离散信号与系统的时域和频域分析..

h(0) h(1) ... h(n 1) 0 h(n) 1
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
结束
5、序列的运算
①相加：两序列同序号的序列值逐项对应相加 ②相乘：两序列同序号的序列值逐项对应相乘 ③移位：序列沿n轴逐项依次移位 f(n+j) f(n)向左平移 j f(n-j) f(n)向右平移 j
f(-n) 以y轴为对称轴反折
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f (k ) f (k 1) f (k )
K>0时， h(k ) a1h(k 1) a2h(k 2) ...... an h(k n) 0 n 齐次差分方程解： h(k ) [ ci ( ) k ] (k )
i 0
（2）单位阶跃响应
r (k ) h(k n)
n 0

离散信号与系统的Z域分析
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2(k) ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
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四、从采样信号fs(t)恢复原连续信号f(t) 频域恢复 采样信号通过理想低通滤波器
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二、离散系统的差分方程及求解
本节说明： 线性时不变离散系统的数学描述为激励响 应的线性常系数差分方程 求差分方程的解即为系统响应，从而完成 系统分析的任务。
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定理内容： 如果f(t)为带宽有限的连续信号， 其频谱的最高频率为fm,则以采 样频率f s>2fm对信号进行等间 隔采样所得的f s (t)将包含原信 号f(t)的信息，因而可利用 f s (t)完全恢复出原信号。即为 使信号采样后能够不失真还原， 采样频率必须大于原连续信号 的最高频率的两倍。
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f (n) 2 (n 2) 2.5 (n 1) 3 (n) 2.3 (n 1) 2 (n 2) (n 3) (n 4)
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4、典型离散信号
①单位序列
②单位阶跃序列 ⑤正弦序列
③矩形序列
④指数序列
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由其收敛域可知原序列应为单边左序列，因此幂级数应按 Z的升幂排列展开。即长除法应从Z的最低次幂开始除。
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【部分分式展开法】
含单极点
含重极点
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【留数法】
F(Z)仅含一阶极点 F(Z)含r重极点
n 1
Res ( Z k ) ( Z Z k ) F ( Z ) Z
离散信号与系统分析
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本章说明

与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
内容：
Z变换定义及收敛域 Z变换性质及应用 反Z变换 离散系统Z域分析 系统函数H(z) 系统函数的零极点与系统特性的关系
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Z变换是离散系统分析的重要工具，如同拉氏变换可将微 分方程变为代数方程同时自动引入初值使系统分析工作得 以简化。 1.熟练掌握Z变换、Z变换性质及反变换方法，深刻理解收 敛域的意义。 2.掌握离散系统的Z域分析方法。 3.深刻理解系统函数与单位函数响应关系。 4.掌握离散系统函数零、极点的概念及对应的时域特性。 5.理解离散系统的稳定性及频率响应特性。
内容：采样信号与采样定理 1、采样信号的产生


2、采样信号的频谱与原 连续频谱的关系
3、采样定理
4、从采样信号恢复原连 续信号
本章说明： 从采样信号的产生和恢复 过程理解采样频率的意义， 采样定理是数字化分析处 理信号的基础。
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一、采样信号的产生： 按一定的时间间隔对连续信号抽取样本值的过程。
留数法实例
1 d r 1 r n 1 R ( Z ) { [( Z Z ) F ( Z ) Z ]}Z Z k k k Z Z k es (r 1)! dZ r 1
一、Z变换定义
本节说明：从Z变换的定义出发， 理解Z变换存在的条件 收敛域
1、定义：f(n)
正变换 双边Z变换
左序列Z变换
右序列Z变换
反变换
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2、Z变换存在
收敛域
为无穷级数和
即对左序列Z变换收敛域︱Z︱＜a（某个数）－Z平面 以圆点为中心半径为a的圆内 对右序列Z变换收敛域︱Z︱＞b（某个数）－Z平面以 圆点为中心半径为b的圆外
实质上是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一
串周期为T，宽度为τ 的矩形脉冲即f s (t)=f(t)
· p(t)
二、采样信号的频谱与原连续信号频谱的关系 采样信号的频谱是原连续信号的频谱的周 期延拓，即将原信号的频谱不断的频移
n ωs 开始
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三、采样定理：观察一下采样信号的频谱与采样频率的关系
3、离散系统的数学模型（描述）——n阶LTI离散系统的差分方程
左移序的：y(n+m)+am-1y(n+m-1)+…+a1y(n+1)+a0y(n)=bmf(n+m)+bm-1f(n+m1)+…+b1f(n+1)+b0f(n)
右移序的：y(n)+a1y(n-1)+…+am y (n- m)=b0f(n)+b1f(n-1)+…+b m f (n -m) 4、求解法
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1、直观认识离散时间信号与连续时间信号
离散时间信号获取：
①某种不连续事件获取，可不限于时间变量。 ②由连续信号抽（采）样获得。 总之，离散信号可淡化时间意义。
2、离散时间信号的意义
只在某些规定的离散点上给出的函 数值，而其它点函数无定义或为零 的信号。简称离散信号或数值序列
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经典法
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5、离散系统的模拟

（1）基本运算器
5、离散系统的模拟

（2）差分方程直接模拟
y(k ) 5 y(k 1) 6 y(k 2) x(k ) 2 x(k 1)
y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k ) b1 x(k 1) b0 x(k )
三、卷积和求零状态响应
本节说明： 卷积和法是在时域求解离散系统状态响应 的好方法。实质也是求非齐次差分方程解 的方法。

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1、思想：
①将复杂激励f(n)分解 f (n)ε(n)=f(0)δ(n)+f(1)+δ(n-1)+f(2)δ(n-2)+… …………+f (j) δ( n -j) ②求出每个简单激励的响应 f(0)δ(n) →f(0)h(0),f(1)δ(n-1) →f(1)h(n-1)…… ……f (j )δ (n -j) →f(j)h(n-j) ③迭加全部简单激励的响应得复杂激励的响应 开始 上一页 2、卷积和公式 3、卷积和性质 ①交换律 ②分配律 ③结合律 下一页 结束
2、应用
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本节说明：

幂级展开法 部分分式法 留数法 查表法
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【幂级数展开法】
利用定义通过长除将其商表达式写出： 单边右序列：
N ( z) 1 2 k F ( z) a0 a1 z a 2 z ... a k z f (k ) z k D( z ) k 0 f (0) a0 , f (1) a1 , f (2) a 2 ... f (k ) a k
i 0
后向方程： y(k ) a1 y(k 1) a2 y(k 2) ... an y(k n) x(k )
h(k ) a1h(k 1) a2h(k 2) ... an h(k n) (k )
h(0) 1 h(1) h(2) ... h(n 1) 0



离散信号与系统分析
离散信号与系统的时域分析 离散信号与系统的Z域分析 离散信号的频域分析
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离散信号与系统的时域分析



离散时间信号分析 离散系统的差分方程及分析 卷积和求零状态响应
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一、离散时间信号
本节说明： 离散信号的概念表示方法，掌握几个常用序列
5、序列的运算



④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
y (k )
n
f ( n)
k

单位阶跃序列表示的门宽为3的门序列为：
f (k ) (k ) (k 4) (k ) (k 1) (k 2) (k 3)

冲激信号：
(k ) (k ) (k 1)
6、采样信号与采样定理（离散信号的频率特性）
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3、离散信号的表示方法
①以序列集合｛ f (n)｝表示 例：f (n)=｛1,2,4,6,8, …} n=0, f(0)=1, n=1, f(1)=2, n=2, f(2)=4…… ②以解析式表式 f (n)=2n ε(n) ③以图形表示 ④以冲激表示 f (n)= =f(0) δ(n)+f(1) δ (n-1)+f(2)δ (n-2)+f(3) δ (n-3) = δ(n)+2 δ(n-1)+4δ(n-2)+6δ(n-3)+……
由其收敛域可知原序列应为单边右序列，因此幂级数应按 Z的降幂排列展开。即长除法应从Z的最高次幂开始除。
单边左序列：
N ( z) 1 2 k F ( z) a1 z a2 z ... ak z f (k ) z k D( z ) k 1 f (1) a1 , f (2) a2 , f (3) a3 ... f (k ) ak
系统（序列）冲激响应与激 励的卷和
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6、离散系统的单位函数响应和单位阶跃响应 （1）单位函数响应 前向方程： y(k n) an1 y(k n 1) an2 y(k n 2) ... a0 y(k ) x(k )
h(k n) an1h(k n 1) an2 h(k n 2) ... a0 h(k ) (k )
1、离散时间系统：系统激励（输入）与响应（输出）均为离散信号 2、LTI（线性时不变）离散系统的特点
①齐次性：激励f(n) →y(n )响应 k f(n) →k y (n)
②线性可加性：激励 a1f1(n)+a2f2(n) →a1y1(n)+a2y2(n) 响应 ③时不变性：激励 f(n-m) →y(n-m) 响应
*Z变换必须对应收敛域存在 开始 上一页 下一页 结束
3、求指数序列的Z变换
4、常用序列的Z变换
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1、性质 ①线性性质
二、Z变换性质及应用
②移位性质 ③尺度变换性质
④卷积定理
⑤序列求和性
⑥Z域微分性
⑦时间反转性
⑧初值及终值定理
f (n) F ( z 1 )
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