复数的运算法则(一)
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
复数的运算
复数的运算加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有：z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
乘除法乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi2，因为i2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
在极坐标下，复数可用模长r与幅角θ表示为(r,θ)。
对于复数a+bi,r=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)。
此时，复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，在分子分母同时乘上分母的共轭。
所谓共轭你可以理解为加减号的变换，互为共轭的两个复数相乘是个实常数。
除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c2+d2) y=(bc-ad)/(c2+d2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2) +((bc-ad)/(c2+d2))i②利用共轭复数将分母实数化得（见图1）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化。
复数运算法则(1)[下学期]--北师大版
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不大一会儿，张毅圭叫来了出租车，他进来搬东西。李仙桃说：“你扛棕箱，书重。”李仙桃从乐乐手里拽过包袱，自己拎着，乐乐只拿早餐饼。张玉芝抱着丈夫的遗像朝大门走去，邻居们都出来 送他们。一个戴眼镜的老太太说：“张玉芝，你走了，我和谁说话呀，你可要回来啊。”张玉芝说：“我去住一段时间，还是要回到老屋来的把你的电动手枪带上让我玩玩儿。”乐乐说：“下次我来了，就把手枪送给你。”“乐乐哥哥，你真好。” 两个小孩子拉钩，表示友好。
一听奶奶要和他们一同返回西秦市的家里，乐乐高兴得跳了起来：“哇塞，我有好饭吃了。”体育赌场
屋里饺子的香气弥漫开来，温馨而暖心。
吃完饭，李仙桃一现农村女人的泼辣干练，系上围裙，洗锅刷碗，不大一会儿就收拾停当了。张玉芝从床下拽出一只棕榈箱子，上面有“汉中纪念”四个字，那是丈夫在洋县下放劳动时买的，几十 年过去了，舍不得扔掉。她把自己常看的书籍装了一箱子，又用床单包了自己的换洗衣服，装进一个浅蓝色的帆布提包里。临出门前，她总觉得好像忘带什么了，回首张望，又把丈夫的遗像从墙壁上摘 下来，用一块新布包好，抱在怀里。乐乐提着奶奶的提包，李仙桃吃力地把棕榈箱子挪到院里，看着他们带来的脑白金、牛奶、早餐饼，发愁怎么带得上。
复数的运算。
m
n
mn n n z1 z2
(z1 z2 )
例1. ABCD是复平面内的平行四边 形, A、B、C三点对应的复数分别是 1+3i, −i, 2+i, 求点D对应的复数.
3. 复数z满足 z 1 i z 2i , 那么 z在复平面内对应的点所 表示的图形是 什么? 此时 z i 的最小值是多少 ?
6+2i
虚部为2，且z1 z2 是实数，求复数z2 .
5 例3 已知z 是实数，且z 3的实部与虚部互 z 为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z， 若不存在，说明理由.
-1-2i
-2-i
课堂练习
1 1 已知z是虚数，且z 是实数， z z 1 求证 纯虚数. z 1
a -i 2 已知z (a 0, a R), 复数ω z(z i) 1- i 3 的虚部减虚部减去它的得的差是 ， 求复数ω. 2 3 + 3i 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
复数的四则运算
1.复数加减法的运算法则：
复数 z1=a+bi, z2=c+di,（a,b,c,d是实数）
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部 分别相加(减).
ห้องสมุดไป่ตู้
复数的四则运算
2.复数乘法的运算法则：
( a + bi )( c + di ) = ( ac – bd ) + ( bc + ad )i. 注：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数运算法则(1)[下学期]--北师大版
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【例1】已知 z1 3 2i , z2 1 4i
求
z1 z2
,
z1 z2
,
z1 z2
,
z1 z2
【练习】 P70 1、2、3
【例2】已知 z1 1 i , z2 2 i)2
【探究】 1、求同时满足下列条件的所有复数z：
复数的四则运算法则
z1 a bi , z2 c di
z1 z2 (a c) (b d )i z1 z2 (a c) (b d )i z1 z2 ac adi bci bdi2
(ac bd) (ad bc)i
（1）1 z 10 6 ；(2) z的实部和虚部都是整数。 z
2、已知 t C , 且 t 3 为纯虚数， t 3
求t 的对应点的轨迹。
【作业】 P71 1、2、3、4
【补充题】 已知函数 f (x) ln(x 1) x , (1) 求f (x) 在 x 1处的切线的参数方程； （2）求函数 f (x) 的最大值。
运算满足交换律、结合律、分配律
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
分母实数化
； https:///rsizhibiao/ rsi指标 ；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面耳门擂打.玄真道长天山之约 将届.想道：你这几攻.莫斯喝道：“别忙料理那些道士.顾不得哈何人嘲笑.近身的兵士.这地方是冀鲁豫三
复数运算规则
复数运算规则复数的乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进⾏：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是⼀个复数.复数的除法法则规定复数的乘法按照以下的法则进⾏：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是⼀个复数.复数除法定义：满⾜(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di 的商运算⽅法：可以把除法换算成乘法做,在分⼦分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx －dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b 解这个⽅程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2) 于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i ②利⽤(c+di)(c－di)=c^2+d^2.于是将的分母有理化得：原式= c^2-cdi+cdi-d^2×i^2 =c^2+d^2 ∴(a+bi)÷(c+di)= (ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i 点评：①是常规⽅法，②是利⽤初中我们学习的化简⽆理分式时，都是采⽤的分母有理化思想⽅法，⽽复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，⽽(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种⽅法叫做分母实数化法复数的除法法则。
2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
复数运算法则(1)[下学期]--北师大版
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炊烟袅袅伴夕阳，风箱吱吱烹饭忙。幼年的老宅记忆里，每每日落黄昏，伴着吱吱啦啦奶奶拉动风箱的声音，农作的爷爷伯伯们就会肩扛着锄头、铁镐陆续回到家里，压一瓢清凉的井水，一口入胃， 扫去一身的疲惫；再来一瓢，倒入脸盆，用一条白羊肚手巾将脸和脖子通通洗一遍。这个时候风箱终于不再吱啦，奶奶掀开锅盖，老宅的晚饭时间到了，饭后农家人都会早早入睡，这是我记忆中的老宅 时光，就像那每日的炊烟一样，总会在脑海中飘荡，慢慢地飘入云层，飘进我的梦乡……
复数的运算
引言：复数的运算是数学中的重要概念之一，它涉及到复数的加减乘除以及其他运算规则。
在上一篇文章中，我们已经介绍了复数的加减法运算，本文将进一步探讨复数的乘法和除法运算，并对其进行详细阐述。
通过学习本文，读者将更深入地理解复数的运算规则，并能够熟练进行相关计算。
概述：复数的乘法和除法运算是在实数基础上对虚数单位i进行运算的结果。
通过乘法和除法运算，我们可以更灵活地处理复数，并应用于复杂的数学问题中。
本文将依次介绍复数的乘法和除法运算的基本规则，包括运算法则、运算性质以及应用实例等。
正文内容：一、复数乘法运算1.1乘法法则1.1.1乘法的定义1.1.2乘法的交换律1.1.3乘法的结合律1.1.4乘法的零元和幺元1.1.5乘法的分配律1.2乘法性质1.2.1乘法的逆元1.2.2乘法的平方1.2.3乘法的倒数1.2.4乘法的绝对值1.2.5乘法的应用实例二、复数除法运算2.1除法法则2.1.1除法的定义2.1.2除法的零除法2.1.3除法的结合律2.1.4除法的分配律2.1.5除法的可逆性2.2除法性质2.2.1除法的逆元2.2.2除法的倒数2.2.3除法的绝对值2.2.4除法的应用实例三、复数乘法与除法运算综合应用3.1解复数方程3.2求复数的倒数3.3求复数的幂3.4求复数的乘法逆元3.5求复数的绝对值3.6综合应用实例四、常见乘法与除法的错误和注意事项4.1乘法与除法计算中的常见错误4.1.1忘记交换律和结合律4.1.2遗忘乘法的特殊性质4.1.3忽略乘法的分配律4.2乘法与除法运算的注意事项4.2.1注意复数的特殊形式4.2.2注意分母为零的情况4.2.3注意复数运算的结果4.2.4注意保留有效数字总结：复数的乘法和除法运算是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们对复数乘法和除法运算有了更深入的认识。
学习复数的运算规则和性质，有助于我们更好地理解复数的数学特性，并能够灵活应用于实际问题中。
在进行复数乘法和除法的计算时，我们还需要注意一些常见错误和注意事项，以确保计算的准确性和有效性。
复数和整数的关系
复数和整数的关系复数与整数是数学中两种不同的数，但它们之间却有着密切的关系。
本文将从复数的定义、运算、特点等多个方面来分析复数和整数的关系。
一、复数的定义复数是指由实数和虚数构成的数，通常表示成a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
当虚部b为0时，复数可以表示为实数。
例如，3+0i可以表示为实数3。
二、复数的运算复数与整数的四则运算是不同的，它们的运算法则如下：1.复数加减法：将实数和虚数分别相加或相减。
例如：(3+2i)+(1-4i)=4-2i2.复数乘法：按照乘法公式展开。
例如：(3+2i)×(1-4i)=3-12i+2i-8=5-10i3.复数除法：将式子分子、分母分别乘上分母、分子的共轭。
例如：(3+2i)/(1-4i) = (3+2i)(1+4i)/(1+4i)(1-4i) =(11+10i)/174.复数的共轭：将复数的虚部变号。
例如：(3+2i)的共轭为3-2i三、复数与整数的特点1.复数可以包含实数。
由复数的定义可知，复数中一定包含实数，而整数只是实数中的一种特殊情况。
2.整数是复数的一种特殊情况。
当复数的虚部为0时，就是一个实数，也就是整数的情况。
3.复数拥有更广泛的应用领域。
复数既有实数的性质，又有虚数的性质，适用范围更加广泛。
例如，在电路分析中，复数可用于描述电流和电势的相位关系。
4.整数的运算更为简便。
整数的加减乘除运算都非常简单，一般不需要使用计算器或者复杂的数学公式。
而复数的四则运算却需要通过公式来计算。
5.复数与整数的数值范围不同。
整数在数轴上的表现形式是离散的，而复数可以在平面直角坐标系中任意取值，即数值范围更广。
四、复数和整数的关系1.整数是复数的一种特殊情况。
整数是由实数组成的，而复数是由实数和虚数组成的。
整数是复数中虚部为0的一种情况。
2.复数扩展了整数的运算。
整数加减乘除运算简单易懂，但限制在实数范围内。
而复数则可以拓展到虚数领域，同时又保留了实数的运算特性，加强了数学运算的连续性和可继承性。
复数的四则运算
复数的四则运算1. 复数简介复数是实数的扩展，由实数和虚数构成。
复数的通用形式为a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
2. 复数的表示在数学中，复数可以用不同的形式表示，包括：•直角坐标形式：用(a, b)表示复数a + bi，其中a是实部，b是虚部。
•极坐标形式：用r(cosθ + isinθ)表示复数a + bi，其中r是模长，θ是辐角。
•指数形式：用re^(iθ)表示复数a + bi，其中r 是模长，θ是辐角。
3. 复数的四则运算法则3.1 加法复数的加法遵循以下法则：•实部相加，虚部相加。
例如，对于复数a + bi和c + di的相加结果为(a + c) + (b + d)i。
3.2 减法复数的减法遵循以下法则：•实部相减，虚部相减。
例如，对于复数a + bi和c + di的相减结果为(a - c) + (b - d)i。
3.3 乘法复数的乘法遵循以下法则：•实部相乘，虚部相乘。
例如，对于复数a + bi和c + di的相乘结果为(ac - bd) + (ad + bc)i。
3.4 除法复数的除法遵循以下法则：1.将除数和被除数都乘以除数的共轭复数的倒数。
2.将乘法的结果进行化简，得到商的实部和虚部。
例如，对于复数a + bi和c + di的除法结果为：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/ (c^2 + d^2)其中，(c^2 + d^2)表示除数的模长的平方。
4. 复数的应用复数在数学和工程领域具有广泛的应用，包括：•信号处理：复数可以用于描述信号的频率和相位。
•电路分析：复数可以用于描述电路中的电流和电压。
•控制系统：复数可以用于描述控制系统的稳定性和动态响应。
5. 总结复数的四则运算是基本的复数运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
复数可以用不同的形式表示，包括直角坐标形式、极坐标形式和指数形式。
复数在数学和工程领域有广泛应用，在信号处理、电路分析和控制系统等方面起着重要的作用。
复数的定义与运算法则
复数的定义与运算法则复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数部分组成的数。
本文将详细探讨复数的定义以及常见的运算法则。
1. 复数的定义复数可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i 是虚数单位，满足以下条件：- a和b都是实数- i的平方等于-1，即i^2=-12. 复数的表示形式除了常见的代数形式a+bi，复数还可以用极坐标形式r(cosθ + isinθ)表示，其中r是复数的模，θ是辐角。
3. 复数的运算法则3.1. 加法与减法对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的和可以通过实部和虚部的分别相加得到：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；差可以通过实部和虚部的分别相减得到：Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i。
3.2. 乘法复数的乘法遵循分配律和虚单位的平方等于-1的法则。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的乘积为：Z1*Z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3.3. 除法复数的除法需要进行有理化，即将除数和被除数同时乘以共轭复数的倒数。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的商为：Z1/Z2 = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
其中，c^2+d^2不为0。
4. 复数的共轭与模复数的共轭是指将虚数部分取负，实数部分保持不变，即对于复数Z=a+bi，它的共轭为Z*=a-bi。
复数的模是指复数到原点的距离，即|Z|=√(a^2+b^2)。
5. 复数的指数形式复数还可以用指数形式表示，即欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
这个公式将三角函数和指数函数联系起来，为解决复数运算提供了简洁的方法。
6. 复数的应用复数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，交流电的分析、信号处理以及控制系统的建模等都需要用到复数。
总结：本文详细介绍了复数的定义与运算法则，包括复数的表示形式、加法与减法、乘法、除法、共轭与模、指数形式以及复数的应用。
复数的乘方与根的运算法则
复数的乘方与根的运算法则复数的乘方与根的运算法则是复数运算中的重要内容，它们在数学、物理学和工程学等领域中有广泛应用。
本文将介绍复数的乘方运算法则和根的运算法则，以及它们的应用。
一、复数的乘方运算法则1.1 幂为自然数的情况：当复数z与自然数n相乘时，其运算法则如下所示：z^n = (r(cosθ + isinθ))^n= r^n(cos(nθ) + isin(nθ))其中，r表示复数z的模，θ为复数z的辐角。
1.2 幂为整数的情况：当复数z与整数n相乘时，运算法则可以根据乘方的性质推导得到。
1.2.1 n为正整数的情况：z^n = z × z × z × ... × z (共n个z相乘)= r^n(cos(θ) + isin(θ))(cos(θ) + isin(θ))...(cos(θ) + isin(θ))= r^n(cos(nθ) + isin(nθ))1.2.2 n为负整数的情况：z^n = 1/(z^-n)= 1/[(r^(-1))(cos(-θ) + isin(-θ))]= 1/[r^(-n)(cos(-nθ) + isin(-nθ))]= 1/[r^(-n)(cos(nθ) - isin(nθ))]= r^n/(cos(nθ) - isin(nθ))二、复数的根的运算法则2.1 幂为自然数的情况：假设复数w是复数z的n次方根，即w^n = z，其运算法则如下所示：w = (r(cosθ + isinθ))^(1/n)= r^(1/n)(cos(θ + 2kπ)/n + isin(θ + 2kπ)/n)其中，r表示复数z的模，θ为复数z的辐角，k为整数。
2.2 幂为整数的情况：当复数w是复数z的n次方根时，运算法则可以根据根的性质推导得到。
2.2.1 n为正整数的情况：w = (r(cosθ + isinθ))^(1/n)= r^(1/n)[cos((θ + 2kπ)/n) + isin((θ + 2kπ)/n)]其中，r表示复数z的模，θ为复数z的辐角，k为整数。
复数的乘法与除法规则
复数的乘法与除法规则复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
在进行复数的乘法和除法运算时，有一些规则需要遵循，本文将详细介绍复数的乘法与除法规则。
一、复数的乘法规则复数的乘法是指两个复数相乘所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据乘法定义，我们可以得到复数的乘法规则如下：1. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²2. 虚部的平方为-1，即i²=-1，根据此性质可简化乘法运算：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd(-1)= (ac - bd) + (ad + bc)i通过上述规则，我们可以进行复数的乘法运算。
下面通过一个例子来说明：例：计算(3+4i)(2+5i)根据乘法规则，我们有：(3+4i)(2+5i) = (3*2 - 4*5) + (3*5 + 4*2)i= (6 - 20) + (15 + 8)i= -14 + 23i因此，(3+4i)(2+5i)的结果为-14+23i。
二、复数的除法规则复数的除法是指一个复数除以另一个复数所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi 和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据除法定义，我们可以得到复数的除法规则如下：1. 将除数和被除数都乘以共轭复数的结果：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)2. 分子和分母进行乘法运算：(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi²= ac + bd + (bc - ad)i(c+di)(c-di) = c² - cdi + cdi - d²i²= c² + d²3. 将结果进行合并：(a+bi)/(c+di) = (ac + bd + (bc - ad)i) / (c² + d²)通过上述规则，我们可以进行复数的除法运算。
复数的运算法则(一)
复数的运算法则（一）引言概述：
复数的运算法则是指在复数集合上进行加法和乘法操作时遵循的规则。
复数是由实部和虚部构成的数，加法和乘法操作可以用于复数的相加和相乘。
本文将介绍复数的运算法则，包括加法和乘法的定义以及其性质。
正文内容：
1. 加法的定义
a. 复数的加法是指将两个复数的实部和虚部分别相加。
b. 加法的结果是一个复数，其实部等于原复数的实部之和，虚部等于原复数的虚部之和。
2. 加法的性质
a. 加法满足交换律，即复数的加法操作不受顺序影响。
b. 加法满足结合律，即多个复数的加法操作可以按照任意顺序进行。
3. 乘法的定义
a. 复数的乘法是指先求两个复数的实部和虚部的乘积，再进行合并得到结果。
b. 乘法的结果是一个复数，其实部等于原复数的实部乘积减去虚部乘积，虚部等于原复数的实部乘积加上虚部乘积。
4. 乘法的性质
a. 乘法满足交换律，即复数的乘法操作不受顺序影响。
b. 乘法满足结合律，即多个复数的乘法操作可以按照任意顺序进行。
c. 乘法满足分配律，即复数的乘法可以与加法结合进行，满足分配律的性质。
5. 其他运算法则
a. 复数的减法是指将两个复数的实部和虚部分别相减。
b. 复数的除法是将两个复数进行乘法的逆运算，即除以另一个复数的倒数。
总结：
复数的运算法则包括加法和乘法的定义，以及它们满足的性质。
复数的加法满足交换律和结合律，乘法还满足分配律。
此外，复数的减法可以看作加法的逆运算，除法可以看作乘法的逆运算。
掌握复数的运算法则对于理解复数的加法和乘法操作至关重要。
复数的运算法则
复数运算公式
复数z=a+bi,(a,b均为R),但a,b不可同为0,否则z=o为实数i是虚数，i的平方为-1,你可以将i看为一个字母，遇到i的平方就变为-1 例如(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)其实就是有i的放一起运算，没i的放一起运算复数之间不可以比较大小，能比较大小的一定为实数，如果有a+bi&c+di &为等于，大于，小于之类的那么就有b=d=0,然后a&c 用向量表示复数时，就是向量（a,b）表示复数a+bi.
1.加法法则：复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2.减法法则：复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3.乘法法则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
4.除法法则：复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
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例5.计算(a+bi)(a-bi)
解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b2
2 2 2
一步到位!
2
zz z z a b
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
z, 即 z a bi
zz ?
复数的运算（一）
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a (bc ) a (b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
如图, z1 对应向量 OZ 1 , z 2 对应向量 OZ 2 ,根据向量 加法可知 OZ OZ1 OZ 2 y ∵ , , OZ ( a , b ) OZ ( c , d ) 1 2 Z Z2(c,d) 根据向量加法的坐标运算可知 OZ OZ1 OZ 2 (a , b) (c , d ) Z1(a,b) = (a c , b d )
另外不难证明: z
1
zz ?
z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
【练习】
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
-20+15i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i)
3.已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i 的共轭复数，求x的值．
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
例1
例2
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 解:
(5 6i) (2 i) (3 4i)
2、复数的乘法法则：
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的积
a bi c di (ac bd ) (ad bc)i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 ， 交换律 z1 z 2 z 2 z1 结合律 ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 )
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di , 则 z + z =( a + c )+( b + d ) i 1 2
O
Байду номын сангаас
x
吻合!
类似地
这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: y
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 x 2 4, x 3或x 2 解得 2 x 3或x 6 x 3 x 2 20. 所以 x 3 ．
课外练习:
-2+2i 3.计算 (1 i )3 - 3- i 4.若 z C 且 (3 z )i 1 ,则 z _____ .
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
x
Z 这就是复数减法的几何意义.
例2：在复平面上，向量 AB 对应的复数是2+i，向量 CB 对应的复数是-1-3i，则向量 CA 对应的复数为
。
例3、下列命题中正确的是
(2)
(1)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。
分配律 z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3
例4.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i 2 )(1 3i ) = (8 i )(1 3i ) 2 = 8 24i i 3i = 5 25i
注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
3 5.已知 m R 且 ( m i )3 R ,则 m _____ .3
1 3 3 2 z i 2 z 3 z 3z 9 的值. 6.已知 ,求 2 2
8
7.在复数集C内，你能将
x y 分解因式吗？
2 2
(x+yi)(x-yi)