴构成 x ' y ' 。
3
碰撞前小球的绝对速度在 x ' y ' 坐标系中为 vx−' y' = (−v0 sin ϕ, − v0 cosϕ)T 。设碰撞后小球
的绝对速度为 vx+' y'
= (vx+'ny' ,
v+τ x'y
1，0，1，2，3 代入，可以看出 x 在（－3，－2）之间、（0，1）之间以及 x=2 处有三个解（见
下图）。
根据三角函数的特点，（0，1）之间的解有意义。注意到 x=2 是一个解，所以设 得到角度的正
x3 − 6x + 4 = (x − 2)(x2 + ζ x − 2) ，容易求出ζ = 2 ，问题变为求 x2 + 2x − 2 = 0 在（0，1） 确 表 达 式 ， 3 之间的解，为 x = 3 −1，因此ϕ = arcsin( 3 −1) ≈ 47° 时，小球与圆盘压力为零，正好分离。 分
（2）在 x
=
−r,
z
= 0 处粘上质量为
1 4
m 的配重，图形就可以在空中绕 Z
轴稳定地转动。
1
详细解答及评分标准 总体原则：
（1） 计算题的某一小问，只要最后结果正确且有适当的步骤，就给全分。 （2） 如结果不正确，则参考具体的评分标准。 （3） 如结果不正确且方法与参考答案不一样，各地自行统一酌情给分。 （4） 证明题需要看过程。
（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为
F top Q
=
0.28E1bh12Δ
/
L2 。
( ) （4）梁的剪应力为τ
=
3 2
E1Δ
yC2 − y2
/ L3 ，沿梁截面高度的分布图见详细解答。
四、令人惊讶的魔术师（20 分） （1）力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方式也不同：沿
N=
( ) 2 − sin2 ϕ 2
（1－5） （1－6）
得到加速度或 角加速度，2 分
得到压力与角 度的正确表达 式，3 分
下面求小球正好脱离圆盘的位置，即求 4 + sin3 ϕ − 6sinϕ = 0 的解。设 x = sinϕ ，
y = x3 − 6x + 4 。一般情况下三次方程的解不好求，但是本题比较好求。把 x＝－3，－2，－
2
（1－1） 1 分
系统机械能守恒
1 2
mx2
+
1 2
m(x2
−
2xrϕ
sin
ϕ
+
r
2ϕ
2
)
+
mgr
sin
ϕ
=
mgr
拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理
mx = −N cosϕ
由（1－1）和（1－2）得到
x
=
−
1 2
rϕ
sin
ϕ
，
ϕ 2 = 4(1− sinϕ)g (2 − sin2 ϕ)r
（1－2） 1 分
即在 A 点之前（ x = −r + Δx 处），抛物线的高度是 1 阶小量，而圆盘的高是 0.5 阶小量，
所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中 A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不可能直接 击中 A 点。
（2）建立惯性坐标系与初始时刻的 Oxy 重合。
可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒
mx + m(x − rϕ sinϕ) = 0
（1－3） 1 分
得到速度或角 （1－4） 速度，1 分
对（1－4）中的速度和角速度求导有
x
=
−
1 2
rϕ
sin
ϕ
−
1 2
rϕ
2
cosϕ
，
ϕ
= − 2 cosϕ(2 + sin2 ϕ − 2sinϕ)g (2 − sin2 ϕ)2 r
把（1－5）代入（1－3）有
mg (4 + sin3 ϕ − 6sinϕ )
第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、看似简单的小试验（30 分）
（1）小球 P1 不可能直接击中 A 点，证明见详细解答。 （2）小球 P2 与圆盘开始分离时的角度ϕ = arcsin( 3 −1) ≈ 47° 。 （3）碰撞结束后瞬时小球 P3 与半圆盘的动能之比为 5：4。
二、组合变形的圆柱体（20 分）
= τ topbL
=
0.28E1bh12Δ L2
（4）计算剪应力的分布公式：
τ
=
FQ S bI z
=
FQ bI z
⎣⎢⎡b ( yC
−
y
)
⎛ ⎝⎜
y+
1 2
(
yC
−
y
)
⎞⎤ ⎠⎟⎦⎥
( ) =
FQ bI z
⎡ ⎢⎣
b 2
(
yC
−
y)( yC
+
y )⎤⎥⎦
=
FQ 2Iz
yC2 − y2
( ) ( ) = 3E1Δ 2L3
yC2 − y2
= 3E1Δ 2L3
(0.592h1 )2 − y2
获得剪应力为二次曲线分布，讨论：
(3-5) 1 分
(3-6)
4 分，最后三个 等号中的任意 一个均可以
图 2 分，定性 对即可。两个 结果都可以。
在梁的下表面，即 y = − yC ，有τ = 0
在梁的中性轴处有最大剪应力，即 y = 0 ，有
一、看似简单的小试验（30 分） 【解】：（1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中 A 点之 前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中 A 点。
证明：如果想求出抛物线与圆的交点表达式，会很复杂。下面采用很简单的方法。
圆盘的边界轨迹为 x2 + y2 = r2 ，在 A 点右边的 x = −r + Δx 处（设 Δx 为一阶小量），圆 盘的高度为 (−r + Δx)2 + y12 = r2 ， y12 = 2rΔx − Δx2 ，略去高阶小量，即 y1 ∼ Δx0.5 ；
变形）。圆柱轴向拉伸力为 F = σ πD2 / 4 ，与另一圆柱的伸长变形 ΔL ( p) 功共轭，由功的互
等关系，
F ⋅ ΔL ( p) = − pΔV ( F )
式中， ΔL ( p) = ε1L 。均匀压强 p 作用下的圆柱体，三个主应力均为：
σ1 = σ2 = σ3 = − p
轴向伸长应变为
（2）在圆柱外表面有最大应力，在剪切和轴向拉伸作用下，平面应力状态的主应力表达式为
4
⎧⎨σ ⎩
1
=
σ 2
+
1 2
σ 2 + 4τ 2 ,
σ2 = 0,
σ3
=
σ 2
−
1 2
σ 2 + 4τ 2
应用第三强度理论（最大剪应力强度理论），有
τ max
= σ1 −σ3 2
=
1 2
σ 2 + 4τ 2
以剪应力τ = τ s 和拉伸应力σ 代入(2-2)式，屈服将发生在当拉伸应力σ 达到 2
4E
(2-7) 4 分
三、紧密结合的复合梁（30 分） 【解】 注意：计算结果保留小数点后 2 位即可以。答案中保留了小数点后 3 位。
答案如包含中间过程的参数，只要正确，也同样给分。 （1）建立如下坐标系（如果坐标系不同，只要结论正确，不扣分）
5
先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量 E1 材料的 T 形截面，求截面形心的位置，
（3）设 F2 / F1 = η ，η ∈[0, 0.414) 不可能出现。当η ∈[0.414, 0.828) 时，观众如果故意把