高中数学空间向量的线性运算知识点解析

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空间向量及线性运算

如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线平行或重
合，那么称向量平行于直线.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量平行于平面α．平
行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

我们知道，任意两个空间向量总
是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的．那么，
线所表示的向量．
B'
D
A
C
B
知识点二空间向量的加减运算及运算律
探究对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关
系?反过来，与有什么位置关系时，=λ?
对任意两个空间向, (≠0)， ∥ 的充要条件是存在实数，
使 = .
知识点二空间向量的加减运算及运算律
(4) +
解析：(1) ′ − = ’-=’ + =’;
(2)′ + +’’=’+’’=’;
(3) − + ’’=+’’=+=0
(4) + =+=
'
A'
D
A
C'
C
F
E
B
―→
―→
2．已知非零向量 e1，e2 不共线，如果 AB ＝e1＋e2， AC ＝
量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：
1 + = + =
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足
2 − = − =
以下运算律(其中λ，μ∈R):
3 当 > 0时， = =
当 < 0时， = =

原创1：1.1.1 第一课时空间向量的线性运算

∴四边形ABCD为平行四边形．
课堂小结
课堂小结
1．空间向量与平面向量的关系
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
成为同一平面内的两个向量．
已知空间向量，
Ԧ b可以在任意平面α内，
以任意点O为起点，作向量＝，＝
Ԧ
b.
课堂小结
2．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”
向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确．
跟踪练习
练习1：设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO + OB= DO + OC ，则四边
形ABCD是( A )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析 ∵ AO + OB= DO + OC ，
∴ A= D.
∴ A与D平行，| A |＝| D |.
向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．
典例精析
例3: 化简( − ) − ( − )
解析： ( − ) − ( − )
结合律
= − − +
化为加法
= + + +
= + + ( + )
= +
(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；
(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
(4)向量与向量的长度相等．
典例精析
解析： (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，
但不能把二者完全等同起来．
(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，
只要它们的方向不相同即可．

人教B版高中数学选修(2-1)-3.1知识点拨：空间向量的线性运算

3.1.1空间向量的线性运算本节，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

一、其教育价值体现在：空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。

向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。

向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。

同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。

掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。

利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。

新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。

二、教学中应注意的问题1.作为空间向量的第一课时，应该让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，比如课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移就用到了我们空间向量，而且三次位移不在同一个平面上，从而进入课题。

数学复习：空间向量及其线性运算

数学复习：空间向量及其线性运算学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．导语国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念知识梳理1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用字母a ，b ，c ，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)向量共线不具备传递性(非零向量除外)．例1下列关于空间向量的说法中正确的是()A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同答案D解析A 中，单位向量长度相等，方向不确定；B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量不能比较大小．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1(多选)下列说法错误的是()A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等答案BCD解析对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2(1)(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是()A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→答案AB解析A 中，A 1D 1——→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→；B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→＝BC 1—→＋C 1D 1——→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.(2)对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，其中一定不成立的是()A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－AC →＝BC→C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →|答案B解析根据空间向量的加减法运算，对于A ，AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于C ，当AB →，BC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于D ，当AB →，AC →方向相同且|AB →|≥|AC →|时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|；对于B ，由向量减法可知AB →－AC →＝CB →，所以B 一定不成立．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.解(1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)如图，连接GF ，GF ＝12BC ，AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0λa 与向量a 的方向相反λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa )＝(λμ)a 分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度．(3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC→＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .延伸探究1．例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →.解因为P ，N 分别是D 1C 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1—→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1—→)－12AD a ＋12b －12c .2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12，其他条件不变，如何表示AP →？解AP →＝AD 1——→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →；(2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.解(1)由图可知，OQ →＝PQ →－PO→＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →.∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →，∴PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.1．知识清单：(1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．(3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是()A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是()A ．PM →B ．NP→C ．0D ．MN→答案C解析PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是()A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形答案A解析∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形．4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则BE →＝________.答案12a －32b ＋12c 解析BE →＝12(BP →＋BD →)＝12(－b ＋BA →＋BC →)＝－12b ＋12(PA →－PB →＋PC →－PB →)＝－12b ＋12(a ＋c －2b )＝12a －32b ＋12c .练习1．下列说法中正确的是()A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B ．AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案C解析对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D 错误．2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是()A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案D解析向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反．3.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是()A ．AD →与CB →B ．OA →与OC →C ．AC →与DB →D ．DO →与OB→答案D解析对于A ，AD →与CB →的方向相反，因而不是相等向量，所以A 错误；对于B ，OA →与OC →的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误；对于C ，AC →与DB →的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误；对于D ，DO →与OB →的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D 正确．4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于()A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c答案C解析A 1B —→＝AB →－AA 1—→＝(CB →－CA →)－AA 1—→，∵AA 1—→＝CC 1—→＝c ，∴A 1B —→＝b －a －c .5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于()A ．12a －12b ＋12cB ．－12a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．12a ＋12b －12c答案B解析MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－12a ＋12b ＋12c .6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有()A ．AB →－CB →＝AC →B ．AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→C ．AA ′——→＝CC ′——→D ．AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′——→答案ABC解析作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→＝AC ′——→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.答案AD→解析AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________.答案－a －b ＋12c解析∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点，∴AM →＝12AA 1—→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1—→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.(1)化简AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→；(2)若AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D ——→＋D 1A 1——→＝0，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个)解(1)AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→＝AB →＋BB 1—→＋B 1D 1——→＝AB 1—→＋B 1D 1——→＝AD 1—→.(2)因为BC →＝B 1C 1——→，D 1A 1—→＝DA →，所以AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D —→＋D 1A 1——→＝AA 1—→＋x ＋B 1C 1——→＋C 1D —→＋DA →＝0．所以AA 1—→＋x ＋B 1A —→＝0，所以x ＝A 1B 1——→.又因为A 1B 1——→＝AB →＝DC →＝D 1C 1——→，所以x 可以是A 1B 1——→，AB →，DC →，D 1C 1——→中的任一个．10．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解∵AE →＝AB →＋BC →＋CE→＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32→，又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于()A ．DB→B ．AB →C ．AC →D ．BA →答案D 解析方法一DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.方法二DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于()A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′——→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′——→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′——→D ．12AB →－16AD →＋13AA ′——→答案C 解析因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′——→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′——→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′——→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′——→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′——→.13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.14．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案12a ＋14b ＋14c 解析在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c .15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案6解析在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16．如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心．(1)求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)化简：SA →＋12AB →－32CO →－SC →.(1)证明OA →＝－13(AB →＋AC →)，①OB →＝－13(BA →＋BC →)，②OC →＝－13(CA →＋CB →)，③由①＋②＋③得OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)解因为CO →＝23×12(CA →＋CB →)＝13(CA →＋CB →)，所以SA →＋12AB →－32CO →－SC→＝(SA →－SC →)＋12(CB →－CA →)－32×13(CA →＋CB →)＝CA →＋12(CB →－CA →)－12(CA →＋CB →)＝0．。

新高二暑假讲义第1讲空间向量及其运算(解析版)

第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4.掌握空间向量的数量积。

知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定；假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.；B.；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面；C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D AB A B ++= B ．1111()0A C AB A A -=C ．向量1AD 与向量1A B的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++= ， 221113AC A B =，∴22111()3()AC A B = ，所以A 正确；1111A B A A AB -= ，11AB A C ⊥，∴110A C AB =，故B 正确；1ACD ∆ 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥ ，∴10AB AA = ，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键．由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量．【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OP OA OB tOC=++，若P，A，B，C四点共面，则实数t=．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC=++，且P，A，B，C四点共面，∴31148t++=18t∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC-中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE BC的值为．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．由E是棱AB中点，可得1()2PE PA PB=+，代入PE BC，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．E是棱AB中点，∴1()2PE PA PB=+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC=+=+=⨯⨯⨯︒=-．故答案为：1-．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又，所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．（2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解答】（1）证明： 1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解： 111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++ ，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a=⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ= ，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a < ，b > ，再由平方关系求出sin a < ，b > 的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，||||sin b a b a b ==<⊗ ，a > ，故a b b a =⊗⊗ 恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗ ，)b > ，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗ ，b > ，故()()a b a b λλ=⊗⊗ 不会恒成立；对于C ，若a b λ= ，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗ ，c > ，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗ ，||||sin c b c b >+< ，(1)||||sin c b c b λ>=+< ，c > ，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ 不会恒成立；对于D ，cos a < ，1212||||x x y y b a b +>= ，sin a < ，b >= ，即有||||||a b a b a ==⊗=1221||x y x y ===-．则1221||a b x y x y =-⊗ 恒成立．故选：AD ．。

空间向量的线性运算

空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的有方向和大小的物理量，它可以通过坐标表示。

在线性代数中，我们可以进行多种线性运算来操作空间向量，包括向量的加法、减法、标量乘法和向量的点积、叉积等。

这些线性运算在解决几何问题、物理问题以及计算机图形学等领域中起着重要的作用。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的和向量C(c1, c2, c3)可以表示为：C = A + B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的差向量C(c1, c2, c3)可以表示为：C = A - B = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)3. 标量乘法标量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量。

设有一个向量A(a1, a2, a3)和一个标量k，则标量乘积为：kA = (ka1, ka2, ka3)4. 向量的点积向量的点积也称为数量积或内积，它表示两个向量之间的夹角关系。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的点积可以表示为：A ·B = a1b1 + a2b2 + a3b3点积的几何意义在于可以通过点积的值判断两个向量之间的夹角大小以及它们是否垂直或平行。

5. 向量的叉积向量的叉积也称为矢量积或外积，它表示两个向量之间的垂直关系。

设有向量A(a1, a2, a3)和向量B(b1, b2, b3)，则它们的叉积可以表示为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)叉积的几何意义在于可以通过叉积的结果得到一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量，并遵循右手螺旋定则确定方向。

空间向量与立体几何知识点和知识题(含答案解析)

§1－3 空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜c os〈a，b〉；②空间向量的数量积的性质：a·e＝|a｜c os＜a，e＞；a⊥b a·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空间向量的数量积的运算律： (a )·b ＝(a ·b )；交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；a ＝(a 1，a 2，a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝b ⇔a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 3＝b 3(∈R )；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a ba b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面，的法向量分别是u ，v ，则①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；⑤∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥⊥⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，直线a 与平面的夹角为，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l －在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB叫做二面角－l －的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角－l －的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角－l －的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2PA 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ， ∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角．设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ．则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )，由,0,01==⋅⋅AA AB a a 得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵PA ＝AC ＝1，PA ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面PAB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设PA ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．∴BC ⊥平面PAC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， ∴∠DAE 是直线AD 与平面PAC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE 即直线AD 与平面PAC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∠PAC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，⊥，∩＝l ，A ∈，B ∈，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与，所成的角分别是和ϕ，AB 在，内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)＞ϕ，m ＞n (B)＞ϕ，m ＜n (C)＜ϕ，m ＜n(D)＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为，则cos＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．11．如图，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP ＝45°，直线CA和平面所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是( )(A)若a ∥b ，b ⊂，则a ∥ (B)若a ∥，b ⊂，则a ∥b (C)若a ∥，b ∥，则a ∥b(D)若a ⊥，b ⊥，则a ∥b2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38 (C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3(D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23(D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______．8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形； ③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ； (Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M 为PC的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ．又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ． ∵⊥，∩＝PQ ，∴CO ⊥．又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥，∴∠CAO 是CA 和平面所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ．易知n 2＝(1，0，0)是平面的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9 9．5 10．①、②、③三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ．∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ． ∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量，则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面PAC ，故AB ⊥PC ．∵PA ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ，又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ． (Ⅱ)Rt △PAB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △PAC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△PAB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ，又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ． ∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ，则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得＝1．∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅ ∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。

高考空间向量知识点

高考空间向量知识点空间向量是高考数学中的重要内容之一。

本文将围绕空间向量的定义、向量的共线性与共面性、向量的线性运算以及向量的数量积等知识点展开详细论述。

一、空间向量的定义空间向量是具有大小和方向的有向线段，可以表示为A→。

空间中的向量通常用坐标表示，比如向量A可以表示为(A₀, A₁, A₂)，其中A₀、A₁、A₂分别表示向量A在x、y、z轴上的投影。

二、向量的共线性与共面性1. 共线性空间中的三个向量A→、B→、C→共线的条件是存在实数k₁、k₂，使得A→=k₁B→+k₂C→成立。

此时，向量A、B、C共线。

2. 共面性空间中的四个向量A→、B→、C→、D→共面的条件是存在实数k₁、k₂、k₃，使得A→=k₁B→+k₂C→+k₃D→成立。

此时，向量A、B、C、D共面。

三、向量的线性运算1. 向量的加法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→+B→=(A₀+B₀, A₁+B₁, A₂+B₂)。

2. 向量的减法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→-B→=(A₀-B₀, A₁-B₁, A₂-B₂)。

3. 向量的数乘设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和实数k，则kA→=(kA₀, kA₁, kA₂)。

四、向量的数量积1. 定义向量A→(A₀, A₁, A₂)和向量B→(B₀, B₁, B₂)的数量积记为A→·B→=A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂。

数量积是一种标量。

2. 性质(1) A→·B→=B→·A→；即数量积的交换律成立。

(2) A→·(B→+C→)=A→·B→+A→·C→；即数量积的分配律成立。

(3) k(A→·B→)=(kA→)·B→=A→·(kB→)；即数量积的数乘性质成立。

五、空间向量的应用1. 三角关系的解题空间向量可以用于解决三角关系的几何问题。

空间向量的线性运算

空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有方向和大小。

在现实生活和科学研究中，我们常常需要对空间向量进行各种数学操作和运算。

本文将介绍空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及与数的乘法。

1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

则两个向量的加法运算可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

则两个向量的减法运算可以表示为：A -B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。

设有一个向量A和一个标量k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。

则向量A与标量k的数量乘法运算可以表示为：kA = (kAx, kAy, kAz)4. 向量与数的乘法向量与数的乘法是指将一个向量的每个分量都与一个相同的数相乘得到一个新的向量。

设有一个向量A和一个数k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。

则向量A与数k的乘法运算可以表示为：A * k = (Ax * k, Ay * k, Az * k)空间向量的线性运算具有以下几个重要性质：1. 加法交换律对于任意的向量A和B，有A + B = B + A。

2. 加法结合律对于任意的向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。

3. 减法与加法的关系向量减法可以看作是加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B取相反数得到的向量。

4. 标量乘法分配律对于任意的向量A和标量k、m，有k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA。

空间向量(知识点梳理)

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。

高等数学第八章空间解析几何与向量代数

|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若为常数：
若、为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi

高中数学向量的线性运算知识点总结

高中数学向量的线性运算知识点总结高中数学向量的线性运算知识点总结导语：线性运算是加法和数量乘法，对于不同向量空间线性运算一般有不同的形式，它们必须满足交换律，结合律，数量加法的分配律，向量加法的分配律。

下面是小编总结的高中数学向量的线性运算知识点，供参考。

1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的.起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ。

向量线性运算知识点总结

向量线性运算知识点总结一、向量的定义在数学中，向量通常用箭头符号表示，比如$\vec{a}$或者$\overrightarrow{AB}$。

向量是有方向和大小的量，通常用于表示空间中的位移、速度等。

在n维空间中，一个向量可以表示为一个具有n个有序实数的n维坐标组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，而在实际应用中，可以用行向量或列向量来表示。

在数学中，向量可以用于表示空间几何中的位移、速度、力等，同时也可以用于表示抽象意义上的量，比如代数中的多项式、矩阵等。

在计算机科学中，向量也被广泛应用于向量空间的表示，比如在机器学习中的特征向量等。

二、向量的线性运算向量的线性运算包括两种基本运算：向量的加法和数乘运算。

1. 向量的加法设有两个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则它们的和是一个n维向量，记作$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$。

向量的加法满足以下性质：- 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$- 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$- 零向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，其中$\vec{0}$表示零向量- 相反向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，其中$-\vec{a}$表示向量$\vec{a}$的相反向量2. 数乘运算设有一个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和一个实数$k$，则它们的数乘运算结果是一个n维向量，记作$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$。

空间向量的概念(解析版)

第44讲空间向量的概念和空间位置关系一、课程标准1、空间向量的线性运算2、共线、共面向量定理的应用3、空间向量数量积的应用4、利用空间向量证明平行或垂直二、基础知识回顾1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算：三、自主热身、归纳总结1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )A. 共线B. 共面C. 不共面D. 无法确定【答案】 C【解析】 AB →＝(2，0，－4)，AC →＝(－2，－3，－5)，AD →＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB →＝λAC →成立知，A ，B ，C 不共线，故A ，B ，C ，D 不共线；假设A ，B ，C ，D 共面，则可设AD →＝xAB →＋yAC →(x ，y 为实数)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝2x －2y ，－3＝－3y ，－4＝－4x －5y ，由于该方程组无解，故A ，B ，C ，D 不共面，故选C.2、已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( )A. 32B. －2C. 0D. 32或－2 【答案】B【解析】当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2. 故选B. 3、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A . 垂直B . 平行C . 异面D . 相交但不垂直【答案】B【解析】由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD. 故选B .4、如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则向量C 1M ―→可用a ，b ，c 表示为________．【答案】－12a －12b －c【解析】C 1M ―→＝C 1C ―→＋CM ―→＝－AA 1―→－12AC ―→＝－AA 1―→－12(AB ―→＋AD ―→)＝－12AB ―→－12AD ―→－AA 1―→＝－12a －12b －c .5、如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．【答案】垂直【解析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1，1,0)，N (2，1,2)，所以AM ―→＝(－2,0,1)，ON ―→＝(1,0,2)，AM ―→·ON ―→＝－2＋0＋2＝0，所以AM ⊥ON .6、O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋t OC ―→，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________. 【答案】18【解析】因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以34＋18＋t ＝1，所以t ＝18.四、例题选讲考点一空间向量的线性运算例1 (1) 向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)①a ∥b ，a ∥c; ②a ∥b ，a ⊥c ； ③a ∥c ，a ⊥b .(2) 已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标是(x ，0，y)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是____________．【答案】（1） ③ （2） (－1，0，2)【解析】（1）因为c ＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a ，所以a ∥c .又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .（2） PA →＝(－x ，1，－y)，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)．因为PA ⊥平面ABC ，所以PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，即PA →·AB →＝x ＋y －1＝0，PA →·AC →＝－2x －y ＝0，所以x ＝－1，y ＝2，故点P 的坐标是(－1，0，2)．变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c （2）已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE ―→＝AA 1―→＋x AB ―→＋y AD ―→，则x ，y 的值分别为( )A ．1,1B ．1，12C.12，121 D.12，1 【答案】（1）A （2）C【解析】（1） BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .（2）AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋12A 1C 1―→＝AA 1―→＋12()AB ―→＋AD ―→，故x ＝12，y ＝12.变式2、在三棱锥OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.【解析】 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.变式3、如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点．试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→； (2)A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＋c ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝a ＋12c ，∴MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考点二共线、共面向量定理的应用例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC → (0≤k≤1). 判断向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面．【解析】 ∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k(C 1A →＋BC →)＋AB →＝k(C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k(AA 1→＋AB →)＝(1－k) AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．变式1、如图所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．【解析】∵AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，∴MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→＝k C 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→＝k B 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－k AB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→)＝(1－k )AB ―→－k AA 1―→，∴由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．变式2、（1）已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D.2,2（2）．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，则m ＋n ＝________. 【答案】（1） A （2）－3【解析】（1） ∵a ∥b ，∴b ＝k a (k ∈R )，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12，故选A.（2）∵AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)，且A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→.即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.∴m ＋n ＝－3.方法总结：证明空间三点P ，A ，B 共线的方法有：①PA →＝λPB →(λ∈R)；②对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB → (x ＋y ＝1). 证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法有：①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → (x ＋y ＋z ＝1)；③PM →∥AB → (或P A →∥MB →或PB →∥AM →). 三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明．考点三空间向量数量积的应用例3、如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .【解析】(1)设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝12＋12＋22＋20－1－1＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC 1―→，A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ， ∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2，|A 1D ―→|＝b －c2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2＝12－2×－1＋22＝7.∴cos θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0，∴AA 1―→⊥BD ―→，即AA 1⊥BD .变式1、已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．【解析】 (1)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，∴a·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. (2)(方法1)∵k a ＋b ＝(k －1，k ，2). k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52.(方法2)由(1)知|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b)·(k a －2b)＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. ∴当k a ＋b 与k a －2b互相垂直时，实数k 的值为2或－52.变式2、如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求：(1)AC 1―→的长；(2)BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值．【解析】(1)记AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1―→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1―→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1―→＝b ＋c －a ，AC ―→＝a ＋b ， ∴|BD 1―→|＝2，|AC ―→|＝3， BD 1―→·AC ―→＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1―→，AC ―→〉＝BD 1―→·AC ―→|BD 1―→||AC ―→|＝66.即BD 1―→与AC ―→夹角的余弦值为66.方法总结：空间向量数量积计算的两种方法：(1)基向量法：a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉. (2)坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. 可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解，体现转化与化归的数学思想考点四利用空间向量证明平行或垂直例4 如图所示的长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．求证：(1) BM ∥平面D 1AC ； (2) D 1O ⊥平面AB 1C.【解析】 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D 1(0，0，2)，所以OD 1→＝(－1，－1，2)．又点B(2，2，0)，M(1，1，2)，所以BM →＝(－1，－1，2)，所以OD 1→＝BM →.又因为OD 1与BM 不共线，所以OD 1∥BM.又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ，所以BM ∥平面D 1AC.(2) 连结OB 1，点B 1(2，2，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)．因为OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0，所以OD 1→⊥OB 1→，OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC.又OB 1∩AC ＝O ，OB 1，AC ⊂平面AB 1C ，所以D 1O ⊥平面AB 1C.变式1、如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证： (1) EF ∥平面PAD ； (2) 平面PAB ⊥平面PDC.【证明】 (1) 如图，取AD 的中点O ，连结OP ，OF. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD. 又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB.又四边形ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD.因为PA ＝PD ＝22AD ，所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面PAD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0. 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0，所以EF ∥平面PAD.(2) 因为PA →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a ，0)，所以PA →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a ，0)＝0，所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD.又PA ⊥PD ，PD∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PDC.又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC.变式2、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面P AD ；(2)平面P AB ⊥平面PDC .【证明】(1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD .因为P A ＝PD ＝22AD ，所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a 2. 以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，因为EF ―→＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF ―→·EF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0，又因为EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD ―→＝(0，－a,0)，所以P A ―→·CD ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0，所以P A ―→⊥CD ―→，所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．五、优化提升与真题演练1、已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→(m ，n ∈R )，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．2、(多选)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )A ．AP ⊥ABB ．AP ⊥ADC.AP ―→是平面ABCD 的一个法向量D.AP ―→∥BD ―→【答案】ABC【解析】对于A ，AB ―→·AP ―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴AP ―→⊥AB ―→，即AP ⊥AB ，A 正确；对于B ，AP ―→·AD ―→＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ―→⊥AD ―→，即AP ⊥AD ，B 正确；对于C ，由AP ―→⊥AB ―→，且AP ―→⊥AD ―→，得出AP ―→是平面ABCD 的一个法向量，C 正确；对于D ，由AP ―→是平面ABCD 的法向量，得出AP ―→⊥BD ―→，则D 错误．故选A 、B 、C.3、(多选)已知ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是( )A ．(A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→)2＝3(A 1B 1―→)2B.A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0C ．向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是60°D ．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|【答案】AB【解析】由向量的加法得到：A 1A ―→＋A 1D 1―→＋A 1B 1―→＝A 1C ―→，∵A 1C 2＝3A 1B 21，∴(A 1C ―→)2＝3(A 1B 1―→)2，所以A 正确；∵A 1B 1―→－A 1A ―→＝AB 1―→，AB 1⊥A 1C ，∴A 1C ―→·AB 1―→＝0，故B 正确；∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的角为60°，但是向量AD 1―→与向量A 1B ―→的夹角是120°，故C 不正确；∵AB ⊥AA 1，∴AB ―→·AA 1―→＝0，故|AB ―→·AA 1―→·AD ―→|＝0，因此D 不正确．故选A 、B.4、如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【解析】 (1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.第3题图(2)由题意得A 1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)，∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010. (3)由题意得C 1(0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1，1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， ∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M. 5、【2020年北京卷】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅰ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【解析】Ⅰ）如下图所示：在正方体1111ABCD A BC D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =， 11//AB C D ∴且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ， 1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；（Ⅰ）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 11142cos,323n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅.因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23.。

空间向量知识点总结讲解

空间向量知识点总结讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义：在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。

向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。

2. 向量的运算：向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。

向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。

3. 向量的性质：向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。

二、空间向量的概念1. 空间向量的定义：在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。

空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。

2. 空间向量的运算：空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。

叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。

3. 空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。

4. 空间向量的性质：空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。

三、空间向量的线性运算1. 空间向量的线性组合：空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。

线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。

2. 空间向量的线性相关性和线性无关性：当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。

线性相关性和线性无关性是向量空间中的重要概念。

3. 空间向量的线性空间：线性空间是指满足一定条件的向量集合，具有向量加法、数量乘法、满足线性组合封闭性、交换性、结合律等性质。

空间向量是线性空间的一个典型例子。

四、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：在几何学中，空间向量可以用来描述点、直线、面等几何对象的位置和方向关系，还可以用来解决几何问题，如判定点、线、面的位置关系、计算距离、计算面积等。

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1] 下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

知识讲解_空间向量及其线性运算

空间向量及其线性运算．【要点梳理】要点一：空间向量的相关概念 1．空间向量的定义：空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB u u u r表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a r（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB uuu r或||a r .向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ，的相等向量OA 和OB ，则↓AOB 叫作向量a b ，的夹角，记作ℵa b ，∠，规定0⇒ℵa b ，∠⇒π．如图：要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关. 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（3）要确定向量a b ，的夹角必须将它们平移到同一起点；（4）当ℵa b ，∠=0或π时，向量a ，b 平行，记作a ⎩b ；当 ℵa b ，∠=2π时，向量 a b ，垂直，记作a ⊥b . 2．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =r．相等向量：方向相同且模相等的向量．相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．aρ平行于b ρ记作b a ρϖ//，此时．ℵa b ，∠=0或ℵa b ，∠=π．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释：（1）当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的．（3）对于任意一个非零向量a ，我们把aa 叫作向量a 的单位向量，记作0a .0a 与a 同向.要点二：空间向量的加减法 1．向量加法与减法的定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．2．向量加减法的运算律交换律：a b b a +=+r r r r；结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r.要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：① 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u r L因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ② 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u u r u u r L ；要点三：空间向量的数乘运算1．向量数乘的定义：空间向量a 与实数λ的乘积a λ仍是一个向量，称为向量的数乘运算．满足：（1）|λa |=|λ||a |．当λ＞0时，a λ与a 方向相同；（2）当λ＞0时，a λ与a 方向相同；当λ< 0时，a λ与a 方向相反；当λ= 0时，a λ=0．如右图所示．2．向量数乘的运算律分配律：λ (a +b )=a λ+b λ，（λ+μ）a =a λ+μa （λ ，μ↑R ）；结合律：λ (μa )= (λμ) a （λ ，μ↑R ）．要点诠释：（1）实数λ与空间向量a 的乘积a λ（λ∈R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜λ＜1时，向量缩短；当λ＞1时，向量伸长；当λ＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当λ=0时，a λ=0；当λ≠0时．若a ≠0时，有a λ≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：λ+a ，λ－a 无意义．要点四：空间向量的数量积 1．数量积的定义空间中两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质设,a b rr 是非零向量，e r 是单位向量，则（1）||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>r r r r r r r；（2）0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r ；（3）2||a a a =⋅r r r或||a =r（4）cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅r r r rr r ；（5）||||||a b a b ⋅≤⋅r r r r .3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）交换律：a ·b b =·a ；（2）分配律：a ·b c +=（）a ·b a?c + b+a ·c ；（3）(λa )·b =λ()a?b ．要点诠释：（1）对于三个不为0的实数a b c 、、，若a?b a?c =，则b c =；对于三个不为0的向量，若a b b c =g g 不能得出b c =，即向量不能约分．（2）若a?b k =，不能得出a b k =（或b ak=），就是说，向量不能进行除法运算．（3）对于三个不为0的实数，a b c 、、有()()ab c a bc =，对于三个不为0的向量a b c 、、，有()()a b c a b c ≠g g ，向量的数量积不满足结合律．要点五：共线定理1. 共线定理空间任意两个向量a 与b （b ≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使a ≠b λ．要点诠释：（1）此定理可分解为以下两个命题：① a ∥b （b ≠0）⇒存在唯一实数λ，使得a =b λ； ② 存在唯一实数λ，使得a =b λ（b ≠0），则a ∥b ．（2）b ≠0不可丢掉，否则实数λ就不唯一．（3）当b =0时，对于任意一个向量a ，a ∥b 恒成立. 2．共线定理的用途：①判定两条直线平行（进而证线面平行）； ②证明三点共线．注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．要点六：共面定理 1．共面向量的定义通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．注意：空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（,x y ），使p xa yb =+r r r．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r，上式叫做平面MAB 的向量表达式． 3．共面向量定理的用途： ① 证明四点共面② 证明线面平行（进而证面面平行）．【典型例题】类型一：空间向量的线性运算例1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AA ＇的中点，点G 在对角线'A C 上且CG GA ∶＇=2∶1，设CD=CB=CC'=u u u r u u u r u u u r，，a b c ，试用、、a b c 表示CA u u u r 、'CA u u u r 、CM u u u u r 、CG u u u r ．【思路点拨】要想用、、a b c 表示所给出的向量，只需结合图形充分利用空间向量的线性运算律即可．【解析】如图所示．CA CB BA a b =+=+u u u r u u u r u u u r．'''CA CA AA CA CC a b c =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r．11'22CM CA AM CB CD CC a b c =+=++=++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ．22'()33CG CA a b c ==++u u u r u u u r ．【总结升华】在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．例如，在求'CA u u u r 时，利用了''AA CC =u u u r u u u u r ，把'AA u u u r转化为'CC u u u u r．把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解，这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础．举一反三：【变式1】如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B MC1CB1D1A1ABD的交点．若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r，则下列向量中与BM 相等的向量是（）()A 1122a b c -++r r r ()B 1122a b c ++r r r()C 1122a b c --+r r r ()D c b a +-2121【答案】A显然 =+-=+=111)(21AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++r r r ．【变式2】如图，设四面体ABCD 的三条棱AB =u u u r b ，AC =u u u r c ，AD =u u u rd ，Q 为△BCD 的重心，M 为BC 的中点，试用b 、c 、d 表示向量DM u u u u r 、AQ uuu r．【答案】DM u u u u r 1(2)2=+-b c d ；AQ uuu r =()1++3b c d∵ M 为BC 的中点，∴ 11()[()()]22DM DB DC =+=-+-u u u u r u u u r u u u r b d c d 1(2)2=+-b c d ，23AQ AD DQ DM =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r d 11(2)()33=++-=++d b c d b c d ．【变式3】已知在平行六面体''''ABCD A B C D -中，设CD a =u u u r ，CB b =u u u r ，'CC c =u u u u r，试用向量a 、b 、c 来表示向量CA u u u r、'CA u u u r .【答案】CA u u u r=+a b ；'CA =++a b c u u u r在平行六面体''''ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形， CA CB CD =+=+=+b a a b u u u r u u u r u u u r.又因为四边形''ACC A 为平行四边形， ∴'''CA CA CC CB CD CC =+=++=++a b c u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r.例2. 如右图，在长方体1111—ABCD A B C D 中，下列各式中运算结果为向量1BD u u u u r的是（）． ①111()A D A A AB --u u u u r u u u r u u u r ； ②111()BC BB DC +-u u u r u u u r u u u u r ； ③1()AD AB DD --u u u r u u u r u u u u r ； ④1111()B D A A DD -+u u u u r u u u r u u u u r ．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【思路点拨】在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．【答案】A 【解析】① 1111111()A D A A AB A D AA BA BD --=++=u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ；②1111111111()BC BB DC BC BB C D BC C D BD +-=++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③11111111()22AD AB DD BD D D BD DD BD DD DD BD DD BD --=+=-=+-=-≠u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ； ④111111*********()B D A A DD B D AA DD B D BB DD BD DD BD -+=++=++=+≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．因此，①②两式的运算结果为向量1BD u u u u r ，而③④两式运算的结果不为向量1BD u u u u r．故选A ．【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化．表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．举一反三：【变式1】如图，已知长方体''''ABCD A B C D -，化简下列向量表达式：（1）'AA CB -u u u r u u u r ；（2）111'222AD AB A A +-u u ur u u u r u u u u r ．【解析】化简向量时，一般先用平行四边形得到相等的向量或相反向量，再将它们转化为具有同一起点的向量，最后利用三角形法则或平行四边形法则化简．（1）''''AA CB AA BC AA AD AD -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ；（2）111111''222222AD AB A A AD AB AA +-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 11(')'22AD AB AA AC =++=u u u r u u u r u u u r u u u ur ．【变式2】已知平行六面体1111ABCD A B C D -，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1） 1AB AD AA ++u u u r u u u r u u u r；（2） 1DD AB BC -+u u u r u u u r u u u r ；【答案】 (1)11AB AD AA AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u u r ；(2) 11DD AB BC BD -+=u u u r u u u r u u u r u u u u r【变式3】如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式：（1）111AA A B +u u u r u u u u r ；（2）11111122A B A D +u u u ur u u u u r ；（3）111111122AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r ；（4）1111AB BC CC C A A A ++++u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ．【答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为0．MC1CB1D1A1BD（1）1111AA A B AB +=u u u r u u u u r u u u r ；（2）111111*********()2222A B A D A B A D AC A M +=+==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；（3）11111111122AA A B A D AA A M AM ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；（4）11110AB BC CC C A A A ++++=u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r r ．例3．若三棱锥O ABC 中，G 是ΔABC 的重心，求证：1()3OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .【思路点拨】先在ΔOBC 中考虑中线OD ，然后在ΔOAD 中考虑G 为AD 的分点，分成的比是2：1，两次使用向量的运算性质，把相关向量用,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r表示即可．【解析】如图所示，∵G 是ΔABC 的重心，∴2AG GD =u u u r u u u r，D 为BC 的中点，∴22()33OG OA AG AD OA OD OA OA =+=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21[()]321()3OB OC OA OA OA OB OC =+-+=++u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r【总结升华】(1) 灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；(2) 此类例题常用到结论：若OD 是ΔOBC 的中线，则有1OD (OB OC)2=+u u u r u u u r u u u r举一反三：【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．【答案】证明如下：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，''AB AB AA =+u u u u r u u u r u u u r ，''AD AD AA =+u u u u r u u u r u u u r，所以 ''AC AB AD ++u u u r u u u u r u u u u r ()(')(')AB AD AB AA AD AA =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2(')AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r，又由于 ''AA CC =u u u r u u u u r ，AD BC =u u u r u u u r，所以 ''AB AD AA AB BC CC ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ''AC CC AC =+=u u u r u u u u r u u u u r，所以 ''2'AC AB AD AC ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，E F 、分别为AD BC 、的中点，试证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r．【答案】证明如下：因为 EF EA AB BF =++u u u r u u u r u u u r u u u r①EF ED DC CF =++u u u r u u u r u u u r u u u r②①+②得2()()EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．所以 1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r．例4.已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，求下列各式中x y z 、、的值：（1）''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ；（2）'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．【思路点拨】根据向量运算法则，用向量AD u u u r 、AB u u u r 、'AA u u u r 表示BD u u u r 和AE u u u r，然后利用向量相等来确定x y z、、的值．【解析】（1）∵'''BD BD DD AB AD AA =+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴11 1.x y z ===，，．（2）∵1'''''2AE AA A E AA A C =+=+u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u ur 1'('''')2AA A B A D =++u u u r u u u u u r u u u u u r 1111''''''2222AA A B A D AD AB AA =++=++u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴12x =，12y =，1z =．【总结升华】任何空间向量都可以用三个不共面向量（即是一组基向量）唯一的表示．举一反三：【变式】已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．（1）化简12'23AA BC AB ++u u u r u u ur u u u r ，并在图中标出其结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面''BCC B 对角线'BC 上的34分点，设'MN AB AD AA αβγ=++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试求α、β、γ的值．【答案】12α=，14β=，34γ=（1）如图所示，取'AA 的中点为E ，则1''2AA EA =u u u r u u ur取F 为''D C 的一个三等分点，则2'3D F AB =u u u u r u u u r又''BC A D =u u u r u u u u u r ，''AB D C =u u u r u u u u u r ，∴12'''''23AA BC AB EA A D D F EF ++=++=u u u r u u ur u u u r u u u r u u u u u r u u u u r u u u r ．（表示法不唯一）（2）13'24MN MB BN DB BC =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 13()(')24DA AB BC CC =+++u u u r u u u r u u u r u u u u r13113()(')'24244AD AB AD AA AB AD AA =-+++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ∴12α=，14β=，34γ=．类型二：空间向量的数量积例5．已知向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，试求：（1）2(2)a b c +-r r r ；（2）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r ．【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法.【解析】∵向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o，且||1,||2,||3a b c ===r r r ，∴22231,4,9,0,cos60,cos6032a b c a b a c a c b c b c ===•=•=•=•=•=o or r r r r r r r r r r r r（1）2(2)a b c +-r r r =222(2)2224a b c a b a c b c +++•-•-•r r r r r r r rr＝1+16+9+0-3-12=11；（2）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r =2333223a b a c b b c •-•-+•r r r r r r r ＝0-272-8+18=72.【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同.举一反三：【变式1】设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那么()()33-2a c b a +⋅= ；()22-3+a b c = .【答案】-62；373()()33232963cos9029cos606cos6062++=︒+︒-︒=-22a cb a =a b ac b a ca b a c b a c g g g g. 同理可得()223+-a b c =373【变式2】已知：0a b c ++=r r r r ， 314|a |,|b |,|c |===r r r，试计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅r r r r r r .【答案】13由 0a b c ++=r r r r ，可得 0a b c a b c ++⋅++=r r r r r r （）（）⇒2222220|a ||b ||c |a b b c c a +++⋅+⋅+⋅=r r r r r r r r r . ∵ 314|a |,|b |,|c |===r r r，∴ 13a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-r r r r r r.例6. 如右图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E F G 、、分别是AB AD DC 、、的中点，求下列向量的数量积．（1）AB AC ⋅u u u r u u u r ；（2）AD BD ⋅u u u r u u u r ；（3）GF AC ⋅u u u r u u u r ；（4）EF BC ⋅u u u r u u u r．【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底. 【解析】在空间四边形ABCD 中，（1） ∵||||AB AC a ==u u u r u u u r ，,60AB AC 〈〉=︒u u u r u u u r，∴21cos602AB AC a a a ⋅=⋅︒=u u u r u u u r ．（2） ∵||AD a =u u u r ，||BD a =u u u r ，,60AD BD 〈〉=︒u u u r u u u r ， ∴221cos602AD BD a a ⋅=︒=u u u r u u u r ．（3） ∵1||2GF a =u u u r ，||AC a =u u u r ，又//GF AC u u u r u u u r ，∴,GF AC π〈〉=u u u r u u u r,∴2211cos 22GF AC a a π⋅==-u u u r u u u r ．（4）∵1||2EF a =u u u r ，||BC a =u u u r，//EF BD u u u r u u u r ，∴,,60EF BC BD BC 〈〉=〈〉=︒u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2211cos6024EF BC a a ⋅=︒=u u u r u u u r ．【总结升华】求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：cos =a b a b a b g ，即可顺利计算．举一反三：【变式】已知在长方体''''?ABCD A B C D 中，'2AB AA ==，4AD =，E 为侧面''AA B B 的中心，F 为''A D 的中点．求下列向量的数量积：（1）'BC ED ⋅u u u r u u u u r ；（2）'EF FC ⋅u u u r u u u u r ．【答案】 (1)'(''')'''04416BC ED BC EA A D BC EA BC A D ⋅=⋅+=⋅+⋅=+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u r(2)'('')(''')''''''''''EF FC EA A F FD D C EA FD EA D C A F FD A F D C ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u uu r u u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r04400=-++=.类型三：共线向量定理的应用例7．证明：在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．（此点称为四面体的重心）【思路点拨】如图．在四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别是所在棱的中点，要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点．【解析】 ∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点，∴1//2EG BC ，同理1//2HF BC ， ∴//EG HF ．从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点．连接OP 、OQ ．只要能证明向量OP OQ =-u u u r u u u r，就可以说明P 、O 、Q 三点共线，且O 为PQ 的中点．事实上，OP OG GP =+u u u r u u u r u u u r ，OQ OH HQ =+u u u r u u u r u u u r ，而O 为GH 的中点，∴OG OH +=0u u u r u u u r ，1//2GP CD ，1//2QH CD ．∴12GP CD =u u u r u u u r ，12QH CD =u u u r u u u r ．∴1122OP OQ OG OH GP HQ CD CD +=+++=+-=00u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ．∴OP OQ =-u u u r u u u r ．∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点．即证得EF 、GH 、Q 相交于点O ，且O 为它们的中点，故原命题得证．【总结升华】利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形．直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．举一反三：【变式1】设1e 、2e 是平面上不共线的向量，已知122AB k =+u u u r e e ，123CB =+u u u r e e ，122CD =-u u u re e ，若A B D 、、三点共线，求k 的值．【答案】8由共线的向量定理列出关系式．∵121212(2)(3)4BD CD CB =-=--+=-u u u r u u u r u u u re e e e e e ，122AB k =+e e ．又∵A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理，得142k=-，∴8k =-．【变式2】如图所示，已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且23CF CB =u u u r u u u r ，23CG CD =u u u r u u u r．求证：四边形EFGH 是梯形．【答案】证明过程如下：∵ E 、H 分别是边AB 、AD 的中点， ∴12AE AB =u u u r u u u r ，12AH AD =u u u u r u u u r ，1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r113333()()222244CD CB CG CF CG CF FG ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴//EF FG u u u r u u u r 且3||||||4EH FG FG =≠u u u r u u u r u u u r，又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．【变式3】如图，在平行六面体1111—ABCD A B C D 中，E F G 、、分别是11111A D D D D C 、、的中点．求证：平面EFG ∥平面1AB C ．【答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行．证明：设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，1AA =u u u r c ，则111()2EG ED D G =+=+u u u r u u u u r u u u u r a b ， ∴2AC EG =+=u u u r u u u r a b ， ∴//EG AC u u u r u u u r，∴EG ∥AC又∵11111()222EF ED D F =+=-=-u u u r u u u u r u u u u r b c b c ，∴11112BC BC C C EF =+=-=u u u r u u u u r u u u u r u u u r b c ，∴1//EF BC u u u r u u u r ，EF ∥B 1C ．又∵EG 与EF 相交，AC 与B 1C 相交， ∴平面EFG ∥平面AB 1C ．类型四：共面向量及应用例8．已知ABCD Y，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【变式】已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【答案】由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与,,A B C 共面．例9．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D －中，O 是11B D 的中点．求证：1B C ∥平面ODC ．【解析】11111===C B C D C C a b c u u u u r u u u u u r u u u u r，，，（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．举一反三：【变式1】已知斜三棱柱111ABC A B C -，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r， 1AA c =u u u r r．在面对角线1AC 和棱BC 上分别取点M 和N ， 1AM k AC =u u u u r u u u r ， BN k BC =u u u r u u u r（01k ≤≤）．求证：MN u u u u r 与向量 a r ，c r共面．【答案】证明如下：1AM k AC =u u u u r u u u r Q ，∴1()MA k AC k b c =-=-+u u u r u u u r r r()()(1)MN MA AB BN k b c a k b a k a kc =++=-+++-=--u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r∴MN u u u u r 与向量 a r ，c r共面．【变式2】如右图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M N ，分别在对角线BD AE ，上，且13BM BD =，13AN AE =．求证：MN ∥平面CDE ．【答案】证明：如题图，因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以 111333MB BD DA AB ==+u u u r u u u r u u u r u u u r．同理 1133AN AD DE =+u u u r u u u r u u u r．所以 MN MB BA AN =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 11113333DA AB BA AD DE ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21213333BA DE CD DE =+=+u uu r u u u r u u u r u u u r ．又 CD uuu r 与DE u u u r不共线，根据向量共面的充要条件可知MN u u u u r ，CD uuu r ，DE u u u r共面．由于 MN 不在平面CDE 内，所以 MN ∥平面CDE ．。

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