高中数学练习：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

高中数学练习：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

基础巩固(时间：30分钟)

1.(全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件

则z=2x+y的最小值是( A )

(A)-15 (B)-9 (C)1 (D)9

解析：先作出满足约束条件的平面区域.

因为z=2x+y,所以y=-2x+z,

向下平移,过A点时z最小,z=2×(-6)-3=-15.选A.

2.(梅州模拟)在坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为( B )

(A)2 (B) (C) (D)2

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易得

=×CD×(4-)=×2×=.

A(,),B(3,4),C(1,0),D(-1,0),故S

△ABC

3.(全国Ⅲ卷)设x,y满足约束条件

则z=x-y的取值范围是( B )

(A)[-3,0] (B)[-3,2]

(C)[0,2] (D)[0,3]

解析：作出可行域和直线l：y=x平移直线l,当过点M(2,0)时,z

=

max

=0-3=-3,所以z的范围是[-3,2],故选B.

2-0=2,当过点N(0,3)时,z

min

4.(宜昌模拟)设实数x,y满足不等式组则ω=的取值范围是( B )

(A)(-,1) (B)［-,1)

(C)(,1) (D)［,1)

解析：作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,由于可以看作直线的斜率形式,于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A(-1,1)连线的斜率最大、最小问题.

如图,当直线过点B(1,0)时,斜率最小,此时ω==-;

当直线与x-y=0平行时,斜率最大,此时ω=1,但它与阴影区域无交点,取不到.故ω=的取

值范围是［-,1］.故选B.

5.(上饶模拟)x,y满足约束条件

若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )

(A)或-1 (B)2或

(C)2或1 (D)2或-1

解析：作出可行域(如图),为△ABC内部(含边界).由题设z=y-ax取得最大值的最优解不唯一

可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合.由k

AB =-1,k

AC

=2,k

BC

=可得a=-1或a=2或

a=,验证：a=-1或a=2时,成立;a=时,不成立.故选D.

6.(泉州模拟)已知M,N是不等式组

所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是( B )

(A)(B) (C)3 (D)

解析：由题意作出可行域,如图所示.当|MN|=|AC|或|MN|=|BD|时,|MN|能取得最大值.可求得A点坐标为(,),B点坐标为(1,2),C点坐标为(1,1),D点坐标为(5,1),

所以|AC|===,

|BD|==.

因为<,所以|MN|的最大值为.故选B.

7.(浙江卷)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是,最大值是. 解析：不等式组所表示的平面区域如图所示,当时,z=x+3y取最小值,最小值为-2;当时,z=x+3y取最大值,最大值为8.

答案：-2 8

8.(台州模拟)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域内一动点,则|OM|的最小值是.

解析：不等式组表示的平面区域如图所示,

|OM|表示区域内的点到坐标原点的距离,其最小值为O到直线x+y-2=0的距离,

==.

所以|OM|

min

答案：

能力提升(时间：15分钟)

9.(宿州模拟)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( C )

(A)31 200元(B)36 000元

(C)36 800元(D)38 400元

解析：设租A型车x辆,B型车y辆,租金为z元,

则即

画出可行域(图中阴影区域中的整数点),

则目标函数z=1 600x+2 400y在点N(5,12)处取得最小值36 800元.

10.(盐城模拟)已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( D )

(A)(B)(C)(D)

解析：画出平面区域Ω,即△OAB的内部及边界,x2+y2≤2表示的区域为以原点O为圆心,半径为的圆的内部及边界,如图,

由得A(4,-4).

由得B(,).

则|OA|=4,|OB|=,且∠AOB=,

=×4×=.

于是S

△OAB

而扇形的面积为×π×()2=.

故所求的概率为P==.

11.设x,y满足约束条件则下列不等式恒成立的是( C )

(A)x≥3 (B)y≥4

(C)x+2y-8≥0 (D)2x-y+1≥0

解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图象可知x≥2,y≥3,A,B错误;点(3,8)

在可行域内,但不满足2x-y+1≥0,D错误;设z=x+2y,y=-x+z,由图象可知当其经过点(2,3)时,z取得最小值8,故x+2y-8≥0.故选C.

12.(亳州模拟)设不等式组所表示的平面区域为M,若函数y=k(x+1)+1的图象经过区域M,则实数k的取值范围是( D )

(A)[3,5] (B)[-1,1]

(C)[-1,3] (D)［-,1］

解析：画出不等式组所表示的平面区域M,如图中阴影部分所示,函数y=k(x+1)+1的图象表示一条经过定点P(-1,1)的直线,当直线经过区域M内的点A(0,2)时斜率最大,为1,

当直线经过区域M内的点B(1,0)时斜率最小,为-,故实数k的取值范围是［-,1］,故选D.

13.(赣州模拟)若x,y满足|x|+|y|≤1,则z=的取值范围是.

解析：|x|+|y|≤1表示的平面区域如图,由z==,及斜率公式可知,其几何意义是平面