倒易点阵重点
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
2-4-倒易点阵
第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例
倒易格子与衍射—1.倒易格子理论2.倒易格子与X射线衍射3.倒易点阵与电子衍射4.典型0层倒易面举例一、倒易格子概念及性质1. 倒易点阵的定义设有一正点阵，用三个基矢(a,b,c)描述，记为S=S(a,b,c)。
引入三个新基矢(a*,b*,c*)描述，记为S*=S(a*,b*,c*)。
二者之间的关系：a*•a=1a*•b=0 a*•c=0b*•a=0b*•b=1b*•c=0c*•a=0c*•b=0c*•c=1则S*称作S的倒易点阵(Reciprocal lattice)。
2. 正倒格子的关系：a*=(b×c)/V b*=(c×a)/V c*=(a×b)/V其中V= a•(b×c)正格子的体积或为：a=(b*×c*)/V*b=(c*×a*)/V* c=(a*×b*)/V*其中V*=a*•(b*×c*)倒格子的体积亦有：V* = 1/V正倒格子的角度换算：|a*| = bcsinα/V|b*| = casinβ/V |c*|= absinγ/V或：|a| = b*c*sinα*/V* |b| = c*a*sinβ*/V* |c|= a*b*sinγ*/V*上式中：cosα* = (cosβcosγ-cosα)/sinβsinγcosβ* = (cosγcosα -cosβ)/sinγsinαcosγ* = (cosαcosβ -cosγ)/sinαsinβ当晶体的对称中，α=β=γ=90°时|a*| = 1/a|b*| =1/b|c*| = 1/c单斜晶系时，α=γ=90°，β≠90°，即：α*=γ*=90°，β*=180°-β则：|a*| =1/asinβ |b*| = 1/b |c*| =1/csinβ图1-1.三斜晶系的倒易点阵如图1-1所示为三斜晶系的倒易点阵，其中a*在与bc平面垂直的方向，b*与ac平面垂直，长度为1/b，c*与ab平面垂直，长度为1/c。
晶体学基础-倒易点阵
倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。
将晶体点阵空间称为正空间。
倒易空间中的结点称为倒易点。
部分。
a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。
倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。
S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。
a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。
CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。
左图图面为（010）面。
•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。
把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。
所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
倒易点阵介绍综述
(2) 波长连续， 使Ewald球的数 量增加，即球壁 增厚（Laue法）
S / 1/
A
S 0 /
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随机分 布的晶体 数量 ， 相当于围绕O点转动倒易
S / 1/ hkl
晶格，使每个倒易点均
形成一个 球 （倒易 球 ）。 （粉晶法的基础）
OA pa qb rc
ha k b l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由：
2
( S S0 )
可见，只有当φ =2π n时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
OA 2 (ha* k b* l c* ) ( pa qb r c) 2 (hp kq lr )
5
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0 同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1. 2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
O
观地看出那些面网的衍射状
况。
材料分析方法 近代材料分析技术 第三章 倒易点阵
例如，对于立方晶系， a = 0.25 nm； a*= 4 nm-1
b c* b*
a*
a
3、倒空间的倒空间为正空间。
4、倒空间的单胞体积互为倒数。
5、正倒空间的基矢间角度的关系
，， 分别为正空间b与c, a与c，a与b之间的夹角； *，*，* 分别为倒空间b*与c*, a*与c*，a*与b*之间的夹角；
b O
a
a*
因为倒易基矢的方向垂直于正点阵两异名基矢组成的平面。
故：
a b a* c b* a b* c c* a c* b 0
异名基矢点乘积为0
倒易基矢的大小
因为a*垂直于b、c所在的平面
a bcsin
bc s in
1
V
bcsin a cos a cos
其中，为a与a*之间的夹角
|a* |= |r*200 |= 1/d200 = 2/(a·sin[180-])= 2/(a·sin)
|b*| = |r*020 |= 1/d020 = 2/b |c* |= |r*001| = 1/d001 = 1/(c·sin[180-)= 1/(c·sin)
* 180
18
3、体心点阵
b
倒易矢量r(hRkelc*1ip.rocrahlhl*akatlt*icevekc(tborh)*kll)c*
倒易矢量rhkl的方向垂直于正点阵中（hkl）晶面
2. rh*kl 1 d hkl
倒易矢量rhkl的长度等于正点阵中（hkl）晶面间距的倒数
9
性质一证明：
OA a / h OB b / k OC c / l
cos b * c * cos a * c * cos a * b *
倒易点阵[整理版]
![倒易点阵[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/873958d159f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e924bb.png)
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
第二部分 倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
(2.13)
当基元的几何结构因子为零时，空间点阵所允许的反射消失，而根据消失了 的反射(即消光规则)又可以帮助我们确定晶体结构．
5
例题
2．1 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵
是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．
[证明]
选体心立方点阵的初基矢量如图 1．8 所示，
显然 b1 , b2 , b3 正是面心立方点阵的初基矢量， 故体心立方点阵的倒易点阵是面 心立方点阵，立方晶胞边长是 4π a ． 同理，对面心立方点阵写出初基矢量
a1 = a2 = a3 =
a ˆ+ y ˆ) (x 2 a ˆ+z ˆ) (y 2 a ˆ) ˆ+x (z 2
如图 1.10 所示。 初基晶胞体积 Vc = a1 ⋅ ( a2 × a3 ) =
3
基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．
[证明] (a)
知， 倒易点阵初基晶胞体积为 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ，现计算 b1 ⋅ ( b2 × b3 ) ．由式(2． 1)
b1 =
2π 2π 2π a2 × a3 , b2 = a3 × a1 , b3 = a1 × a2 Vc Vc Vc
倒易点阵矢量定义为 G = l1b1 + l2 b2 + l3b3 ，其中 l1 、l2 、 l3 均为整数．很容易证 明，由倒易点阵矢量 G 所联系的诸点的列阵正是前面由傅里叶分析所定义的倒 易点阵． 2．倒易点阵矢量与晶面指数间的关系 对于晶体中面间跃为 d 的任何一组平行平面(hkl)，有一组倒易点阵矢量与之
b1 = 2π b2 = 2π
b3 = 2π
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
A
S 0 /
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S /
的晶面不
1/
2 C S 0 /
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
2
1/
A
S0 /
O
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
S0 /
倒易点阵
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法
1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此. 倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.
倒易点阵介绍重点
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了 X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
A
S 0 /
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S /
的晶面不
1/
2 C S 0 /
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
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( S S0 )
ha k b l c g hkl
* * *
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均 可由该矢量方程导出。
布拉格方程推导 g
hkl
1
m
θ
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
2009第十二章(A)--倒易点阵
bc a V ca b V ab c V
其中：V a (b c ) b (c a) 的基本性质
a a b b c c 1 a b a c b a b c c a c b 0
求证：
O (正空间原点)
证明思路： 晶胞的结构因子可表示为： Fhkl=Σ fjexp(ifj) 其中fj为原子散射因子 Fj是晶胞中，每个原子散射波的位相 关于位相fj的计算是难点，可以 晶胞内的原点原子为参考点，
求出其他原子散射波相对于原点 原子散射波的位相差即可
证明：
设入射波矢为 k （该方向单位矢量记为 n ） 设衍射波矢为 k （该方向单位矢量记为 n' ） '
k
A
rj
O 正空 间原 点
k'
B
k' k
k'k
将上式代入Fhkl=Σ fjexp(ifj)得：
联系Ewald球可知，当满足布拉格条件时，有k ' k g 因此F hkl f j exp i 2r g） （ F hkl f j exp i 2r g） （ f j exp[i 2 ( xa yb zc ) ( ha kb lc ) f j exp[i 2 ( xh yk zl )
例：对于立方晶系
g 1 * •g 2 * cos Φ = g1 * g 2 * (h 1 a * +k 1 b * +l 1 c*)(h 2 a * +k 2 b * +l 2 c*) = h 1 a * +k 1 b * +l 1 c * (h 2 a * +k 2 b * +l 2 c*) = h 1h 2 + k 1k 2 + l 1 l 2 h 1 2 + k 1 2 +l 1 2 h 2 2 + k 2 2 + l 2 2
2-4-倒易点阵
第二讲主要内容一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）1倒格矢由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：332211b n b n b n G n v v v v++=n 矢量1、n 2、n 3为整数，矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。
矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。
相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。
显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积为我们知道，正点阵的原胞体积V a 为：)a a (a V a 321vv v ×⋅=类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵。
其体积用V 3的原胞其体积用b 表示)b b (b V b 321vv v ×=•倒点阵性质I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：iji i b a πδ2=⋅⎪⎬⎫======••••••0231332123121a b a b a b a b a b a b vv v v v v v v v v v v v v v v v v ⎪⎭===•••π2332211a b a b a b 且任意正、倒格矢满足关系：m 为整数mG R n l π2=⋅vv v v v v332211a l a l a l R l v v v v ++=正格矢：倒格矢证明倒格矢的定义式，即332211b n b n b n G n ++=倒格矢：)b n b n b (n a l a l a l 332211332211 )(v v v vv v ++⋅++=⋅n l G R v v 满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5)(2332211n l n l n l ++=πmπ2=)根据晶面指数定义，(n 1n 2n 3) 该组晶面中最靠近原点的晶面与坐标轴a 1、a 2、a 3交点的位矢：a 332211 n OC n a OB n a OA ===(n 1n 2n 3)晶面上两条相交直线AB 和AC的位矢r 的位矢：- -33112211n a n a CA n a n a BA ==33/n a 22/n a r)() -(3322112211b n b n b n n a n a G BA n ++⋅=⋅11/n a rVI 证明过程：由于晶格的周期性如点某一物理量则有：)()(l U U R r r +=由于晶格的周期性，如U(r)表示r 点某一物理量，则有：r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：321a a a r 321ξξξ++=a a a R l l l ++=321321l ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。
§1.5 倒易点阵
′ ′ ′ ′ ′ ′ = 2 π( l1h1 + l 2 h2 + l 3 h3 )
= 2 πµ
3.
(2π)3 Ω* =
Ω* = b 1 ⋅ b 2 × b 3
3
(
Ω
分别为正、倒格原胞体积) (其中Ω和Ω*分别为正、倒格原胞体积 其中
)
) [( ) ( )]
2π = a2 × a3 ⋅ a3 × a1 × a1 × a2 Ω
′ ′ ′ Rl′ = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3
′ ′ ′ K h′ = h1 b1 + h2 b2 + h3 b3
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第一章 晶体结构
′ ′ ′ ′ ′ ′ Rl′ ⋅ K h′ = (l1 a1 + l2 a 2 + l3 a 3 ) ⋅(h1 b1 + h2 b2 + h3 b3 )
2π a
2π a
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第一章 晶体结构 例2：证明体心立方的倒格是面心立方。 证明体心立方的倒格是面心立方。 体心立方的原胞基矢： 解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a a
2
3
a = − i + j + k 2 a i − j + k = 2 a i + j − k = 2
( ( (
a a 2 +k 2 a a 2 2
−
a 2 a 2
a2 a2 j+ k = 2 2
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第一章 晶体结构
a2 a2 a2 × a3 = j + k 2 2
2π b1 = a2 × a3 = Ω
第1章倒易点阵及电子衍射基础
1.1 晶体结构知识的简单回顾 1.1.1 点 阵 1.1.2 晶体学点群 1.2 倒易点阵 1.3. 正点阵与倒易点阵的指数互换 1.4. 晶面间距与晶面夹角公式 1.5 Bragg定理及其几何图解 1.6 晶带定律与零层倒易截面 1.7 结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型 1.8 倒易点阵与电子衍射图的关系
As interference effects occur in wave motions of all sorts, interference or diffraction patterns can also be formed with light.
X光对晶体的衍射花样
电子衍射：
电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。 下图 分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。
组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。
点群的表示符号有2种 1) Schonflies符号 2) 国际符号（或H-M符号）
Schonflies符号：
• Cn 表示n次旋转对称，取自循环群（Cyclic group）第1
字母
• D 表示二面体群（dihedral group），即n次旋转对称
轴，+ 与n次轴垂直的二次旋转对称
单晶C-ZrO2
多晶Au
非晶
准晶（quasicrystals）
FIGURE 2.13. Several kinds of DPs obtained from a range of materials in a conventional 100-kV TEM: (A) amorphous carbon, (B) an Al single crystal, (C) polycrystalline Au, (D) Si illuminated with a convergent beam of electrons. In all cases the direct beam of electrons is responsible for the bright intensity at the center of the pattern and the scattered beams account for the spots or rings that appear around the direct beam.
第四章--倒易点阵及晶体衍射方向
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。
图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为 d hkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS' 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n λ，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT' 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD ≠ n λ, 则达到TT' 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。
由图 4.1 可知，PA+AD =2d hkl sin θ=n λ (4.1)此即布拉格方程,n 称为衍射级数。
式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2n d hkl (4.1a)因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。
这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。
式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。
2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。
（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。
倒易点阵及X射线衍射几何条件
晶向指数具有如下规律：
由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同，
因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一组晶
向称为晶向族，用<uvw>表示。
例如： 立方晶系中 [111] ， [-111] ， [1-11] ， [11-1] ， [-1-11] ，
[1-1-1] ， [-11-1] ， [-1-1-1] 八个晶向是立方体中四个体对角
Your text in here
h = v1w2 - v2w1 k = w1u2 - w2u1 l = u1v2 - u2v1
7. 晶面间距的计算
晶面间距：指相邻两个平行晶面之间的距离。
斜方(正交)晶系
正方晶系
立方晶系
1 4 2 (h hk k 2 ) / a 2 l 2 / c 2 3
下列关系：
Your text in here
hu+kv+lw=0，
通常把这个关系式称为晶带定律。
Your text in here
注意，晶面指数与其法线的晶向指数实际上 是一样的。
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理
有非常广泛的应用。
（1）可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂 直； （2）可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行 于该晶面）； （4）若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)，则 可用晶带定律求出晶带轴；
第二、三节
倒易点阵及X射线 衍射几何条件
X射线晶体衍射学的发展历程
1895年伦琴发现 X射线后，认为是一种波，但无 法证明。 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有得到 证明。 1912年劳埃和他学生厄瓦尔德产生了用晶体作为 光栅的想法。 同年，劳埃将 X 射线用于 CuSO4 晶体衍射同时证 明了这两个问题，从此诞生了X射线晶体衍射学。 布拉格父子首先利用X射线衍射测定了 NaCl晶体 的结构，提出更简洁的Bragg方程。
2019-分享教案-12倒易点阵
§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法一、倒易点阵的概念X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。
通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。
1921年爱瓦尔德（P.P.Ewald ）通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。
也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。
倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。
它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。
一、 倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），则有Vba c V a cb Vc b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积： )()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系 二、 倒易点阵的性质a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅b a b a b a θ）0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12） 1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为***lc kb ha g hkl ++= （2-14）Φ3在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1=k ，以O 为中心，1/λ为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。
若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是OG ，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。
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bc bc a* V a bc
ca ca b* V bca ab a b c* V c ab
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系
点阵矢量 r * ha * kb * lc * 倒易点阵基本平移矢量：a *, b *, c *
P1S P1 / 源自r* P1SP2 /
•
S0 /
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
材料现代研究方法讲义
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示 衍射条件与衍射方向
反射球（衍射球，厄 瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球 心，以入射线波长的倒 数为半径的球。 产生衍射的条件：若以入 射线与反射球的交点为原 点，形成倒易点阵，只要 倒易点落在反射球面上， 对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向。
衍射矢量方程及厄瓦尔德图解
材料现代研究方法讲义
衍射矢量方程
s s0 (HKL) 衍射矢量
s s 0 2 S sin 2sin 1 s s0 d HKL
s s0 r
* HKL
r * H a * Kb * Lc *
材料现代研究方法讲义
r * ha * kb * lc *
以 a *, b *, c * 为新的三个基矢， 引入另一个点阵，显然该点阵 ca 中的点阵矢量 r * ha * kb * lc * b* V 的方向就是晶面(hkl)的法线方 ab 向，该矢量指向的点阵点指数 c* V 即为hkl。 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 3、粉末法：试样有极多的小晶粒组成的多晶体
倒易点阵
材料现代研究方法讲义
倒易点阵是晶体学中极为重要的概念， 也是衍射理论的基础。
晶体点阵：－－实空间 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点阵)； 倒易点阵：－－倒易空间 根据空间点阵虚构的一种点阵。
材料现代研究方法讲义
倒易点阵概念的引入
在晶体学中通常关心的是晶体取向,即晶面的法线 方向,希望能利用点阵的三个基矢 a, b , c 来表示 出某晶面的法向矢量 S hkl。 S hkl c /l S hkl P, Q
空间点阵中的(hkl)面在倒易点阵中用一个结点表示
晶面与倒易结点的关系
空间点阵
倒易点阵
材料现代研究方法讲义
坐标原点到hkl倒易点的距离等于正点阵 的(hkl)面的面间距的倒数，
r *HKL
1 d HKL
简单立方的倒易点阵： 体心立方的倒易点阵： 面心立方的倒易点阵： （考虑结构因数之后的倒易点阵） 实空间：平面－－－倒易空间：线
二维问题一维化处理
bc a* V
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系
正点阵基本平移矢量：
a, b , c
倒易点阵基本平移矢量： a *, b *, c *
晶胞体积
V a bc b c a c a b a a* b b* c c* 1 a b* b c* c a* 0
b a P k h
S hkl
c b Q l k
Q
0
a/h
b/k
PQ PQ r* ＝ 规一化因子 a bc hkl
P
材料现代研究方法讲义
hkl b a c b r* a bc k h l k