第3章简单随机抽样电子教案

y 1y2yn
n C N n
总体中每个特定的单元y i 在不同的样本
中出现的次数为C
n1 N 1
。
y 1
n
y 1 y 2 y n n 1 C N n 1 1iN 1 Y i
N
Ey CN nyCN nn 11 Ci N n1Yi N 1iN 1Yi Y
7
证 由于每个单元出现在总体所有可能样本
Yy,
E (y),
2
V (y)
n
（3）根据上述样本数据，如何估计？
性 质 ： E (s 2 )2 , v (y ) s 2 (y ) s 2 n
3
3.1 概述
一、简单随机抽样（或单纯随机抽样） 本书一般局限于不放回随机抽样
二、实施方法 三、地位、作用
是其他抽样方法基础 精度较高 但，样本比较分散（局限性）
nn 1 E (a ia j) p (a i 1 & a j 1 ) N (N 1 )
C o v (i,j) E ( a ia j) E ( a i) E ( a j) N n ( 1 N n ) N n 2
1 n(1n) N1N N
13
V ( y ) n 1 2 V iN 1i Y i n 1 2 iN 1 Y i2 V ( a i) iN 1 j N iY i Y jC o v ( a i,a j)
n (n 1 )
E i j(y i Y )(y j Y ) N (N 1 )i j(Y i Y )(Y j Y )
E
(y i Y )(y j Y ) 中 求 和 是 对 n (n 1 )2 项 ，
i j
( Y i Y ) ( Y j Y ) 中 求 和 是 对 N ( N 1 )2 项 .
i j
11
V y n 1 2 E i n 1 (y i Y )2 n 1 2 E i j(y i Y ) (y j Y ) n 1 2N n iN 1 ( Y i Y ) 2 n 1 2N n ( (n N 1 1 ))i j( Y i Y ) ( Y j Y )
n 1 N iN 1(Y i Y )2N n 1 1ij(Y i Y )(Y j Y )
N n 1 1iN 1(Y i Y )2N n 1 1iN 1(Y i Y )2 n 1 N 1 N n 1 1 iN 1(Y i Y )2 N n 1 1 iN 1(Y i Y ) 2 n 1 N N N n 1 i N 1 ( Y i Y ) 2 n 1 N N n N 1 1 i N 1 ( Y i Y ) 2
5
3.2 总体均值与总量的简单估计
一、总体均值的估计 1.简单估计及其无偏性：
在没有其他总体信息的条件下，
y
1 n
n i1
yi来估计Y
1 N
N
Yi
i1
这种估计即是简单估计
性 质 1： E (y)Y
6
证 对于固定的有限总体，估计量的期望是
法 一
对所有可能样本求平均得到的，因此
E yC N n y
NnS21f S2
nNn12 Nhomakorabea 引进N个随机变量：
证 法 二
1, ai 0,
若 若 Y Y ii入 不 样 入 ， 样 ， i1,2,,N
则 ai 都服从两点分布.
显然,
n
P(ai
1)
; N
Nn
P(ai 0)
; N
V (a i) E (a i2 ) E (a i) 2 N n N n 2 N n (1 N n )
第三章 简单随机抽样
1
例:从某个总体抽取一个n=50的独立同分布样本， 样本数据如下：
567 601 665 732 366 937 462 619 279 287
690 520 502 312 452 562 557 574 350 875
834 203 593 980 172 287 753 259 276 876
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证明性质2
证 法 一
V y E y Y 2 E n 1 i n 1 y i Y 2 n 1 2 E i n 1 (y i Y ) 2
n 1 2E i n 1(y i Y )2 n 1 2E i j(y i Y )(y j Y )
Ei n1(yiY)2N niN 1(YiY)2
2.估计量的方差 一般定义，有限总体的方差为： 性 质 2 ： 对 s .r .s ， V ( y ) N n S 2 1 fS 2 n N n
说明：总体方差 2E (Y iY)2N 1iN 1(Y iY)2
但为了使大多数情形下公式表达更简练，定义总 体方差为：
S2N 1 1iN 1(Y iY)2N N 1 2
692 371 887 641 399 442 927 442 918 11
178 416 405 210 58 797 746 153 644 476 （1）计算样本均值与样本方差。 （2）若用 y 估计总体均值μ，按数理统计结果，
是否无偏，并写出它的方差表达式。 （3）根据上述样本数据，如何估计？ （4）假定的分布是近似正态的，试分别给出总体
法 二
中的次数相同，因此 E y 1 y 2 y n
一定是 Y 1 Y 2 Y N 的倍数，且这个倍
数就是 n N ，
E yn 1E i n 1yi n 1N niN 1Y iY
n
N
Eyi cYi
i1
i1
取Yi = Y0
则，nY0cNY0
cn. N
8
证 法
引进N个随机变量：
三
1, ai 0,
均值 的置信度为95%的近似置信区间。
2
（1）计算样本均值与样本方差。
y n 1 i n 1 y i,s 2 n 1 1 i n 1 ( y i y ) 2 n 1 1 ( i n 1 y i 2 n y 2 )
（2）若用 y 估计总体均值μ，按数理统计结果，是否
无偏，并写出它的方差表达式。
若 若 Y Y ii入 不 样 入 ， 样 ， i1,2,,N
则 ai 都服从两点分布.
显然,
n
P(ai
1)
; N
P(ai
0)Nn; N
n N n n
E (a i)1N 0NN (
抽样比
f
)
又因，
y
1 n
N i 1
aiYi
因此，
1N
1N
E (y)ni1Y iE (ai)Ni1Y i Y.
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