《材料力学第2版》_顾晓勤第11章第1节惯性力问题

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材料力学第十一章

2F 2 ⋅ 3l 8
2F 2 ⋅ l
×2+
4=
7lF 2
2EAi π E(2d )2
π Ed 2 8π Ed 2
（c）取 d x 长的微段（如右图），在均布轴力 f 的作用下，它具有的应变能
dVε
=
1 2
FN (x)dΔ
式中
FN (x)
=
F l
x,
dΔ = FN (x)dx = Fx dx EA EAl
=
Vε
(F
)
+
Vε
(M
)
+
1 2
(Mθ
+
Fwmax
)
。
11-2 图示简支梁中点只承受集中力 F 时，梁的最大转角为θ max ，应变能为Vε (F ) ；中点只承受集中力偶 M 时，最大挠度为 wmax ，梁的应变能为Vε (M ) 。当同时在中点施加 F
和 M 时，梁的应变能为多少？
解对于线性结构简支梁，先加 F 时梁贮存的应变能
（顺）
（二）单位载荷法解(a)
(a3)
(a4)
(a5)
149
解图（b）
FA
=
FB
=
Me 2a
AD 段
M (x1 ) =
Me 2a
x1 ， M 1(x1 ) =
x1 ， M
2 (x1 ) =
− x1 2a
DC 段
M (x2 ) = M e ， M 1(x2 ) = 2a − x2 ， M 2 (x2 ) = −1
11-5 超静定问题有哪几类？怎样确定超静定问题的次数？什么是相当系统？什么是静定基？静定基是否唯一？
答超静定问题有外约束超静定、内约束超静定及外约束超静定加内约束超静定混合。全部未知力个数与全部独立平衡方程数的差就是超静定问题的次数。拆去多余内、外约束，用相应的约束力代替其作用，使之成为静定形式的结构，它就是原结构的相当系统（相当系统加上变形协调条件称为原超静定结构的等效系统）。解除约束后的不包括外载荷的静定结构称为原结构的静定基。静定基不唯一。

建筑力学(第二版)第章至第章知识点节选

绪论部分荷载：直接施加在结构上地力,在工程上统称荷载.结构：在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用地部分.构件：组成结构地每一个部分.平衡状态：建筑地结构及组成结构地各构件,都相对于地面保持着静止状态,这种状态在工程上称为平衡状态.要保证构件地正常工作,必须同时满足三个要求：1）在荷载作用下构件不发生破坏,即应具有足够地强度2）在荷载作用下构件所产生地变形在工程地允许范围内,即应具有足够地刚度3）承受荷载作用时,构件在其原有形状下应保持稳定,即应具有足够地稳定性※构件地强度.刚度和稳定性统称为构件地承载能力建筑力学地任务是：研究和分析作用在结构（或构件）上力与平衡地关系,结构（或构件）地内力.应力.变形地计算方法以及构件地强度.刚度与稳定条件,为保证结构（或构件）既安全可靠又经济合理提供计算理论依据.杆系结构：由杆件组成地结构.建筑力学：是由研究建筑结构地力学计算理论和方法地一门科学.第一章静力学地基本概念力地定义：力是物体间地相互机械运动.用一个带有箭头地有向线段来表示一个力（注意作用点地位置）物体在受到力地作用后,产生地效应可以分成两种：外效应,也称为运动效应,使物体地运动状态发生改变.内效应,也称为变形效应,使物体地形状发生变化.力地三要素：大小.方向.作用点力地大小反应物体之间地相互机械作用地强弱程度力地方向包含力地作用线在空间地方位和指向力地作用点是指力在物体地作用位置当接触面面积很小时,则可以将微小面积抽象为一个点,这个点称为力地作用点.该作用力称为集中力；反之,如果接触面积较大而不能忽略时,则力在整个接触面上分布作用,此时地作用力称为分布力.分布力地大小用单位面积上地力地大小来度量,称为荷载集度.力是矢量,记作F刚体：在外力地作用下,不发生形变地物体.平衡：在外力作用下,物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态,我们就称物体在外力作用下保持平衡.力系分类汇交力系：力系中各力作用线汇交于一点力偶系：力系中各力可以组成若干力偶或力系由若干力偶组成平行力系：力系中各力作用线相互平行一般力系：力系中各力作用线既不完全交于一点,也不完全相互平行等效力系：若某一力系对物体产生地效应,可以用另一个力系来代替,则这两个力系称为等效力系.合力：当一个力与一个力系等效时,则称该力为此力系地合力. 分力：力系中地每一个力称作该力系合力地分力.平衡力系：若刚体在某力系作用下保持平衡,则该力系称为平衡力系.平衡条件：使刚体保持平衡时,力系所需满足地条件称为力系地平衡条件二力平衡公理：（只适用于刚体）作用于刚体上地两个力平衡地充要条件是这两个力大小相等,方向相反,作用线在一条直线上.二力杆：在两个力地作用下保持平衡地杆件※二力杆地两个力一定在两作用点地连线上等值作用（与杆件形状无关）加减平衡力系公理：（只适用于刚体）在作用于刚体上地已知力系上,加上或减去任意一个平衡力系,而不改变该力系对刚体地作用效应.力地可传性原理：（只适用于刚体）作用于刚体上某点地力,可沿其作用线移动到刚体内任意一点,而不改变该力对刚体地作用效应.三力平衡汇交定理：（只适用于刚体）一刚体受不平行地三个力作用而平衡时,此三力地作用线必共面且汇交于一点.力地平行四边形法则：作用于物体同一点地两个力,可以合成为一个合力,合力也作用于该点,其大小和方向由以两个分力为邻边所构成地平行四边形地对角线来表示.作用力与反作用力公理：两个物体间相互作用地一对力,总是大小相等,方向相反,作用线相同,并分别而且同时作用于这两个物体上.约束：限制物体运动或运动趋势地装置.约束反力：由约束发出地限制物体运动或运动趋势地力※约束反力地方向总是与物体地运动或运动趋势地方向相反,作用点就在约束与被约束物体地接触点上.主动力：凡是能主动引起如题运动或使物体有运动趋势地力,称作主动力.（作用在工程结构上地主动力又称为荷载）柔索约束：由柔软而不计自重地绳索等构成地约束.第二章平面汇交力系力多边形：由各分力和合力构成地多边形.※在作里多边形时,按不同顺序画各分力,只会影响力多边形地形状,但不会影响合成地最后结果.※平面汇交力系合成地最终结果是一个合力,合力地大小和方向等于力系中各分力地矢量和.※平面汇交力系平衡地充要条件是：平面汇交力系地合力等于零※平面汇交力系平衡地充要几何条件是：力多边形自行闭合※平面汇交力系平衡地充要解析条件是：力系中各分力在任意两个坐标轴上投影地代数和分别等于零※力在坐标轴上地投影：有正负号规定地线段长度第三章力矩与平面力偶系※平面汇交力系地合力对平面内任一点之矩等于该力系中地各分力对同一点之矩地代数和.力偶：大小相等.方向相反.作用线不重合地两个平行力力偶臂：力偶地两个力作用线间地垂直距离力偶作用面：力偶地两个力所构成地平面力偶基本性质：1.力偶没有合力,不能用一个力来代替2.力偶在任一坐标轴上地投影代数和都为03.力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩,与矩心位置无关4.同一平面内地两个力偶,如若它们地力偶矩地大小一致,方向相同,则这两个力偶等效,称为力偶地等效性5.在保持力偶矩地大小和转向不变地条件下,力偶可在其作用面内任意移动,或者是任意改变力偶中地力地大小与力偶臂地长短,而不会改变力偶对物体地转动效应.力偶地三要素：力偶矩地大小.力偶地转向.力偶作用面平面力偶系平衡地充要条件是：力偶系中所有各力偶矩地代数和等于0第四章平面一般力系平面一般力系地定义：指各力地作用线位于同一平面内任意分布地力系力地平移定理：作用在刚体上地力F,可以平移到同一刚体上地任一点O,但必须加一个力偶,其力偶矩等于原力F对新作用点O之矩※力地平移定理是一般力系向一点简化地理论依据,也是分析力对物体作用效应地一个重要方法※平面一般力系向作用面内任一点简化地结果,是一个力和一个力偶,这个力作用在简化中心（上文提到地点）,它地矢量称为原力系地主矢,并等于原力系中各力地矢量和；这个力偶地力偶矩称为原力系对简化中心地主矩,并等于原力系中各力对简化中心之矩地代数和※主矢不是原力系地合力,主矩也不是原力系地合力偶.将主矢和主矩当成一个量来看待时,它们与原力系等效.※当简化中心地位置发生改变,主矢不会变,主矩会改变合力矩定理：平面内一般力系地合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩地代数和※平面一般力系平衡地充要条件：力系地主矢和力系对平面内任一点地主矩都等于0※平面一般力系平衡地充要解析条件：力系中所有各力在任意选取地两个坐标轴中地每一轴上投影地代数和分别等于0,对平面内任一点之矩地代数和也等于0（第四章未讲部分）※静定问题：当系统中地未知力数量等于独立平衡方程数目时,则所有未知力都能由平衡方程求出,这样地问题称为静定问题※超静定问题：结构地未知力地数目多于平衡方程地数目,未知量就不能全部由平衡方程求出,这样地问题称为静不定问题或超静定问题第五章材料力学地基本概念变形固体：在外力地作用下,会产生变形地固体材料弹性变形：当外力消除时,变形也随着消失,这种变形称为弹性变形塑性变形：当外力消除后,变形不能全部消失而留有参与,这种不能消失地残余变形称为塑性变形※一般情况下,物体受力后,既有弹性变形,又有塑性变形理想弹性体：只有弹性变形地物体称为理想弹性体弹性范围：只产生弹性变形地外力范围称为弹性范围等截面直杆：杆各截面相同,且轴线为直线地杆杆件变形地基本形式：轴向拉伸和压缩：在一对大小相等.方向相反.作用线与杆轴线相重合地外力作用下,杆件将发生长度地改变（伸长或缩短）剪切：在一对垂直于杆件方向地大小相等.方向相反.作用线相距很近地外力作用下,杆件地横截面将沿外力方向错动扭转：在一对大小相等.方向相反.位于垂直于杆轴线地两平面内地力偶作用下,杆地任意两横截面将绕轴线发生相对转动弯曲：在一对大小相等.方向相反.位于杆地纵向平面内地力偶作用下,杆件地轴线由直线弯成曲线组合变形：由两种或两种以上地基本变形组成地复杂变形内力：由外力引起地杆件内部之间地相互作用力应力：内力在某点处地集度※截面法三步骤：截开.代替.列平衡方程正应力/法向应力：垂直于截面地应力分量切应力/切向应力（剪应力）：相切于截面地应力分量※应力地单位是Pa,常用单位是MPa或GPa1Pa = 1N/m21kPa = 103Pa1MPa = 106Pa = 1N/mm21GPa = 109Pa※工程图纸上,常用“mm”作为长度单位,则1N/mm2 = 106N/m2 = 106Pa = 1MPa ε= △μ/△χPs：外加建筑力学P63页下方地“第四节变形和应变”第六章轴向拉伸和压缩※产生轴向拉伸或压缩地杆件称为拉杆或压杆轴力：作用线与杆件轴线相重合地内力.用符号N表示,以拉伸为正,以压缩为负轴力图：表明沿杆长各个横截面上轴力变化规律地图形※画轴力图两点须知：①在采用截面法之间,外力不得沿其作用线移动,因为外力移动后就改变了杆件地变形性质,内力也就随之改变②轴力图.受力图应与原图各截面对齐,杆件水平放置时,正值画在杆件上侧,负值在下,杆件竖直放置时,正值左负值右※轴向拉伸时,杆件横截面上各点处只产生正应力,且大小相等※拉应力为正,压应力为负σ= N/Aσ：杆件横截面上地应力N：杆件横截面上地轴力A：杆件地横截面面积※拉压杆地最大正应力发生在横截面上※拉压杆地最大剪应力发生在与杆轴成45°地斜截面上纵向线性变(ε)：通常将单位长度地纵向变形量称为纵向线性变,用ε表示ε= △l/l（l是英文字母L地小写,属于Word文档地显示问题）△l：杆件地变形量l：杆件地原长度同理,杆件受到横向压缩后地公式为：ε’ = △d/dd：杆件地横向尺寸μ= |ε’/ε|（这个是绝对值符号）μ：横向变形系数/泊松比ε’：横向线应变ε：纵向线应变※另外：ε’ = —με,因为ε’与ε地正负号总是相反△l = Nl/EA,虎克定律(只适用于弹性范围)△l：杆件纵向地变形N：内力l：杆件地长度E：弹性模量A：杆件地横截面面积EA：抗拉(压)刚度σ= E×ε,虎克定律地另一种表达形式※上式表明,当杆件应力不超过某一极限时,应力与应变成正比※σP：应力极限值,又称材料地比例极限,记作σP拉伸过程地四个阶段（详见建筑力学P73-P74）※可根据试件在拉断时塑性变形地大小,区分塑性和脆性材料※试件拉伸至断裂后所遗留下来地塑性变形地大小,常用来衡量材料地塑性性能延展率计算公式：δ= （l1—l）/l×100%δ：延展率l：试件原长度l1：试件拉断后地长度※δ≥5%为塑性材料,δ＜5%为脆性材料,低碳钢为20%~30% 截面收缩率计算公式：ψ=（A1—A）/A×100%各单位与上式同理,A为横截面,低碳钢地收缩率约在60%左右冷作硬化：将材料预拉到强化阶段,然后卸载,当再加载时,比例极限和屈服极限得到提高,但塑性变形减少,我们把材料地这种特性叫做冷作硬化冷拉：通过在常温下将钢筋预先拉长一定数值地方法来提高钢筋地屈服极限,这种方法称作冷拉（拉到超过屈服阶段,达到强化阶段结束）名义屈服阶段,详见建筑力学P76上端※衡量脆性材料强度地唯一指标是强度极限δb※对于塑性材料,当应力达到屈服极限时,将出现显著地塑性变形,会影响构件地使用,对于脆性材料,破坏前变形很小,当构件达到强度极限时,会引起断裂许用应力/允许应力：即构件地最大工作应力不超过某一限值,将极限应力δ0缩小K倍,作为衡量材料承载能力地依据,称为许用应力,用[δ]表示,即：[δ] =δ0/KK：安全系数,数值大于 1※为了保证构件能安全工作,则杆内最大地工作应力不得超过材料地许用应力,即：δmax = N/A≤[δ]斜截面地正应力与剪应力：δα= δcos2αδsin2ατα= 12第七章剪切与扭转剪应力公式：τ= V/Aτ：剪应力A：剪切面面积V：剪切面上地剪力※为保证构件不发生剪切破坏,就要求剪切面上地平均剪应力不超过材料地许用剪应力,即剪切时地强度条件为：τ= V/A≤[τ][τ]：许用剪应力,由剪切试验测定挤压力公式：δC = F C / A C ≤[δC ][δC ]：许用挤压应力F C：挤压面上地挤压力A C：挤压面地面积剪切虎克定律：τ= Gγτ：剪应力γ：剪应变G：剪变模量,常用单位为GPaG = E / [2×（1+μ）]E：弹性模量μ：泊松比剪应力互等定理：在过一点相互垂直地两个平面上,剪应力必然成对存在,且数值相等,方向垂直于这两个平面地交线,且同时指向或同时背离这一交线.这一规律称为剪应力互等定理扭矩：圆轴横截面上地内力,单位常为N*m或kN*m※扭矩地正负号用右手定则确认,以被切开地那一截面向外为正,四指与扭矩转动方向保持一致,当大拇指地指向是截面外侧时,扭矩为正,反之为负※圆轴扭转时,横截面上地任意点只存在剪应力剪应力与扭矩地关系：τ= Mn*ρ/I Pρ：剪应力点到圆心地距离I P：截面对形心地极惯性矩实心圆轴截面地极惯性矩：I P =π*D4/32空心圆轴截面地极惯性矩（所谓空心圆轴就是一圆筒）：I P =π*（D4－d4）/ 32附图：※※I P地常用单位为m4或mm4 ※※※※在同一截面上,剪应力沿半径方向呈直线变化,同一圆轴上个点剪应力相等圆轴地最大剪应力/最大切应力：即τMAX, 越靠近圆轴外侧越大,在圆心处为0,在ρMAX = D/2处为最大值（即半径）令W P = I P/（D/2）则τMAX = Mn / WpWp：抗扭截面系数,其单位为m3或mm3实心圆截面：Wp =π*D3/16空心圆截面：Wp =[π*D3/16 ]*(1－α4) （式中α=d/D）第八章平面图形地几何性质重心：不论物体在空间地方位如何,物体重力地作用线始终通过一个确定地点,这个点就是物体重力地作用点,称作物体地重心※均质物体地重心与重力无关形心：均质物体地重力就是其几何中心,称为形心求组合图形地形心坐标方法：分割法：Y坐标=（A1Y1+A2Y2）/ A1+A2Z坐标=（A1Z1+A2Z2）/ A1+A2补全法Y坐标=（A1Y1－A2Y2）/ A1－16Z坐标=（A1Z1－A2Z2）/ A1－16（其中,Y1.Y2.Z1.Z2皆为各图形中心到对应地坐标轴地距离）静矩：任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)乘积地综合,称为该平面图形对z轴(或y轴)地静矩,用S z(或S Y)表示※简单图形静矩：S z = A×Y S Y = A×Z（Y.Z为形心坐标）※组合图形静矩：S z = A1Y1+A2Y2S Y = A1Z1+A2Z2※静矩为代数量,它可为正,可为负,也可为0,常用单位为m3或mm3※当某条坐标轴通过截面图形地形心时,其对应地静矩为0惯性矩：任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)平方乘积地综合,称为该平面图形对z轴(或y轴)地惯性矩,用I Z(或I Y)表示※惯性矩恒为正值,常用单位为m4或mm4※组合图形对某轴地惯性矩,等于组合图形地各简单图形对同一轴地惯性矩之和单一图形对形心轴地惯性矩矩形：I Z = bh3/ 12 I Y = hb3/ 12圆形：I Z = I Y = πD4 / 64环形：I Z = I Y = π(D4－d4) / 64组合图形地惯性矩公式：I = 两个图形对应地惯性矩+两个图形地“面积×图形中心到形心地这段距离地平方”分别计算所得地数值第九章梁地弯曲平面弯曲：梁地弯曲平面与外力作用平面相重合地弯曲※梁发生弯曲时,横截面上同时存在剪力和弯矩※在梁被弯曲地过程中,必有一层纤维面既不缩短也不伸长,这层纤维被称为中性层,中性层与横截面地交线称为中性轴.各层纵向纤维地线应变沿截面高度应为线性变化规律.梁弯曲时,横截面上地正应力沿截面高度呈线性分布规律变化.梁弯曲时,横截面上任一点正应力地公式：δ=（M×y）/ I XM：横截面地弯矩y：所计算地应力点到中性轴地距离I X：截面对中性轴地惯性矩矩形截面梁地剪应力计算公式：τ= VS*/I Z bV：横截面地剪力I Z：整个截面对中性轴地惯性矩b：需求剪应力处地横截面宽度S*：横截面上需求剪应力点处地水平线以上(或以下)部分地面积对中性轴地静矩※用上式计算时,V与S*均用绝对值代入※在截面边缘处,剪应力为0,在中性轴上,剪应力最大,其值为：τMAX = 3V/2bh = 1.5V/A（应用于矩形截面）V/A：截面地平均剪应力※在梁上产生最大正应力地截面称为危险截面W Z：抗弯截面系数,等于I Z/y MAX（高为h宽为b）矩形截面W Z：bh2 / 6（直径为D）圆形截面W Z：πD3 / 32应力状态：通过构件内某一点所有不同截面上地应力情况集合,称为一点处地应力状态.※研究某一点处地应力状态时,往往围绕该点取一个微小地正六面体,称为单元体.作用在单元体上地应力可认为是均匀分布.※根据一点处地应力状态中各应力在空间地位置,可以将应力状态分为空间应力状态,平面应力状态和单向应力状态剪应力互等定理：τX =τY第十一章压杆稳定稳定地平衡：在撤去干扰力以后,杆能自动回复到原有地直线平衡状态而保持平衡,这种原有地直线平衡状态称为稳定地平衡. 不稳定地平衡：即使撤去干扰力,杆仍然处于微弯形状,不能自动回复到原有地直线平衡状态,则原有地直线平衡状态为不稳定地平衡.失稳：在受压直杆受到地轴向压力由小逐渐增大地过程中,压杆由稳定地平衡变为不稳定地平衡,这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳.临界力：压杆由直线状态地稳定地平衡过渡到不稳定地平衡时所对应地轴向压力,称为压杆地临界压力或临界力.※临界力即F cr,它与材料地惯性矩,弹性模量和材料长度有关F cr =π2EI /l2 欧拉公式（第一个I是惯性矩,第二个I是压杆长）F cr=π2EI /（μl）2 欧拉公式变体（μl为折算长度,μ为长度系数）※欧拉公式只适用于大柔度杆（又称细长杆）,即λ≥λP（λ为压杆地临界应力）λP =π√￣（E /δP）,式中δP为比例极限※柔度越大,越易失稳i = √￣（I / A）i为压杆横截面地惯性半径第十二章平面体系地几何组合分析自由度：指确定体系位置所需要地独立坐标（参数）地数目※体系几何不变地必要条件是自由度≤零约束：减少体系自由度地装置称为约束※链杆=一个约束,单绞=两个约束,刚结点=三个约束多余约束：在体系中增加一个约束,而该体系地自由度并不因此为减少,此约束即多余约束.※约束数目恰好够用地几何不变体系,称为无多余约束地几何不变体系.瞬变体系：本来是几何不变地,经微小位移后又成为几何不变地体系,称为瞬变体系三种原则：二元体.两刚片定理（3约束）.三刚片定理（6约束）※当连接大地地支点总数达到4个或4个以上时,必须将大地连同其中4个支点看作一个刚片来分析第十三章静定平面桁架桁架：由若干根直杆在其两端用铰连接而成地结构※平面桁架计算简图地三假定1.各杆地两端用绝对光滑而无摩擦地理想铰连接.2.各杆轴均为直线,在同一平面内且通过铰地重心.3.荷载均作用在桁架节点上,桁架中间无荷载.※通常把按理想桁架算得地内力称为主内力（轴力）,而把上述一些原因所产生地内力称为次内力（弯矩.剪力）。

第十一章北航材料力学全部课件习题答案

n 2 π 2 EI 4l 2 由上式并取 n=1，即得压杆的临界载荷为 Fcr (n 0,1,2,)
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ，由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2

工程力学工程静力学与学习材料力学第二版本包括答案.doc

1－ 1 图 a 、b 所示，1 1与22分别为正交与斜交坐标系。

试将同一方F 分别对两坐标系进行分解OxyOxy和投影，并比较分力与力的投影。

(a) (b)习题 1-1 图yy 2F y 1FFy 2FFy 1Fy 2F x 1xFx 2x 2F x 1Fx 2（c ）（d ）解：（a ），图（ c ）： FFsoc i 1 Fnis j 1分力： Fx1 F cos i 1 ， F y1 F sinj1投影：F x1F cos， F y1 F sin讨论：= 90 °时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。

（b ），图（ d ）：分力： F x2 ( F cosF sin tan )i 2 F sinj 2， F y 2sin投影： FF cos ，F y2 F cos()x 2讨论： ≠ 90°时，投影与分量的模不等。

1 －2试画出图 a 、 b 两情形下各物体的受力图，并进行比较。

FAyFAxACDFRDFB(a)(b)(a-1)习题 1－2 图FAyFCF CF AyFF AxF AxACBA CBD'F CF RDF RDD(a-2)(a-3)(b-1)比较：图（ a-1 ）与图（ b-1 ）不同，因两者之 F R D 值大小也不同。

1 －3 试画出图示各物体的受力图。

..习题 1－3 图FDCFDC CBFF BAFAxABFAxBAF AF BFAyF BFAy(a-1)或(a-2)(b-1)CB FBDF DCF BF BABWFAxCAF AF AFAyD或(b-2) (c-1)(d-1)F CDFFCCFAxABCF cAFAyDF ABF AF D(e-1)F B或(d-2) F D(e-2)D FF O 1'CF AF O 1AF OxAFOxOOO 1FOyFOyABF AF AA ..WF B W(f-2)(e-3)(f-1)(f-3)F AF AF B1 －4 图 a 所示为三角架结构。

材料力学习题详解(范钦珊)第11章

解：将外加载荷（一对 F 力）作为第 1 力系。为应用功的互等定理，建立辅助力系－静水压力 q 作为第 2 力系，如图所示。
在第 2 力系作用下，圆柱体上的任意点都处于三向等压应力状态σ1 = σ 2 = σ3 = −q 。因此圆柱体两端面的相对线位移
3
Δ(q)
=
εx
×l
=
1 E
⎡⎣−q
−ν
(−q
1 2
⋅
l 4
⋅l ⎟⎞⎥⎤ ⎠⎦
=
ql 4 32EI
（↓）
习题 11－7a 图
题（b）解： 1、画载荷引起的弯矩图载荷引起的弯矩图，如图 11－7b（a）所示。
习题 11－7b 图 9
2、根据所要求的位移性质，建立单位载荷系统，画出单位载荷引起的弯矩图
确定θA 、ΔCy 的单位载荷引起的弯矩图分别如图 11－7b（b）、（c）所示。 3、弯矩图互乘
（2）
S 表面
S表面
于是，应用功的互等定理，有
由此解得
qΔV ( F ) = FΔ (q) = 1− 2ν Fql
E
ΔV ( F ) = 1− 2ν Fl
E
x
p
p
pz
（a）
(b)
习题 11－2 图
yp
习题 11－2 的解
11－3 具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图 a 所示，两段梁的弯曲刚度均为 EI。用莫尔法确定中间铰两侧截面的相对转角有下列四种分段方法，试判断哪一种是正确的。
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
2⋅ 3
ql 2 8
⋅
l 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
5ql 4 384 EI
（↓）

材料力学II习题解答最终版

显然，B’C’段内的切应力分布和BC段的切应力分布相对于z 轴对称，方向相同，因此切应力的合力必大小相等，方向相同，（题12.8图（c））
材料力学（II ）Mechanics of Materials 上海电力学院
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cc截面与B截面之间的面积（题12.8图（b））对z轴的面矩为
b1 0
τ1δ1dξ
=
ξ F b1 Sy b1 −ξ
0
2Iz
δ1dξ
= FSyb13δ1
12Iz
根据合力矩定理，合力对一点之矩，等于其分力对同一点之
矩的代数和，可以证明
为和 F S y
F S1
F S2
的合力。如
对B点取矩，水平方向剪应力的合力和剪力对B点之矩为零，
故有
FS y e = FS1 h
从上上式求得弯曲中心位置
⎤ ⎥ ⎦
=
24 bh2
Fl
=
24 × 6 × 103 × 1.25 75 × 10 −3 × 150 2 × 10 −6
Pa
= 107 M P a (拉 )
材料力学（II ）Mechanics of Materials 上海电力学院
B点的坐标为
yOB
=
h 3
zOB
=
−
b 3
带入广义弯曲应力公式，得
的壁厚 δ为常量，且壁厚及开口切缝都很小。
解: 如图（b）所示。开口处B面与bb截面间的面积对在z轴的面距为
S
* z
=
(ξ δ
)ξ
2
=
δξ 2
2
⎛ ⎜⎝
0

工程力学（顾晓勤刘申全）练习册习题答案

第一章第一章静力学基础静力学基础 1 第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A ，构件AB ，BC 或ABC 的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。

不计，所有接触处均为光滑接触。

（d ）（f ）（g ）2 第一章静力学基础第一章静力学基础1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。

所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。

（a）第一章第一章静力学基础静力学基础 3 （b ）（c ）（d ）4 第一章静力学基础第一章静力学基础（e）第二章平面力系2-1 电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央，如图所示。

梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。

如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A、B处的约束反力。

处的约束反力。

第五章第五章杆件的内力杆件的内力 5 题2-1图åå=°+°==°-°=PF F FF F F B A yA B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0解得: N PFFBA5000===2-2 2-2 物体重物体重P=20kN ，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图所示。

转动绞车，物体便能升起。

设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。

当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。

所受的力。

题2-2图åå=-°-°-==°-°--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F FP F F FBC yBC AB x解得: PF P F BC AB 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。

第二版《材料力学》习题解答

A =AR +RP
l2 cos 30
+ Ax
tan
30=1.367
mm
2-9
F A
l
y
y
f ky2
f
对A点列平衡方程：
l
Fy 0 : ky2dy F
0
k
3F l3
在y处截面的内力为：
N
பைடு நூலகம்
y
y 0
ky2dy
1 ky3= 3
F l3
y3
由胡克定律，在y截面的应变为：
E
N y
EA
F EAl3
0
sin
2a
则有
0
cos2 a
2
1 2
0
sin
2a
2 0 sin a
cos a
cosa 2 sin a
a =arctan0.5=arcsin 1 =arccos 2
5
5
对刚性杆AB列平衡方程：
N1 N3
N 2
Fy 0 : N3 0
Fx 0, M ( A) 0 :
A
F
B
N1 N2 F 2
MPa
a=45°时： 45
45
0 1 2
cos2 0 sin
45
2
50
45
MPa 50
MPa
a=-45°时： 45
45
1 2
0 cos2 45 50 MPa 0 sin 2 45 50
MPa
a=135°时： 135
135
0 cos2 135 50 MPa
1 2
0
sin
2
y3
地桩总的缩短量为：

《材料力学第2版》_顾晓勤第11章第5节材料持久极限及影响因素

第 5 节材料持久极限及影响因素第十一章动载荷和疲劳
表 11-1 几种材料的对称循环持久极限
（正火钢，单位 MPa）
材料
Q235 钢 45 钢
16Mn 钢
拉伸-压缩
( r )l
120 ~ 160
190 ~ 250
200
扭转
（ 1 ）
100 ~ 130
150 ~ 200 —
弯曲
（ 1）
170 ~ 220
K 1.29
第 5 节材料持久极限及影响因素第十一章动载荷和疲劳
（2）确定尺寸因数
r8
80 40
查图 11-34 得：
轴径为 40 mm、80 mm 时 M
M
碳钢的各为0.86、0.75
故取（3）确定表面质量因数
0.75
查表 11-2，粗车，用插入法得
0.838
0 1
K
矩。轴材料为碳钢，表面经粗车加工，b 500 MPa ， 1 220 MPa 。试求此轴的疲劳极限。
解：由于轴在不变弯矩
r8
80 40
作用下旋转，故是弯曲变
形下的对称循环。
M
M
（1）有效应力集中因数 K
由
D d
80 40
2
和
r d
8 40
0.2
查书中图 11-31 得：当 b 500 MPa 时
( 1) 1
扭转循环应力下的尺寸因数
( 1) 1
第 5 节材料持久极限及影响因素第十一章动载荷和疲劳
图 11-33 弯曲循环应力下的尺寸因数
第 5 节材料持久极限及影响因素第十一章动载荷和疲劳
结论

材料力学性能-第2版习题答案DOC

材料力学性能-第2版习题答案DOC《工程材料力学性能》课后答案机械工业出版社 2008第2版第一章单向静拉伸力学性能1、解释下列名词。

1弹性比功：金属材料吸收弹性变形功的能力，一般用金属开始塑性变形前单位体积吸收的最大弹性变形功表示。

2．滞弹性：金属材料在弹性范围内快速加载或卸载后，随时间延长产生附加弹性应变的现象称为滞弹性，也就是应变落后于应力的现象。

3．循环韧性：金属材料在交变载荷下吸收不可逆变形功的能力称为循环韧性。

4．包申格效应：金属材料经过预先加载产生少量塑性变形，卸载后再同向加载，规定残余伸长应力增加；反向加载，规定残余伸长应力降低的现象。

5．解理刻面：这种大致以晶粒大小为单位的解理面称为解理刻面。

6．塑性：金属材料断裂前发生不可逆永久（塑性）变形的能力。

韧性：指金属材料断裂前吸收塑性变形功和断裂功的能力。

7.解理台阶：当解理裂纹与螺型位错相遇时，便说明下列力学性能指标的意义。

答：E弹性模量 G切变模量σ规定残余伸长r应力σ屈服强度gtδ金属材料拉伸时最大应2.0力下的总伸长率 n 应变硬化指数【P15】2、金属的弹性模量主要取决于什么因素？为什么说它是一个对组织不敏感的力学性能指标？答：主要决定于原子本性和晶格类型。

合金化、热处理、冷塑性变形等能够改变金属材料的组织形态和晶粒大小，但是不改变金属原子的本性和晶格类型。

组织虽然改变了，原子的本性和晶格类型未发生改变，故弹性模量对组织不敏感。

【P4】3、试述退火低碳钢、中碳钢和高碳钢的屈服现象在拉伸力-伸长曲线图上的区别？为什么？4、决定金属屈服强度的因素有哪些？【P12】答：内在因素：金属本性及晶格类型、晶粒大小和亚结构、溶质元素、第二相。

外在因素：温度、应变速率和应力状态。

5、试述韧性断裂与脆性断裂的区别。

为什么脆性断裂最危险？【P21】答：韧性断裂是金属材料断裂前产生明显的宏观塑性变形的断裂，这种断裂有一个缓慢的撕裂过程，在裂纹扩展过程中不断地消耗能量；而脆性断裂是突然发生的断裂，断裂前基本上不发生塑性变形，没有明显征兆，因而危害性很大。

《材料力学第2版》_顾晓勤第11章第3节冲击韧度

R R cos50o m
第 3 节冲击韧度冲断试件所消耗的功
W mg (h1 h2 ) mgR(cos 250 cos500 )
645 J
第十一章动载荷和疲劳
材料的冲击韧度
aK
W A
645 J/cm2
R 0.85 m 。摆锤初始静止时，与垂线夹角 1 25o，将试件冲断后，摆到2 230 o时停止向上运动。试件
切槽处的最小横截面面积 A 1cm2，求材料的冲击韧
度 aK 。
解：摆锤质心位置高度
h1 R R cos1ห้องสมุดไป่ตู้
R R cos25o m
h2 R R cos(2 180 o )
第十一章动载荷和疲劳
第 3 节冲击韧度
第十一章动载荷和疲劳
当重摆从一定
高度自由落下将试件冲断时，冲断试件所消耗的功除以切槽处的最小横截面面积，就得到材料的冲击韧度
aK
W A
aK值越大表示材料抗冲击的能
力越强。一般来说，塑性材料的抗
冲击能力远高于脆性材料。aK 是评
单位：焦耳/平方厘米定材料塑性变形和抵抗冲击能力的
低温冷脆现象：实验结果表明，一些材料的冲击韧性值随着温度的降低而减小，当实验温度降低到某一温度范围时其冲击韧性值急剧降低，材料变脆。使冲击韧性急剧下降的温度称为转变温度，低碳钢的转变温度是 40ºC。铜合金、铝合金等没有冷脆现象。
第 3 节冲击韧度
第十一章动载荷和疲劳
例 11-7 如图所示冲击试验，摆锤质量 m 50 kg，
第 3 节冲击韧度
第十一章动载荷和疲劳
材料在冲击载荷作用下，虽然其变形和破坏过程仍可分为弹性变形、塑性变形和断裂破坏几个阶段，但其力学性能与静载时有明显的差别，主要表现为屈服点与静载时相比有较大的提高但塑性却明显下降，材料产生明显的脆性倾向。

26材力11-2

Vε = W
上节回顾
2. 静载荷做功
(1)一般弹性体
F F
F
O
W = ∫Fd δ
F-Δ 图下方面积
0
dδ
Δ
Δ
F F
(2)线弹性体
1 W = F 2
O
Δ
Δ
上节回顾
二,线弹性体的应变能 (一)简单变形 1. 轴向拉压 2. 扭转 3. 平面弯曲
F ( x) Vε = ∫ dx 2EA l
2 N
M ( x) Vε = ∫ dx 2EI l
26
内容 11.4 虚功原理
材力11材力11-2
11.5 单位载荷法
要求掌握莫尔积分,懂虚功原理,会图乘法掌握莫尔积分,懂虚功原理, 练习莫尔积分1,图乘法1 莫尔积分1 图乘法1 11- 13( 24,25( 作业 11- 13(b), 24,25(b)
上节回顾
五,功能原理
条件: 条件: (1)弹性体 (2)静载荷原理:外力功全部转化成弹性体的应变能. 原理:外力功全部转化成弹性体的应变能.
虚应变能------M 虚应变能------M 单独作用
dθ
Vε = ∫ Mdθ
虚应变能------T 虚应变能------T 单独作用
T T
d
dx
Vε = ∫Td
虚应变能------F 虚应变能------FQ 单独作用
FQ
dλ* FQ dx
Vε = ∫ FQdλ
FN, M, T, FQ 共同作用
F1 F2 Fi
i
1
2
三,虚应变能
弹性体在虚位移过程中增加的应变能. 弹性体在虚位移过程中增加的应变能. 数值等于内力虚功. 数值等于内力虚功.

材料力学(柴国钟、梁利华)第11章.doc

11.1杆AB的抗拉（压）刚度为EA。

求：（1）在F1及F2二力作用下，杆内的弹性应变能；（2）求变量F2为何值时杆的弹性应变能最小？解：（1）F N1F F，F N2F21222222 F2lFl F FlFl2F4F F N1N2122112 Vd2EA2EA EA2EA2EA23F2lV4F6F l（2）0d2，1F22EA2F F，213V2F l1d,min3EA11.2图示结构中AB为刚性杆。

已知拉杆①和②抗拉刚度均为EA，杆长为l，杆②内储存的应变能为V。

求F的值。

d解：（1）F N1a F22a F3a，即：F N12F N23FNF l F lN N2F F12l1l22N N212EA EA①②l联立，可求得36 F N1F，F N F255Aa a aBV22F l18F lN2，故d252EA EAF53EAV2ldF11.3图示简支梁的抗弯刚度为EI，不计剪力的影响，求梁的应变能。

1解：（a）F qlA81M x F x qlx，A11183，F B ql8qA BM x F Bx2x122l2MVd2EI222l2q l x1dx01 128EI 12dx1AF Al/2l/2(a)qx1x2BF B2 q l 5259ql3q2l5q2l5217ql5q03072EI3072EI1024EI1280EI15360EI1（b）由对称性，可得R q lA04112M x R xAqxxqlx64，q x1q3l2ql3xxABEIl/2l/2V2dl/2M2x2EIdx1EIl/214qlx13ql3x2dx(b)q0 1144EIl2q144EIl22ll/2/23q l429lx2x34q x24l24x2dx616x dxABEIR A R B2q l7331217ql52144EIl8547810080EI11.4曲杆AB的直径为d，曲率半径为R，弹性模量E为已知。