高数下册公式总结(修改版)
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lim[ f ( x) g ( x)]
两个重要极限
lim
sin
x
1, lim
sin
x
0; lim(1
1)x
e
lim(1
1
x) x
x0 x
x x
x
x
x0
常用等价无穷小:
1 cos x ~ 1 x2; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 x 1 ~ 1 x;
lim n0
n i 1
f(i)1 nn
F (b) F (a) F (x)
b a
,
(F(x) f (x))
连续可积; 有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函数存在
(x) x f (t)dt (x) f (x) a
d (x) f (t)dt f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 x
n0
3、
弧微分公式：ds 1 y2 dx x(t) y(t)2 dt 2 2 d
平均曲率：K从点到点.(， 切: 线M斜率的M倾 角变化量；: s
弧长)
s MM
M点的曲率：K lim d s0 s ds
y
(t) (t) (t) (t)
= (1 y2 )3
Байду номын сангаас
3
[2 (t) 2 (t)]2
x2 a2 2a x a
a2 x2 2a a x
dx ln(x x2 a2 ) C;
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C;
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
高二数学公式知识点下学期
高二数学公式知识点下学期在高二数学学习中，我们经常会接触到各种各样的数学公式。
这些公式是解决问题和推导定理的重要工具，掌握它们对我们的学习非常重要。
下面，我将介绍一些高二数学下学期的常见数学公式知识点。
第一章三角函数1. 弧度制与角度制转换公式：弧度制 = 角度制× π/180角度制 = 弧度制× 180/π2. 三角函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1tanθ = sinθ / cosθcotθ = 1 / tanθsecθ = 1 / cosθcscθ = 1 / sinθ3. 和差角公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)第二章平面向量1. 向量的模长公式：|AB| = √((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2)2. 向量的基本运算：a +b = (a₁+b₁) i + (a₂+b₂) ja -b = (a₁-b₁) i + (a₂-b₂) jka = ka₁ i + ka₂ j (k为实数)|a| = √(a₁² + a₂²)3. 向量的数量积公式：a·b = |a||b|cosθ (θ为 a、b的夹角)第三章微分与导数1. 导数基本公式：(cf(x))' = cf'(x) (c为常数) (u±v)' = u'±v'(uv)' = u'v + uv'(u/v)' = (u'v - uv') / v^2(k)' = 0 (k为常数)(x^n)' = nx^(n-1) (n为常数) (e^x)' = e^x(sinx)' = cosx(cosx)' = -sinx(tanx)' = sec^2x2. 高阶导数公式：f''(x) = (f'(x))'f'''(x) = (f''(x))'fⁿ(x) = (fⁿ⁻¹(x))' (n为正整数)第四章三角函数和二次函数的图像1. 三角函数图像的周期与对称性：sin(x ± 2π) = sinxcos(x ± 2π) = cosxtan(x ± π) = tanx2. 二次函数图像的顶点坐标与轴对称： f(x) = ax^2 + bx + c顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a))轴对称：x = -b/2a第五章概率与统计1. 排列组合公式：排列公式：A(n, m) = n! / (n-m)!组合公式：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)2. 期望公式：E(x) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xn pn (xi为随机变量取值，pi为对应概率)3. 标准差公式：σ = √(E((x-E(x))^2))以上是高二数学下学期常见的数学公式知识点，掌握这些公式将有助于我们更好地理解和应用数学知识，提高解决数学问题的能力。
关于高等数学公式大全几乎包含了所有
关于高等数学公式大全几乎包含了所有一、微分学公式1. 线性函数的导数：(kx)' = k2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)3.e^x的导数：(e^x)'=e^x4. sinx 的导数：(sinx)' = cosx5. cosx 的导数：(cosx)' = -sinx6. tanx 的导数：(tanx)' = sec^2x7. cotx 的导数：(cotx)' = -csc^2x8. ln(x) 的导数：(ln(x))' = 1/x9. a^x 的导数：(a^x)' = ln(a) * a^x二、积分学公式1. 线性函数的积分：∫(kx)dx = (k/2)x^2 + C2. 幂函数的积分：∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C, (n≠-1)3. e^x 的积分：∫e^xdx = e^x + C4. sinx 的积分：∫sinxdx = -cosx + C5. cosx 的积分：∫cosxdx = sinx + C6. tanx 的积分：∫tanxdx = -ln，cosx， + C7. cotx 的积分：∫cotxdx = l n，sinx， + C8. 1/(x+a) 的积分：∫(1/(x+a))dx = ln，x+a， + C9. 1/(x^2+a^2) 的积分：∫(1/(x^2+a^2))dx = (1/a)arctan(x/a) + C三、级数和序列的公式1.等差数列的前n项和：Sn = n(a1+an)/22.等比数列的前n项和：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3.等差级数的和：S = (n/2)(a1+an)4.等比级数的和：S=a1/(1-q),，q，<15.幂级数的和：S=a/(1-r),，r，<16.泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)/1!+(x-a)^2f''(a)/2!+...四、微分方程的公式1. 一阶常微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = C∫(e^(-∫P(x)dx))Q(x)dx2. 二阶常系数非齐次线性微分方程：ay''+by'+cy=g(x)，其中非齐次解为 y = yc + yp3. 欧拉方程：x^n*d^n(y)/dx^n + a_(n-1)*x^(n-1)*d^(n-1)(y)/dx^(n-1) +...+ a_1*x*d(y)/dx + a_0*y = 0以上只是高等数学公式的一部分，包括微分学、积分学、级数和序列以及微分方程等方面的公式。
高等数学(下)数学公式
高等数学公式空间解析几何和向量代数：1212122Pr cos ,Pr ()Pr Pr cos ,,cos u u x x y y z z d M M j AB AB AB u ja a ja ja ab a b a b a b a b a b a b a b ϕϕθθ===⋅+=+⋅=⋅=++++=空间点的距离：向量在轴上的投影：是与轴的夹角。
是一个数量两向量之间的夹角：,sin .xy z xyzij kc a b a a a c a b b b b θ=⨯==⋅0000000000001()()()0(,,),(,,)2031,(,,);A x x B y y C z z n A B C M x y z Ax By Cz D x y za b cd x x mtx x y y z z t s m n p y y ntm n p z -+-+-==+++=++===+---=====+=平面的方程：、点法式：，其中、一般方程：、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：空间直线的方程：其中参数方程：0000'''000:(,)0)0.:;'''0,':''''0;cos z ptyoz C f y z z z x x y y z z x x y y z z l m n p m n p Ax By C D A x B y C z D L l ππϕϕπ⎧⎪⎨⎪+⎩=±=------====+++=+++=面上曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面得方程为 f(设直线L:，平面：则||直线与的夹角由平面与'cos sin L πϕϕπϕϕ||的夹角由||直线与平面的夹角由.曲线C :()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F 在xy 平面上的投影: 先从曲线C 的方程中消去z 得到()0,=y x H ，它表示曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面方程，那么 ()⎩⎨⎧==0,z y x H 就是C 在xy 平面上的投影曲线方程。
高数下册公式汇总(修改版)
高数下册公式汇总（修改版）作者:日期: 2第八章向量与解析几何第十章重积分第十一章曲线积分与曲面积分①定义：四步法一一分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）；②性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；第十二章级数①若级数收敛，各项同乘同一非零常数仍收敛①两个收敛级数的和差仍收敛 注：一敛、一散之和必发散.①去掉、加上或改变级数有限项 ①若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成 的级数仍收敛，且其和不变。
直接展开：泰勒级数间接展开：六个常用展开式敛定理 -----------------------f （x ）为奇函数，正弦级数，奇延拓；f （x ）为偶函数，余弦级数、偶延拓常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质推论如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛①（必要条件）如果级数收敛 则|i m U n 0------------------------------------------------------------------ n 0 ---------------莱布尼茨判别法比较判别法比较判别法 的极限形式比值判别法 根值判别法若 U n U n 1 且lim U n 0，则 (1)n 1U n 收敛nn 1u n 和 v n 都是正项级数，且 u nv n .若 v n 收敛，则-H-*u n 也收敛；若 u n 发散，则 V n 也发散.v n 都是正项级数，且|imUn nv nU n 与v n 同敛或同散；①若lU n 也收敛；①如果lv n 发散,U n 是正项级数，limU n 1，lim 『u nn U nn）时发散；时收敛;1(U n 则①若也发散。
1时可能收敛也可能na n X ，limn 0n,R 10; R0； R 0 ,缺项级数用比值审敛法求收敛半径s （x ）的性质①在收敛域I 上连续；①在收敛域（R , R ）内可导，且可逐项求.().用收敛定义，lim s n 存在n不改变其收敛性f (x)x n( 1 x 1)n 1+疋(n 1n!傅 \T 21a na 。
高数下册公式汇总(修改版)
高数下册公式汇总(修改版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a或ABu u u r a(,,)x y z x y za i a j a k a a a=++=,,x x y y z za prj a a prj a a prj a===r r r模向量a的模记作a a222x y za a a=++和差c a b=+c a b=－=±c a b{},,=±±±x x y y z za b a b a b单位向量0a≠，则与a同向的单位向量为aaea=ae222(,,)=++x y zx y za a aa a a方向余弦设a与,,x y z轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cosαβγ，cos，coscos yx zaa aa a aαβγ===r r r，cos，coscosaeαβγ=(，cos，cos)222cos1αβγ+=+cos cos点乘（数量积）θcosbaba=⋅，θ为向量a与b的夹角zzyyxxbababa++=⋅ba叉乘（向量积）bac⨯=θsinbac=θ为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直且右手系zyxzyxbbbaaakjiba=⨯定理与公式垂直0a b a b⊥⇔⋅=0x x y y z za b a b a b a b⊥⇔++=平行//0a b a b⇔⨯=//y zxx y za aaa bb b b⇔==交角余弦两向量夹角余弦baba⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a ba a ab b bθ++=++⋅++投影向量a在非零向量b上的投影cos()ba bprj a a a bb∧⋅==222x x y y z zbx y za b a b a bprj ab b b++=++平面直线法向量{,,}n A B C=点),,(zyxM方向向量{,,}T m n p=点),,(zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0=+++DCzByAx一般式⎩⎨⎧=+++=+++22221111DzCyBxADzCyBxA点法式0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A点向式pz z n y y m x x 000-=-=- 三点式1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 截距式 1x y za b c++= 两点式 000101010---==---x x y y z z x x y y z z面面垂直 0212121=++C C B B A A线线垂直 0212121=++p p n n m m面面平行 212121C C B B A A == 线线平行 212121p p n n m m == 线面垂直pC n B m A == 线面平行 0=++Cp Bn Am点面距离),,(0000z y x M 0=+++D Cz By Ax 面面距离10Ax By Cz D +++= 20+++=Ax By Cz D222000CB A DCz By Ax d +++++=12222D D d A B C-=++面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111C B A n =ρ},,{2222C B A n =ρ },,{1111p n m =s },,{2222p n m =s},,{p n m =s },,{C B A =n222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ 222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ 222222sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ空间曲线Γ：()() ()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，)(βα≤≤t 切向量))(,)(,)((000t t t T ωψϕ'''=ρ切“线”方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-法平“面”方程：0))(()()()()(000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩切向量:(,,)x y zx y zPT F F F G G G m n p ==i jk r切“线”方程：P P Px x y y z z m n p---== 法平“面”方程：()()()0P P P m x x n y y p z z -+-+-=空间曲面 ∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z =r切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+, α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰计算步骤及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域三重积分(,,)I f x y z dVΩ=⎰⎰⎰(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影法：21(,)(,)(,,)d (,,)xyz x y D z x y f x y z V dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰截面法：(,,)d (,,)zdcD f x y z V dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2） 利用柱面坐标 cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如22()f x y +空间立体物的质量质量=密度⨯面积（3）利用球面坐标cos sin cossin sin sincosx ry rz rρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩2sindV r drd dϕϕθ=适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()f x y z++222111(,)2(,)d d(sin cos,sin sin,cos)sin drrI f r r r r rαβθϕαβθϕϕθϕθϕθϕϕ=⎰⎰⎰考试不作要求，考研重点掌握第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分⎰=L ds y x fI),(曲形构件的质量质量=线密度⨯弧长参数法（转化为定积分）（1）:(),L y y x a x b=≤≤dxxyxyxfI ba⎰+=)('1))(,(2（2）():()()x tL ty tϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩22((),())()()I f t t t t dtβαϕψϕψ''=+⎰平面第二类曲线积分⎰+ =L QdyPdxI变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）():()()x tL ty tϕαβψ=⎧→⎨=⎩:ttttQtttPyQxPLd)}()](),([)()](),([{ddψψϕϕψϕβα'+'=+⎰⎰三维情形：():()()()x ty t tz tϕψαβω=⎧⎪Γ=→⎨⎪=⎩:dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕβα'+'+'=++⎰⎰Γ（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(应用：⎪⎩⎪⎨⎧助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yP x Q ∂∂=∂∂ ②0=+⎰LQdy Pdx③⎰+LQdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系⎰⎰+=+=LLds Q P Qdy Pdx I )cos cos (βα第一类曲面积分(,,)I f x y z dS ∑=⎰⎰曲面薄片的质量质量=面密度⨯面积 投影法∑：),(y x z z = 投影到xoy 面22(,,)(,,(,))1xyx y D I f x y z dS f x y z x y z z dxdy ∑==++⎰⎰⎰⎰类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式第二类曲面积分I Pdydz Qdzdx Rdxd y ∑=++⎰⎰流体流向曲面一侧的流量（1）投影法○1((,),,)yzD Pdydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰ ∑：(,)x x y z =，α为∑的法向量与x 轴的夹角 前侧取“+”，cos 0α>；后侧取“-”，cos 0α< ○2(,(,),)zxD Qdzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰ ∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角 右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<○3(,,(,))xyD Rdxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰ ∑：(,)z z x y =，γ为∑的法向量与z 轴的夹角 上侧取“+”， cos 0γ>；下侧取“-”，cos 0γ<（2）高斯公式条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧 ②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数 结论：()P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dV x y z∑Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò 应用：⎩⎨⎧助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用（3）两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxd y P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰转换投影法：()()zzdydz dxdy dzdx dxdy xy∂∂=-=-∂∂所有类型的积分：○1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；第十二章级数无穷级数常数项傅立叶幂级一般项正项级用收敛定义，nns∞→lim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○1若级数收敛,各项同乘同一非零常数仍收敛.○2两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散.○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
高数下册公式
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y mtx x p n m s t pz z ny y mx x CB A DCz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00002220000000000};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dyF F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy yu dx x u du y x v v y x u u x vv z x u u z x z y x v y x u f z t vv z t u u z dt dz t v t u f z dzz u dy y u dx x u du dy yz dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([22微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x -=-=-=-+-+-===-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高数下册公式总结(修改版)
JA2+B2+C2fm2+n2+p2
空 间 曲 线r：
'x=®(t),W=屮(t)，z“(t)，(a兰t兰P)
切向量
T=(『(to),屮化)，『(to))
切“线”方程：x^X。=y—yo=Z—Zo
jto)『(to) E(to)
法平“面”方程：
x —Xoy —yoZ —o
Fx(Xo, yo, Zo)Fy(xo, yo, Zo)Fz(x°, y°,z°)
第十章重积分
重积分
积分类型
计算方法
典型例题
(1)利用直角坐标系
X—型
b0(x)
”f(x,y)dxdy=[dx£x)f(x, y)dy
Y—型
D
dQ(y)
JJf(x, y)dxdy =[dy]f (x, y)dx
Z2(x,y)
Vxydxdy.y)f(x,y,z)dz
截面法：川f (x, y, z)dV =
d
=fdzJJDf (x, y,z)dxdy
Q
cDz
1
X =Pcos9
二重积分
(2)利用柱面坐标』
y = Psi n日
I =
z = z
Mf(x,y,z)dV
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用范围：
线面夹角
m ={Al, B Q}n2={A2, B2,C2}
Si={mi,ni, Pi}S2={m)2,n?, P2}
s= {m,n, p} n={A,B,C}
QIAA+BB2+GC2I
COSn—
高数积分公式大全24个
高数积分公式大全24个数学中积分公式是学习数学的基石，是求解问题的重要工具。
下面总结了数学高级积分中的24个公式：1. 加法法则：∫u(x)+v(x)dx=∫u(x)dx+∫v(x)dx2. 乘法法则：∫c(x)u(x)dx=c∫u(x)dx3. 幂函数：∫xαdx=xα+1/(α+1)+C4. 指数函数：∫exdx=ex+C5. 根号函数：∫√axdx=2/3√ax3/2+C6. 三角函数：∫sinxdx=−cosx+c7. 反三角函数：∫arcsinxdx=xarcsinx−sinx+C8. 双曲函数：∫sinx/cdx=−ln|cscx+cotx|+C9. 二次函数：∫ax2+bx+cdx=1/3ax3+1/2bx2+cxdx+C10. 指标函数：∫axdx=axlnax−x+C11. 阶乘函数：∫x(n)(dx)=x(n+1)/(n+1)+C12. 拉格朗日积分：∫xn/aeaxdx=xn+1/(an+1)+C13. 对数函数：∫lnxdx=xlnx−x+C14. 锐曲线积分：∫1/(1+a2x2)dx=arctan(ax)+C15. 椭圆积分：∫(dx/a2−dy/b2)dx=b2ln|x/a|+C16. 余切函数：∫cotxdx=ln|sinx|+C17. 正弦函数：∫cosxdx=sinx+C18. 逆正弦函数：∫arccosxdx=xarccosx−sinx+C19. 双曲函数：∫sec2x dx=tanx+C20. 余弦函数：∫−sin(2x)dx=−1/2cos2x+C21. 逆余弦函数：∫arccos(2x)dx=1/2x arccos(2x)+1/2sin(2x)+C22. 零余弦函数：∫acos2x2dx=xacos2x2+1/2sinx+C23. 正切函数：∫tanxdx=ln|secx|+C24. 逆正切函数：∫arctanxdx=xarctanx−1/2ln|x2+1|+C以上就是积分公式的24种，有了这些公式，可以有效地解决复杂的问题。
(完整版)高数公式汇总
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高数下册公式总结
高数下册公式总结1. 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，其中包括了拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个定理。
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一种形式，表述如下：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，那么在开区间 (a, b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)其中f’(c) 表示函数 f(x) 在点 c 处的导数。
柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的另一种形式，表述如下：若函数 f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且g’(x)≠ 0，则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 c，使得[f(b) - f(a)]/[(b - a)] = [f’(c)] / [g’(c)]其中f’(c) 和g’(c) 分别表示函数 f(x) 和 g(x) 在点 c 处的导数。
2. 泰勒级数展开泰勒级数展开是一种用无穷多个项的多项式来逼近函数的方法。
泰勒级数可以用来在某一点的邻域内近似计算函数的值。
泰勒级数展开的公式如下：f(x) = f(a) + f’(a)(x - a) + f’‘(a)(x - a)^2/2! + f’’’(a)(x - a)^3/3! + …其中 f(x) 表示函数在点 x 处的函数值，f(a) 表示函数在点 a 处的函数值，f’(a)表示函数在点 a 处的导数值，以此类推。
3. 定积分计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下面积、求解弧长、质量等问题。
定积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(xi)Δx]其中 a 和 b 分别表示积分的下限和上限，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量的微小增量，Δx 表示自变量的步长。
Σ 表示求和运算，xi 表示分段点，n 表示分成的小矩形的数量。
高数下册公式总结
第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a 或ABa (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y za a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos点乘（数量积） θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a 叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直zy xz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++0((x n f x =第十章 重积分质量=面密度⨯面积21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdyf x y x f x y f x y D D ⎧⎪⎪-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分计算步骤及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωb ay x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f ),(),()()(2121d ),,(d d d ),,(（2） 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩第十一章曲线积分与曲面积分所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高等数学-下(公式大整理)
高等数学（下）八、空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.向量概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模、方向角、投影8.2 数量积、向量积1.两向量的数量积2.两向量的向量积8.3 曲面及其方程1.曲面方程的概念2.旋转曲面3.柱面4.二次曲面8.4 空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在坐标面上的投影8.5平面及其方程1.平面的点法式方程2.平面的一般式方程3.两平面的夹角8.6空间直线及其方程1.空间直线的一般式方程2.空间直线的对称式方程3.空间直线的参数方程4.两直线的夹角5.直线与平面的夹角九、多元函数微分法及其应用9.1 多元函数的基本概念1.平面点集2.多元函数概念3.多元函数的极限4.多元函数的连续性9.2 偏导数与全微分1.偏导数2.全微分9.3 多元复合函数的求导法则1.一元函数与多元函数复合2.多元函数与多元函数复合9.4 隐函数的求导公式1.一个方程的情形2.方程组的情形9.5 多元函数微分学的几何应用1.一元向量值函数及其导数2.空间曲线的切线与法平面3.曲面的切平面与法线9.6 方向导数与梯度1.方向导数2.梯度9.7 多元函数的极值与求法1.极值与最大值、最小值2.条件极值与拉格朗日乘数法十、重积分10.1 二重积分的概念与性质1.二重积分的概念2.二重积分的性质10.2 二重积分的计算法1.利用直角坐标来计算2.利用极坐标来计算10.3三重积分1.三重积分的定义2.三重积分的计算10.4 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 对弧长的曲线积分1.定义2.性质3.计算11.2 对坐标的曲线积分1.定义2.性质3.计算4.两类曲线积分之间的关系11.3 格林公式及其应用1.格林公式2.曲线积分与路径无关的条件3.二元函数的全微分求积11.4 对面积的曲面积分1.定义2.计算11.5 对坐标的曲面积分1.定义2.性质3.计算4.两类曲面积分之间的关系11.6 高斯公式与斯托克斯公式1.高斯公式2.斯托克斯公式十二、无穷级数12.1 常数项级数的概念和性质1.定义2.性质12.2 常数项级数的审敛法1.正项级数及其审敛法2.交错级数及其审敛法3.绝对收敛与条件收敛12.3 幂级数1.函数项级数的概念2.幂级数及其收敛性3.幂级数的运算12.4 函数展开成幂级数1.泰勒级数2.展开步骤3.间接展开法12.5傅里叶级数1.定义2.收敛定理3.傅里叶展开4.正弦级数和余弦级数八、空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.向量概念向量（矢量），向量相等，向量的模，单位向量，零向量，向量的夹角，向量平行（共线），向量共面 2.向量的线性运算1）加减法（加）三角形法则，平行四边形法则，交换律，结合律，n 个向量相加的法则，负向量；（减）向量的差2）向量与数的乘法结合律，分配律，向量平行的充要条件 3.空间直角坐标系右手规则，坐标面，卦限，向量的坐标分解式，向径 4.利用坐标作向量的线性运算),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b =，则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=。
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第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=±c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则与a 同向的单位向量为a ae a= a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直且右手系zy xz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅== 222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称 方程形式及特征方程名称 方程形式及特征一般式0=+++D Cz By Ax一般式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A=F第十章 重积分重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α+, α为实数 )21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰计算步骤及注意事项1． 画出积分区域2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域三重积分(,,)I f x y z dVΩ=⎰⎰⎰(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法投影法投影法：21(,)(,)(,,)d (,,)xy z x y D z x y f x y z V dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰截面法：(,,)d (,,)zd cD f x y z V dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2） 利用柱面坐标 cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如22()f x y +第十一章曲线积分与曲面积分⎩⎨不是封闭曲面，添加辅）两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx ++⎰⎰所有类型的积分：○1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）； ○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；第十二章级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nns∞→lim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质○1若级数收敛,各项同乘同一非零常数仍收敛.○2两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散.○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛.○5（必要条件）如果级数收敛,则0lim=→nnu莱布尼茨判别法若1+≥nnuu且0lim=∞→nnu，则∑∞=--11)1(nnn u收敛nu∑和nv∑都是正项级数，且nnvu≤. 若nv∑收敛，则nu∑也收敛；若nu∑发散，则nv∑也发散.比较判别法比较判别法的极限形式nu∑和nv∑都是正项级数，且lvunnn=∞→lim，则○1若+∞<<l0,nu∑与nv∑同敛或同散;○2若0=l,nv∑收敛,nu∑也收敛；○3如果+∞=l，nv∑发散，nu∑也发散。
比值判别法根值判别法nu∑是正项级数，ρ=+∞→nnn uu1lim,ρ=∞→nnnulim,则1<ρ时收敛；1>ρ(ρ=+∞)时发散；1=ρ时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数nnnxa∑∞=0,ρ=+∞→nnn aa1lim,1,0;,0;0,.R R Rρρρρ=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域),(RR-内可导，且可逐项求导;○3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式11(11)1nnx xx∞==-<<-∑11()!x nne x xn∞==-∞<<+∞∑22TT lπ==∑∞=++=10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf⎰-=πππdxxfa)(1⎰-=πππnxdxxfancos)(1⎰-=πππnxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点,收敛于)(xf;x是间断点,收敛于)]()([21+-+xfxf周期延拓)(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数。