1.3.2杨辉三角与二项式定理的性质
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1 21
13 31
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
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二项式展开
(a+b)0=1 (a+b)1=1a+b 1 (a+b)2=1a2+2a2b+b2 1 (a+b)3=1a3+3a32b+33ab2+b13 (a+b)4=1a4+4a43b+66a2b2+44ab31+b4 (a+b)5=a15+5a54b+10a3b12+010a52b3+51ab4+b5
2行个数字之和，
3行
即1Cnr
2Cnr111
Cr n1
13 3 1
4行(2)对称性：Cnr1 C4nnr 6 4 1
5行(3)最值：当1n是5偶数10时,中1间0 的一5 项1取最大 6行值;当n是1奇数6 时1,中5 间的20两项1相5 等,6且同1时取
7行最大值1. 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
34行行的和为2n。
1
1 +
+ 4
3 +
+ 6
3 +
+ 4
1 +
= 1
23 = 24
5行
1 + 5 + 10 + 10 + 5 +1 = 25
6行
1 6 15 20 15 6 1
7行
1 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
n行
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1+
C
n1+C
2 n
+………+…C
nr…+ ………+
2020/4/13
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1.杨辉三角与二项式系数
0行 杨辉三角的第n1行中的数对应于 二12行行项式(a+b)n展开1 1式2的1系1数
3行
13 3 1
4行
14 6 4 1
5行
1 5 10 10 5 1
…………
n行
Cn0
C
1 n
…
C
r n
C …
C n1 n
n n
2020/4/13
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0行(1２)基杨本辉性三质角：的杨主辉要三性角质1形的两条斜边上的 1行数字都是1，而其余各1数都1等于它肩上的两
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
1
C
n n
1
1
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Cmm
Cm m1
Cm m2
...
Cm n2
Cm n1
C m1 n
0行
1
1行
1C10 C111
2行
1C
0 2
C221
C122
3行
1C
0 3
C331
C332 C313
4行
C140
C4
1 4
C642
C4
3 4
C144
5行
n-1行 n行
… … C150
5C
1 5
1C052
C1053 C554 C155
… … 1 C C1
2
n1 n1
… … 1
C
1 n
C
2 n
Cr n 1
C
r n
C r 1 n
C n2 n 1
1
C n1 n
1
2020/4/13
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题型一 奇数项与偶数项的二项式系数的关系
例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
C
n n
1
+
1 =2n
7
性质探究2:
与左斜边平行的直线所经过的数字之和？
0行
1 +
1行
1 +1
2行
121
+
3行
13 3 1
4行
1 4+ 6 4 1
5行
n-1行 n行
1 5 10 10 5 1
……
… … 1 C C1 2 n1 n1
… … 1
C
1 n
C
2 n
Cr n 1
C
r n
C r 1 n
C n2 n 1
赋值法
小结：
1. 杨辉三角与二项式系数 2.杨辉三角的主要性质
2020/4/13
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杨辉三角与二项式系数
Cn0
+
C
1 n
+C
2 n
+
…+
C
r n
+
…
+
C
n n
1+
Cnn
=2n
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n-1行 1
C C 1 n 1
2…
n 1
C C C r 1 r … n2
n1 n1
n 1
1
n行
1
C
1 n
C
2 n
2020/4/13
… ……
C…nr …
…
C n1 n
1源自文库
6
性质探究1: 各行数字和有何特点?
0行
1
1行 杨辉三角的各1 行+ 数1 字= 的21和等于与
2行之对应的(a+b)n的1 +展2开+式1 的= 各22个系数
2020/4/13
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杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法杨 》辉 中 记 载 的 表
2020/4/13
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杨辉，南宋杭州钱塘人，中国著名的 数学家．著作甚多，共有５部21卷，著名 的有《详解九章算法》、《日用算法》、 《乘除变通本末》等。在朝鲜、日本等国 均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在《详解九章算法》 一书中，杨辉三角的发现要比欧洲早500多 年，我国古代数学的成就是非常值得自豪 的。
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二项式展开
(a+b)0=1 (a+b)1=1a+b 1 (a+b)2=1a2+2a2b+b2 1 (a+b)3=1a3+3a32b+33ab2+b13 (a+b)4=1a4+4a43b+66a2b2+44ab31+b4 (a+b)5=a15+5a54b+10a3b12+010a52b3+51ab4+b5
2行个数字之和，
3行
即1Cnr
2Cnr111
Cr n1
13 3 1
4行(2)对称性：Cnr1 C4nnr 6 4 1
5行(3)最值：当1n是5偶数10时,中1间0 的一5 项1取最大 6行值;当n是1奇数6 时1,中5 间的20两项1相5 等,6且同1时取
7行最大值1. 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
34行行的和为2n。
1
1 +
+ 4
3 +
+ 6
3 +
+ 4
1 +
= 1
23 = 24
5行
1 + 5 + 10 + 10 + 5 +1 = 25
6行
1 6 15 20 15 6 1
7行
1 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
n行
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1+
C
n1+C
2 n
+………+…C
nr…+ ………+
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1.杨辉三角与二项式系数
0行 杨辉三角的第n1行中的数对应于 二12行行项式(a+b)n展开1 1式2的1系1数
3行
13 3 1
4行
14 6 4 1
5行
1 5 10 10 5 1
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Cn0
C
1 n
…
C
r n
C …
C n1 n
n n
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0行(1２)基杨本辉性三质角：的杨主辉要三性角质1形的两条斜边上的 1行数字都是1，而其余各1数都1等于它肩上的两
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
Cn0 Cn2 Cn4 Cn1 Cn3 Cn5
1
C
n n
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Cmm
Cm m1
Cm m2
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Cm n2
Cm n1
C m1 n
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1C10 C111
2行
1C
0 2
C221
C122
3行
1C
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C331
C332 C313
4行
C140
C4
1 4
C642
C4
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C144
5行
n-1行 n行
… … C150
5C
1 5
1C052
C1053 C554 C155
… … 1 C C1
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n1 n1
… … 1
C
1 n
C
2 n
Cr n 1
C
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C r 1 n
C n2 n 1
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C n1 n
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题型一 奇数项与偶数项的二项式系数的关系
例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
C
n n
1
+
1 =2n
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性质探究2:
与左斜边平行的直线所经过的数字之和？
0行
1 +
1行
1 +1
2行
121
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3行
13 3 1
4行
1 4+ 6 4 1
5行
n-1行 n行
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……
… … 1 C C1 2 n1 n1
… … 1
C
1 n
C
2 n
Cr n 1
C
r n
C r 1 n
C n2 n 1
赋值法
小结：
1. 杨辉三角与二项式系数 2.杨辉三角的主要性质
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杨辉三角与二项式系数
Cn0
+
C
1 n
+C
2 n
+
…+
C
r n
+
…
+
C
n n
1+
Cnn
=2n
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n-1行 1
C C 1 n 1
2…
n 1
C C C r 1 r … n2
n1 n1
n 1
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C
1 n
C
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… ……
C…nr …
…
C n1 n
1源自文库
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性质探究1: 各行数字和有何特点?
0行
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1行 杨辉三角的各1 行+ 数1 字= 的21和等于与
2行之对应的(a+b)n的1 +展2开+式1 的= 各22个系数
2020/4/13
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杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法杨 》辉 中 记 载 的 表
2020/4/13
3
杨辉，南宋杭州钱塘人，中国著名的 数学家．著作甚多，共有５部21卷，著名 的有《详解九章算法》、《日用算法》、 《乘除变通本末》等。在朝鲜、日本等国 均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在《详解九章算法》 一书中，杨辉三角的发现要比欧洲早500多 年，我国古代数学的成就是非常值得自豪 的。