2012年天津市数学中考试题
探究“化矩为方”的剪拼中考题 探究化矩为方的剪拼中考题 定安县南海学校 张民化矩为方的剪拼问题是指将矩
探究“化矩为方”的剪拼中考题定安县南海学校张民“化矩为方”的剪拼问题是指将矩形经剪拼变换后，化成面积相等的正方形的问题．近几年的全国各省市的中考试题中出现了这方面的试题，还放在客观题的压轴题中，受到广大考生的热切关注．2011年天津市中考题第18题和2012年西宁市中考题第10题就是这样的试题．虽然，它们的命题的要求和题型不同，但它们所反应的就是“化矩为方”的问题．这两题分别从剪拼的图形操作与正方形边长的计算两个侧面提出问题，解答都具有一定的难度．那么，这两题之间是否互相关联？“化矩为方”是否有一般规律可循呢？这正是本文想要回答的问题．“化矩为方”问题涉及到图形面积的计算、相似三角形的知识，勾股定理与射影定理的应用，解一元二次方程问题以及实际作图操作问题等．因此，它考核的知识面比较广，思维层次比较高，实际作图操作的能力也要求较强，它还可以与中国古代名题“赵爽弦图”相联系，所以它很受命题者的青睐．一、试题回放及解法探究１．2011年天津市中考题第18题［题目］如图１，有一张长为５，宽为３的矩形纸片ＡＢＣＤ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．（１）该正方形的边长为＿＿＿＿（结果保留根号）；（２）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线并简要说明剪、拼的过程．解析：作为填空题，本题的考试形式十分新颖．第（１）小题容易得到答案，但第（２）小题要正确解答却较困难．命题者的意图是要考查学生综合运用知识解决问题的能力、考察学生动手画图操作的水平．此题的第（１）小题，很容易由面积不变，求得所拼得的正方形的边长为，但是，如何在图中作出，并且只能用两条裁剪线却比较难做到．（１）；［设拼接的正方形的边长为ｘ，由题意得，ｘ２＝３×５＝15 ，解得ｘ＝］（２）根据题意，所求正方形的边长为，因此解决此题的关键是要先剪出两条长度为，且互相垂直的线段作为所求正方形的相邻两边．这里首先要作出长度等于的线段，再作裁剪线．①作出长度等于的线段．这里介绍两种不同的作法：一种是直接利用勾股定理作图．如图２所示，在边ＡＤ上取ＡＭ＝１，然后以Ｍ为圆心、长度４为半径画弧，交边（图１）A BCD（图２）A BCD·MN〕〕GFKEＡＢ于点Ｎ，则ＡＮ＝＝；另一种是利用直角三角形的射影定理作图．如图３所示， 在边ＡＢ上取ＡＭ＝ＡＤ＝３，过点Ｍ作ＨＭ⊥ＡＢ，交边 ＤＣ于点Ｈ，以ＡＢ的中点Ｏ为圆心、 ＡＢ为半径作半圆， 交ＭＨ于点Ｎ，则ＡＮ＝＝＝．②画出裁剪线ＡＫ、ＢＥ．以Ａ为圆心、ＡＮ为半径画 圆弧，与边ＤＣ交于点Ｋ，显然ＡＫ＝，是其第一条裁剪线；再过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＫ，垂足 为 Ｅ，由 △ＡＢＥ∽ △ＫＡＤ，得＝，∴ ＢＥ＝＝．这ＢＥ就是所求的第二条裁剪线．先沿ＡＫ线剪第一刀，再 沿ＢＥ线剪第二刀．③如图２（或图３），平移△ＡＢＥ至△ＫＧＦ，再平移△ＡＤＫ至△ＢＣＧ． 则由此拼接成的四边形ＢＥＦＧ即为所求作的正方形． 这里需说明的一点是，利用射影定理求作 比例中 项 ｘ＝，还有另外一种作法：即 在 ＢＡ的延长线上取 ＡＭ＝ＡＤ＝３，然后以 ＭＢ为直径作半圆，交ＡＤ 的延 长线于点Ｎ， 则ＡＮ＝＝，即为所求正方形的边长．２．2012年西宁市中考题第10题［题目］ 如图４，将矩形沿图中虚线（其中ｘ＞ｙ）剪成四块图形，用这四块图形恰好能拼一个正方形．若ｙ＝２，则ｘ值等于（ ）． Ａ．３ Ｂ．２ －１Ｃ．１＋Ｄ．１＋解析：由题意可尝试画出符合条件的正方形图形，如图５ 所示．根据图４中矩形面积与图５中正方形的面积相等，即可 得 （ｘ＋ｙ）ｙ＝ｘ２， 即 ｘ２－ｙｘ－ｙ２＝０， 解关于ｘ的方程，得 ｘ＝（１±）．将ｙ＝２代入， 即得 ｘ1＝１＋ ，（∵ｘ2＝１－＜０,故舍去）．故本题答案应选Ｃ．解答本题时，能较准确地画出符合要求的正方形，并能确定正方形的 边长是解决问题的重点与关键．然而在解答完本题后，我们自然会问，如 何对图４中的矩形进行分割呢？即怎样在矩形长边上画出线段ｘ的长呢？ 下面给出一种作图，仅供参考． 由勾股定理，＝，如图６，在矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ上，取ＡＰ＝１，连接ＤＰ，∵ 已知ＡＤ＝２， ∴ ＡＰ＝＝＝．（图3）ABCD· N〕GFK EMH O （图４）xxx - yx - yy yyy （图５）x - yx - yx - yx - yy yyx再在ＰＢ上截取ＰＭ＝ＰＤ，则ＡＭ＝１＋ ． 所以 ＡＭ即为所求的正方形边长ｘ．连接矩形对角线ＡＣ（这是第一条裁剪线），过点Ｍ作 ＭＮ⊥ＡＢ，交ＡＣ于点Ｎ；在ＣＤ边上截取ＣＥ＝ＡＭ ＝ｘ，过点Ｅ作 ＥＦ⊥ＣＤ，交 ＡＣ于点Ｆ，则 ＭＮ 与 ＥＦ就分别为另外两条裁剪线．这样连剪三刀，可将原矩 形裁剪成四块，再按图５的式样拼接，即可拼成一个与原 矩形面积相等的正方形．二、规律探索前面我们对2011年天津市和2012年西宁市的“化矩为方”中考题作了回放与解法探究，下面再就任意一个矩形的“化矩为方”问题作进一步的探索．已知矩形ABCD 中，ＡＤ＝ＢＣ＝ａ，ＡＢ＝ＤＣ＝ｂ，且ａ≤ｂ， 如图７所示．问题是：要求在有限步内，将该矩形剪拼成面积相等的正方形． 情况１：若ａ＝ｂ，显然 矩形 ABCD 已经是 正方形，乃无需进行 剪拼．情况２：若ａ＜ｂ，则需对矩形ＡＢＣＤ进行剪拼 应如何施行呢？ 首先，如图８，在射线ＤＣ上取一点Ｋ，使ＤＫ＝ ．∵＜＜＝ｂ， ∴ ＤＫ＜ＤＣ，即点Ｋ在线段ＤＣ上，且不与点Ｄ、点Ｃ重合．此时AK ＝ ＝＝（这正是所求正方形的边长）．过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＫ，垂足为Ｅ，易证 △ＡＢＥ∽△ＫＡＤ，∴＝＝， ∴ ＢＥ＝＝＝．ＡＥ＝＝＝＝·．下面需分几种情况予以讨论： （１）当ａ＜ｂ≤２ａ时，ＡＥ＝·≤·＝＝ＡＫ，表明点Ｅ在线段ＡＫ上，且不与点Ａ重合，即线段ＢＥ在矩形ＡＢＣＤ的内部，2011年天津题就是这种情况．此时，剪拼 方法如图９所示：先沿ＡＫ线剪第一刀，再沿ＢＥ线剪第二刀， 然后将区域⑴平移到区域①，区域⑵平移到区域②，即可将矩形 ABCD 拼接成面积相等的正方形BEHG （证明略）．这里要特别指出的是，当ｂ＝２ａ时，剪拼方法将会更特殊 和简单一些，留给读者自己完成． （２）当２ａ＜ｂ≤５ａ时，ＡＥ＝·＞·＝＝ＡＫ，表明点Ｅ在线段ＡＫ的延长线上．由BE ⊥AK 可知，∠ＡＢＥ＝90°－（图７）BCDAab（图８）BCDAKEab（图９）BC D AKEab HG(1) ①(2)②（图６）x x x - yx - yyyyy ABC D ME N F· ⌒ ⌒ P∠ＥＡＢ＝∠ＤＡＫ＜90°，此时线段ＢＥ一部分在 矩形ＡＢＣＤ内部，一部分在矩形ＡＢＣＤ的外部，如 图１０所示．在线段ＡＥ上取一点H ，使得ＥＨ＝ＡＫ， 并过H 作ＦＨ⊥ＡＫ，交ＡＢ于点Ｆ．设ＢＥ交ＤＣ 于点Ｍ，易证得 △ＡＨＦ≌△ＫＥＭ．此时，剪拼方法如图１０所示：先沿ＡＫ线剪第一 刀，沿ＢＭ线剪第二刀，再沿ＦＨ线剪第三刀，然后将 区域⑴平移到区域①，区域⑵平移到区域②，区域⑶平 移到区域③，即可将矩形ABCD 拼成面积相等的正方形 ＢＥＨＧ（证明略）．这里需指出下面两种特殊情况：一是，当ｂ＝４ａ时，此时剪拼方法十分特殊，只需剪一刀就可拼成一个面积相等的正方形，这里不再展开叙述，留于读者自己思考完成；二是，当ｂ＝５ａ时，除掉可用上面的一般方法外，还可以通过剪四刀（或以上多刀），拼成一个“赵爽弦图”（正方形），这问题我们将在下面的篇幅中予以探讨．（３）当ｂ＞５ａ时，此时长宽比大于５，若能将此矩形先剪拼成“１≤长宽比≤５”的矩形，那么就可转化成前面已讨论的情形，最终剪拼成一个面积相等的正方形．事实上，将“长宽比大于５”的矩形沿其两长边中点的连线剪开，可拼成一个新矩形，那么新矩形的长宽比就可缩小４倍，因此，只需经过若干次的“沿两长边中点的连线剪开”的方法进行剪拼，总可得到一个“１≤长宽比≤５”的新矩形，最后，总可以按上面讨论的情况１或情况２的裁剪方法，将任何矩形剪拼成面积相等的正方形．三、相关连接 １．“赵爽弦图”我国古代数学家赵爽利用“弦图（或称勾股圆方图）”（如图１１）巧妙地证明了勾股定理，其证法之优美、精巧，令人叹为观止，它是证明勾股定理最著名的证法之一．特别是“弦图”一图蕴含两种证法更是举世无双，充分体现了我国古代的数学文明和数学文化，因此，2002年在北京召开的第２４届国际数学大会为了纪念他，特意将“弦图”作为会标，这是中国人的智慧与 骄傲．近几年的中考试题中“赵爽弦图”备受青睐．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的，它们的斜边围成一 个大的正方形，中间也形成一个小的正方形，这就是说，大的正方形是由 四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的．因此，我们联系“化 矩为方”的问题，不妨会问：能否用一个矩形剪拼成“赵爽弦图”呢？回 答是肯定的．让我们先看下面的问题：［问题一］现有长为6.5 cm ， 宽为２ cm 的矩形ＡＢＣＤ，如何将它 剪拼成面积相等的一个“赵爽弦图”（正方形）？解析：设拼成的正方形边长为ｘcm ，根据面积相等，即求得 ｘ＝＝A BCDKE H (1) (2)(3)①②③G（图10）MF（图１１）（ｃｍ）．因此，可采用勾股定理画出线段ｘ的长． 具体剪拼方法如图12所示：（Ⅰ）在长边ＡＢ上取ＡＥ＝ＥＨ＝３，分别过点 Ｅ、Ｈ，作ＥＦ⊥ＡＢ交ＤＣ边于Ｆ，作ＦＧ⊥ＡＢ， 交ＤＣ边于Ｇ，这样将原矩形ABCD 分割三个小矩形： 矩形AEFD ，矩形EHGF 和矩形ＢＣＧＨ； （Ⅱ）取ＨＧ的中点P 、ＢＣ的中点Ｑ，再分别连 接ＤＥ、ＥＧ与ＰＱ；（Ⅲ）沿ＥＦ线、ＨＧ线剪第一刀、第二刀；再沿 ＤＥ线、ＥＧ线剪第三刀、第四刀；最后沿ＰＱ线剪 第五刀，这样把原矩形剪成４个直角三角形和两个小 矩形，如图１２；（Ⅳ）如图１２所示，△ＤＥＦ原地不动，将区域⑴移动放置于区域①，区域⑵移动放置于区域②，区域⑶移动放置于区域③，再分别把区域⑷、⑸移动放置于区域④、⑤．这样四边形ＤＥＭＮ就是所要拼接的“赵爽弦图”（证明略）．问题一将一个特殊的矩形（长为6.5 cm ，宽为２cm ）剪五刀，拼接成一个“赵爽弦图”．那么还有没有其他特殊的矩形也能拼成如是的“赵爽弦图”呢？前面已提及的长宽比等于５的矩形只需剪四刀就可实现．即有下面的问题二．［问题二］ 如图１３，矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＤ＝ＢＣ＝ａ，ＡＢ＝ＤＣ＝ｂ＝５ａ，请在此矩形中，剪拼出一个面积相等的“赵爽弦图”． 由于此矩形的面积为５ａ２，所以所求等积的 正方形的边长为ｘ＝ａ．∵ ｘ＝ａ＝，∴ “弦图”中的直角三角形的直角边分别是ａ与 ２ａ．于是本题完全可以 仿 照 上面 问题一的剪拼 方法施行，在此就不再展开叙述，留于读者自己动 手完成吧！问题一与问题二都是将一个矩形剪拼成一个等积的“赵爽弦图”，这也正是我们需介绍的另外一种“化矩为方”的剪拼方法．这里再给出分别为５cm×４cm 与12 . 5cm×8 cm 的两个矩形，请作图尝试一下，是否也可把它们剪拼成“赵爽弦图”？留给读者自己动手实践实践！２．2009年安徽省中考题第20题［试题］ 如图１４，将正方形沿图中虚线（其中ｘ＞ｙ）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．（图１２）(1) (2)(3)(4)(5) ①② ③④ ⑤AB CD EF G H MN2330.5↑ ＰＱABCD (图１３)a b=5a（１）画出拼成的矩形的简图； （２）求的值．解析：（１）观察图中四块各边之间的对应关系，寻找哪两个能拼在 一起．根据题意，拼成的矩形简图如图１５所示．将图１４中的区域①、 ②、③、④分别移至图１５中区域⑴、⑵、⑶、⑷． （２）解法一：由拼接前后两个图形的面积相等得， ［（ｘ＋ｙ）＋ｙ］ｙ＝（ｘ＋ｙ）２， 整理得 ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝０ ． ∵ ｙ≠０， 即有 （）2＋－１＝０，解得要＝（ ∵＝ ＜０，∴ 舍去 ）．解法二：由拼成的矩形可知，即以对角线分开的直角三角 形中的两个大小直角三角形相似， ∴ 有＝． 整理得 ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝０，解得 ｘ＝，因 ｘ＝ ＜０，故舍去．所以 ｘ＝( －１）， 即＝．这道2009年的安徽省中考题与2012年西宁市中考题十分相似，仅是图形互相倒一下，所要求的问题稍稍改变了一点，实质上是非常雷同的，它们也正反映了“化矩为方”的另外一种剪拼方法．但这里需要说明的是，先需确定矩形的长［ 如在西宁市的试题 中，先由 ｘ＝ （１＋），画出线段ｘ ，再 由ｘ＋ｙ，求得矩形的长 ］，然后才能根据此矩形作出题中的裁剪线，再进行剪拼．（完）（图１５）⑴ ⑵⑶⑷（图１４）xxxxyyyy① ①y ①②③ ④。
【中考12年】天津市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题9 三角形
2001-2012年某某市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（某某市2002年3分）sin450的值等于【】（A）12（B）22（C）32（D）1【答案】B。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45°=22。
故选B。
2.（某某市2002年3分）如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=360，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有【】（A）6个（B）7个（C）8个（D）9个【答案】D。
【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质。
【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断即可：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，且∠ABC=∠ACB=00180362=72°。
∵BD是∠ABC的角的平分线，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°=∠A。
∴AD=BD。
∴△ADB是等腰三角形。
同理，△AEC是等腰三角形。
∵∠DBC=36°，∠ACB=72°，∴∠BDC=180°－72°－36°=72°=∠ACB。
∴BD=BC。
∴△BDC是等腰三角形。
同理，△BCE是等腰三角形。
∵∠FBC=∠FCB=36°，∴BF=CF。
∴△BCF是等腰三角形。
∵∠BEF=∠BFE=∠CDF=∠CFD=72°，∴BE=BF，CD=CF。
∴△BEF，△CDF是等腰三角形。
∴共8个等腰三角形。
故选D。
3.（某某市2003年3分）sin30°的值等于【】（A）12（B）22（C）32（D）1【答案】D。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】根据特殊角的三角函数值直接作答：sin30°=12。
【中考12年】天津市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质
2001-2012年某某市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（某某市2002年3分）已知a b c ，，均为正数，且===a b c k b c c a a b+++，则下列4个点中，在反比例函数=ky x图象上的点的坐标是【 】 （A ）11 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，（B ）()1 2，（C ）11 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）()1 1-， 2.（某某市2003年3分）已知，如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过【 】（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B 。
【考点】一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系。
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与x 轴交点横坐标的符号判断出a b c ，，的正负情况，再由一次函数的性质解答：由二次函数图象开口向上可知a ＞0； 对称轴02b<a-，得b ＞0； 与x 轴交点横坐标的符号为一正一负，即0c<a，得0c <。
∴一次函数y ax bc =+的a ＞0，0bc <。
∴一次函数y ax bc =+的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
故选B 。
3.（某某市2004年3分）已知二次函数 2=y ax bx c ++，且a ＜0，a b c -+＞0，则一定有【 】 （A ）24b ac -＞0 (B) 24b ac -=0 (C) 24b ac -＜0 (D) 24b ac -c ≤0 【答案】A 。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】∵a ＜0，∴抛物线的开口向下．。
∵a b c -+＞0，∴当x =－1时，y =a b c -+＞0，画草图得：抛物线与x 轴有两个交点，∴24b ac -＞0。
故选A 。
4.（某某市2007年3分）已知二次函数2y ax bx c(a 0)=++≠的图象如图所示，有下列5个结论： ① abc 0>；② b a c <+；③ 4a 2b c 0++>；④ 2c 3b <；⑤ a b m(am b)+>+，（m 1≠的实数）其中正确的结论有【 】A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C 。
2012中考数学试题及答案
2012中考数学试题及答案2012年中考数学试题是每年中学生们备战中考的重要资源之一。
在本篇文章中，我们将为您提供2012年中考数学试题及答案，帮助您更好地了解试题的类型和解题方法。
1. 选择题：A. 单项选择题：1. 若一个扇形的半径为8 cm，弧长为12 cm，则该扇形的圆心角为：A) 45° B) 60° C) 90° D) 120°解析：我们知道，扇形的圆心角等于扇形所对的圆心弧的度数，而弧长占的圆周长的比值就是扇形的圆心角占的整圆的比值。
因此，设该扇形的圆心角为x，则12cm/2πr = x/360°。
代入r=8 cm，解得x = 90°。
所以答案选C。
2. 若x+2 = 5，则x的值为：A) 5 B) 3 C) 4 D) 7解析：将x+2=5两边同时减去2，得x=3。
所以答案选B。
B. 完形填空：下面是一道完形填空题，请根据上下文和所给选项，选择最佳答案。
Jonas felt nervous as he 1 to the front of the classroom. His legs feltweak and shaky. He could hear his classmates 2 softly to each other, but the teacher's 3 was low and pleasant. He looked out at the rows of faces, all ofthem 4 at him. His heart was pounding, and he felt as if he could hardly breathe. But he liked that 5 . It made him feel alive.1. A) went B) go C) was going D) is going2. A) talk B) talked C) were talking D) talking3. A) voice B) noise C) sound D) words4. A) lay B) sat C) stood D) walking5. A) situation B) idea C) feeling D) chance解析：根据上下文，我们可以知道Jonas走到了教室前面，所以选项A) went符合语境。
2012年中考数学分类解析(159套63专题)专题54_图形的旋转变换
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题54：图形的旋转变换一、选择题1. （2012天津市3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900，所得图形一定与原图形重合的是【 】（A ）平行四边形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）正方形 【答案】D 。
【考点】旋转对称图形【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形。
故选D 。
2. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A ．πB ．．3+42π．11124π【答案】D 。
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD 计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=12AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。
∴AC =∴AB C 1S B C A C 22∆=⨯⨯=设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC=DC，∴△BCD 是等边三角形。
∴BD=CD=1。
∴点D 是AB 的中点。
∴AC D AB C 11S S 2224∆∆==⨯=S 。
∴1AC D AC A BC D ABC S S S ∆∆=++扇形扇形的面扫过积26013113603604464124ππππ⨯⨯=+=++=+故选D 。
3. （2012广东汕头4分）如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【 】A ．110° B．80° C．40° D．30° 【答案】B 。
2012年天津市中考数学试卷-答案
【解析】解；袋中球的总数为： ，取到红球的概率为：
【提示】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【考点】概率公式．
14.【答案】
【解析】“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是： （答案不唯一）．
【提示】根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可．
B．乡村公路总长为 （km），故本选项错误；
C．汽车在乡村公路上的行驶速度为 （km/h），故本选项正确；
D． （h），故该记者在出发后5（h）到达采访地，故本选项错误．
【提示】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．
【考点】函数的图象．
10.【答案】C
【解析】一元二次方程 化为一般形式得： ，∵方程有两个不相等的实数根 、 ，∴ ，解得： ，故选项②正确；
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
18.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C．D的位置，使 cm，画射线AD，此时 即为所求的 ．
【考点】中心对称图形．
3.【答案】C
【解析】 ．
【提示】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值是易错点，由于560000有6位，所以可以确定 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
4.【答案】B
【解析】∵ ，∴ ．
【提示】利用“夹逼法”得出 的范围，继而也可得出 的范围．
【考点】估算无理数的大小．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
zl-天津市2001-2012年中考数学试题分类去答案
专题：相似三角形、锐角三角函数一、选择题1.（天津市2002年3分）sin450的值等于【 】（A ）12 （B ）2 （C ）2（D ）1 2.（天津市2002年3分）如图，在ΔABC 中，AB=AC,∠A=360，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有【 】（A ）6个 （B ）7个 （C ）8个 （D ）9个3.（天津市2003年3分）sin30°的值等于【 】（A ）12 （B ）2 （C （D ）1 4.（天津市2004年3分）2Sin450的值等于【 】(A) 1 （5.（天津市2004年3分）如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A =36°，BD 为∠ABC 的平分线，则ADAC的值等于【 】(A)12 （B （D 6.（天津市2005年3分）tan45°的值等于【 】(A)12 （B) 2(C) 2 (D) 17.（天津市2005年3分） 如图，若正△A 1B 1C 1内接于正△ABC 的内切圆，则11A B AB的值为【 】(A)12 （B ）2(C) 13 （D ）3 8.（天津市2006年3分） tan30°的值等于【 】(A)12 （9.（天津市2006年3分） 如图，AB//CD ，AE//FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形【 】（A ）4对 (B) 5对 (C) 6对 (D)7对10.（天津市2006年3分）如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE≌△DCB； ② CM＝CN ；③ AC＝DN 。
其中，正确结论的个数是【 】(A) 3个 （B ）2个(C) 1个 （D ）0个 11.（天津市2007年3分）45cos 45sin 的值等于【 】A. 2B.213+ C. 3D. 112.（天津市2007年3分）下列判断中错误．．的是【 】 A. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等C. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等14.（天津市2008年3分） 60cos 的值等于【 】 A ．21B ．22 C ．23 D ．115.（天津市2009年3分）2sin 30°的值等于【 】A ．1BCD ．216.（天津市2009年3分）在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为【 】 A ．8，3 B ．8，6 C ．4，3 D ．４，6 17.（天津市2010年3分）sin 30︒的值等于【 】（A ）12（B （C （D ）118.（天津市2011年3分）sin45°的值等于【 】（A)12(B)2 (C) 2(D) 119. （2012天津市3分）2cos60︒的值等于【 】（A ）1 （B （C （D ）2 二、填空题1. （2001天津市3分）如图，△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC 于D ，DE⊥AB 于E ，∠AFD=158°，则∠EDF 等于 度。
中考数学试题分类汇编：图形的平移变换
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题53：图形的平移变换一、选择题1. （2012陕西省3分）在平面直角坐标系中，将抛物线2y x x 6=--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m 的最小值为【 】A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B 。
【考点】二次函数图象与平移变换【分析】计算出函数与x 轴、y 轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向：当x =0时，y =－6，故函数与y 轴交于C （0，－6），当y =0时，x 2－x －6=0， 解得x =－2或x =3，即A （－2，0），B （3，0）。
由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m |的最小值为2。
故选B 。
2. （2012广东广州3分）将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【 】A ．y =x 2﹣1 B ．y =x 2+1 C ．y =（x ﹣1）2D ．y =（x +1）2【答案】A 。
【考点】二次函数图象与平移变换。
【分析】根据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加。
上下平移只改变纵坐标，下减上加。
因此，将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y =x 2﹣1。
故选A 。
3. （2012浙江义乌3分）如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为【 】A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】C 。
【考点】平移的性质。
【分析】根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。
又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。
故选C。
4. （2012浙江绍兴4分）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，﹣1）处，则此平移可以是【】A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位【答案】B。
天津市2012年中考数学真题试题(带解析)
2012年中考数学精析系列——天津卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）（2012天津市3分）2cos60 的值等于【】（A）1 （B（C（D）2【答案】A。
【考点】特殊角的三角函数值。
【分析】根据cos60°=12进行计算即可得解：2cos60°=2×12=1。
故选A。
（2）（2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D都不符合中心对称的定义。
故选B。
（3）（2012天津市3分）据某域名统计机构公布的数据显示，截至2012年5月21日，我国“.NET”域名注册量约为560 000个，居全球第三位．将560 000用科学记数法表示应为【】（A）560×103（B）56×104（C）5.6×105（D）0.56×106【答案】C。
【考点】科学记数法。
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。
在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。
当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。
560 000一共6位，从而560 000=5.6×105。
故选C。
（4）（2012天津市3的值在【】（D）（C）（B）（A）（A）2到3之间（B）3到4之间（C）4到5之间（D）5到6之间【答案】B。
【考点】估算无理数的大小。
【分析】利用”夹逼法“得出的范围：∵4 ＜6 ＜ 9 23<。
2012年天津中考数学真题卷含答案解析
2012年天津市初中毕业生学业考试试卷数学2A(满分:120分 时间:100分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2cos 60°的值等于( )A.1B.√2 C .√3 D .22.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是( )3.据某域名统计机构公布的数据显示,截至2012年5月21日,我国“.NET ”域名注册量约为560 000个,居全球第三位.将560 000用科学记数法表示应为( ) A.560×103B.56×104C.5.6×105D.0.56×1064.估计√6+1的值在( )A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间5.为调查某校2 000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机抽取部分学生进行调查,并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图.根据统计图提供的信息,可估算出该校喜爱体育节目的学生共有( )A.300名B.400名C.500名D.600名6.将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°,所得图形一定与原图形重合的是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形7.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图是()8.如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE 为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为()A.√3-1B.3-√5C.√5+1D.√5-19.某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访,全程的前一部分为高速公路,后一部分为乡村公路.若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(单位:km)与时间x(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论正确的是()A.汽车在高速公路上的行驶速度为100km/hB.乡村公路总长为90kmC.汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/hD.该记者在出发后4.5h到达采访地10.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②m>-14;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是()A.0B.1 C.2 D.3第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.|-3|=.12.化简x(x-1)2-1(x-1)2的结果是.13.袋子中装有5个红球和3个黑球,这些球除了颜色外都相同.从袋子中随机地摸出1个球,则它是红球的概率是.14.将正比例函数y=-6x的图象向上平移,则平移后所得图象对应的函数解析式可以是(写出一个即可).15.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,点D为☉O上一点,若∠CAB=55°,则∠ADC的大小为(度).16.若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面积为.17.如图,已知正方形ABCD的边长为1,以顶点A、B为圆心,1为半径的两弧交于点E,以顶点C、D为圆心,1为半径的两弧交于点F,则EF的长为.∠MAN.18.“三等分任意角”是数学史上一个著名问题.已知一个角∠MAN,设∠α=13(Ⅰ)当∠MAN=69°时,∠α的大小为(度);(Ⅱ)如图,将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1cm的网格中,角的一边AM与水平方向的网格线平行,另一边AN经过格点B,且AB=2.5cm.现要求只能使用带刻度．．．的直尺,请你在图中作出∠α,并简要说明作法(不要求证明).三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(本小题6分)解不等式组{3x+1>x+3,2x-1<x+1.20.(本小题8分)(k为常数,k≠1).已知反比例函数y=k-1x(Ⅰ)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值;(Ⅱ)若在其图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围;(Ⅲ)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.2B21.(本小题8分)在开展“学雷锋社会实践”活动中,某校为了解全校1200名学生参加活动的情况,随机调查了50名学生每人参加活动的次数,并根据数据绘成条形统计图如下:(Ⅰ)求这50个样本数据的平均数、众数和中位数;(Ⅱ)根据样本数据,估算该校1200名学生共参加了多少次活动.22.(本小题8分)已知☉O中,AC为直径,MA、MB分别切☉O于点A、B.(Ⅰ)如图①,若∠BAC=25°,求∠AMB的大小;(Ⅱ)如图②,过点B作BD⊥AC于点E,交☉O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小.23.(本小题8分)如图,甲楼AB的高度为123m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为45°,测得乙楼底部D处的俯角为30°,求乙楼CD的高度(结果精确到0.1m,√3取1.73).24.(本小题8分)某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式(详情见下表).月使用主叫限主叫超时被叫费/元定费/(元/分)时间/分方式一581500.25免费方式二883500.19免费设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分(t为正整数),请根据表中提供的信息回答下列问题:(Ⅰ)用含有t的式子填写下表:t≤150150<t<350t=350t>350方式一计费/元58108方式二计费/元888888(Ⅱ)当t为何值时,两种计费方式的费用相等;(Ⅲ)当330<t<360时,你认为选用哪种计费方式省钱(直接写出结果即可).25.(本小题10分)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B'和折痕OP.设BP=t.(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB'上,得点C'和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C'恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).2012年天津市初中毕业生学业考试试卷一、选择题,所以2cos60°=1,故选A.1.A因为cos60°=12评析考查学生特殊角的三角函数值的掌握情况,熟记特殊角的三角函数值是解答关键. 2.B因为只有选项B中的图形绕着某一点旋转180°后可以与它本身重合,所以按照中心对称图形的定义,知选B.3.C对于绝对值大于等于1的实数,科学记数法a×10n中,1≤|a|<10,n比原数的整数位数少1,故选C.4.B√4<√6<√9,故2<√6<3.故3<√6+1<4,故选B.评析本题考查学生对根式形式的无理数取值范围的估算能力.5.B由扇形统计图中其他四项所占的百分比可以求出喜欢体育类节目的人数所占的百分比为100%-30%-10%-5%-35%=20%,2000×20%=400,故选B.评析本题考查学生从扇形统计图中获取信息的能力和用样本估计总体的数学思想.6.D平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,只有正方形的对角线互相平分、相等且垂直,故只有正方形绕其对角线交点逆时针旋转90°能与自身重合,故选D.7.A根据三视图的定义以及画三视图时对三种视图的位置要求,只有A选项正确,故选A.8.D正方形ABCD的边长为2,M为AD的中点,故MD=1,在Rt△MDC中,根据勾股定理可得MC=√5,因为ME=MC,故ME=√5,DE=√5-1,因为四边形DEFG是正方形,所以DG=DE=√5-1,故选D.9.C在函数图象中,直线的倾斜度越大,说明汽车的速度越大.由图象可得:高速公路为前180 km,汽车在高速公路上行驶了2小时,故汽车在高速公路上的速度应为90km/h,故A错.高速公路长180km,总长为360km,所以乡村公路应该也为180km,故B错.从图象中可以明显地看出,汽车在乡村公路上行驶90km用了1.5小时,故汽车在乡村公路上的速度为60km/h,故C正确.行驶了270km,后边还剩90km,以60km/h的速度行驶还需要1.5小时,故记者从出发到达采访地共需要5小时,所以D选项也是错误的.故选C.评析本题考查的是学生从函数图象中获取信息的能力以及速度、时间、路程的有关计算.10.C很明显,①只有在m=0的时候才成立.根据题意可得,方程(x-2)(x-3)=m的判别式大于零,解得m>-14,故②正确.整理y=(x-x1)(x-x2)+m可得,y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,整理(x-2)(x-3)=m 得,x2-5x+6-m=0,根据根与系数的关系可得,x1+x2=5,x1x2=6-m,把这两个式子代入函数式y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m得y=x2-5x+6,令y=0,得方程x2-5x+6=0,解方程可得,x1=2,x2=3.即得二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m与x轴的交点坐标为(2,0),(3,0),故③正确.两个结论正确,故应该选C.评析本题综合考查了一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数的关系、二次函数图象和x轴交点坐标等多个知识点.属较难题.二、填空题11.答案3解析因为负数的绝对值是它的相反数,故填3.12.答案1x-1解析x(x-1)2-1(x-1)2=x-1(x-1)2=1x-1.13.答案58解析根据概率的定义可得,摸出的球是红球的概率为58.14.答案y=-6x+1(答案不唯一,可以是形如y=-6x+b,b>0的一次函数)解析y=kx+b的图象的位置由k、b的正负决定,k表示直线的倾斜方向,k值相同的直线互相平行,因为是平移,故k值还是-6,b表示直线与y轴交点的纵坐标,因为是向上平移,故直线与y轴交点在y轴的正半轴上,所以b值取任意的一个正数都可以.评析本题重点考查一次函数的图象中k、b的几何意义.15.答案35解析因为AB是圆的直径,故∠ACB=90°,因为∠CAB=55°,所以∠CBA=35°,又因为∠ADC 和∠CBA是同一条弧所对的圆周角,故∠ADC=∠CBA=35°.16.答案24√3解析连结正六边形中心与六个顶点,把正六边形分成六个全等的三角形,每一个三角形都×42=4√3,故正六边形的面积为是边长为4的正三角形,每一个正三角形的面积S=√344√3×6=24√3.评析本题重点考查“把求正六边形的面积转化为求正三角形的面积”这一做题技巧,多边形的问题经常会转化成三角形的问题来解决,此技巧是数学中转化思想的具体体现.17.答案√3-1解析连结EA、EB,则△EAB是边长为1的正三角形,延长EF交AB于点G,根据圆及正三,连结FC、FD,延长FE交CD 角形的对称性,EG为正三角形EAB的边AB上的高,得EG=√32,故EF=EG+FH-1=√3-1.于H,同理可得FH=√32评析本题重点考查圆、正三角形的对称性,另外用EF=EG+FH-GH来求EF的长度也是一种常用的数学解题技巧.18.答案(Ⅰ)23;(Ⅱ)如图,让直尺有刻度的一边过点A,设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C,与过点B的水平方向的网格纸交于点D;保持直尺有刻度的一边过点A,调整点C、D的位置,使CD=5cm,画射线AD,此时∠MAD即为所求的∠α解析(Ⅰ)∠α=1×69°=23°.3(Ⅱ)设点E是CD的中点,根据已知可得BE=DE=AB=2.5cm,∴∠1=∠2=2∠D,又∵BD∥AM,∴∠1=2∠3,即∠α=13∠MAN.三、解答题19.解析{3x+1>x+3,①2x-1<x+1,②解不等式①,得x>1.解不等式②,得x<2.∴原不等式组的解集为1<x<2.20.解析(Ⅰ)由题意,设点P的坐标为(m,2),∵点P在正比例函数y=x的图象上,∴2=m,即m=2.∴点P的坐标为(2,2).∵点P在反比例函数y=k-1x的图象上,∴2=k-12,解得k=5.(Ⅱ)∵在反比例函数y=k-1x图象的每一支上,y随x的增大而减小,∴k-1>0,解得k>1.(Ⅲ)∵反比例函数y=k-1x图象的一支位于第二象限,∴在该函数图象的每一支上,y随x的增大而增大.∵点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在该函数的第二象限的图象上,且y1>y2,∴x1>x2.21.解析(Ⅰ)观察条形统计图,可知这组样本数据的平均数是x=1×3+2×7+3×17+4×18+5×550=3.3,∴这组样本数据的平均数是3.3.∵在这组样本数据中,4出现了18次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是4.∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处在中间的两个数都是3,有3+32=3,∴这组数据的中位数是3.(Ⅱ)∵这组样本数据的平均数是3.3,∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3,有3.3×1200=3960.∴该校学生共参加活动约3960次.评析本题重点考查平均数、众数、中位数的意义,从条形统计图中获取信息的能力以及用样本估计总体的数学思想.学生在解答本题的时候,一部分同学由于理解不清平均数的概念或者是看不明白条形图,容易把平均数错算成(3+7+17+18+5)÷50.22.解析(Ⅰ)∵MA切☉O于点A,有∠MAC=90°.又∠BAC=25°,∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°.∵MA、MB分别切☉O于点A、B,∴MA=MB,有∠MAB=∠MBA.∴∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=50°.(Ⅱ)如图,连结AD、AB.∵MA⊥AC,又BD⊥AC,∴BD∥MA.又BD=MA,∴四边形MADB是平行四边形.∵MA=MB,∴四边形MADB是菱形,有AD=BD.又AC为直径,AC⊥BD,得AB⏜=AD⏜,有AB=AD.∴△ABD是等边三角形,有∠D=60°.∴在菱形MADB中,∠AMB=∠D=60°.评析本题综合考查了切线长定理、垂径定理、切线的性质定理等圆的有关性质和定理,平行四边形、菱形性质和判定的熟练运用以及综合所学知识解决数学问题的能力也是本题考查的一个重点.23.解析如图,过点A作AE⊥CD于点E,根据题意,∠CAE=45°,∠DAE=30°.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴四边形ABDE为矩形.∴DE=AB=123.在Rt△ADE中,tan∠DAE=DEAE,∴AE=DEtan∠DAE =123tan30°=√33=123√3.在Rt △ACE 中,由∠CAE=45°,得CE=AE=123√3.∴CD=CE+DE=123(√3+1)≈335.8.答:乙楼CD 的高度约为335.8 m. 评析 本题重点考查利用三角函数解直角三角形的能力,巧作辅助线、巧妙架起条件和结论之间的桥梁也是本题考查的一个重点.24.解析 (Ⅰ)当150<t<350时,方式一:0.25t+20.5;当t>350时,方式一:0.25t+20.5;方式二:0.19t+21.5.(Ⅱ)∵当t>350时,(0.25t+20.5)-(0.19t+21.5)=0.06t-1>0,∴当两种计费方式的费用相等时,t 的值在150<t<350取得.∴列方程0.25t+20.5=88,解得t=270.答:当主叫时间为270分时,两种计费方式的费用相等.(Ⅲ)方式二.25.解析 (Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6,在Rt △OBP 中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t. 根据勾股定理,OP 2=OB 2+BP 2,即(2t)2=62+t 2,解得t=2√3(t=-2√3舍去).∴点P 的坐标为(2√3,6).(Ⅱ)∵△OB'P 、△QC'P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的,有△OB'P ≌△OBP,△QC'P ≌△QCP.∴∠OPB'=∠OPB,∠QPC'=∠QPC.∵∠OPB'+∠OPB+∠QPC'+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°.∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ.又∠OBP=∠C=90°,∴△OBP ∽△PCQ,有OB PC =BP CQ. 由题设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m.∴611-t =t 6-m.∴m=16t2-116t+6(0<t<11)即为所求.(Ⅲ)点P的坐标为(11-√133,6)或(11+√133,6).评析本题重点考查图形的折叠、较复杂图形中相似三角形的判定及性质的综合应用能力.26.解析(Ⅰ)a=1,b=4,c=10,此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10.①∵y=x2+4x+10=(x+2)2+6,∴抛物线的顶点坐标为P(-2,6);②∵点A(1,y A)、B(0,y B)、C(-1,y C)在抛物线y=x2+4x+10上,∴y A=15,y B=10,y C=7.∴y Ay B-y C =1510-7=5.(Ⅱ)由0<2a<b,得x0=-b2a<-1.由题意,如图,过点A作AA1⊥x轴于点A1,则AA1=y A,OA1=1.连结BC,过点C作CD⊥y轴于点D,则BD=y B-y C,CD=1.过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,y E),交x轴于点F(x2,0),则∠FAA1=∠CBD.于是Rt△AFA1∽Rt△BCD.有AA1BD =FA1CD,即y Ay B-y C=1-x21=1-x2.过点E作EG⊥AA1于点G,易得△AEG∽△BCD.有AGBD =EGCD,即y A-y Ey B-y C=1-x1.∵点A(1,y A)、B(0,y B)、C(-1,y C)、E(x1,y E)在抛物线y=ax2+bx+c上,得y A=a+b+c,y B=c,y C=a-b+c,y E=a x12+bx1+c,∴(a+b+c)-(ax12+bx1+c)c-(a-b+c)=1-x1.化简,得x12+x1-2=0,解得x1=-2(x1=1舍去).∵y0≥0恒成立,根据题意,有x2≤x1<-1,则1-x2≥1-x1,即1-x2≥3.∴y Ay B-y C的最小值为3.评析本题重点考查综合运用二次函数、三角形相似的知识解决较复杂的数学问题的能力,二次函数的顶点坐标和增减性也是本题考查的一个内容,题目综合性较强,难度较大.26.(本小题10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,y0),点A(1,y A)、B(0,y B)、C(-1,y C)在该抛物线上.的值;(Ⅰ)当a=1,b=4,c=10时,①求顶点P的坐标;②求y Ay B-y C的最小值.(Ⅱ)当y0≥0恒成立时,求y Ay B-y C。
2012中考数学试题及答案
2012中考数学试题及答案第一节：选择题1. 若 a + b = 8，且 a - b = 4，则 a 的值是多少？A. 12B. 6C. 4D. 2答案：C. 4解析：将两个等式相加得到 2a = 12，因此 a = 6。
将 a = 6 代入第一个等式得到 6 + b = 8，从而可以得到 b = 2。
因此 a 的值是 4。
2. 已知一个等腰直角三角形的两条直角边分别为 5 cm。
那么斜边的长是多少？A. 5 cmB. 10 cmC. 7.07 cmD. 4.24 cm答案：C. 7.07 cm解析：根据勾股定理，斜边的长可以计算为√(a^2 + a^2)，其中 a 代表直角边的长度。
代入 a = 5 cm，得到斜边的长约为 7.07 cm。
3. 若 3x - 4 = 7，则 x 的值是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D. 5解析：将等式两边同时加上 4，得到 3x = 11。
接着将等式两边同时除以 3，得到 x = 11/3 或约等于 3.67。
因此 x 的值是 5。
第二节：填空题1. 若 f(x) = 2x^2 + 3x - 5，则 f(-1) 的值是多少？答案：-6解析：将 x = -1 代入函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到 f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 5 = 2 - 3 - 5 = -6。
2. 在一个等差数列中，首项为 3，公差为 4。
第 n 项为多少？答案：3 + 4(n-1)解析：在一个等差数列中，第 n 项可以通过首项加上 (n-1) 倍的公差得到。
代入首项为 3，公差为 4，得到第 n 项为 3 + 4(n-1)。
第三节：解答题1. 请用因数分解法求解方程 x^2 + 6x + 8 = 0 的解。
解答：首先，我们可以尝试将方程进行因数分解。
将方程右侧的 8 进行因式分解得到 8 = 2 * 2 * 2 或者 8 = 1 * 2 * 4。
天津市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题10 四边形
2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1. （天津市2002年3分）已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S ΔAOB =4，S ΔCOD =9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为【 】 （A ）21 （B ）25 （C ）26 （D ）36【答案】B 。
【考点】三角形的面积，不等式的性质。
【分析】分别表示出△AOD 、△BOC 的面积，即可得到四边形ABCD 的面积表达式，然后应用不等式的性质a2+b2≥2ab 来求得四边形ABCD 的最小面积：如图，任意四边形ABCD 中，S △AOB=4，S △COD=9，∴AOD BOC 14OD 19OBS OD 4S OB 9112OB 2OD OB OD 22∆∆=⋅=⋅=⋅=⋅，。
∴ABCD OD OB S 49131321325OB OD =⋅+⋅+≥==四边形。
故四边形ABCD 的最小面积为25。
故选B 。
2.（天津市2003年3分）如图，O 为平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF经过点O ，且与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，若BF ＝DE ，则图中的全等三角形最多有【 】（A ）2对 （B ）3对 （C ）5对 （D ）6对 【答案】D 。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的性质及已知条件得到图中全等的三角形：①△ADC≌△CBA：∵ABCD 为平行四边形，∴AB=CD，∠ABC=∠ADC，AD=BC 。
∴△ADC≌△CBA（SAS ）。
②△ABD≌△CDB：∵ABCD 为平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC 。
∴△ABD≌△CDB（SAS ）。
③△OAD≌△OCB：∵对角线AC 与BD 的交于O ，∴OA=OC，OD=OB ，∠AOD=∠BOC。
∴△OAD≌△OCB（SAS ）。
2012年天津市中考数学试题及答案(扫描版)
1、 答题前考生务必将答题卡上的学校、年级、班级、姓名用黑色字迹的签字笔填写，并正确填涂右侧考号。
2、 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔书写。
3、 严格按照题号在相应区域内作答，超出答题区域书写无效、在草稿纸和试卷上答题无效。
4、 要求书写工整，保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要破损。
缺考考生，由监考员填写准考证，并用黑色字迹的书写笔填写右侧缺考标记：考生禁填2012年初中毕业生学业水平第一次模拟测试数 学 答 题 卷注 意 事 项第Ⅰ卷A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 ABCD5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答请在各题目的答题区域内作答二、填空题（30分）11._________________ 12.__________________ 13._________________ 14.__________________ 15._________________ 16.__________________三、解答题（80分）17.计算：（本题7分）18.（本题8分）先化简，再其中m=21一、选择题（40分）A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 ABCD10 姓 名：________________ 班 级：________________ 考 场：________________ 座位号：________________0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9填涂样例 正确填涂 错误填涂学校 班级 姓名 学号 座位号-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定内区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答请在各题目的答题区域内作答，21．(本题9分) 不需尺规作图，只要面积不同，就视为不同方案BCDABCDABCDA（第21题图）面积= cm 2， 面积= cm 2， 面积= cm 2，22. （本题12分） （1）（第22题图）（2）23．(本题12分) （1）（2）(3) x 的取值范围是24.（本题14分）（1）。
2012年中考数学试题及答案
2012年中考数学试题及答案一、选择题1. ( ) 设a、b、c、d是四个不同的整数，且a＜b＜c＜d，那么它们中最小的一个是？A. aB. bC. cD. d2. ( ) 从一个圆盘上切下一个小扇形的时候，整个圆盘的周长减小7cm，小扇形的周长减小7cm的结果是原来的周长的等于1/3，那么整个圆盘的面积减小的结果是？A. 2/7B. 1/3C. 1/7D. 3/73. ( ) 如果x＋y＝200，x＞y，那么x.y的最大值是A. 40000B. 40401C. 40500D. 405014. ( ) 如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB和CD的中点，连结EF．求证：EF⊥BC.A. 对，方法不唯一B. 对，方法唯一C. 对，方法准确D. 错5. ( ) 如图，已知∠A=42°，AP和BP分别是△ABC的角平分线，且∠APC=∠BPC=96°，求∠PBC=_______°.A. 18B. 42C. 48D. 54二、填空题6. 六个完全相同的圆半径的和是90，则r的值为______.8. 如图，是一块标有长方体的正六面体．4、5、6三点所在直线交EF于点P，其中，exE=16cm，则EP=________cm.9. √(7+√41) +(7-√41) = ______10. 如图，ABCD是一个平行四边形，四边中点依次为E、F、G、H．则EFHG是平行四边形吗？（是或否）三、解答题11. 一个正整数恰好被13整除，当它的各位数字交换后，所得的数恰好被17整除，那么这个数是多少？12. 如图，①是一个等边三角形，边长为20cm．分别以A、B为圆心，AB为半径交于点P．连结OP,OP与②的交点为Q.求过P,Q两点的直线的长度13. 解方程：3(x-1)+4(x-2)=5(x+3)14. 如图，是一个摄影器材专卖店的平面图．把ㄨBCD┼縄顺时针旋转100°。
天津市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题7 统计与概率
2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题7：统计与概率一、选择题1. （2001天津市3分）对于数据：2，4，4，5，3，9，4，5，1，8，其众数，中位数与平均数分别是【 】 A ．4，4，6 B ．4，6，4.5 C ．4，4，4.5 D ．5，6，4.5 【答案】C 。
【考点】众数，中位数，平均数。
【分析】利用众数，中位数与平均数的意义求解：众数为4；中位数为（4+4）÷2=4；平均数为（2+4+4+5+3+9+4+5+1+8）÷10=4.5。
故选C 。
2.（天津市2002年3分）在某次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83．则这组数据的众数、平均数与中位数分别为【 】 （A ）81，82，81 （B ）81，81，76.5 （C ）83，81，77 （D ）81，81，81 【答案】D 。
【考点】众数，中位数，中位数。
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个。
在这一组数据中81是出现次数最多的，故众数是81。
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
平均数为（85+81+89+81+72+82+77+81+79+83）÷10=81。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。
由此将这组数据重新排序为72，77，79，81，81，81，82，83，85，89，处于中间位置的那个数是81、81∴中位数为：（81+81）÷2=81。
故选D 。
3.（天津市2005年3分） 已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S 0.055=甲，乙组 数据的方差S 0.105=乙，则【 】（A ）甲组数据比乙组数据波动大 （B ）乙组数据比甲组数据波动大（C ）甲组数据与乙组数据的波动一样大 （D ）甲、乙两组数据的数据波动不能比较 【答案】B 。
【新课标】备战2012年天津市中考数学综合解答题选编
2010年天津市中考数学综合解答题选编
【天津市】（25）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（Ⅰ）若
为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点的坐标；
（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
（26）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .
（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足 S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.
第（25）题。
2012年中考数学试题及答案
2012年中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正整数？A. -3B. 0C. 5D. -1答案：C2. 如果一个角的度数是30°，那么它的补角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°答案：D3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是：A. 25π cm²B. 50π cm²C. 75π cm²D. 100π cm²答案：B4. 一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 4B. -4C. 2D. 8答案：A5. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形答案：B6. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是：A. 2B. 1/2C. 1/3D. 1答案：A7. 一个长方体的长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm，那么它的体积是：A. 24 cm³B. 36 cm³C. 48 cm³D. 52 cm³答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 3D. 5 或 -5答案：D9. 一个分数的分子是3，分母是5，那么它的最简形式是：A. 3/5B. 1/5C. 3/1D. 5/3答案：A10. 如果一个数的立方根是3，那么这个数是：A. 27B. 3C. 9D. 81答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方是16，这个数是____。
答案：±412. 一个数的立方是-27，这个数是____。
答案：-313. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是____cm。
答案：714. 如果一个三角形的内角和是180°，那么一个四边形的内角和是____°。
答案：36015. 一个数的相反数是-5，这个数是____。
2012中考数学试卷及答案
2012年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一项符合题意，请用2B 铅笔在答题卡上规定的位置进行填涂。
）1.16-的相反数是A. 16B. 6C.-6D. 16-2.若|2|a -与2(3)b +互为相反数，则a b 的值为A.-6B. 18C.8D.93.下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、园，则该几何体是A.长方体B.球体C.圆锥体D.圆柱体 4.“一方有难。
八方支援”，在我国四川省汶川县今年“5·12”发生特大地震灾难后，据媒体报道，截止2008年6月4日12时，全国共接受国内外各界捐助救灾款物已达到人民币436.81亿元，这个数据用科学记数法（保留三个有效数字）表示为A. 94.3710⨯元B. 120.43710⨯元C.104.3710⨯元D.943.710⨯元 5.已知：一次函数(1)y a x b =-+的图象如图1所示，那么，a 的取值范围是A. 1a >B. 1a <C. 0a >D. 0a <6. m 是方程21x x +-的根，则式子3222007x m ++的值为A.2007B.2008C.2009D.20107.小亮的爸爸想对小亮中考前的6次数学考试成绩进行统计分析，判断小亮的数学成绩是否稳定，则小亮的爸爸需要知道这6次数学考试成绩的A.平均数或中位数B.众数或频数C.方差或标准差D.频数或众数 8.某化肥厂计划在x 天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x 的方程是A. 1201803x x =+B. 1201803x x =-C. 1201803x x =+D.1201803x x =- 9.如图2，边长为1的正三角形和边长为2的正方形在同一水平线上，正三角形沿水平线自左向右匀速穿过正方形。
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2012年天津市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．2cos60°的值等于（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．据某域名统计机构公布的数据显示，截至2012年5月21日，我国“．NET ”域名注册量约为560000个，居全球第三位，将560000用科学记数法表示应为（ ） A ．3
56010⨯ B ．4
5610⨯ C ．5
5.610⨯ D ．6
0.5610⨯
41的值在（ ）
A ．2到3之间
B ．3到4之间
C ．4到5之间
D ．5到6之间 5．为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视
节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（ ）
A ．300名
B ．400名
C ．500名
D ．600名
6．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
7．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
8．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD
至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）
A 1
B ．3
C 1
D 1
9．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y （单位：km ）与时间x （单位：h ）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h
B ．乡村公路总长为90km
C ．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
D ．该记者在出发后4.5h 到达采访地
10．若关于x 的一元二次方程(1)(3)x x m --=有实数根12,x x ，且12x x ≠，有下列结论： ①122,3x x ==；②1
4
m >-
；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．3-= ； 12．化简
22
1
(1)(1)x x x ---的结果是 ；
13．袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是 ；
14．将正比例函数6y x =-的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 ；（写出一个即可）． 15．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC 的大小为 （度）；
16．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ；
17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，以顶点A 、B 为圆心，1为半径的两弧交于点E ，以顶点C 、D 为圆心，1为半径的两弧交于点F ，则EF 的长为 ；
18．“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN ，设1
3
MAN α∠=
∠． （Ⅰ）当∠MAN=69°时，∠α的大小为 （度）；
（Ⅱ）如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB=2.5cm ．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要求证明） 。
三、解答题（共8小题，满分66分） 19．解不等式组31 3.
21 1.
x x x x +>+⎧⎨-<+⎩
20．已知反比例函数1
k y x
-=
（k 为常数，k ≠1）． （Ⅰ）其图象与正比例函数y x =的图象的一个交点为P ，若点P 的纵坐标是2，求k 的值； （Ⅱ）若在其图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一直位于第二象限，在这一支上任取两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，当12y y >时，试比较1x 与2x 的大小．
21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图． （Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？
22．已知⊙O 中，AC 为直径，MA 、MB 分
别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．23．如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，
测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m 1.73）．
题：
（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：
（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？
（Ⅲ）当330＜t ＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）
25．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP=t ．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．
26．已知抛物线2(02)y ax bx c a b =++<<的顶点为00(,)P x y ，点(1,)A A y 、(0,)B B y 、
(1,)C C y -在该抛物线上．
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时， ①求顶点P 的坐标； ②求
A
B C
y y y -的值；
（Ⅱ）当00y ≥恒成立时，求A
B C
y y y -的最小值．。