复数的运算法则(一)

复数的乘法与多项 式的乘法是类似的.
例5.计算(a+bi)(a-bi)
解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b2
2 2 2
一步到位!
2
zz z z a b
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
z, 即 z a bi
zz ?
复数的运算（一）
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a (bc ) a (b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
如图, z1 对应向量 OZ 1 , z 2 对应向量 OZ 2 ,根据向量 加法可知 OZ OZ1 OZ 2 y ∵ , , OZ ( a , b ) OZ ( c , d ) 1 2 Z Z2(c,d) 根据向量加法的坐标运算可知 OZ OZ1 OZ 2 (a , b) (c , d ) Z1(a,b) = (a c , b d )
另外不难证明: z
1
zz ?
z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
【练习】
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
-20+15i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)
3.已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i 的共轭复数，求x的值．
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
例1
例2
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 解:
(5 6i) (2 i) (3 4i)
2、复数的乘法法则：
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的积
a bi c di (ac bd ) (ad bc)i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 ， 交换律 z1 z 2 z 2 z1 结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di , 则 z + z =( a + c )+( b + d ) i 1 2
O
Байду номын сангаас
x
吻合!
类似地
这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: y
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 x 2 4, x 3或x 2 解得 2 x 3或x 6 x 3 x 2 20. 所以 x 3 ．
课外练习:
-2+2i 3.计算 (1 i )3 - 3- i 4.若 z C 且 (3 z )i 1 ,则 z _____ .
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
x
Z 这就是复数减法的几何意义.
例2：在复平面上，向量 AB 对应的复数是2+i，向量 CB 对应的复数是-1-3i，则向量 CA 对应的复数为
。
例3、下列命题中正确的是
(2)
(1)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。
分配律 z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
例4.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i 2 )(1 3i ) = (8 i )(1 3i ) 2 = 8 24i i 3i = 5 25i
注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
3 5.已知 m R 且 ( m i )3 R ,则 m _____ .3
1 3 3 2 z i 2 z 3 z 3z 9 的值. 6.已知 ,求 2 2
8
7.在复数集C内，你能将
x y 分解因式吗？
2 2
(x+yi)(x-yi)