浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
阿基里斯追龟悖论
10 ， 0 . 1， . 01 , L 1， 0
结论：永远追不上绕圈如何？悖论就源自等着被驳倒希尔伯特旅馆
无穷个房间，而且已经住满 无穷个房间，而且已经住满 这时又来了一位，怎么办呢？ 又来了n位 又来了无穷多位…
∞+1=∞，∞+n=∞，∞÷2=∞， ∞+∞=∞
哲学家的计算
步数上看：一直都比乌 龟少一步
任何一个东西待在一个地方那不叫运动可是飞动着的箭在任何时刻不也是呆在一个地方吗
阿基里斯追龟悖论
苏向军
芝诺悖论
1.阿基里斯追不上乌龟 阿基里斯追不上乌龟：让爬得很慢 阿基里斯追不上乌龟 的物归先行一段路程，那么阿基里斯将永 远追不上乌龟。论证如下：阿基里斯为了 追赶乌龟，必须要先到达乌龟的出发点A； 当同时乌龟已经前进到B，等阿基里斯到 达B，乌龟又前进到C，…如此下去，虽然 越来越近，但是永远也追不上。
结论：很快就追上 结论：永远追不上
无穷多项相加，结果一定无穷大？
无穷项相加，一定无穷吗？
一尺之槌 日取其半 万世不竭
哲学家的计算
1.路程上看： 10 + 1 + 0.1 + L
时间上看：1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L
3.步数上看：比乌龟少一步
10 ， 0 . 1， . 01 L 1， 0
结论：永远追不上
哲学家的计算
时间上看： 1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L
永远都追不上
1 1 10 时间：1 + 0 . 1 + 0 . 01 + L = = = s 1 − 0 .1 0 .9 9
并非永远
无穷多项相加，结果一定无穷？
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一个著名的逻辑悖论。
它通过一个巧妙的思维实验，揭示了时间和空间的悖论，给人们的思维带来了极大的困惑。
这个悖论的思考实验是这样的：假设有一条无限长的赛道，在这条赛道上，静止不动的阿基里斯要追赶一只悖论乌龟。
为了给乌龟一个机会，阿基里斯必须先给乌龟一个领先的位置。
假设乌龟在起跑线上跑了10米，阿基里斯开始追赶。
然而，在阿基里斯追上乌龟之前，乌龟又向前移动了1米。
当阿基里斯再次追赶时，乌龟又向前移动了0.1米。
如此循环下去，无论阿基里斯多快，乌龟总能在阿基里斯追上之前，再向前移动一段距离。
因此，阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个思维实验看似简单，但却引发了人们对时间和空间的思考。
按照常理，阿基里斯追得越来越近，最终应该能追上乌龟。
然而，芝诺悖论却告诉我们，无论阿基里斯多么努力，乌龟总能再向前移动一段距离，导致阿基里斯永远也无法追上乌龟。
这个悖论揭示了时间和空间的一种奇特性质。
在这个实验中，无论阿基里斯多么努力，他总是无法追上乌龟。
这种情况下，时间和空间被划分成了无数个无限小的部分，无论阿基里斯运动多快，乌龟总能在阿基里斯接近的同时再向前移动一段距离。
这种无限分割的过程，使得阿基里斯永远也无法追上乌龟。
这个悖论引发了人们对运动和空间的思考。
传统上，人们认为时间和空间是连续的，可以被无限分割。
然而，芝诺悖论却告诉我们，即使是无限小的分割，也可以导致无法追上的结果。
这对我们对运动和空间的理解提出了挑战。
芝诺悖论的出现让人们意识到，人类的思维有时会陷入矛盾和困惑之中。
我们常常通过逻辑和推理来解决问题，但有时候，逻辑自身却会出现悖论。
这让我们反思思维的局限性和不完备性，也提醒我们在思考问题时要多角度、多维度地思考，不仅仅局限在传统的逻辑框架中。
在面对芝诺悖论时，我们不应该陷入无限循环的思维中。
相反，我们应该意识到人类思维的局限性，尝试从不同的角度去思考问题，以寻找可能的解决方法。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识引言芝诺悖论是古希腊哲学家芝诺提出的一系列悖论，它们挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解。
这些悖论引发了人们对于逻辑和数学的深度思考，对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
芝诺悖论的概述芝诺悖论是一系列看似矛盾和荒谬的陈述，但却能通过推理得出合理的结论。
它们挑战了我们对于现实世界的感知和理解，引发了人们对于逻辑和数学的思考。
悖论一：亚基里斯与乌龟赛跑在这个悖论中，亚基里斯与乌龟进行一场赛跑。
乌龟比亚基里斯慢，但亚基里斯必须先给乌龟一个头脑的优势。
然而，根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为每当亚基里斯到达乌龟之前，乌龟已经前进了一段距离。
悖论二：阿喀琉斯与乌龟赛跑这个悖论类似于前一个悖论，但加入了连续性的概念。
根据芝诺的推理，亚基里斯将永远无法超过乌龟，因为在每次追赶乌龟之前，他都必须先赶上乌龟前一刻的位置，而乌龟又会在这一刻前进一段距离。
悖论三：无限齐次线段这个悖论涉及到无限的概念。
根据芝诺的推理，如果我们有一个长度为1的线段，我们可以无限次地将其分成两半。
这意味着我们可以得到无限多个长度为1/2、1/4、1/8等的线段，而它们的总和应该是无限大。
然而，这与我们对于有限和无限的理解相矛盾。
悖论四：阿喀琉斯与乌龟的箭矢在这个悖论中，亚基里斯试图射中乌龟。
然而，根据芝诺的推理，箭矢在射中乌龟之前必须先到达射出箭矢的位置，而在那之前箭矢已经前进了一段距离。
这意味着箭矢永远无法射中乌龟。
芝诺悖论的意义和影响芝诺悖论挑战了我们对于时间、空间和无限的直觉和理解，引发了人们对于逻辑和数学的深度思考。
它们对于哲学和数学领域的发展产生了重要影响。
对于逻辑的影响芝诺悖论迫使人们重新审视逻辑的基础和推理的有效性。
它们揭示了一些常识和直觉可能会导致矛盾和荒谬的结论。
人们开始思考如何修正逻辑系统，以避免这些悖论的出现。
对于数学的影响芝诺悖论对于数学的发展也产生了重要影响。
它们引发了人们对于无限的思考，导致了对于无穷集合和无限序列的研究。
芝诺的乌龟微积分解释
芝诺的乌龟微积分解释
芝诺的乌龟是一则古希腊哲学家芝诺所提出的思想实验，用来探讨无穷的概念。
这个思想实验涉及到乌龟和阿基里斯进行一场赛跑，芝诺提出了一个悖论，即使乌龟速度较慢，但只要在阿基里斯和乌龟之间始终保持一个距离，那么阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个悖论引出了一系列关于无穷序列和极限的思考。
在微积分中，这个悖论可以用来阐述极限的概念。
极限是微积分中非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
芝诺的乌龟悖论可以被解释为一个极限过程，当阿基里斯越来越接近乌龟时，乌龟的位置在不断变化，但永远无法完全被追上。
这类比可以帮助人们理解极限的概念，即使函数在某一点并不取到某个值，但它仍然可以有一个极限值，这种思想对于微积分中的许多概念和定理都具有重要的启发作用。
此外，芝诺的乌龟也可以被用来探讨无穷级数的概念。
无穷级数是微积分中的重要内容，它涉及到无限个数相加的结果。
芝诺的悖论可以启发人们思考无穷级数的收敛性和发散性，以及在数学上如何处理这种无限的悖论。
总的来说，芝诺的乌龟悖论在微积分中有着重要的启发作用，帮助人们理解极限和无穷级数等概念。
通过这个思想实验，人们可以更深入地理解微积分中一些抽象而重要的概念，从而更好地应用它们解决实际问题。
芝诺-追龟悖论
追龟悖论
“追龟悖论”是古希腊人芝诺提出的多个悖论之一。
原话是“阿基里斯追不上乌龟”（阿基里斯是跑得最快的人）。
这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。
M：当阿基里斯跑到海龟原来所在点时，海龟已向前爬了10米。
M：但是当阿基里斯跑到10米处时，海龟又爬到前面去了。
海龟：你别想抓住我，老朋友。
只要你一到我原先所在的地方，我就已经跑到前面一截；了，那怕这个距离比头发丝还小。
这个追龟悖论本身的假设就有问题：芝诺的假设就是阿基里斯追不上乌龟。
因为他总假设阿基里斯只追到乌龟当前在的那个点，而乌龟又往前走了一点……虽然他们之间的距离在不断缩小，乃至趋于零，但仍旧无法追上。
芝诺的假设存在问题之处就在于他去除了时间的概念（要知道阿基里斯的速度是比乌龟快的，有了速度，就是引入了时间，引入了时间，阿基里斯就一定能追上乌龟……事实也是如此），但芝诺的假设不考虑时间，只在空间（不含时间的空间）上考虑问题。
就如给你一条线段，首先截去1/2，然后把剩下的一半再截1/2，再取剩下的一半截1/2……如此重复下去。
最终的结果呢?线段能截玩吗？答案显而易见：截不完，无论剩的多么少，都截不完。
这和追龟悖论是一样的，只在空间上考虑问题，没有时间的概念。
综上，芝诺的追龟悖论本身的假设存在问题……在没有时间的空间里去讨论实际上存在时间约束问题的“阿基里斯追龟”是没有意义的。
个人见解
2013.10.15。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
一、芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛 中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面 追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须 到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已 经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里 斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已 经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样， 乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造 出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋 力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
思考：你认为芝诺悖论存在吗？
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001S，此时乌龟又跑了0.0001M； 阿基里斯跑完这0.0001M需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟?的逻辑真相
上帝告诉你芝诺悖论之一：追乌龟的逻辑真相阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！上面就是芝诺悖论之一：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。
上面是个路程问题，实质是个实数与无穷问题。
上面涉及距离问题，因走速的变化也涉及时间问题。
距离的变化 : 1→1/2 →1/4→1/8→...→1/2^n→...从递减上距程的变化就包含了时间和速度.故,只要距离的变化就能完整的用距离来讨论.又每个时间段都对应所走了距离。
所以在全面讨论距离（路程）问题时，可以踢开时间去讨论（因时间段上都有路程对应着）。
从0走到1,在这段距离,不管用多大速度,光速也行.都得经过这段距离的所有,再加速也一样.因为 1/2后有个1/4,再之后有个1/8......这些都得经过,就算用跳,也经过了这些距离,就算用光速,也经过这些距离.所以,不算是人还是光速,都走不完 1/2+1/4+1/8+1/16+.....因为 1/2+1/4+1/8+1/16+.....无限,其逻辑就是之没完没了,所以走不完.与人能走完1是两回事.所以根本不形成谬论.时间,速度再怎样变化它总对应着路程(距离),所以,只要距离这一项就能反映逻辑真相.又讨论时间又讨论路程反而有歧义会出现不必要的错误误导。
此悖论与飞矢不动不同，飞矢不动涉及时间、时刻、时间流速等问题。
怎么解释芝诺悖论
怎么解释芝诺悖论
嘿，你知道芝诺悖论不？这玩意儿可有意思啦！就好比你要去一个地方，明明感觉走一会儿就能到，可按照芝诺悖论的说法，你可能永远都到不了！
芝诺悖论里有个很经典的例子，就是那个阿喀琉斯追乌龟。
阿喀琉斯可是个超级厉害的大英雄啊，但芝诺就说，就算阿喀琉斯跑得比乌龟快好多好多，他也永远追不上乌龟！这咋听起来这么怪呢？
咱就想想啊，阿喀琉斯跑那么快，乌龟那么慢，按常理肯定能追上啊。
但芝诺就说了，当阿喀琉斯追到乌龟原来的位置时，乌龟又往前爬了一段；然后阿喀琉斯再追到新位置，乌龟又爬了一点。
这么一直下去，阿喀琉斯好像就真的永远追不上乌龟了。
哎呀，这不是扯嘛！
其实啊，芝诺悖论就是在玩一个时间和空间的小把戏。
它把整个过程无限细分，让你感觉好像真的追不上似的。
但咱在现实生活中，哪会这样啊！我们不会一直纠结在这一点点的细分里，而是直接就看结果，阿喀琉斯肯定能追上乌龟啊！
就像我们做事一样，有时候会遇到一些看似很复杂很无解的问题，但那可能只是我们把它想得太复杂了。
别被那些奇奇怪怪的理论给困住了，要大胆地向前冲！芝诺悖论虽然听起来很神奇，但咱可不能被它忽悠了呀！咱得有自己的判断力，知道啥是真的，啥是假的。
所以啊，芝诺悖论就是个让我们思考的小谜题，别太当真啦！。
芝诺悖论的由来追乌龟案例它到底错在哪里了？
芝诺悖论的由来追乌龟案例它到底错在哪里了？展开全文芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾经提出一个著名的悖论就是芝诺悖论，即提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，为此还提出一个追乌龟的案例，而芝诺悖论至今仍然被很多人讨论，芝诺悖论是从哪里来的呢？它到底错在哪里了？芝诺悖论是什么？芝诺悖论是古希腊数学家芝诺提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。
芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。
这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。
这些方法可以用微积分的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延，而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。
这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的分歧点。
芝诺悖论的由来：芝诺在五岁的时候，他父亲曾经考他：从他们家到外婆家有五公里路，他以每小时五公里的速度走，需要走多少时间？芝诺答是一个小时，父亲给他了一颗糖吃，因为他答对了。
然而十年后，这个问题却有了另外一种答案。
等芝诺十五岁时，父亲又拿这个问题问他。
芝诺认真思考后，告诉父亲：他永远也走不到外婆家。
父亲想当然地替他回答了原因：因为外婆已经去世，外婆家已经不存在。
但年少的芝诺说：“不，父亲，你这是偷换概念，不是在用数学说明问题。
”他说：“我可以把五公里一分为二，然后又把一分为二的五公里再一分为二，这样分下去、分下去，可以分出无穷个“一分为二”，永远也分不完。
既然永远分不完，你也就永远走不到。
”正是这样，芝诺创造了他流芳百世的悖论学。
芝诺悖论追乌龟案例：阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。
芝诺的四个悖论
3、芝诺的四个悖论第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论;希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑;乌龟说;如果它比阿基里斯先跑10米;那么阿基里斯永远都追不上它;因为只要阿基里斯跑了10米;这时乌龟就又多跑了几米;若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点;乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理;但要怎么说明为何如此呢第二个是二分法悖论;是说你永远不可能抵达终点;因为你为了抵达终点;必得先跑完全程的一半;而要跑到全程的一半;你又得跑完一半的一半……如此一来;你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑;因为若要起跑一小段距离;你就得移动那一小段距离的一半;似乎永远无法开步跑第三则是飞矢悖论;在任一时刻;飞矢会占据着与它同等长度的空间;就这个瞬间而言;飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动;那么飞矢应该一直不动..怎么可能如此飞矢应该不断往前飞啊第四是竞技场悖论;假设时间有最小不可分割的单位这是自古以来的基本假设;现在有3辆车子;在单位时间内;一号车向左移一个车身;二号车不动;三号车向右移一个车身;于是一号和三号便相差两个车身;那么一号和三号车在过程中相差一个车身时;需要花费基本单位元时间的一半;但这与基本的单位时间假设相冲突..林兹要阐释这四个芝诺悖论;所持的基本论点是;对运动中的物体而言;并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”;因为物体的位置会随时间不停地改变..他解释道︰“这样想应该比较能够理解;无论时间间隔多么小;或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢;它还是在运动状态中;位置还是不断在改变;因此;无论时间间隔有多短;运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事..”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家;在讨论运动的本质时;无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”;而林兹则认为;便是因为假设时间可以冻结在任一时刻;此时运动中的物体位在一个确定的位置上;因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立..林兹也指出;无论如何;某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示;不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说;如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟;这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间;以及10-10.0099999……秒之间..”因此;林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题..一位着名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外;不过他是对的..”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面;包括量子力学及霍金所建构的宇宙学..物理学的物质是量子论的;分到一定程度后;就得到了量子元;而量子元是不可再分的..物理学的物质能量有两种物理形式组成;一种是量化物质;即后面提到的电磁质量；一种是连续物质;这种物质是无限可分的;可以永无穷尽的分割下去;即后面提到的引力质量..量化物质和连续物质可以相互转化并且守恒不灭;这就与数学思想的有限和无限;局部无限和整体无限联系起来了..汤川秀树认为：在古代印度有将时间本身也作为“不知道它是什么实体”来考虑的倾向..并且;还同样地认为;时间也存在有不可分割的最小单位;将它称之为“刹那”..将这种“刹那”用今天的时间单位来度量的话;大约为十分之一秒……基本粒子理论今后进一步的发展;说不定会是古印度物质观的思想经过某种形式的复活吧..把印度的极微观与古希腊的原子论观点相比较;不难看出;前者要较后者更为接近现代科学的观点..。
芝诺悖论 阿基里斯追不上乌龟
结论： 阿基里斯只能无限接近乌龟，但永远追不上乌龟。
方程思想解答
假设乌龟的速度为a，则阿基里斯的速度为10a，设所需要的时间为x， 那么
10ax=ax+100， x=100a/9
既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说 阿基里斯永远也追不上乌龟呢？ 然而问题在这：我们有一个假定——那就是假定阿基里斯 最终是追上了乌龟，才求出的那个时间，这是初等数学的 解决办法（从结果推往过程）。 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上？上面说到无 穷个步骤实则难以完成·· ··
尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，加起来也 只是个常数而已——1秒。这就就是说：“芝诺悖论根本不存在。”
“芝诺时间”
芝诺悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远， 在于芝诺与我们采取了不同的时间系统—— 人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解 释则采取了离散的时间系统。换句话说，连续时间是离散 时间将时间间隔取为无穷小的极限。
假设阿基里斯的奔跑速度是10M/S, 乌龟是1M/S，乌龟先距离阿基里斯100M
阿基里斯跑完这100M需要10S，此时乌龟又跑了10M；
阿基里斯跑完这10M需要1S，此时乌龟又跑了1M； 阿基里斯跑完这1M需要0.1S，此时乌龟又跑了0.1M； 阿基里斯跑完这0.1M需要0.01S，此时乌龟又跑了0.01M； 阿基里斯跑完这0.01M需要0.001S，此时乌龟又跑了0.001M； 阿基里斯跑完这0.001M需要0.0001SM需要0.00001S，此时乌龟又跑了0.00001M； ..............................
芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
芝诺悖论——阿基里斯与乌龟悖论是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明，在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要．在数学中，我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面，例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的，但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它．那么芝诺的理由正确吗？如果阿基里斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？(见附录“阿基里斯与乌龟”的解答)欧布利德悖论与芝诺悖论希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙．他的见解是：一粒沙不能构成一堆沙，如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆．如果你没有一堆沙，那么即使给你加上一粒沙，也同样没有一堆，从而你永远不会有一堆沙．依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上．他断言，如果点是没有大小的，那么加上另一个点依然不会有大小．这样人们就绝不可能得到一个有大小的物体，因为这些物体是由点结合而成的．接着他进一步推断说，如果一个点有大小，那么一条线段就必然有无限的长度，因为它是由无穷数量的点所芝诺的悖论芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家,他曾提出过三个著名的诡辩，其中最具迷惑性的一个是"阿基里斯追不上乌龟"，大意如下：阿基里斯是希腊神话里跑得最快的人,但如果在他前面有一只乌龟(正从A点向前爬) ，他永远也追不上这只乌龟，理由如下：他要追上乌龟,必须要经过乌龟出发的地方(A点) ，但是在他追到这个地方的时候,乌龟又向前爬了一段距离,到了B点，他要追上乌龟,又必须经过B点，但当他追到B点的时候，乌龟又爬到了C点,他追到C点的时候,乌龟又到了D点 ......阿基里斯永远也追不上乌龟!!!这只是一个诡辩,当然是错误的,但你知道问题出在哪儿吗？意想不到的老虎公主: 父亲,你是国王.我可以和迈克结婚吗?国王: 我亲爱的,如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎,你就可以和他结婚.迈克必需顺次序开门,从一号门开始.他事先不知道哪个房间里有老虎,只有开了那扇门才知道.这只老虎将是料想不到的.迈克看着这些门对自己说---迈克: 如果我打开了四个空房间的门,我就知道老虎在第五个房间.可是,国王说我事先不可能知道它在哪里.所以老虎不可能在第五个房间里，五被排除了,所以老虎必然在其余的四个房间之一，那么在我开了三个空房间以后，又怎么样了?老虎必然在第四个房间里。
阿基里斯与龟悖论的极限问题
阿基里斯与龟悖论的极限问题
阿基里斯与龟悖论是一种思维实验，旨在探讨无限分割和极限的概念。
悖论的设想是，如果阿基里斯与一只乌龟进行赛跑，但是乌龟在起跑线前方的某个距离就先开始了，那么阿基里斯是否可以追上乌龟呢？
根据这个悖论，乌龟在起跑线前方的某个距离上开始，假设为1米。
当阿基里斯跑到起跑线时，乌龟已经前进了这段距离的一半，即0.5米。
然后，当阿基里斯跑到达乌龟当前所处的位置时，乌龟又前进了0.25米。
这个过程会一直持续下去，乌龟会一直在阿基里斯之前的位置上前进，只是每次前进的距离都会减半。
因此，根据这个推理，乌龟看起来永远都会在阿基里斯之前。
然而，这个悖论的关键在于无限分割的概念。
在数学中，我们可以使用极限来解决这个问题。
极限的概念是指随着操作的进行，逐渐逼近某个特定值。
在这个例子中，乌龟每次前进的距离会趋近于零。
根据极限的理论，当前进的距离趋近于零时，乌龟最终会被阿基里斯追上。
虽然阿基里斯需要无限次追赶，但乌龟总是会被追上。
这是因为在数学中，我们可以通过对无限个数的和进行求和，来得到一个有限的值。
在这个问题中，乌龟的前进距离可以表示为一个等比数列的和，而这个和是有限的。
通过阿基里斯与龟悖论，我们可以看到无限分割和极限的概念在数学中的重要性。
它们帮助我们解决了一些看似无解的问题，并且在现实生活中也有广泛的应用，例如物理学中的运动学和微积分中的积分等。
阿基里斯与龟悖论诠释
opinions about where the Achilles paradox is. The process of Zeno’s semantic understanding of Achilles paradox is
analyzed by logical deduction. By establishing the nature of parameter time，i. e. the relationship between natural time
乌龟的论断。
关键词： 阿基里斯悖论； 龟悖论； 无限操作； 自然时间； 芝诺时间
中图分类号： O171
文献标志码： B
文章编号： 1674 － 8646（ 2019） 12 － 0024 － 03
An interpretation of Achilles and turtle paradox
LIN Mei-ping，HUANG Jiang，SHI Wen-qing，XIE Yu-ping
时间总和是有限的。阿基里斯经过无限次这样的操作不能追上乌龟，但不能断论说阿基里斯经过无限的时间也不能追上乌龟，更
不能因此就得出阿基里斯永远追不上乌龟的结论。通过定量分析得知重复进行无限个操作不一定要用无限的时间来完成，芝诺分
析阿基里斯追乌龟的问题时就是因为看不到问题的本质，把无限的操作和无限的时间看作同一个概念而得出阿基里斯永远追不上
假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍，芝诺认为阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它，这就是芝诺的阿基里斯悖论。几
千年来，阿基里斯悖论成为一些智者，哲学家，语言学家甚至数学家研究和讨论的焦点。尽管如此，阿基里斯悖论到底“悖”在哪里
说法不一。从逻辑推导分析了芝诺对阿基里斯悖论的语义理解过程。通过确立参数时间的本性即自然时间与芝诺时间的关系，重
阿基里斯与龟悖论解释
阿基里斯与龟悖论解释
阿基里斯与龟悖论:
1、介绍
阿基里斯与龟悖论是一种古希腊哲学家之间的辩论，由亞里士多德的学生阿基里斯提出，有时也叫阿基里斯悖论。
该悖论主要表明：「一件事既不可能发生，也不可能不发生」是一个矛盾论点，无论如何不可能同时是真与假。
2、历史背景
阿基里斯与龟悖论诞生于古希腊，是由亞里士多德的学生阿基里斯提出的一种複雜的悖论，亞里士多德发表了许多关于自由意志的著作。
认为人的思想行动是受其自身决定的，而不是受外部力量的影响。
这一观点也被誉为先天主义。
另一方面，阿基里斯持有唯物论的观点，认为一切事物均受物端的影响。
3、悖论内涵
阿基里斯与龟悖论的核心观点是：既不可能出现某一行为，也不可能不出现某一行为。
即无论如何，不可能存在同时真与假的时限。
这一点满足了亚里士多德的自由意志观点，即任何人在每一时刻皆有一个
自由选择；然而，同时又抵触了阿基里斯的唯物主义观点，认为所有的行为均由外部“然而，如果另一种观点是正确的，那么自由意志也将无效。
这就是阿基里斯与龟悖论。
4、解释
综上所述，阿基里斯与龟悖论在哲学方面有许多定义，通常被视为介于先天主义和唯物主义之间的矛盾。
如果自由意志是正确的，那么外部力量就不会对人类行为产生影响，但是，如果唯物主义是正确的，那么人类的行为就只是受环境和其他的物质因素的影响。
因此，阿基里斯与龟悖论就是一种表明「既不可能发生，也不可能不发生」的悖论，无论如何都不可能同时为真和假。
阿基里斯与龟
阿基里斯与龟在《西方哲学史》中所提到的斯多亚学派中，有位名叫芝诺的哲人曾经通过一个很有意思的故事来阐述他的哲学理念，那个故事就是现在被当做经典数学悖论之一的阿基里斯追龟。
阿基里斯与乌龟赛跑，阿基里斯的速度是乌龟的50倍，而乌龟的起点则在阿基里斯之前。
对于这样一场赛跑的结果，芝诺认为阿基里斯是永远不能超越乌龟的。
他是这样来论证自己的观点的。
因为阿基里斯在比赛开始时就落后于乌龟一段距离，为了追赶乌龟，他必须先到达比赛开始时乌龟所处的位置，也就是跑出他与乌龟相距的这段距离，这显然需要花费一定的时间。
等到他到达原先乌龟所处的位置时，乌龟已经跑出了它在刚才阿基里斯用于到达它原先所处位置所花时间内可以跑的距离。
这个距离可能相当的短，但必定是在原先位置的前方的。
接着，阿基里斯为了追赶乌龟，又必须先到达乌龟跑到的新位置，每次到达乌龟的那个位置时，乌龟必定已经离开那个位置，到了一个更前方的位置。
这样看来，阿基里斯每次只是在跑乌龟曾跑过的路，因此永远也无法超越乌龟。
我记得第一次听到这种理论是在一年前的马哲课上，今天又在书里跟它相遇。
马哲课时老师只是向我们讲述了这样一个故事，而书上也只是站在芝诺的立场上解释了他提出这种理论的原因，并将它定义为一种逻辑悖论，但并没有详细分析它的矛盾点出在哪里。
而且在此之前，我也没有看过任何针对于这一理论而提出解答的资料，这样也好，在没有任何先入为主的思想导向下，正好可以得出一些真正属于我自己的东西。
我们看到这一种理论时，首先在直觉上觉得它是荒谬的，然而细想之下，又一时无法得出一套完备的理论驳斥它。
甚至照着它的思维想下去，也会觉得他所说的不无道理。
我们首先会认为它很荒谬的原因是，以我们传统的数学思维去想，假设阿基里斯的速度是10米每秒，乌龟的速度是0.2米每秒，他们之间相距10米的距离，那么在第2秒的时候，阿基里斯就早已超越了乌龟。
而按照芝诺的思维方式来，当阿基里斯跑出10米到达乌龟先前位置时，他花费了1秒钟，在这1秒内，乌龟则向前移动了0.2米，于是阿基里斯又要花0.02秒的时间去缩短这0.2米的差距，但0.02秒内，乌龟又向前移动了，尽管距离很短，但较前面那一点仍是向前了。
芝诺悖论的认识
芝诺悖论的认识芝诺悖论，又被称为亚基里斯与乌龟的悖论，是古希腊哲学家芝诺所提出的一个思维实验，用以展示一系列看似合理却导致矛盾的推理。
这个悖论在逻辑学和数学领域中产生了深远的影响，引发了人们对无限性和运动的思考。
在芝诺的悖论中，亚基里斯与乌龟进行了一场赛跑，亚基里斯被认为是最快的跑者，而乌龟被认为是最慢的。
为了公平起见，亚基里斯允许乌龟在比赛开始时领先一段距离。
然而，芝诺却提出了一个看似合理的问题：如果亚基里斯要追赶乌龟，他首先必须赶到乌龟领先的地点，而在他赶到那个地点之前，乌龟又会移动到另一个新的地点。
亚基里斯再次追赶乌龟，但乌龟又会移动到新的地点。
这个过程会一直重复下去，导致亚基里斯永远无法追上乌龟。
这个悖论的核心在于无限的分割和无限的迭代。
无论亚基里斯多么快，乌龟总是能够通过无限的迭代移动到一个新的位置，使得亚基里斯永远无法追上他。
这个悖论挑战了我们对运动和无限性的直觉，揭示了无限性的复杂性和矛盾之处。
芝诺悖论的认识在数学和哲学领域中引发了广泛的讨论。
在数学中，这个悖论揭示了无限性的奇妙之处，并推动了对无穷大和无穷小的研究。
在哲学中，这个悖论引发了对时间、运动和变化的思考，挑战了我们对现实世界的感知和理解。
除了数学和哲学，芝诺悖论还对日常生活和科学研究产生了影响。
在日常生活中，这个悖论提醒我们要审慎思考表面看似合理的推理，以避免陷入矛盾和谬误。
在科学研究中，这个悖论促使科学家思考和解决无限性和无穷小的问题，推动了科学的进步。
总的来说，芝诺悖论是一个引人深思的思维实验，它揭示了无限性和运动的复杂性和矛盾之处。
这个悖论在数学、哲学以及日常生活和科学研究中产生了广泛的影响。
通过思考芝诺悖论，我们可以更好地理解和探索无限性的奇妙之处，以及我们对现实世界的感知和理解的局限性。
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浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基
里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10
倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍
然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依
然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，
但他决不可能追上它。
此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10ˆ2X ，就这样无限的进行下去，
乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10ˆnX ，乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10ˆnX ≈0，但是1/10ˆnX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的.
然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10ˆnX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0.
对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10ˆnX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。
对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。
若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。
但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。
也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的，因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这A
X B
个问题。
若时空不是连续的，即量子性的，则时间和空间必存在一个最小量，设其分别为T0，P0，当A，B相距距离为P0时，而空间不可比P0小，因此B点不可能再前进比P0更小的路程，设A的速度是B的m倍，B前进P0所需时间为T0，当B每前进一个T0的时间，A，B间的距离将缩小（mv-v）T0=(m-1)vT0, 又因为总存在一个N（N为正整数），使得
N(m-1)vT0＞＝P0，即经过NT0的时间后A，B间距为N(m-1)vT0—P0＜＝0，此时A就追上了B，这与现实是相符的。