习题解答9定积分的概念与性质---定积分的换元法和分部积分法
【2019年整理】定积分的换元法与分部积分法99169
四、设 f ( x)在 a , b 上连续，
证明
b
f ( x)dx
b f (a b x)dx.
a
a
五、证明：
1 x m (1 x)n dx 1 x n (1 x)m dx .
0
0`
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六、证明：
a f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx,
a
0
并求
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
0 ( t) f (sin t)dt,
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0 xf (sin x)dx 0 f (sin t)dt 0 tf (sin t)dt
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
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3
x
3
)dx
___________________；
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 (arcsin x)2
2
1
2
1 x2
定积分的换元法和分部积分法
10
1 1 ( x)2
d( x) 2
arcsin
x 2
1 0
π 2
2
例3
计算
02
sin6xcosxdx
解
02
sin6xcosxdx02
sin6xd(sinx)
π
sin
7x
2
7 0
1 7
例4
计算
1e
1 lnx x
dx
解
e 1
1 lnx dx x
e1(1lnx)d(1lnx)
(1
ln
1
1
解法1
2 0
arcsinxdx
02arcsixnd(x)
1 1 xdx
xarcsixn02
2 0
1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
解法2
1
02arcsixndx
换 元t： arcsxin
6td(sitn)
则xsin t 0
分 部 积 分
2. 第二类换元积分法
设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续 ，函数 xφ(t)
满足 (1) φ(α)a, φ(β)b
(2) φ(t)在 [α, β]（或 [β, α]）上具有连续
导数，且 φ(t)[a, b] ，于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: （1）换元前后，上限对上限、下限对下限；
2
t
3
2 t
3 1
8 3
例7
计算
04
数学积分第五章
b xn x
A lim f ( i ) x i
0 i 1
n
二、定积分的定义 定义：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上有界，在 (a, b) 内任意
插入 n - 1 个分点
a x 0 x1 x 2
… xn 1 xn b
把区间 [a, b] 分成了 n 个小区间 [ x i 1 , x i ] ，其长度为
( i 1, 2 ,
… , n)
小区间的长度 x i x i x i 1 ⑵ 取近似 A i f ( i ) x i ⑶ 求和
A A i f ( i ) x i
i 1 i 1 n n
⑷ 取极限：设 为小区间长 度的最大值，则 o x0 a x 1 x 2 x i 1 i x i
b b
⑵ a [ f ( x) g ( x) ] d x a f ( x) d x a g ( x) d x ; 性质 ⑵ 可以推广到有限个可积函数的情形。 ⑶ 对任意常数 a , b , c，总有
b
b
b
a
b
f ( x) d x
a
c
f ( x) d x
c
b
f ( x) d x .
y
y f ( x)
y
y f ( x)
y
y f ( x)
。 .
o a c b x o a
。 .
.
c
。
.
c
b
x
o
a
b
x
三、定积分的几何意义（1）
由定积分的定义可得：
在闭区间 [a, b] 上，若函数 f ( x) 0 ，则 a f ( x ) d x 在几
定积分的换元法和分部积分法课件
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
5.3 定积分的换元法和分部积分法
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
第六节定积分的换元积分法和分部积分法
0
0
=(e 2-1）+ 2 ex cosxdx 0
移项得
2
2 0
ex
cosxdx
=(e 2-1）
所以
2 ex cosxdx
0
=
1
2 (e 2-1）
例11 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
sec t tan t
3
4 dt
.
2 3
12
思考题1解答
计算中第二步是错误的. x sect
t
2 3
,
34,
tant 0,
x2 1 tant tant.
正确解法是
2 dx
x sec t
3 4
1
sec t tan tdt
2 x x2 1
2 3
sec t
tan t
3
4 dt
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
思考题
1.指出求 2 dx 的解法中的错误，并写出正
2 x x2 1
确的解法.
解 令 x sect, t : 2 3 , dx tan t sectdt,
34
2
2 x
dx x2 1
3 4
1
sec t tan tdt
2 3
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
定积分第三节定积分的换元法和分部积分法
2
解
4
0
sin
xdx
x0 t,tx0,;dxx22t,d tt202tsitndt
42
202tdcots
2tcot0 2s202cotdst
2sint02 2
例4 计算
1 0
l(n2(1x)x2)dx.
解
1
0
l(n2(1x)x2)dx
01ln1 ( x)d2 1x
ln2(1xx)10012 1xdln1(x)
f[ ( t ) ] ( t ) dt
说明:
b
af(x)d x f[ ( t ) ] ( t ) dt
1) 当 < , 即区间换为[,]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
( t ) ]
( t ) dt
b
f (x)dx
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121 xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
导数，则有
b
a udv
例9 计算 01xscionsx2 xdx .
解 积分区间为 0,，被积函数为 xfsixn
型，利用定积分公式⑥得
0 1 xs cix o 2x n ds x 20 1 scix o 2n xdsx
20 1c1o 2xd scoxs 2arccta oxn s 042
例11
设f
定积分的换元法和分部积分法
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
定积分应用知识点总结
定积分应用知识点总结1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解曲线下面积或者曲线围成图形的面积。
在实际问题中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质心、弧长、体积、工作、功等物理量。
2. 定积分的计算定积分的计算可以通过积分的定义或者牛顿-莱布尼茨公式来进行。
积分的定义是将一个曲线f(x)在区间[a,b]上分成无穷多段，每一段的面积为f(x)与x轴之间的面积的无限和，然后通过极限的方法求得。
而牛顿-莱布尼茨公式则是通过原函数的求导与积分的关系，直接求出定积分的值。
3. 定积分的性质定积分有很多重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和应用中起到了非常重要的作用，可以简化定积分的计算过程。
4. 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，例如可以用来求解曲线围成的图形的面积、计算质心、弧长、体积、工作、功等物理量。
在工程、物理、经济学等领域都有着重要的应用价值。
5. 定积分的计算技巧对于一些特定的函数，可以通过一些积分的技巧来简化定积分的计算，例如换元积分法、分部积分法等。
这些技巧可以帮助我们更快速、准确地求解定积分。
在实际问题中，我们经常会遇到需要利用定积分来计算一些物理量或者解决一些实际问题，下面我们通过一些实际例子来解释定积分的应用知识点。
1. 计算物体的质心在物理学中，质心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡位置。
对于一个均匀密度的物体，我们可以通过定积分来计算它的质心位置。
假设物体在x轴上的密度分布函数为ρ(x)，则物体的质心位置可以通过如下公式计算得出：\[X=\frac{\int_{a}^{b}xρ(x)dx}{\int_{a}^{b}ρ(x)dx}\]其中，\(\int_{a}^{b}xρ(x)dx\)表示物体的动量矩，而\(\int_{a}^{b}ρ(x)dx\)表示物体的总质量。
通过这个公式，我们就可以求得物体的质心位置。
定积分的换元法和分部积分法
x
dx
021
1
t
2tdt
202(111t)dt
2tln|1t|0 2
42ln3
（2）根号下为 x的二次式
整理课件
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设xs int， π t π， 则dxcotsd， t
2
2
且当x0时， t 0； 当 x 1 时，t π， 因 此
2
6
1 2 0
x2 1 x2
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续，f(x)dx F(x)C
那么
a bf[ (x ) ](x )d x a bf[ (x )d ] (x )F [ (x )a b ]
整理课件
例1 计算
3
e
x 3
dx
0
解
3 0
e
x
3 dx
330e
x 3
d(
x )
3
3
e
x 3
3 0
3(e1)
例2 计算 10
导数，且 φ(t)[a, b] ，于是
a bf(x)dx βf[φ(t)φ ](t)dt
注意: （1）换元前后，上限对上限、下限对下限；
（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引 入新的变量记号，积分限跟着变。
整理课件
（1）根号下为 x的一次式
例6 计算
3 0
x dx 1 x
解 设 1 x t，即x t2 1， 则dx2td， t
1 2[(π 4π 6)1 2sinx2π π 4 6]
1[π 1(11)] 2 12 2 2
π 1 24 8
2. 第二类换元积分法
定积分的换元法与分部积分法
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
2、
0
(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.
定积分的换元法与分部积分法
∫
∫
π 0
x 2 cos xdx
(C)例4.
∫
解： 原式 = ∫ 02 sin xde x = e x sin x 02 − ∫ 02 e x d sin x
π 2 x 0 π
e sin xdx
π π
π 2 π 2 x 0 π 2 0 π 2 0 π 2 0
= e − ∫ e cosxdx
= e − ∫ cosxde x
x2
2
2
(2) ∫
2 1
e dx 2 x
2 1
1 x
解： ∫
1 １ e 1 2 2 x dx = − ∫ 1 e d =[et ]1 = e − e x x2
1 x
(B)练习1.计算下列定积分
(1) ∫ 0 x sin x dx
2 π
( 2) ∫
e3 1
2 1 π 2 e 3 d (1 + ln x ) 解：原式 = ∫ 0 sin x dx 解：原式 = ∫ 1 2 1 + ln x 1 e3 2 π = 2 1 + ln x 1 = − cos x 0 2 =2 =1
当x = 0时，t = 0; 当x = 4时，t = 2.
则
∫
4 0
2 e x dx = 2∫ 0te t dt
2 2 2 = [tet ]0 − ∫ 0 et dt = 2e 2 − [et ]0
= e2 + 1
4 ∴ ∫ 0 e x dx = 2(e 2 + 1)
(C)练习4.求下列定积分：
(1) ∫ e cos xdx
2
1 9 t 1 t 9 1 9 ∴ ∫ xe dx = ∫ 0 e dt = [ e ]0 = (e − 1) 2 2 2 另解： (凑微分法) 1 3 x2 2 3 x ∫ 0 xe dx = 2 ∫ 0e dx 1 1 = [ e x ] 3 = (e 9 − 1) 0 2 2 注：两种方法比较可知凑微分法简洁明了。
大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法
大学高等数学：第四章第三讲定积分的换元法和分部积分法由上节我们知道计算定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量，在第三章讲不定积分时，我们知道用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分，下面我们就来讨论积分的这两种计算方法。
在讨论这两种积分方法前，我们补充下上节课定积分的性质中的一个知识点一.周期函数与奇偶函数的积分性质1.对称区间上奇偶函数的定积分对于对称区间上的定积分，首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函数或连续函数，则有如何证明，证明：证(2)设f(x)在[-a,a]为偶函数，记作F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0),要证F(x)在[-a,a]为奇函数，即证F(-x)=-F(x)或F(x)+F(-x)=0,(x∈[-a,a])即F(x)=∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数当f(x)在[-a,a]连续且为偶函数时，也可通过求导数证F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]).因[F(x)+F(-x)]'=f(x)-f(-x)=0(x∈[-a,a]),故F(x)+F(-x)在[-a,a]为常数，又[F(x)+F(-x)]=0(x=0),则有F(x)+F(-x)=0(x∈[-a,a]),即F(x)在[-a,a]为奇函数。
另一类结论类似可证证(3).∫f(x)dx=∫f(t)dt(上限x,下限0)+C，其中C为任意常数当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函数，任意常数C 也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。
当f(x)为偶函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数，→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.2.周期函数的积分定理：假定函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)，那么通过列题来巩固下：设f(x)在[0,1]连续，∫f(lcosxl)dx(上限π/2，下限0)=A，则I=∫f(IcosxI)dx(上限2π，下限0)=？分析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得下面看下有关定积分奇偶函数的证明列题列：n为自然数，证明在这个题目中注意两点：1.奇x奇=偶偶x偶=偶奇x偶=奇 2.当n为奇数，sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。
定积分的换元法与分部积分法99169
0
2
f
sin
2
t
dt
2 f (cos t)dt 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）设 x t dx dt,
x 0 t ,
x t 0,
0
0 xf (sin x)dx ( t) f [sin( t)]dt
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
x
4 0
ln 2 . 84
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1 ln(1 x)
例10
计算 0
(2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 x) (2 x)2
b
uv
b
vdu.
a
aa
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1
例8 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 22
4
3
3
5、2 2 ； 6、3 ； 2
7、 ； 8、 ；
4
8
9、17 ； 10、当 0 时 ,8 2 ； 当0 2
定积分第三节定积分的换元法和分部积分法
1
2 arcsin
0
xdx
x arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1 x2
1 2
3 1.
12 2
0
例2
计算
e
1
x
ln
xdx
.
解
e
1
x ln xdx
e ln xdx 2
0
1
x
sin x cos2
dx x
.
解 积分区间为 0, ，被积函数为 xf sin x
型，利用定积分公式⑥得
0
1
x
sin x cos2
dx x
2
0
1
sin x cos2
dx x
2
0
1
1 cos
2
d x
cos
x
2
arctancos
x
0
令 x t
f (x) f (x)时
f (x) f (x)时
例7 计算 1 2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数