人教版九年级数学上册第25章复习课件
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最新人教版初中九年级上册数学【第二十五章 25章单元复习】教学课件
例题精讲
例3.如图所示是四张质地相同的卡片．将卡片洗匀后，背面朝上放置在 桌面上．
小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为 这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由．
2236
游戏规则 随机抽取一张卡片，记下数字 放回，洗匀后再抽一张．将抽取的 第一张、第二张卡片上的数字分别 作为十位数字和个位数字，若组成 的两位数不超过 32，则小贝胜， 反之小晶胜．
通过规律性来确定随机事件发生的可能性大小.
问题4.用什么来刻画随机事件发生的可能性大小？
概率 概率表示事件发生的可能性大小，事件发生的可能性 越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小， 则它的概率越接近于0．
知识梳理
事件
确定事件 不确定事件
必然事件 不可能事件
随机事件
概率为1 概率为0 概率在0到1之间
故摸出一个球是红球的概率为三分之二，摸出一个球是白球的 概率则为三分之一，摸出白球和摸出红球可能性不同.
例如4:一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜
色外都相同,搅匀后从中任意摸出两个球,问:两次都摸出红球的
概率是多少?
“不放回”
解：记“两次都摸出红球”为事件A，列表如下：
白
红1
红2
白
红1
红2
“不能重复”
白
（红1，白） （红2，白）
红1
（白，红1）
（红2，红1） P( A) 2 1
63
红2
（白，红2） （红1，红2）
谢谢观看
解：可以用列表法表示出所有可能出现的结果．
第1张 第2张
2
2
3
6
2 （2，2） （2，2） （2，3） （2，6）
人教版九年级上册数学同步教学课件-第25章-概率初步复习课件
练习2 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它
们分别标号1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号
小于4的概率是（ C ）
A. 1 B. 2
5
5
C. 3 5
D. 4 5
数学课堂教学课件设计
3 用列表法或画树状图法求概率
专题复习
例3 在中央电视台的某次选秀节目中，甲、乙、丙三位评委对 选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论. （1）写出三位评委给出A选手的所有可能的结果； （2）对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多 少？
6
表示随着抛骰子次数的增加，“朝上的点数是1”这一事件发 生的频率稳定在 1 附近
6
数学课堂教学课件设计
专题复习
【解析】 概率是指发生的可能性大小，选项A是指明天下雨的可 能性是80%；选项B，要有前提条件，大量重复试验，平均每抛 两次就有一次正面朝上；选项C，概率是针对大量重复试验，大 量重试验反映的规律并非在每次试验中都发生；选项D，正确.
数学课堂教学课件设计
专题复习
2 概率
例2 下列说法正确的是（ D ） A. “明天下雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在下雨 B. “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛两次就有一次 正面朝上 C. “彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D. “抛一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点是1的概率为 1 ”
【解析】选项A，必然事件；选项B，不可能事件；选项C，必 然事件；选项D,随机事件，故选D.
数学课堂教学课件设计
专题复习
练习1 ：下列事件中是必然事件的是（D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球 是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
人教版九年级数学上册第25章_25.1.2+概率_教学课件
新课讲解
练一练 1.“兰州市明天降水概率是30%”， 对此消息下列说 法中正确的是( C ) A．兰州市明天将有30%的地区降水 B．兰州市明天将有30%的时间降水 C．兰州市明天降水的可能性较小 D．兰州市明天肯定不降水
分析：根据概率的意义求解，即可求得答案． 注意排除法在解选择题中的应用．
新课讲解
概率的范围：0≤P(A) ≤1.特别地，
当Ａ为必然事件时，P(Ａ)＝1； 当Ａ为不可能事件时，P(Ａ)＝0．
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件 发生的可能性越小，它的概率越接近0．
新课讲解
事件发生的可能性越来越小
0
不可能发生 事件发生的可能性越来越大
1
概率的值
必然发生
新课讲解
例 3 掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率： (1) 点数知为识2；点 (2) 点数为奇数； (3) 点数大于2小于5.
当堂小练
3.掷一枚质地均匀的硬币的试验有2种可能的结
果,它们的可能性相同，由此确定“正面向上”的
概率是
1 2
.
4.10件外观相同的产品中有1件不合格.现从中 任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概
1
率为 10 .
当堂小练
5.不透明的袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每
个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球：
22.下列说法中正确的是( C ) A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件 B.“拋一枚硬币，正面朝上的概率为 1”表示每
2
拋两次就有一次正面朝上 C.拋一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概
率与朝上的点数是3的概率相等 D.为了了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查
人教版九年级数学上册精品课件第25章概率初步复习课件
2019/4/25
16
五.本章的内容安排和教学建议
三. 25.2用列举法求概率 抽签实验 掷骰子实验 规律：一般地，如果在一次实验中，共有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件包含其中的 m 种结果，那么事 件发生的概率为m/n。概率的古典定义
注意：此定义只适用于有限等可能 事件
2019/4/25
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五.本章的内容安排和教学建议
三. 25.2用列举法求概率 例1.掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求 下列事件的概率： 1.点数为２； 2. 3.点数大于２且小于５．
2019/4/25
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五.本章的内容安排和教学建议
三. 25.2用列举法求概率
例２.图25.2—1是一个转盘，转盘分 成７个相同的扇形，颜色分为红、绿、 黄三种颜色．指针的位置固定，转动 转盘后任其自由停止，其中的某个扇 形会恰好停在指针所指的位置（指针 指向两个扇形的交线时，当作指向右
本章许多内容是以统计部分的知识为 依托、为基础的，比如利用频率估计概率等。
2019/4/25
3
一. 地位和作用
本章内容在旧版本教材中并没有涉及， 是新课标实施后的新增内容，可是近两年， 这部分知识在中考的课标卷中已经开始频频 出现。 概率的初步这部分内容几乎是课改地区 必考的知识点。可见《概率初步》这章内容 还是非常重要的，需要引起我们广大教师的 重视。
第二十五章概率初步 教材分析
2019/4/25
1
一. 地位和作用
二.本章知识结构框图 三.本章的学习目标 四. 本章的课时安排
五.本章的内容安排和教学建议
六.本章编写特点
七.几个值得关注的问题
2019/4/25
【优课】人教版九年级数学上册第25章概率初步复习课件(共24张PPT) - 最新
①用画树状图的方法,列出前后两次取出的小球上所标数 字的所有可能情况; ②计算前后两次取出的两个小球上的数字之积为奇数的概 率是多少?
点击中考
1.下列成语中描述的事件必然发生的是( )
B
(A)水中捞月 (B)瓮中捉鳖 (C)守株待兔 (D)拔苗助长
2.在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四 边形、直角梯形、正方形和圆．在看不见图形的情况下随机摸 出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是( )
3.学校举行篮球比赛，裁判员抛硬币来决定谁 开球，出现正面的可能性与出现反面的可能性 是（相等的），都是（ 1/2 ）;
.
专题三 概率意义的理解
例1. 下列说法正确的是( c )
(A)不太可能的事就一定不会发生
(B)一件事情要么发生，要么不发生，所以它发生的概率为0.5
(C)买一张彩票的中奖率为1/1000，所以买一张彩票中奖的可
意，得 80 8
解之得 x=32
400 x 8
误区警示
注意条件
例8 (1)在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面
分别标有数字1,2,3,4,现从中随机抽取一个(不放回),再从
剩下的3个中随机抽取第二个小球。
①用画树状图的方法,列出前后两次取出的小球上所标数
字的所有可能情况;
注意条件
(2)在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分 别标有数字1,2,3,4,现从中随机抽取一个(并放回搅拌均匀), 再从口袋中随机抽取第二个小球。
率 为 0.03 ， 由 此 可 估 计 这 本 书 中 “ 的 ” 字 出 现 的 概c 率 约 为
( )．A. 0.01
B. 0.02
C. 0.03
点击中考
1.下列成语中描述的事件必然发生的是( )
B
(A)水中捞月 (B)瓮中捉鳖 (C)守株待兔 (D)拔苗助长
2.在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四 边形、直角梯形、正方形和圆．在看不见图形的情况下随机摸 出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是( )
3.学校举行篮球比赛，裁判员抛硬币来决定谁 开球，出现正面的可能性与出现反面的可能性 是（相等的），都是（ 1/2 ）;
.
专题三 概率意义的理解
例1. 下列说法正确的是( c )
(A)不太可能的事就一定不会发生
(B)一件事情要么发生，要么不发生，所以它发生的概率为0.5
(C)买一张彩票的中奖率为1/1000，所以买一张彩票中奖的可
意，得 80 8
解之得 x=32
400 x 8
误区警示
注意条件
例8 (1)在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面
分别标有数字1,2,3,4,现从中随机抽取一个(不放回),再从
剩下的3个中随机抽取第二个小球。
①用画树状图的方法,列出前后两次取出的小球上所标数
字的所有可能情况;
注意条件
(2)在一个口袋中有四个大小、质地相同的小球，上面分 别标有数字1,2,3,4,现从中随机抽取一个(并放回搅拌均匀), 再从口袋中随机抽取第二个小球。
率 为 0.03 ， 由 此 可 估 计 这 本 书 中 “ 的 ” 字 出 现 的 概c 率 约 为
( )．A. 0.01
B. 0.02
C. 0.03
最新人教部编版九年级数学上册《第25章 概率初步【全章】》精品PPT优质课件
果，并且它们发生的可能性相等，事件A包括其中
的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=
m n
.
在P(A)=
m n
中，由m和n的含义，可知0≤m
≤n,进而有0≤
m n
≤1.
因此，0≤ P(A) ≤1 .
不可能事件 必然事件
0
不可能 事件
0≤ P(A) ≤1 . 事件发生的可 能性越来越小
事件发生的可 能性越来越大
2.从1、2、3、4、5中任取两个数字，得到的都 是偶数，这一事件是 随机 事件.
3.下列所描述的事件： ①某个数的绝对值小于0； ②守株待兔； ③某两个负数的积大于0； ④水中捞月. 其中属于不可能事件的有 ① ④ .
4.一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相 同的球，从中任取一球，得到红球与得到蓝球的可 能性 相同 .
在一定的条件下， 必然会发生的事件
在一定的条件下，必 然不会发生的事件
在一定的条件下，可能发 生也可能不发生的事件
必然 事件
不可能 事件
随机 事件
确定性事件 不确定性事件
【出题角度】认识事件
下列事件中，是随机事件的是（A ） A.他坚持锻炼身体，今后能成为飞行员 还有其他因素 不可能事件 B.在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 必然事件 C.抛掷一块石头，石头终将落地 不可能事件 D.有一名运动员奔跑的速度是20m/s
的是( B )
A.瓮中捉鳖
B.守株待兔
C.旭日东升
D. 夕阳西下
已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落 在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
“落在海洋里”的可能性更大.
人教版数学九年级上册：第二十五章 小结与复习 习题课件(含答案)(共25张PPT)
再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白 球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 30 .
13．如图，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴 影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规 则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小石子 (假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经 过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的 频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的
∴P(点数之和为3的倍数)＝
12 36
1 3
.
2．下列说法中正确的是（ B ） A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图 形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称 图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上 的一定是5次
3．“一个不透明的袋子中装有3个小球，它们的 标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为 4”，这个事件是 不可能事件 (填“必然事 件”“不可能事件”或“随机事件”)．
A. 2 B. 2
C. 3
5
3
5
D. 3
10
8．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别 作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的
1
概率是 3 .
9．(2019·兰州中考)2019年5月，以“寻根国学， 传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年 强——国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明 晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手 须在每个环节中各选一道题目．
面积是 1 m2.
14．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做 投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，她们共做了60 次实验，实验的结果如下：
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
13．如图，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴 影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规 则区域落在正方形内．现向正方形内随机投掷小石子 (假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经 过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的 频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的
∴P(点数之和为3的倍数)＝
12 36
1 3
.
2．下列说法中正确的是（ B ） A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图 形”是随机事件
B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称 图形”是必然事件
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上 的一定是5次
3．“一个不透明的袋子中装有3个小球，它们的 标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为 4”，这个事件是 不可能事件 (填“必然事 件”“不可能事件”或“随机事件”)．
A. 2 B. 2
C. 3
5
3
5
D. 3
10
8．若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别 作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的
1
概率是 3 .
9．(2019·兰州中考)2019年5月，以“寻根国学， 传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年 强——国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明 晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手 须在每个环节中各选一道题目．
面积是 1 m2.
14．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做 投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，她们共做了60 次实验，实验的结果如下：
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
人教版九年级数学上册《第25章复习》课件
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略 [解析] 甲从袋中摸出一球有三种可能结果，乙从袋中摸出
一球也有三种可能结果，所以可以通过列表法和树形图法解决 此题．
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略 解：(1)树形图如下： 图25－1
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略 列表如下：
图25－2
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 由于转盘被等分成 6 个扇形，且红色区域占 3 个扇 形，所以 P(红色)＝21.故填21.
方法技巧 计算有关面积问题的概率，首先应分析哪些事件的发生与哪 部分面积有关，再根据面积的计算方法求有关的比值．
事件所有可能结果所组成的图形的面积 概率 P＝ 所有可能结果所组成的图形的面积 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
甲 乙
白
红
黑
白
白，白 白，红 白，黑
红
红，白 红，红 红，黑
黑
黑，白 黑，红 黑，黑
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略
(2)∵乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况， ∴乙能取胜的概率为93＝31.
方法技巧 当事件中涉及两个因素，并且事件发生的可能性相等时，通 常采用列表法或树形图法计算概率；当事件中涉及三个或三个以 上因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用树形图法计算 概率．
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 知识归纳
┃知识归纳┃
1．事件 在一定条件下， 可能发生也可能不发生 的事件，叫做随 机事件． 确定事件包括 必然 事件和 不可能 事件． [注意] 随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事 件发生的可能性的大小有可能不同．
第25章复习 ┃ 考点攻略 [解析] 甲从袋中摸出一球有三种可能结果，乙从袋中摸出
一球也有三种可能结果，所以可以通过列表法和树形图法解决 此题．
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略 解：(1)树形图如下： 图25－1
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略 列表如下：
图25－2
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 由于转盘被等分成 6 个扇形，且红色区域占 3 个扇 形，所以 P(红色)＝21.故填21.
方法技巧 计算有关面积问题的概率，首先应分析哪些事件的发生与哪 部分面积有关，再根据面积的计算方法求有关的比值．
事件所有可能结果所组成的图形的面积 概率 P＝ 所有可能结果所组成的图形的面积 .
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我们，还在路上……
甲 乙
白
红
黑
白
白，白 白，红 白，黑
红
红，白 红，红 红，黑
黑
黑，白 黑，红 黑，黑
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 考点攻略
(2)∵乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况， ∴乙能取胜的概率为93＝31.
方法技巧 当事件中涉及两个因素，并且事件发生的可能性相等时，通 常采用列表法或树形图法计算概率；当事件中涉及三个或三个以 上因素，并且事件发生的可能性相等时，通常采用树形图法计算 概率．
数学·新课标（RJ）
第25章复习 ┃ 知识归纳
┃知识归纳┃
1．事件 在一定条件下， 可能发生也可能不发生 的事件，叫做随 机事件． 确定事件包括 必然 事件和 不可能 事件． [注意] 随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事 件发生的可能性的大小有可能不同．
人教版九年级上册数学精品教学课件 第25章 概率初步 用列举法求概率
不同的概率为（ C ）
A. 1
1
1
B.
C.
D. 3
4
3
2
4
2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放
一本，最多放两本，共有 10 种不同的放法.
3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 6， -2，7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同. 先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用 列表或画树状图的方法求下列事件的概率. （1）两次取出的小球上的数字相同； （2）两次取出的小球上的数字之和大于 10.
AB
E DC
HI
甲
乙
丙
(1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音
字母的概率各是多少？
解：由树状图知所有 甲
A
B
可能出现的结果有 12
个，它们出现的可能 乙 C D E C D E
性相等.
满足只有一个元音字
母的结果有 5 个，则 P (一个元音) = 5 .
12
丙 H IH IH I H IH IH I A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H IH IH I H I H IH I
例3 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲 手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中 的一人，如此传球三次. (1) 写出三次传球的所有可能结果 (即传球的方式)； (2) 指定事件A：“传球三次后，球又 回到甲的手中”，写出 A 发生的所有 可能结果； (3) 求P(A).
解：(1) 第一次 第二次 第三次 结果
问题引入 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有 两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个 糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包 以及一个馒头. 老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个 盘中各选一个包子 (馒头除外)，请你帮老师算算选的 包子全部是酸菜包的概率是多少.
人教新课标版初中九年级数学上册第25章概率复习课ppt课件
跟踪练习： 3、如图，有牌面数字都是2，3，4的两组牌．从每组 牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法， 求摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
解：画树状图如下：
∵共有九种情况，数字之和为 6 的共有 3 种， ∴随机摸出的两张牌的牌面数字之和为 6 的概率为39＝31.
4、把大小和形状完全相同的６张卡片分成两组，每组３ 张，分别标上１、２、３，将这两组卡片分别放入两个盒 子中搅匀，再从中随机抽取一张． （１）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （２）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出 的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是 否公平？请说明理由．
解：画树状图如图所示： 开始
1
2
3
123 123 123
由上图可知，所有等可能结果共有９种，其中两张卡 片数字之和为奇数的结果有４种．
P 4 9
（２）不公平；理由：由（１）可得出：取出的两张卡片 数字之和为偶数的概率为：5 ∵ 4 ，5∴这个游戏不公平．9
99
通过本节课的学习你收获了什么？
作业布置
第三步：确定所有可能出现的结果数ｎ及所求事 件Ａ出现的结果ｍ； 第四步：用公式 P( A) 求= 事m件A发生的概率.
n
４、利用概率判断游戏的公平性： 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等 就公平，否则就不公平． ５、频率与概率： 在随机现象中，一个随机事件，做了大量试验后，可 以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计 值.
知识点2、概率及其计算：
１、概率定义：随机现象中，一个事件发生的可能性大 小．事件发生的可能性越小，它的概率越接近０．
２、简单事件概率的计算
在随机现象中，出现的各种可能的结果共有ｎ种．如果出现其
人教版九年级数学上册第25章概率初步_复习课件
（3
123456
的点数
1
234567
2
345678
3
456789
4
5 6 7 8 9 10
5
6 7 8 9 10 11
6
7 8 9 10 11 12
（3）列表如下：
概率初步
小红投掷
的点数 小颖投掷
123456
的点数
1
234567
2
345678
3
456789
概率初步
能力提高
概率初步
1、你能说出几个与必然事件、随机事件、不可能 事件相联系的成语吗？
如：必然事件：种瓜得瓜，种豆得豆，黑白分明。 随机事件：海市蜃楼，守株待兔。
不可能事件：海枯石烂，画饼充饥，拔苗助长。
2、在一个不透明的口袋中装有除颜色外其余都 相同的1个红球，2个黄球，如果每一次先从袋中 摸出1个球后不再放回，第二次再从袋中摸出1个 球，那么两次都摸到黄球的概率是多少？
当试验的所有可能结果不是有限个, 或各种可能结果发生的可能性不相等时, 常常是通过统计频率来估计概率,即在同 样条件下,大量重复试验所得到的随机事 件发生的频率的稳定值来估计这个事件 发生的概率。
概率初步
概率初步
2、一副扑克除大王外共52张，在看不 见牌的情况下，随机抽一张，是黑桃 的概率是＿＿＿＿
课本P171 1、2、3、4
概率初步
祝：同学们愉快！
概率初步
（2）小颖的说法是错误的．这是因为， “5点朝上”的频率最大并不能说明“5 点朝上”这一事件发生的频率最大．只 有当实验的次数足够大时，该事件发生 的频率稳定在事件发生的概率附近.
小红的判断是错误的，因为事件 发生具有随机性，故“6点朝上”的 次数不一定是100次．
秋人教版九年级数学上册第二十五章 概率初步复习课件(共80张PPT)
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16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月19日星期日7时10分18秒07:10:1819 September 2021
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17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午7时10分18秒上午7时10分07:10:1821.9.19
第二十五章 概率初步
(3)某中学准备购买两个品种的月饼共32盒(价格如下表所示), 发给学校的“留守儿童”, 让他们过一个愉快的中秋节, 其 中指定购买了甲厂家的高档月饼, 再从乙厂家购买一个品种. 若恰好用了1740元,则购买了甲厂家的高档月饼多少盒？
第二十五章 概率初步
解：(1) 画树状图如下：
第二十五章 概率初步
由上表可知, 共5 6 种等可能的结果, 其中恰好取出火腿粽子和豆 沙粽子各1 个的结果有3 0 种, ∴P ( 恰好取出火腿粽子和豆沙粽子 各1 个) =
第二十五章 概率初步
相关题6 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗. 今年某商 场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家的精 装、简装两个品种的盒装月饼. 现需要在甲、乙两个厂家 中各选购一个品种. (1)写出所有选购方案(利用画树状图或列表的方法求选购 方案)； (2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么甲厂 家的高档月饼被选中的概率是多少？
第二十五章 概率初步
概率的求法
直接列举法
列举法
列表法
画树状图法 用频率估计率
模拟试验
第二十五章 概率初步
归纳整合
专题一 事件类型的判别
【要点指导】根据事件发生的可能性将事件分为必然 事件、不可能事件、随机事件, 必然事件和不可能事件 统称确定性事件.
九年级数学上册 第二十五章 概率初步章末复习(五)课件上册数学课件
第二十一页，共二十七页。
【核心素养】 13．(关注社会热点)某小区为了了解居民(jūmín)对新型冠状病毒肺炎(COVID—19) 的预防措施的了解情况，随机调查了小区部分居民，将调查结果共分为四个等 级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制 了如图所示的不完整的三种统计图表．
第二十二页，共二十七页。
第二十三页，共二十七页。
对防疫知识了解程度的统计表
对防疫知识 百分
了解程度 比
A.非常了解 5%
B.比较了解 15%
C．基本了
解
45%
D．不了解 n
第二十四页，共二十七页。
请结合统计图表，回答下列问题：
400
35%
(1)本次参与调查的居民共有__________人，n＝____________；
第二十六页，共二十七页。
内容(nèiróng)总结
No 第二十五章 概率初步。3．甲、乙两人做掷骰子游戏，规定：一人掷一次，若两人所投
掷骰子的点数和大于7，则甲胜。8．(衡阳中考)为弘扬中华传统文化，某市近期举办了中小学 生“国学经典大赛”．比赛项目为：A.唐诗。B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面 的点数是偶数(ǒu shù)。C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面。D.先后两次掷 一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9。126
第二十五章 概率(gàilǜ)初步
章末复习(fùxí)(五) 概率初步
第一页，共二十七页。
知识点一 事件的分类与可能性大小 1．(襄阳中考)下列语句所描述的事件是随机事件的是( A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形(línɡ xínɡ)，是中心对称图形 D．地平面内任意三点画一个圆
【核心素养】 13．(关注社会热点)某小区为了了解居民(jūmín)对新型冠状病毒肺炎(COVID—19) 的预防措施的了解情况，随机调查了小区部分居民，将调查结果共分为四个等 级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制 了如图所示的不完整的三种统计图表．
第二十二页，共二十七页。
第二十三页，共二十七页。
对防疫知识了解程度的统计表
对防疫知识 百分
了解程度 比
A.非常了解 5%
B.比较了解 15%
C．基本了
解
45%
D．不了解 n
第二十四页，共二十七页。
请结合统计图表，回答下列问题：
400
35%
(1)本次参与调查的居民共有__________人，n＝____________；
第二十六页，共二十七页。
内容(nèiróng)总结
No 第二十五章 概率初步。3．甲、乙两人做掷骰子游戏，规定：一人掷一次，若两人所投
掷骰子的点数和大于7，则甲胜。8．(衡阳中考)为弘扬中华传统文化，某市近期举办了中小学 生“国学经典大赛”．比赛项目为：A.唐诗。B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面 的点数是偶数(ǒu shù)。C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面。D.先后两次掷 一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9。126
第二十五章 概率(gàilǜ)初步
章末复习(fùxí)(五) 概率初步
第一页，共二十七页。
知识点一 事件的分类与可能性大小 1．(襄阳中考)下列语句所描述的事件是随机事件的是( A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形(línɡ xínɡ)，是中心对称图形 D．地平面内任意三点画一个圆
人教版九年级上册数学课件：25本章复习(共15张PPT)
例3 一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白 球和黑球各若干个，每个球除了颜色之外没有任 何区别。 （1）小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回 搅均后再取第二个）发现，取出黑球的频率稳定在 1/4左右，请你估计袋中黑球的个数。
解：（1）设黑球的个数为x个，则： 解得：x=5 所以袋中黑球的个数为5个。
三、典例精析，复习新知
例1 一张圆桌旁有四个桌位，A先坐在如图的座 位上，B、C、D三人随机坐在其他三个座位上，求 A与B不相邻的概率。
A
解：按顺时针方向依次对B、C、D进行排位，如下：
A D B C
A B
A D C B
A C
A C D B
A D
C
D
B
D
B
C
三个座位被B、C、D三人随机坐的可能性共有六 种，由图可知： P（A与B不相邻）=
伴交流。
课
后作业来自布置作业：从教材“复习题25”中选取。
一、知识框图，整体把握
用列举法求概率 随机事件 概率 用频率估计概率
课题复习
二、释疑解惑，加深理解
1.通过实例，体会随机事件与确定事件的意义， 并能估计随机事件发生可能性的大小。 2.结合具体情境了解概率的意义，会用列举法（列表 和树状图法）求一些随机事件发生的概率。 P（A）= （n是事件发生的所有结果，m是满足条 件的结果。） 3.对于事件发生的结果不是有限个，或每种可能的结 果发生的可能性不同的事件，我们可以通过大量重复 试验时的频率估计事件发生的概率。
1 2 -1 0
0
3
-2
解：（1）由题意可画树形图为： A： 0 1
2
3
B： 0 -1 -2
和： 0 -1 -2
第25章复习课-2020秋人教版九年级数学上册课件(共26张PPT)
12 为 13 .
图4
类型之六 概率与统计的综合 12．[2019·眉山]某中学举行钢笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计， 并绘制了如图 5 所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中相关信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是 108° . (2)请将条形统计图补全． (3)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有14来自九年级，其他同学均来自八年 级．现准备从获得一等奖的同学中任选 2 人参加市级钢笔书法大赛，请通过列表
类型之四 判断游戏的公平性问题 8．[2018·青岛]小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动，小明想参加敬老服务活 动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于 是小明设计了一个游戏，游戏规则如下：在三张完全相同的卡片上分别标记 4,5,6 三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中 随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小 明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照 小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
第二十五章 概率初步
本章复习课
整合提升 易错专练
整合提升
类型之一 事件的分类及概率的意义 1．[2018·长沙]下列说法正确的是( C ) A．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上 B．天气预报说“明天的降雨概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
2．[2019·衢州]在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，他们除颜色外其余都相同．从
箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是( B )
图4
类型之六 概率与统计的综合 12．[2019·眉山]某中学举行钢笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计， 并绘制了如图 5 所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中相关信息，解答下列问题： (1)扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是 108° . (2)请将条形统计图补全． (3)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有14来自九年级，其他同学均来自八年 级．现准备从获得一等奖的同学中任选 2 人参加市级钢笔书法大赛，请通过列表
类型之四 判断游戏的公平性问题 8．[2018·青岛]小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动，小明想参加敬老服务活 动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于 是小明设计了一个游戏，游戏规则如下：在三张完全相同的卡片上分别标记 4,5,6 三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中 随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小 明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照 小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
第二十五章 概率初步
本章复习课
整合提升 易错专练
整合提升
类型之一 事件的分类及概率的意义 1．[2018·长沙]下列说法正确的是( C ) A．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上 B．天气预报说“明天的降雨概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
2．[2019·衢州]在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，他们除颜色外其余都相同．从
箱子里摸出 1 个球，则摸到红球的概率是( B )
-九年级数学上册精品教学课件第25章-复习
P(A)
A包含 基的 本基 事本 件事 的件 总的 数个数
m n
6.如何用列举法求概率？
当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经 过两步完成时用列表法，当事件要经过三步及以上完成时用 树状图法.
随堂练习
1.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个 相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配 成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗?
3.将一枚硬币连掷3次，出现“两反，一正”的概率是多少 ？
解:根据题意，画出如下树状图，
开始
正
反
正
反
正
反
正 反正 反 正 反 正 反
故P（两反，一正）=
3 8
4.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术 节文艺演出专场的主持人，请用列表法或树状图法，求选出的 恰为一男一女的概率． 解：列表如下：
（2）求一个事件的概率的基本方法是：进行大量的重复试验 ，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.
（3）对于某些随机事件也可以不通过重复试验，而只通过一 次试验中可能出现的结果的分析来计算概率.例如：掷两枚硬 币，求两枚硬币正面向上的概率.
5.在什么条件下适用P(A）＝ m 得到事件的概率？ n
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们 发生的可能性都Байду номын сангаас等，事件A包含其中m种结果，那么事件A 发生的概率为：
在多次试验中，某个事件出现的次数叫 频数 ，某个事件出 现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的 频率，一 个事件在多次试验中发生的可能性叫做这个事件发生的 . 概率
（1）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 P 附近，那么，这个常数 P就叫作事件A的 概率，事件A发生的频率是：在n次试验中，事件A发生的频 数m与 n 的比.
初三数学九年级上册：第25章单元复习ppt课件
16．如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：
抛掷一枚均匀的正四面体骰子(它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这
四个数字中一个)，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子
朝上的顶点数作为直角坐标系中P点的坐标(第一次的点数作横坐标，第二次
的点数作纵坐标)．
(1)求P点落在正方形ABCD面上(含正方形内部和边界)的概率；
2．(2017·辽阳)如果小球在如图所示的地面上自由滚动， 并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致， 那么它最终停留在黑色区域的概率是( B )
1111 A.3 B.4 C.5 D.6 3．(2017·海南)如图，两个转盘分别自由转动一次， 当停止转动时，两个转盘的指针都指向 2 的概率为( D )
7．(2017·辽阳)现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、
正五边形、菱形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同，将它们背面
朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又 2
是轴对称图形的概率是_5___．
8．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个 黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它 放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的模球试验次 数与摸出黑球次数的列表：
1123 A.6 B.5 C.5 D.5
6．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字－1，1，2， 随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为 p，再随机摸出一个小球， 其数字记为 q，则满足关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 有实数根的概率是(A )
A.12 B.13 C.23 D.56
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
九年级数学上册第25章《第二十五章章末复习》名师课件(人教版)
两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜．求两个人获胜
的概率各是多少？
解：（1）根据题意得：
x
x y x 1
2 5 1
，
解得：xy
2 3
；
x y 1 2
故答案为：2，3 .
解：（2）画树状图得：
∵ 共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同
的有12种情况，
∴ P（小王胜）= 8 = 2 ， P（小林胜）= 12 = 3 ．
20 5
20 5
【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图 法展示所有可能的结果数（注意此题是不放回试验），再从中选出 符合事件A的结果数，求出事件A的概率．同时也综合考查了二元 一次方程组的相关知识．
例3 某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级6个班组每班参
赛人数相同，学校对该年级的获奖人数进行统计，得到每班平均
赛的两位同学恰好是1男1女的概率．
解：（1）三班获奖人数=6×15﹣14﹣16﹣17﹣15﹣15=13， 折线统计图如图，
该年级获奖人数最多的班级为四班； （2）二班参赛人数=16÷32%=50（人）， 所以全年级参赛人数=6×50=300（人）；
（3）根据题意列表为：
第一位 第二位
男 男 女 女
第二十五章 章末复习
例1 已知关于x的一元二次方程 x2 bx c 0，从－1，2，3三个数中任
取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作 为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是______．
解：根据题意列表如下：
b c
－1 2 3
－1
2
3
（2，－1） （3，－1）
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对防疫知识 百分
了解程度 比
A.非常了解 5%
B.比较了解 15%
C．基本了
解
45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的居民共有__4_0_0______人，n＝___3_5_%_______； (2)扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是__1_2_6____度； (3)请补全条形统计图； (4)根据调查结果，小区准备开展关于防疫的知识竞赛，某栋楼要从“非 常了解”程度的居民甲和乙中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具 体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到 一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再 从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数， 则甲去，否则乙去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
3．甲、乙两人做掷骰子游戏，规定：一人掷一次，若两人所投掷骰子 的点数和大于7，则甲胜；否则，乙胜，则甲、乙两人中( C )
A．甲获胜的可能更大 B．甲、乙获胜的可能一样大 C．乙获胜的可能更大 D．由于是随机事件，因此无法估计
知识点二 求事件的概率
4．(杭州中考)一个两位数，它的十位数字是 3，个位数字是抛掷一枚质
) B．12
π C． 8
π D． 4
6．(大连中考)不透明袋子中装有红、绿小球各一
个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，
放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球
的概率为( D )
A．23
B．12
C．13
D．14
7．(益阳中考)小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放 在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是
抽取的彩色
1122
弹力球数 n
500 000 500 000 500
优等品频数 m 471 946 1 1 2 426 898 370
优等品频率
m n
0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 42 46 51 49 48解来自(1)如图，1 (2)5
×(0.942＋0.946＋0.951＋0.949＋0.948)＝15
【核心素养】 13．(关注社会热点)某小区为了了解居民对新型冠状病毒肺炎 (COVID—19)的预防措施的了解情况，随机调查了小区部分居民，将调 查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了 解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．
对防疫知识了解程度的统计表
11．(青海中考)某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： (1)请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图； (2)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？(精确到0.01) (3)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了 颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个 球是黄球的概率； (4)现从第(3)问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄 球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为14 ，求取出了多少 个黑球？
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个， 取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之 和是7或超过9
10．(永州中考)在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外 其他都没有区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀， 然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发 现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是 ______1_0_0______．
人教版
第二十五章 概率初步
章末复习(五) 概率初步
知识点一 事件的分类与可能性大小 1．(襄阳中考)下列语句所描述的事件是随机事件的是( D ) A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．地平面内任意三点画一个圆
2．分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可 能性最小的是( A )
地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1～6)朝上一面的数字，任意抛掷这
枚骰子一次，得到的两位数是 3 的倍数的概率等于( B )
A．16
B．13
C．12
D．23
5．(2019·天水)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图， 现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为
(C A．14
解：(1)她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经” 的概率为14 (2)画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小 明抽中“宋词”的结果数为 1，所以恰好小红抽中“唐诗”且 小明抽中“宋词”的概率为112
知识点三 用频率估计概率 9．(呼和浩特中考)某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计 了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实 验最有可能的是(D )
_1_______ 6
8．(衡阳中考)为弘扬中华传统文化，某市近期举办了中小学生“国学 经典大赛”．比赛项目为：A.唐诗；B.宋词；C.论语；D.三字经．比赛形 式分“单人组”和“双人组”．
(1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中 “三字经”的概率是多少？
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一 小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰 好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图 或列表的方法进行说明．
解：(1)P(随机抽取一张卡片，恰好得到数字 2) ＝12 (2)画树状图如下：
从树状图中可以看出所有等可能的结果共有 16 种，组成的两位数不超过 32 的有 10 种，∴P(组 成的两位数不超过 32)＝1106 ＝58 ，∴游戏规则不 公平．
修改规则：法一：将游戏规则中的32换成26～31(包括26和31)之间的任 何一个数都能使游戏公平．法二：游戏规则改为：组成的两位数中，若 个位数字是2，则小贝胜，反之小晶胜
×4.736＝0.947
2≈0.95
(3)P(摸出一个球是黄球)＝5＋153＋22 ＝18
(4)设取出了 x 个黑球，则放入了 x 个黄球，则5＋51＋3＋x 22 ＝14 ，解 得 x＝5.答：取出了 5 个黑球
知识点四 概率的应用 12．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置 在桌面上． (1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率； (2)小贝和小晶想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②，你认为这个 游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你 修改规则，使游戏变得公平．