矩阵论、数值分析复习_2015
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论复习题矩阵论作为线性代数的重要分支，涉及到矩阵的性质、运算以及应用等方面。
在学习矩阵论的过程中，复习题是提高理解和巩固知识的重要工具。
本文将通过一些典型的矩阵论复习题，帮助读者回顾和加深对矩阵论的理解。
1. 矩阵的乘法性质与运算规则(1) 证明矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
(2) 若矩阵A是m×n阶矩阵，矩阵B是n×p阶矩阵，证明矩阵乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
(3) 证明单位矩阵是矩阵乘法的单位元，即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。
2. 矩阵的逆与行列式(1) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵唯一。
(2) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵也可逆，且逆矩阵的逆等于A。
(3) 若矩阵A可逆，证明其转置矩阵也可逆，且转置矩阵的逆等于A的逆的转置。
(4) 证明若矩阵A可逆，则其行列式不为零，即|A|≠0。
3. 矩阵的特征值与特征向量(1) 若矩阵A的特征值为λ，证明矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
(2) 若矩阵A的特征向量为v，证明对于任意非零实数k，kv也是矩阵A的特征向量。
(3) 若矩阵A的特征向量v1和v2对应于不同的特征值λ1和λ2，证明v1和v2线性无关。
(4) 若矩阵A的特征向量v对应于特征值λ，证明对于任意正整数n，(A^n)v对应于特征值λ^n。
4. 矩阵的相似与对角化(1) 若矩阵A与矩阵B相似，证明矩阵B与矩阵A相似。
(2) 若矩阵A与矩阵B相似，矩阵B可对角化，证明矩阵A也可对角化。
(3) 若矩阵A可对角化，证明A的特征向量组成的矩阵P可逆，且A=PDP^-1，其中D为对角矩阵。
通过复习以上的矩阵论题目，可以加深对矩阵的性质、运算规则、逆与行列式、特征值与特征向量以及相似与对角化的理解。
同时，通过解题的过程，还可以提高解决问题的能力和运用矩阵论知识的技巧。
希望读者能够充分利用这些复习题，巩固所学的矩阵论知识，为进一步深入学习打下坚实的基础。
数值分析、矩阵论
数值分析讲义 GDY
Page 1 of 8
补充资料：线性代数三大正交变换 一． Householder 变换
1、2D 与 3D 中的对称变换： XOY 平面点关于 X 轴的对称变换是 x ′ = x, y ′ = − y ，用矩阵表示即
1 0 0 x ′ 1 0 x 1 0 T y′ = 0 −1 y ，称 H = 0 −1 为镜像阵，且 H = 0 1 − 2 1 [ 0 1] = I − 2 ww ， T 其中 w = [ 0 1] 为 X 轴的法线方向 法线方向（ 。 法线方向 Y 轴方向）
1 3 2 1 2
1 4 2 -1 2
-0.3536 -0.7071 T （1）取 u = (1 2 1 -1 1) ，H 变换矩阵 U1 = -0.3536 0.3536 -0.3536
-0.7071 -0.3536 0.3536 -0.3536 0.6306 -0.1847 0.1847 -0.1847 -0.1847 0.9077 0.0923 -0.0923 0.1847 0.0923 0.9077 0.0923 -0.1847 -0.0923 0.0923 0.9077 -2.8284 -1.0607 -3.5355 -4.9497 0 0.9235 0.6306 0.8918 （2） A2 = U1 A = 0 -1.5383 0.8153 0.4459 2.5383 2.1847 0.5541 0 0 0.4617 0.8153 0.4459 0 0 0 1 0 -0.1718 -0.5726 -0.8016 T （3）取 v = ( -1.0607 -3.5355 -4.9497 ) ，求得 V1 = 0 -0.5726 0.7202 -0.3917 0 -0.8016 -0.3917 0.4516 0 0 -2.8284 6.1745 0 -1.2346 -0.4240 -0.5846 -0.5601 1.2933 1.1151 （4） A3 = A2V1 = 0 -2.1312 -0.0970 -2.6403 0 0 -0.9036 0.1481 -0.4882 0 0 0 0 1 0 -0.4602 -0.2088 -0.7944 -0.3368 T （5）取 u = ( -1.2346 -0.5601 -2.1312 -0.9036 ) ，得 U 2 = 0 -0.2088 0.9702 -0.1136 -0.0482 0 -0.7944 -0.1136 0.5678 -0.1833 0 -0.3368 -0.0482 -0.1833 0.9223 0 0 -2.8284 6.1745 0 2.6826 -0.0477 2.2983 （6） A4 = U 2 A3 = 0 0 1.3471 1.5273 0 0.1077 -1.0719 0 0 0 0.2349 0.1768
数值分析-复习及习题选讲
5、线性方程组的数值解法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零. 2.掌握矩阵的直接三角分解法。
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、Crout分解及Cholesky分解。
熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐 次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数； 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。 4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。
k n
f
( n 1)
(2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k, j=0,1,…,n.于是
n ( t ) k (t x) k f (t ) y j l j (t ) n 1 (t ) ( x j x) l j (t ) j 0 j 0 (n 1)! 取t=x,则有 n ( x j x) k l j ( x) 0
收敛于(x)在I上的唯一不动点x*.
都收敛于方程的唯一根x*.
推论 若(x)在x*附近具有一阶连续导数,且|(x*)|<1, 则对充分接近 x*的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速 技巧.
xk 1 C (1) xkp阶收敛于x*是指: lim k x p k
7.设(x)=x4+2x3+5, 在区间[-3,2]上, 对节点x0= -3, x1=-1,求出(x)的
三次Hermite插值多项式在区间[x0,x1]上的表达式及误差公式.
矩阵论复习
2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算
(1)定义 (2) 运算（交与和，直和）
1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性.
2. 若1, 2, …, r线性无关，则向量组1= 1+k1r ,
2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
(3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使
得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵
(4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T
在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征
向量。
(5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式
6. 不变子空间
定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果
3.线性变换的矩阵 T (1,2,,n)=(1,2,,n)A
rankT=rankA, nullT=n-rankA
（1,2,,n 为 线性空间V 的一个基）
4. 线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.
5. 化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似
i 1 j 1
2
2
1 1 0 1 取 A1 , A2 ,W L( A1 , A2 ) 0 0 1 1
（1）求W的一个基；
（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.
2. 已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A,
1 i j 证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足 ( , ) i j 0 i j
3. 求向量组
1 (1,2,1,0) 1 (2,1,0,1) 2 (1,1,1,1) 2 (1,1,3,7)
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
2015年矩阵论试题A
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2014 ——2015 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷
一、(10分) 设2
V R =，σ是V 的一个变换，对于任意的a V b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3a a b b b σ+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 证明σ是V 的一个可逆线性变换，并求1a b σ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
二、(10分) 在22⨯R 中证明⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001,0011,0111,11114321E E E E 是一组基，并求矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=3021A 在此基下的坐标． 三、(10分)已知正规矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0000110i i A ，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵． 四、(10分) 设矩阵31412110A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
,求A 的行列式因子,不变因子,初等因子组，Jordan 标准形。
五、(10分) 求矩阵100111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的奇异值分解.
六、(10分) 已知
210023120i A i +-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 试求 121,,,,m m m A A A A A ∞
∞. 七、(10分)
1) 已知函数矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=32121x x x e A x x ，),,(321x x x x =；计算矩阵对矩阵的导数dA dx ． 2）设[]()∑∑==⨯==m i n j ij n m ij x X f x X 112,,求dX
df 。
. 八、(10分) 已知矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=5113A 求A 。
矩阵理论(完整版)
2
6.
P 范数： || x || p (
| x |
i 1 i
n
p 1/ p
)
1 p
7. 8.
向量序列极限： lim x
k
(k )
a lim xi( k ) ai
k
(i 1, 2,
, n) lim || x( k ) a || 0
nn
， 存 在 可 逆 矩 阵 T C
nn
， 使 得 A T T ， 当 A 正 定 时 ，
H
A T H IT T H T 。
4. 矩阵 A Cr
H
mn
，则有： rank ( A) rank ( A A) rank ( AA ) ； A A、AA 的特征值均为非负实数
3.2 矩阵的谱分解（只适用于方阵）
1. 2. 单纯矩阵：矩阵的代数重数等于几何重数。单纯矩阵可对角化。 正规矩阵：满足 A A AA 的 n 阶复矩阵。正规矩阵是单纯矩阵。
H H
n k A , i j ， Ai En A C nn 是单纯矩阵，则 A 可分解为： A i Ai ， Ai Aj i i 1 0, i j i 1
nn
2 H 2 H
n
n
（b）. 酉不变性：对任一的酉矩阵 U、V P ，有 || A ||m2 || U AV ||m2 || UAV
||2 m2 ，
|| A ||m2 || UA ||m2 || AV ||m2 || UAV ||m2
14. 矩阵范数与向量范数相容：若 || Ax ||a || A ||m || x ||a ，称 || ||m 为与向量范数 || ||a 相容的矩阵范数。 —2—
数值分析复习要点
1.设矩阵A
2
1
,
用Schmidt正交化方法,
1 2
对A作正交分解A QR.
2.设矩阵A
2 0
1 3
7 10
,
用Householder变换法,
0 4 5
对A作正交分解A QR.
3.已知一组线性无关的向量
u1 (1,1,1)T , u2 (1, 0, 1)T , u1 (0,1,1)T , 由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的
Gauss变换阵
1
Lj
1
l j1, j 1
ln, j
1
对x x1,..., x j ,..., xn T 0, x j 0 构造Gauss变换阵G，使Gx x1,..., x j ,0,...,0 T
奇异值与奇异值矩阵
i
i ( AT A) 0,
i 1,..., r,
r
0
0 0
条件数 cond(A) p || A1 ||p|| A ||p , p F,1,2,
谱条件数 cond ( A)2 || A1 ||2|| A ||2
max ( AT A) min ( AT A)
y0
1 yn n 5 yn1
n 1, 2，...
计算yn，试分析算法的稳定性
习题：p15 10
数值计算中应注意的问题
(1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数
矩阵分析复习知识点整理
一、定义设V 是一个非空集合， F 为数域．上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 F 上的线性空间．[ V, F, “+”, “.”, 8 ]判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．R[X]n 是次数不超过n 的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……, X n ]。
P[X]n 是次数不超过n-1的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……,X n-1]。
Q[X]n 是次数不超过n 的多项式，其中an 不等于0，不构成了向量空间,。
Ax=0的解空间，称为矩阵A 的核（零）空间，记N （A ）设A 为实数（或复数）m*n 矩阵，x 为n 维列向量，则m 维列向量集合V={y ∈R m (C m )|y=Ax,x ∈R n (C n ),A ∈R m*n (C m*n)}构成实（或复）数域R （或C ）上的线性空间，称为A 的列空间或A 的值域，记R （A ）。
线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵例 1.1.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ,4321224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++k k k k E k E k E k E k 有,0000 224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+++O E k E k E k E k 因此 03321====⇔k k k k .,,,22211211线性无关即E E E E()(),,,,,,, 2121P n n αααβββ =基变换公式矩阵P 称为由基n ααα,,,21到基n βββ,,,21 的过渡矩阵．坐标变换公式 ,'''2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x P x x x 例1.2.6略P11设V l ，V 2是线性空间V 的两个子空间， 可以验证: 21V V 构成V 的线性子空间．称为 21V V 为V l 与 V 2 的交空间．可以验证: 21V V + 构成V 的线性子空间．称21V V +为 V l 与 V 2 的和空间例1.3.5◆{}{}2122112121,span ,,span ,1,3,5,1,1,3,5,4,1,31,1,131,2ββααββαα==-=-=--==V V T TT T ）（）（），（），，（试求；(1)V l +V 2的基与维数；(2) 21V V 的基与维数● [解] (1)由定理3知{}212121,,,span ββαα=+V V 121,,βαα是极大无关组．故它是V 1+V 2的基，维数＝3，于是且，即）设（21212V V V V ∈∈∈ααα 24132211ββαααk k k k +=+=把2121,,,ββαα的坐标代入上式，解之得4342132,35,0k k k k k -===于是. 35,5,35,35214的向量表示为V V k T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α其维数=l线性映射：设V1，V2是数域F 上的两个线性空间，映射T ：V1->V2,如果对于任何两个向量a1,a2∈V1和任何数Ｋ∈Ｆ，都有T （a1+a2）=T(a1)+T(a2)；T （Ka1）=KT(a1)便称为映射。
矩阵论知识点
矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。
矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。
然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。
最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。
针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。
以上就是线性空间中所有的知识点。
1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。
矩阵论知识要点
证明 必要性显然，下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ，把 A 用列向量表示为
A ( a1 , a 2 , , a n ) ,
a1T a1Ta1 a1Ta2 a1Tan T T T T a2 a2 a1 a2 a2 a2 an T A A (a1, a2 ,, an ) , aT a T a aT a a T a n n n n 1 n 2
序言 • 矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁 琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 • 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限 维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少 的工具。 • 尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提 供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工 程、最优化方法、管理工程等。
问题一 线性方程组的求解
4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A
A ，则称 A
(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 );
矩阵论复习资料
矩阵论复习纲要前两讲要求理解并掌握高等代数中的基本概念与理论，这些是矩阵论进一步研究必要的基础。
对应于教材第八章8.1—8.6的内容第一讲 线性空间一、线性空间的定义及性质1. 线性空间的定义与性质 ；2. 线性相关性：线性组合；线性表示；线性相关性；.线性空间的维数 二、线性空间的基与坐标1. 基的定义；2. 坐标的定义；3. 基变换与坐标变换 三、线性子空间的定义及其性质1. 线性子空间的定义 ；2. 线性子空间的性质 ；3. 生成子空间 ；4. 基扩定理 四、子空间的交与和1. 子空间的交与和定义，两子空间的交与和仍为子空间；2 维数公式；3.子空间的直和及直和充要条件第二讲 线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算1. 线性变换的定义；2. 线性变换的性质3. 线性变换的运算：恒等变换; 变换的相等; 线性变换的和,数乘,负变换,乘积,逆变换,线性变换的多项式。
二、线性变换的矩阵表示1、线性变换的矩阵的定义与性质；2. 相似矩阵及其性质三、线性变换及矩阵的值域和核及其性质：()R T 、()N T ；()R A ；()N A 。
四、线性变换的不变子空间 1. 不变子空间的定义 ；2. 不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 习题要求：习题八P215 1—24题（选做）第三讲 矩阵的相似对角化与Jodan 标准形第三讲对应于教材第一章1.1-1.3的内容**一、矩阵的相似对角化1. 特征值与特征向量；特征多项式 **例1 已知122224242A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求其特征值和特征向量。
（P1）2. 矩阵的迹与行列式与特征根的关系11nnii ii i trA a λ====∑∑；1d e t nii A λ==∏.3. 性质(1)若A 与B 相似，则detA= detB ，rank(A)=rank(B), tr(A)=tr(B), det(λI-A)= det(λI-B); (2)设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则()()tr A B tr B A =;**4. 矩阵对角化的条件引理 n 阶方阵A 的互不相同的特征根对应的特征向量线性无关。
矩阵论复习
矩阵论复习一、矩阵代数1．矩阵及其运算 2．矩阵的行列式 2.1 行列式的定义 2.2 行列式的性质（1） 行列互换，行列式的值不变；（2） 交换两行（列），行列式的值改变符号；（3） 一行（列）有公因子K ，则K 可提到行列式号外； （4） 两行（列）元素成比例，行列式的值为零；（5） 一行（列）可表示为两组数的和，则行列式等于两个行列式的和； （6）一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。
2.3 行列式的计算2.4 子式、余子式、代数余子式 2.5 主子式、顺序主子式 3．矩阵的逆3.1 定义：对n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB BA I ==，则称B 为A 的逆矩阵，记为1B A -=。
3.2 矩阵逆的存在与唯一性：如果n 阶矩阵A 可逆，则A 的逆是唯一的。
对n 阶矩阵A ，A 可逆||0A ⇔≠，并且如果A 可逆，则1*1||A A A -=。
3.3 逆矩阵的计算： 用公式 用初等变换4．矩阵的初等变换与初等矩阵 4.1 矩阵的初等变换（1）交换矩阵的两行（列）；（2）用一个非零的数乘矩阵的一行（列）； （3）将矩阵一行（列）的倍数加到另一行（列）。
4.2 初等矩阵的定义单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等矩阵row jth row ith j i P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101111011),( ， row ith k k i P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111)(( ，11(,())11ith rowk P i j k jth row ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
4.3 初等矩阵的性质初等矩阵都是可逆的，并且),,(),(1j i P j i P =- ))(())((11--=k i P k i P ， 1(,())(,())P i j k P i j k -=-。
矩阵与数值分析公式总结
矩阵与数值分析公式总结第⼀章绝对误差：121100.x 102k k n na a a a a -=±-≤?，则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值相对误差：如果a 有n 位有效数字，则11x 1102n a aa --≤；如果11x 11021n a a a --≤?+（），则a ⾄少有n 位有效数字。
近似绝对误差估计式：'()()()f x f a f a x a -≈-近似相对误差界为：'()()()()()f a f x f a x a f a f a -≤- N 元函数误差界：1231231(x ,x ,x ,....x )(,,,....)n n n k k k k af f f a a a a x a x =??-≤- ∑111222111112max p ,1nii n i i ii n npp i p===∞=??=≤<+∞∑∑∑向量范数：范数：范数：范数：范数：x x x x xx111112111max max mij j ni nij i mj mnij m i j Fa a a ≤≤=∞≤≤========∑∑∑∑（列和范数）（⾏和范数）（算⼦范数谱：范数）A A A AA(A)max i iρλ=谱半径：（A 的最⼤特征值）第⼆章,H H H A A AA A A =正规矩阵：是的共轭转置。
常见的Hermite 阵（A A =H ）、实对称矩阵（A A =T）、斜Hermite 阵（A A -=H ）、实反对称矩阵（A A -=T ）、⾣阵（I AA A A ==H H ）和正交矩阵（I AA A A ==TT）等均为正规矩阵．正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主⼦式都为正。
A 的特征值全为正。
T T A A AA E ==正交矩阵：1T A A -=正交矩阵是实数特殊化的⾣矩阵，因此总是正规矩阵。
奇异矩阵：对应的⾏列式等于0的⽅阵。
2015年硕士研究生矩阵论期末考试试题卷
硕士研究生考试试卷 2014— 2015学年第一学期 考试科目: 矩阵论 考试时间：120分钟 出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：姓名、学号必须写在指定位置 1 填空题 （18分） （1）123654789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A = m A ∞= 1AX = AX ∞= （2）1821A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，幂级数06k k k k z ∞=∑的收敛半径是 ， 矩阵幂级数06k k k k A ∞=∑是 （收敛、发散），理由 （3）1210A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A B ⊗的全部特征值是（4）123b b b α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是给定的向量，123X ξξξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是向量变量，且112233()f X b b b ξξξ=++，则dfdX =专业：姓名：学号：2 设110430102A-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（16分）（1）求A的Jordan标准形J （2）求变换矩阵P，使1P AP J-=3 设221022212A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A的QR分解（12分）4 设101102221453A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（16分）（1）求A的满秩分解（2）求A的More-Penrose逆A+5设20312102810A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（14分）（1）写出A的行盖尔圆，并在复平面上画图表示（2）隔离A的特征值（3）利用实矩阵特征值性质，改进得到的结果6 设()m nij m n A a C ⨯⨯=∈，规定,ijG i j A a = （12分）（1） 证明G ⋅是m n C ⨯上的一种范数（2） 证明矩阵范数与向量2-范数相容7 求解微分方程初值问题 （12分）11221221431dx x x dt dx x x dt ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，12(0)1,(0)2x x ==。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么1______x =。
矩阵论、数值分析复习
⒎掌握线性多步法的构造原理，能构造线性多步格 式。 P142.
例5.10
⒏会利用差分格式的预测——校正技术，能利用外 推技术获得预测——改进——校正——改进方 案。 9. 例．
P144.
六 、线性代数方程组的解法
A. 直接法、 ⒈ 方法： ① Gauss顺序消去法； ② 列主元Gauss消去法； ③ 直接三角分解法（不选主元）； ④ 平方根法和改进的平方根法； ⑤ 追赶法。
(1)待定系数(利用代精)；
{求积节点给定 ; 求积节点、系数均未给 定 .
教P86,例4.2
(2)插值型求积公式；
b A = ∫ l ( x)dx k ak
n x x j l ( x) = ∏ x x k j=1 k j 例：P91例4.4 j≠k
P90
(3)Newton-Cotes公式； { (节点等距)，几种低阶， 梯形
3 插值的分类： （1）不含导数插值条件（Lagrange型插值）； Lagrange插值公式、Newton插值公式。 （2）含导数插值条件（Hermite插值）； 构造法、 带重节点的Newton插值法。 4 余项表达式、截断误差估计、总的误差界。 5 各阶差分、差商的定义、基本性质。 6 三次样条插值。 7例.
系数特点 稳定、收敛
(2)利用正交多项式构造Gauss求积公式；
例：P103 例4.11 例：P105例4.12
(3)利用Gauss型求积公式构造奇异积分的 数值方法。
５、例。
例：P107 例4.14
五、常微分方程数值解
⒈将方程离散化的三种方法。 ⒉掌握Euler法和改进的Euler法、隐式Euler法和梯 形法的基本公式和构造。 ⒊领会R-K方法的基本思想，会进行二阶R-K方法 p131-133 的推导。 ⒋会求差分格式的局部截断误差及方法的阶。 ⒌能利用单步法收敛定理判断方法的收敛性。 ⒍能给出一般单步法的绝对稳定性区域（区间）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0是相应的特征值，即
T 0 , 0, 那么 可由B的线性表出：
xi i Bx, x [ x1 , x2 xn ]T ,
i 1
可推得
Ax 0 x.
11
例
求T的特征值和特征向量。
P2 (t ) 的线性变换T的定义为 d Tp(t ) p (t ) (t 1) p (t ), dt
a11
a 21 det(I n A) a n1 a12 an2 a1n a2n
a 22
a nn
是λ的 n 次多项式
f () det(I n A) n b1n1 bn1 bn .
求由 B1 到 B2 的变换矩阵P.
解
1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 P, 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 0 . P 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
解 取 P2 (t )的一个基 B {1, t , t 2 }, 则T在B下的 1 1 0 . 矩阵是 A 0 2 2 0 0 3 A的特征值是 1 1, 2 2, 3 3, 相应的特征向量
分别为 k1[1 0 0]T , k 2 [11 0]T , k3 [1 2 1]T . 因此，T的特征
ห้องสมุดไป่ตู้
2
将 j ,1 j n 按顺序排列,并使用矩阵记号,则得
p11 p 21 [ 1 2 n ] [ 1 2 n ] pn 1 p12 p22 p1n p2 n . pnn
pn 2
简记为 其中 n 阶方阵
求 W1 W2 及W1 W2 的基和维数。 解 W W span{ 1, 2 ,3 , 4}.但由于 1 2 且 1, 2 , 3 线性无关，所以 维数公式（*）给出
4 1 2 3 ,
3 2 9 2 5 2
W1 W2 的一个基为
{1 [1 2 1 0]T , 2 [1 1 1 1]T ,3 [2 1 0 1]T }, dim(W1 W2 ) 3.
8
如果把
则有 T j ,1 j n 按顺序排列，并使用矩阵记号，
a12 a22 am 2 a1n a2 n . amn
a11 a [T1T 2 T n ] [ 1 2 m ] 21 am1
为了简化记法和便于运算，令 那么上式可简写为 其中
W1 W2 .
W1
W1 W2
W1 W2 W1 W2 的充分必要条件是下列条件
（1）
W1 W2 {0};
（2） 若1 2 0, i Wi (i 1,2),则1 2 0; （3） dim(W1 W2 ) dimW1 dim W2 . 例 设{1 , 2 , 3 , 4 } 是 R4的一个基， V1 span{21 2 ,1}， V2 span{ 3 4 ,1 4 }，证明：R 4 V1 V2
B B P
P [ pij ]称为由基
B 到 B 的变换矩阵
(或过渡矩阵).显然,基变换矩阵P中的第j个列向量
Pj p1 j
p2 j pnj
T
就是 B 中第j个基向量
j
3
在基 B 下的坐标.
例 已知
R 3 的两个基是
1 1 0 1 0 1 , 0 , 1 , B 0, 0, 1 , B1 1 2 1 1 1 1 1 1
dim(W1 W2 ) dimW1 dimW2 dim(W1 W2 ) 1.
5
为了求 W1 W2 的基，设 知，存在
W1 W2 ，则由 W1
k1 , k 2 使 k11 k2 2 ，又由 W2 知，存在
k 3 , k 4 使 k33 k4 4 因而， k1 , k 2 , k3 , k 4 应满足方程。
小多项式 m A ( ) 的根。 证 设 0 是A的特征值，ｘ0是相应的特征向量，则有
0 mA ( A) x0 mA (0 ) x0 , x0 0,
故 mA (0 ) 0 ，即 0 是 m A ( ) 的根。
反之，若 0 是 m A ( ) 的根，那么由于 m A ( ) 可整除A的 特征多项式 f ( )，故 0 必是特征多项式的根，即 0 是 A 的特征值。
3
1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 O, 但 ( A 3I )( A 2 I ) 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 2 2
即
k11 k2 2 k33 k4 4 ,
k11 k2 2 k3 (3 ) k4 ( 4 ) 0.
用矩阵表示则为
1 1 2 1 k1 2 1 1 k 1 2 0 1 1 0 3 k3 0 1 1 7 k4
矩阵论复习
一、线性空间（子空间）的基与维数的求法、直和的概念
二、两个基之间过渡矩阵的求法
三、线性变换的概念及其矩阵表示 线性变换的特征值、特征向量的计算 四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理 的简单应用 五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型 六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算 七、矩阵的三角分解
7
V n 到V m的变换T 称为线性的，如果对任意的 数 k及V n中的任意向量 , , 恒有
T ( ) T T , T (k ) kT .
定义
记 T V m ,则称 为在T下的像， 称为 的原像。 特别，当T是 V n 到自身的一个线性变换，则称T是
V n 的线性变换。
设T是 V n 到V m 的线性变换，在
V n 和V m 中分别取基
B {1,2 ,n }和B {1, 2 ,m}, 则 a j 的像
Ta j (1 j n) 可由基 B 唯一地线性表出：
a1 j a m 2j T j aij i [ 1 2 m ] i 1 amj
TBa [T1T2 Tn ],
m n 矩阵
TB B A,
a12 a 22 am2
（1.2-1）
a11 a A 21 a m1
a1n a 2n . a mn
9
（1.2-1）式叫做T的矩阵表示，称A为T在基偶 {B , B } 下的矩阵。
解得
[k1k2k3k4 ]T c[3 9 5 2]T ,
其中c为任意非零实数，从而
c(31 92 ) c[12 3 6 9]T .
因此，W1 W2 span{[12 3 6 9]T }, 即[4 1 2 3]T 是 W1 W2 的一个基。
R4
定义 若 W1 W2 中任一向量只能唯一地分解为 中的一个向量与 W2 中的一个向量之和，则 称为 W1 ,W2 的直和，记为 定理 的之一满足：
15
定理
例
0是A 的特征值的充分必要条件是 0是A 的最小多项式
求
2 1 0 2 A 1 1 2 4
m A ( ) 的根。
的最小多项式。
解 由于 det(I A) ( 3)( 2) 所以A的最小多项式只能 有下列三种可能： ( 3)( 2); ( 3)( 2) 2 ; ( 3)( 2) 3
1
定义
V n 中给定顺序的n个线性无关向量
所成的向量组称为
V n 的一个基
1 , 2 ,, n
(或基底), 记为B = 定理 设B是
i (1 i n) 称为第i个基向量.
{1 , 2 ,, n } .B 中的向量
V n的一个基,则Vn中任一向量都
可由B 唯一表示。 B {1 , 2 ,, n }, B {1 , 2 ,, n }是 V n 的两个基,则每个 j (1 j n) 都可由 B 线性表出: p1 j p n 2j j pij i [ 1 , 2 , , n ] , j 1,2, , n. i 1 p nj
则f (A)=O,即A 的特征多项式是A 的一个零化多项式.
定义 A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 A的最小多项式 m A ( ) 可整除A的任何零化多项式
A的最小多项式，记为 m A ( ) 。 定理
g ( ) , 且 m A ( ) 是唯一的。
14
定理
0 是A 的特征值的充分必要条件是 0是A 的最
4
1
故
定理 设 W1 ,W2 是V的两个子空间，则
例
dim(W1 W2 ) dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 .
R 4 中的两个子空间是
W1 span{ a1 [1 2 1 0]T , a2 [1 1 1 1]T },
W2 span{ a3 [2 1 0 1]T , a4 [1 1 3 7]T },
f () det(I n A) n b1n1 bn1 bn
称为T的特征多项式，于是T的特征值就是T的特征多项式的根。
10
为了求出T的特征值和特征向量，在 V n 中取一个基
B {1 , 2 ,, n }，且设T在B下的矩阵是A。 如果