传递函数

m dt 2
d 2 yo (t ) dyo (t ) m k[ yi (t ) yo (t )] f 2 d t dt
dy0 (t ) f ky0 (t ) kyi (t ) dt
在零初始条件下方程两边同时求拉氏变换： ms2Yo(s)+fsYo(s)+kYo(s)=kyi(s) 整理得：Yo(s)[ms2+fs+k]=kYi(s) 则：
Ur C Uc
dUc Uc Ur 则： T dt
在零初始条件下方程两边同时求拉氏变换： TSUc(s)+Uc(s)=Ur(s) 整理得：Uc(s)[TS+1]=Ur(s)
则：
U c ( s) 1 ( s ) U r ( s) Ts 1
建立微分方程的一般方法

例二、如图为一机械转动系统，系统的 转动惯量为J，粘性阻尼系数为f，输出 量为惯性负载的角速度ω ，T（t）为作 用到系统上的转矩。求系统的传递函数。 f
C
Uc
解：
d 2 uc duc LC RC Uc Ur 2 dt dt
在初始条件为0的条件下取拉氏变换得：
LCS 2Uc( s) RCSUc( s) Uc( s) Ur( s) ( LCS 2 RCS 1)Uc( s) Ur( s)
Uc( s) 1 ( s ) 2 Ur( s) LCS RCS 1
w( s) 1 ( s ) T ( s) Js f
建立微分方程的一般方法 例二、如图所示，设支撑点a的位移为 yi（t），质量m的位移为yo（t），设k为弹簧 的弹性系数，f为质量m运动时的摩擦 系数，求系统的传递函数。 yi（t） yo（t） 解：列写方程，得： m f a k 整理得： d 2 y (t ) 0
T（t） 1、输入T（t） J 输出 ω ω 2、应用牛顿第二定律 dω dω J T J T (t ) fω dt dt dω J fω T(t) dt


在零初始条件下方程两边同时求拉氏变 换： Jsw(s)+fw(s)=T(s) 整理得： w(s)[JS+f]=T(s) 则：
I(s)
LS
U(s)
③电容
1 U (t ) i (t )dt C
i(t) C U(t)
I(s) 1/CS U(s)
取拉氏变换得：
1 U (s) I (s) CS U (s) 1 Z c (s) I (s) CS
(2)电气网络的等效变换 ①电阻抗的串联 由几个运算阻抗串联组成的一段电路的合成 运算阻抗，等于各个运算阻抗之和。
1、定义：设线性控制系统的输入为 r（t），输出为c（t），在初始条件 为0时，输出的拉氏变换C(s)与输入 的拉氏变换R(s)之比为系统的传递 函数。
# 2—2 传递函数的概念 2、性质 1）、传递函数是描述系统（或文件）运动 过程的一种数学模型，它和系统（或文件） 的微分方程式完全对应的 由输入和输出的关系式 C(s)=(s)*R(s)
2
K S K AC m [ S ( JS f )(La S Ra ) Cm K b S ]c ( s) j K S K AC m Ra r ( s) M L ( s) j j K S K AC m 2 JRa S ( fRa Cm K b ) S c ( s) j Ra KSKACm r ( s) M L ( s) j j
Z (s) Z1 (s) Z 2 (s)
I(s)
Z1
I(s)
Z2
U2(s)
I(s)
U1(s)
U(s)
对于如图所示的分压电路，设电压ei和eo分别 为输入量和输出量，则此电路的合成运算阻 抗为： Z Eo(s) 即为从输入端看进去 Ei(s) I(s) Z2 的回路的总阻抗，称 为回路的输入阻抗。 输出元件上的阻抗即为回路的输出阻抗 所以： Z ( s) Z ( s) Eo ( s)
# 2—2 传递函数

（一）1、概念 2、性质 （二）传递函数的推导方法 例 ； 例一； 例二 例三； 例四；
（三） 机械阻抗分析法 （四）典型环节及其传递函数
# 2—2 传递函数的概念 设线性控制系统的输入为r（t），输出 为c（t），则其输入输出微分方程的 一 般表达式为： dnc(t) dn--1c(t) dc(t) a0——— +a1———+…..+a ———+anc(t) n--1 n n--1 dt dt dt dmr(t) dm--1r(t) dr(t) =b0——— +b1——— +…+bm--1———+bmr(t) m m--1 dt dt dt (n ≽ m)
二、应用阻抗法求传递函数 1、电气元件的运算阻抗：是指在电气元件中 流过电流i(t)时。若是两端电压为U(t)，且初始 条件为0，则电压电流的拉氏变换之比。 即： U (s) Z (s) U ( s) Z ( s) I ( s) 或 I (s)
（1）各种电气元件的运算电路图及运算阻抗 ①对于电阻元件 U(t)
U (t ) Ri(t )
取拉氏变换得：
U ( s ) RI ( s ) U (s) Z R ( s) R I ( s)
R I(s)
i(t)
U(s)
R
②电感
di (t ) U (t ) L dt
i(t)
L U(t)
取拉氏变换得：
U ( s ) LSI ( s ) U ( s) Z L (s) LS I (s)
2 o
Z (s) Z1 (s) Z 2 (s)
1
I ( s)
所以传递函数为：
Z 2 ( s) G( s) Z1 ( s) Z 2 ( s)

# 2—2 传递函数的概念 例如：L – R – C 回路用阻抗法求其传递 函数 R L Ui C Uc
Zi(s) = LS + R + 1/CS Z0(s) = 1/CS 1 Z0(s) 1/CS —— = —————— = —————— (s) = Zi(s) 2+RCS+1 LCS LS + R + 1/CS
令： K K s K ACm
Ra j
Cm Kb F f Ra
则：
1 [ JS FS K ]c ( s) Kr ( s) M L ( s) j
2
若外负载力矩为0，即ML=0则：
c ( s) K ( s ) 2 r s) JS FS K
例五、求串联L– R– C 电路的传递函数 L R Ui i

可以看出，若输入R(s)一定时，则系统的输出 C(s)完全由 (s)形式和参数决定。因此，传递 函数(s)反映了系统本身的特性。
# 2—2 传递函数的概念

2）、传递函数表征系统和元件本身的 固有特性，它由系统的结构和参数决定 而与输入信号无关，传递函数不反映系 统的具体物理结构。 3）、传递函数通常是复变量S的有理真分 式，它的分母多项式的最高次数 n ,高于或 等于分子多项式的最高次数 m ，即 n>= m。 4）、传递函数中的系数均为实数，通常把 传递函数表示成：
U a K AU S dia U a Ra ia La Eb dt
e (s) r (s) c (s) U S (s) KSe (s) U a (s) K AU S (s)
U a (s) Ra I a (s) La SIa (s) Eb (s)
M m Cmia
2
M m (s) Cm I a (s)
d m dm J f Mm ML 2 dt dt
JS m(s) fSm(s) M m (s) M L (s) dm Eb K b Eb (s) Kb Sm (s) dt 1 1 c m c ( s) m ( s) j j

# 2—2 传递函数的概念 二、传递函数的推导方法 1、根据传递函数的定义求传递函数 1）写出系统的微分方程式。 2）假设全部初始条件为零，取微分方程 的拉氏变换。 3）写出表示系统输出量 C(s) 与输入量 R(s) 之比的有理分式，即为系统的传递 函数 (s) .

建立微分方程的一般方法 例一、求如图所示电传递函数。 i R 解：列写电路方程组 Ur=R*i+（1/C）* idt Uc=（1/C）* i dt dUc 整理得： RC Uc Ur dt 令 RC=T
# 2—2 传递函数的概念

假定初始条件为零，上式的拉氏变换为：
[a0sn+a1sn--1+…+a n--1 s+an]C(s) =[b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm]R(s) 式中：C(s)=L[c(t)] , R(s)=L[r(t)] b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm 则:C(s)= ———————————— R(s) a0sn+a1sn--1+…an—1s+an b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm B (s) 令:(s)= ——————————— = —— n n--1 a0s +a1s +…a n—1s+an A (s) 则:C(s)= (s)*R(s)
LS
Ur(s) R
ic
1/cs
Uc(s)

# 2—2 传递函数的概念 求并联部分总阻抗 1/Z+2(s) = 1/R + CS = (1 + RCS)/R Z+2(s) = R/(1 + RCS) Z+(s) = LS + Z+2(s) Ur(s) = Z+(s)*I(s) Uc(s) = Z+2(s)*I(s) Uc(s) Z+2(s) (s) = —— = ——— Ur(s) Z+(s)
# 2—2 传递函数的概念 K(s—z1)(s—z2)…(s—zm) (S)= ————————————— (s—p1)(s—p2)…(s—pn) 式中 : k—传递函数的传递系数 Zi(i=1、2、…m)——传递函数的零点 Pi(i=1、2、…n)——传递函数的极点 零点、极点可以是实数、复数或零。若为 复数则是成对等轭的。若加于系统的输入 信号是单位脉冲函数，则输出量的时间响 应函数等于该系统传递函数的拉氏反变换。

# 2—2 传递函数的概念 ②电阻抗的并联 I1(s) Z1(s) I(s) I2(s) Z2(s)
U(s)
1 1 1 ——— = —— + … + —— Z+(s) Z1(s) Z2(s)

# 2—2 传递函数的概念 例1、如图RLC电路，设电源内阻恒为0， 外加负载阻抗为无限大，即电路与外部 间无负载效应，电路输入电压为Ur，输 出电压为Uc,试求取电路的传递函数。
消去变量i1、i2
d Uc dUc R1C1R2C2 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) Uc Ur dt dt
令T1=R1C1 ，T2=R2C2 ， T3=R1C2 得：
2
d Uc dUc T1T2 2 (T1 T2 T3 ) Uc Ur dt dt
2
对方程两边同时求拉氏变换： 2 T1T2 S U c ( s ) (T1 T2 T3 ) SUc ( s ) U c ( s ) U r ( s )
Yo ( s) k ( s ) 2 Yi ( s) m s fs k
建立微分方程的一般方法
例三、根据如图所示电路，求系统的传递函数。
R1 解：根据电路图，列 写出相应的方程； Ur i1 C1 R2
i2
U c1
Uc
C2
U r R1i1 U c1 dUc1 1 (i1 i2 ) dt C1 U c1 R 2 i2 U c dUc 1 i2 dt C2
U c (s) 1 ( s) 2 U r ( s ) T1T2 S (T1 T2 T3 ) S 1 1 2 C1C2 R1 R2 S (C1 R1 C2 R2 C2 R1 ) S 1
例四、求位置随动系统的传递函数
e r c
U S K Se
Байду номын сангаас
所以：
# 2—2 传递函数的概念