《光学教程》(姚启钧)课后习题1-5章解答

《光学教程》（姚启钧）1-5章习题解答第一章 光的干涉1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。

若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：1500nm λ= 7011180500100.4090.022r y cm d λ-∆==⨯⨯= 改用2700nm λ= 7022180700100.5730.022r y cm d λ-∆==⨯⨯= 两种光第二级亮纹位置的距离为： 21220.328y y y cm ∆=∆-∆=2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm ，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少？⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比。

解：⑴ 7050640100.080.04r y cm d λ-∆==⨯⨯= ⑵由光程差公式210sin yr r d dr δθ=-== 0224y dr πππϕδλλ∆==⋅= ⑶中央点强度：204I A =P 点光强为：221cos4I A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭012(1)0.8542I I =+=3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。

已知光波长为7610m -⨯解： 1.5n =，设玻璃片的厚度为d由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=- ()15n d λ-= ()7645561061061010.5d m cm n λ---==⨯⨯=⨯=⨯-4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上。

通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解： 7050500100.1250.02r y cm d λ-∆==⨯⨯= 由干涉条纹可见度定义：12min2min1221Max Max A A I I V I I A A ⎛⎫ ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭由题意，设22122A A =，即12A A =0.943V ==5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角θ。

解：700,20,180,1nm r cm L cm y mm λ===∆=由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式()()()72sin 20180sin 700100.003522200.1r L y r r L r y λθθλ-+∆=++==⨯⨯=∆⨯⨯180sin 0.003560123.14θθ'≈=⨯⨯B6、在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm 。

劳埃德镜长40cm ，置于光源和屏之间的中央。

⑴若光波波长500nm λ=，问条纹间距是多少？⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共有几条条纹？（提示：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得）解：由图示可知：7050050010,40.4, 1.5150nm cm d mm cm r m cm λ-==⨯====①70150500100.018750.190.4r y cm mm d λ-∆==⨯⨯== ②在观察屏上可以看见条纹的区域为P 1P 2间010.750.22 1.160.750.2P P mm -=⨯=+020.750.22 3.450.750.2P P mm +=⨯=- 即21 3.45 1.16 2.29P P mm =-=，离屏中央1.16mm 上方的2.29mm 范围内可看见条纹。

212.29120.19P P N y ===∆P 2 P 1 P 0题1.6图7、试求能产生红光（700nm λ=）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。

已知肥皂膜折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：2700, 1.33nm n λ==由等倾干涉的光程差公式：22λδ=222λλ=426d nm ==8、透镜表面通常镀一层如MgF 2（ 1.38n =）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。

为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm ）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？解： 1.38n =物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。

由光程差公式：122nh δλ==555099.611044 1.38h nm cm n λ-====⨯⨯9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片l 长10cm ，纸厚为0.05mm ，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源波长为500nm解：02cos602on hδ=+相邻亮条纹的高度差为：605005001012cos60212oh nm mm n λ-∆===⨯⨯⨯可看见总条纹数60.0510050010H N h -===∆⨯ 则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为： 1001010N n l === 即每cm 内10条。

10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm 。

已知玻璃片长17.9cm ，纸厚0.036mm ，求光波的波长。

解：当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式： 22nh λδ=+可得：相邻亮纹所对应的厚度差：2h nλ∆=由几何关系：h H l l ∆=∆，即l h H l ∆∆= 40.1422210.00360.563110563.117.9l n h n H cm nm l λ-∆=∆==⨯⨯⨯=⨯=11、波长为400760nm :的可见光正射在一块厚度为61.210m -⨯，折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：61.210, 1.5h m n -=⨯=由光正入射的等倾干涉光程差公式：22nh λδ=-使反射光最强的光波满：足22nh j λδλ=-=()4172002121nh nm j j λ==⨯++5,654.5j nm λ==6,553.8j nm λ== 7,480.0j nm λ== 8,423.5j nm λ==12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式：22nh h δ== 移动一级厚度的改变量为：2h λ∆=60.25109092nmλ⨯=60.25102550.0909nm λ⨯⨯==13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为244cm ⨯，观察到该镜上有20个条纹，当入射光的波长为589nm 时，两镜面之间的夹角为多少？解：由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式： 22nh h δ==相邻级亮条纹的高度差：2h λ∆=由1M 和2M '构成的空气尖劈的两边高度差为：2010H h λ∆=⨯∆=710589100.0001472530.3944H rad α-∆⨯⨯''==== M 1M 21M2M '14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。

若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。

（提示：圆环是等倾干涉图样，计算第一暗环角半径时可利用21sin ,cos 12θθθθ≈≈-的关系。

）解：500nm λ=出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉 对中心2h δ=72210001100050010 2.5100.252h h cm mmλ--∆=∆=⨯⨯⨯=⨯=15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm ，在它外边第5个亮环的直径为4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

解：由牛顿环的亮环的半径公式：r =()22132122j R r λ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()222 4.62(5)122j R r λ⎛⎫++== ⎪⎝⎭以上两式相减得：12.1654R λ= 3312.160.590310590.345 1.0310mm nm λ-==⨯=⨯⨯⨯16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环间距为1mm ，求第19和20级亮环之间的距离。

解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：r=即：2r=3r=19r=20r=则：) 2019320.160.4 0.4r r r r r mm ∆=-==-==第2章 光的衍射1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。

求第k 个带的半径。

若极点到观察点的距离0r 为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：由公式2011HR k r R λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞20H R kr λ=26301450101100.45H R kr λ-==⨯⨯⨯⨯=H R =2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。

问：⑴小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；⑵P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此光的波长为500nm 。

解：⑴04400r m cm ==H R ===当k 为奇数时，P 点为极大值 当C 数时，P 点为极小值⑵由()112P k A a a =±，k 为奇，取“+”；k 为偶，取“-”当1k =，即仅露出一个半波带时，P 点最亮。

10.141,(1)H R cm k ==，0.282D cm =3、波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接收点P 离光阑1m ，求P 点的光强I 与没有光阑时的光强0I 之比。

解：()12321190.50.510111115001011H H R mmRk r R λ--=⨯⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭()223222901110111145001011H H R mmR k r R λ--=⨯⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭ 即从透光圆环所透过的半波带为：2，3，4 设1234a a a a a ==== 234P A a a a a =-+= 没有光阑时()111,2,01122P k k PA a a k a A a a '=±→∞→'== 光强之比：2204112I a I a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭4、波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：⑴屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？⑵要使P 点变成与⑴相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？解：由公式2011HR k r R λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞2290 2.7623632.8101H R k r λ-⎛⎫ ⎪⎝⎭===⨯⨯， 即P 点为亮点。