一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图

求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程

方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b

x x a

+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值

例 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 22

12x x +；

(2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-

(1) 2222

121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=

(2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=

-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，

121212

11x x x x x x ++=，22

121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

【课堂练习】

1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22

的值为_________

2．已知x 1，x 2是方程2x 2

－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，

（x 1－x 2）2

＝

3．已知方程2x 2

－3x+k=0的两根之差为212

，则k= ;

4．若方程x 2

+(a 2

－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;

5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2

=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;

6． 设x 1,x 2是方程2x 2

－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22

(2) 1x 1 －1x 2

7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （2）构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是

。

例解方程组 x+y=5

xy=6

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ①的两根

由方程①解得 z1=2,z2=3

∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

x2=3,y2=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为

的两根，则c=2

由题意知

△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4

∴

为所求。

【典型例题】

例1 已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -++

+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．

解：(1) ∵方程两实根的积为5

∴ 2

22121[(1)]4(1)034,41215

4

k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨

⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知： ①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故3

02

k ∆=⇒=

； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于

3

02

k ∆>⇒>

，故1k =-不合题意，舍去．

综上可得，3

2

k =

时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．

例2 已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根．