合肥一中2020届高三最后一卷理数答案
2024届合肥一中最后一卷数学试题答案
合肥一中2024届高三最后一卷数学参考答案1．已知向量(2,3)a =，(1,3)b − ，则2a b −= （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案解析】2(2,3)(2,6)(4,3),25a b a b −=−−=−−=，选D 2．已知复数z 满足(1)2z i i ⋅+=−，则=z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321− C ．i 2321−− D ．i 2321+− 【答案解析】2131312222iz i z i i−==−=++，，∴选A3．已知焦点在x，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A ．2213x y += B ．2219x y += C ．22197x y += D ．2213628x y +=【答案解析】22223,9,927,197x y a a b c a =====−=+=，选C4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，32a =，则4a =（ ） A ．1 B ．23或-1 C ．23− D ．23−或1 【答案解析】由3S =14，3a =2，12q ∴=或41,3q a =−∴=23−或1，∴选D5．已知α为三角形的内角，且cos α=， 则sin 2α=（ ）A C D【答案解析】sin2α= B6．甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ）A ．36种B ．48种C ．54种D ．64种【答案解析】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为321133423336A A A A A −=种，选A 7．已知四棱锥P ABCD −的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB ∆为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（ ）A ．13π B ．16π C ．523π D ．20π【答案解析】如图，2OE FG AE ===，222221323R OE AE ∴=+=+=， 25243S R ππ∴==，故选C. 8．过(0,)M p 且倾斜角为((,))2πααπ∈的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β．则tan()αβ−的最小值为（ ）ABC． D．【答案解析】如图设00(,)N x y ，则AB l 为00()x x p y y =+且过(0,)M p ，0y p ∴=−且， 又设'2tan pk x β==−，'2k k ∴=− ， tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−∴−=+， 当且仅当k ==”成立，故选Ctan x kpα=''2()()1k k k k k k−==−+−≥+9. 下表是某人上班的年收入(单位：万元)与上班年份的一组数据： 年份x 1 2 3 4 5 6 7 收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（ ） A ．年收入的均值为4.3 B ．年收入的方差为1.2 C ．年收入的上四分位数为5D ．若y 与x 可用回归直线方程 0.5y x a =+来模拟，则 2.3a = 【答案解析】30.14.37=，A 正确； 21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，B 错误；70.75 5.25×=，所以上四分位数为5.2，C 错误；0.5 4.30.54 2.3ay x =−=−×=，D 正确； 故选AD 10．已知函数2()cos sin (0)f x x x x ωωωω=−>，则下列命题正确的有（ ）A ．当2ω=时，524x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．若12|()()|2f x f x −=，且12min ||x x π−=，则12ω= C ．存在(0,1)ω∈，使得的图像向左平移6π个单位得到的函数为偶函数 D ．若()f x 在[0,]π上恰有5个零点，则ω的范围为7[2,)3【答案解析】1()sin(2)62f x x πω=+− 对于A ，当2ω=时，1()sin(4)62f xx π=+−，51()242f π=−， 524x π∴= 不是()y f x =的一条对称轴，对于B ，由题意知，2T π=，12ω∴=对于C ，11()sin(2())sin(2)62362g x x x ππωππωω=++−=++−， 若()g x 为偶函数，则362k ωππππ+=+，∴，矛盾对于D ，令t =2[,2]666x πππωωπ+∈+，由题意知，2529[,)66ππ∈ 7[2,)3ω∴∈故选BD11．已知函数()x f x e =，，则下列命题正确的有（ ） A ．若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤−B ．若()y f x =与1y ax =−相切，则2a e =C ．存在实数a 使得()y f x ax =−和()y g x ax =+有相同最小值D ．存在实数a 使得方程()f x x a −=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列 【答案解析】对于A ，由()g x ax ≥得，令，则'2ln 1()x h x x−= ∴ ()y h x =在(0,)e 单调递减，(,)e +∞单调递增，∴min 1()()a h x h e e≤==−对于B ，设切点为00(,)xP x e ，则切线方程为000()xxy e e x x −=−，即000(1)x x y e x e x =+−，又1y ax =−，000(1)1x x e ae x = ∴ −=− ，(1ln )1()a a ∴−=−∗ 2a e = 不满足式，∴B 错，对于C ，易知当1a =时()y f x ax =−和()y g x ax =+有相同最小值1，13k ω=+26πωπ+()ln g x x =−的ln x a x ≤−ln ()x h x x =−()∗的对于D ，令()()x h x f x x e x =−=−，令()()ln x g x x x x ϕ=+=−，则(),()h x x ϕ的图象大致如下：设交点为(,())M m h m ，易知01m <<，由图象知，当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点(())M m h m ，，即().a h m =因为()()h m m ϕ=，所以ln m e m m m −=−，即2ln 0m e m m −+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得x m ln e x x x e m −=−=−，解得m x m x e =或.由01m <<得1m m e <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为ln m ，m ，m e .因为2+ln =0m e m m −，即+ln =2m e m m ，所以ln m ，m ，m e 成等差数列， 故选ACD12．已知集合2{|20}A x N x x =∈−−≤，集合22{|(21)0}B x x a x a a =−+++=，若B A ⊆，则a =___________．【答案解析】{0,1,2}A =，{,1}B a a =+，由B A ⊆得0a =或1a =13．过(1,2)P 的直线l 被曲线2240x x y −+=所截得的线段长度为l 的方程为___________ ．【答案解析】当斜率不存在时1x =满足题意；当斜率存在时，设直线l ：2(1)y k x −=−，由题意知圆心到直线的距离为1得34k =−∴1x =或34110x y +−=14.在ABC ∆中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin ,b c A B C ≠=+则以下结论正确的有____（5）__________.（1）2(0,);11a b c∈+（2）2(11a b c∈+（3）);2b ca +∈ （4）(2b c a +∈（5）).a ∈+∞【答案解析】222222222222222222222222222,2,cos cos ()cos 2cos ()cos ,cos ()(1cos )0,0,cos cos ()cos 2cos ,,2a a b c b c bc A A a b c A bc A b c A b c a Aa abc A b c A Aa b c A bc A b c a b c a a =+=++=++=+++−+−+=+−==+>=+−+>>15. 正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，P 是线段1A B 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ； （2）1PB 与平面11A BCPB 的长. 【答案解析】（1）证明：由题，1DD ⊥面1111A B C D ，四边形1111A B C D 为正方形，所以1111111,AC B D AC DD ⊥⊥，而111111,B D DD D B D ∩=⊂面11BDD B ，1DD ⊂面11BDD B ，所以11AC ⊥面11BDD B ，而11AC ⊂面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .…………………………………………………………………………6分（2）设1B 在面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，11A BC S ∆=， 111111B A BC B A B C V V −−=，即1111222332EB ×=××××，得1EB =,设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则11sinEB PB θ==所以1PB =，在1BPB ∆中，由余弦定理得，2221112cos4PB BB PB BB PB π=+−××，即224PB =+−，解得PB =分16．甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢或输的概率分别为0.8，0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少?(保留小数点后一位)（2）由于甲、乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局则乙胜”，求乙胜的概率. 【答案解析】（1）()0.20.20.20.80.20.80.20.20.104P A =×+××+××=， 所以()0.20.20.820.20.2()23 2.615 2.60.1040.104E X ××××=×+×≈≈.………………7分（2）设00.2p =，则2112131402000300040005000223400000()[(1)][(1)][(1)][(1)][12(1)3(1)4(1)5(1)]0.048.6160.34464.P A p C p p p C p p p C p p p C p p p p p p p p =+−+−+−+−=+−+−+−+−=×=……………………………………………………………………………………………15分17. ()()x a f x e a R −=∈.（1）若()f x 的图象在点00(,())A x f x 处的切线经过原点，求0x ； （2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围. 【答案解析】 （1）()x af x e −′=，所以00000()x a x ae f x e −−−′==−，所以01x =；………………5分（2）即()sin 00x aex x −−≥∀≥，令()sin x a g x e x −=−，若0a ≤，则0,1,()sin 1sin 0,x a x a x a e g x e x x −−−≥≥=−≥−≥合题；…………7分若0,()cos ,x a a g x e x −′>=− 令()(),h x g x ′=则()sin ,x a h x e x −′=+当0x π≤≤时，()0,()h x g x ′′>递增，而2(0)10,()0,2aag e g e ππ−−′′=−<=>所以，存在唯一的0(0,)[0,],2x ππ∈⊆使得000()cos 0,x a g x e x −′=−=所以，当00x x <<时，()0,()g x g x ′<递减，当0x x π<<时，()0,()g x g x ′>递增，故00000()()sin cos sin 0,x ag x g x ex x x −==−=−≥极小所以00,4x π<≤此时，00ln cos ,x a x −=故00ln cos 4a x x π=−≤−即ln 2042a π<≤+； ……………………………………………………………………………………………11分当x π>时，ln 2142()sin 1110x x ax ag x e x eee π−−−−=−≥−≥−≥−>，因而ln 202a π<≤+合题； 综上所述，a 的取值范围是求ln 2(,].42π−∞+………………………………………15分 18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上焦点为，下顶点为A ,渐近线方程是y =，直线23y =与y轴交于B 点,过B 点的直线交双曲线上支于,P Q 两点,,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点,O 坐标原点.（1）求C 的方程;（2）求证:,,,M N O A 四点共圆; （3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围. 【答案解析】（1）由题，222ac a b c b==+=，解得2242a b ==，，所以C 的方程为221.42y x −=…………………………………………………………4分（2）（方法一）设11222(,),(,),:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142y x −=，化简整理得22432(2)039k x kx −+−=，有222122016324(2)0990k k k x x −≠∆=−−−>>，解得21629k <<， 112:2y AP yx x +=−，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+， 12121212121221212128864||||36369(2)(2)6464168649(2)(2)99()39x x x x BM BN y y y y x x x x y y k x x k x x =×=++++==+++++，2216||||(2),||||||||,339BO BA BO BA BM BN =×+==所以,,,M N O A 四点共圆.……………………………………………………………………………………12分（2）（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆AOM ANM π⇔∠+∠=()παβπ⇔++=,,(0,)22ππαβαβ⇔+=∈tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设11222(,),(,),:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142y x −=，化简整理得 22432(2)039k x kx −+−=，有222122016324(2)0990k k k x x −≠∆=−−−>>，解得21629k <<， 122329(2)x x k =−−，12243(2)kx x k +=−−， 112:2y AP yx x +=−，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+， 1124OM y k x +=，222AN AQy k k x +==， 1212121288()()223344OM AN kx kx y y k k x x x x ++++== 2121212864()3914k x x k x x x x +++=， 所以,,,M N O A 四点共圆.……………………………………………………………12分（3）设圆心为T ，则121212121212212121,44488363633382()438643()39T T y x x x x x x x y y kx kx kx x x x k k x x k x x =− +==+=+ ++ ++++=+++(,1),5(3T k r ∴−=…………………………………………………………17分19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1n i i x T ==∑(T 为常数), 11.n i n i i nx x T x T x −==−−∑如果函数()f x 满足：在区间I 上恒有()0f x ′′>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：1111()()n ni i i i f x f x n n ==≥∑∑，. （1）判断(),(0,1)1x f x x x =∈−是否为凸函数，并证明; （2）设(1,2,,),i i x y i n T== 证明：111111n n y y n −≤−−−； （3）求n nx T x −的最小值. 【答案解析】（1）()2312(),()0,(0,1)(1)1f x f x x x x ′′′==>∈−−，所以()f x 在(0,1)上为凸函数. …………………………………………………………………………………………4分（2）(1,2,,)i x y i n = 为正数，11111n n n i i i i i i x y x T T =====∑∑∑,即11n i i y ==∑， 由11n i n i i n x x T x T x −==−−∑，得11,11i n n i n i x x TT x x T T −==−−∑ 即1111n i n i i n y y y y −==−−∑， 所以11111111111111()(1)()(1)111111111n i n n n n i i n i i n n i i i n i i i y y y y n f y n f y n y y y n y n n −−−−=−====−−==≥−=−=−−−−−−−−∑∑∑∑∑， 01(1,2,,)i y i n <<= ，所以111111111n n n n n y y n y y y n −−−−≤=−−−−， 即111111n n y y n −≤−−−，所以111111n n y y n −≤−−−.……………………………10分 （3）11111n n n n n n n x x y T x T x y y T===−−−−−关于n y 在(0,1)递增， 由（2）解得min ()3)n y n =≥；当2n =时，12n y ≥.所以min 3)n n x n T x =≥ − ；当2n =时也成立. 当3n ≥时，当且仅当12111n n y y y y n −−=====− 时取“=”；当2n =时，当且仅当1212y y ==时取“=”. 所以n n x T x −分。
安徽省合肥2024届高三下学期最后一卷数学试题含答案
合肥2024届高三最后一卷数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线方程2:4C y x =，则其焦点坐标为（）A ．()0,1B ．()0,2C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭2．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有A B C D E 、、、、五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A B C 、、三位同学，但A 不是第一名，D E 、两名同学只知道在6至9名，且D 的成绩比E 好，则这5位同学总分名次有多少种可能（）A ．6B ．12C ．24D ．483．已知“正项数列{}n a 满足14nn n a a +⋅=”，则“212a a =”是“数列{}n a 为等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数()()2e cos 2e e 1x x x f x =-（e 为自然函数的底数）的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知角A B C 、、的对边分别为a b c 、、满足2sin sin sin b A Ca c B+=-，则角B 的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π36．已知事件,A B 满足：()()()241,,355P B P A B P B A ===，则()P A =（）A ．34B ．29C ．13D ．237．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（）A ．21B ．24C ．27D ．328．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其明()f x '为()f x 的异函数，对于任羍的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y fx f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．()1f x '+龹于直线1x =对称D ．81()1k f k =-=-∑二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．复数1ii iz +=-（i 为虚数单位）的虚部为2-B ．已知复数12,z z ，若22120z z +=，则120z z ==C ．若1,z z =∈C ，则2z -的最小值为1D ．已知复数12,z z ，复数2z 的虚部不为0，则1122z z z z =10．如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AC 上的动点，则（）A ．不存在点P ，使得1AP CD ⊥B ．1D P AP ⋅的最小值为13-C ．当1123A P AC = 时，1D P AP ⊥ D ．若平面ABCD 上的动点M 满足1π6MD C ∠=，则点M 的轨迹是直线的一部分11．已知函数()()πsin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,2π上有且仅有5个零点，则（）A ．()f x 在()0,2π上有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,2π上有且仅有2个极小值点C ．当π5ϕ=时，ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．当π5ϕ=时，()f x 图像可能关于直线π2x =对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在四边形ABCD 中，2BC AD =，且1,AD CD AD CD ==⊥，则AA BD ⋅= ______．13．设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，()f x '为其导函数，且满足()()()252210,13x f x xf x f -+-==⎡⎤⎣⎦'，则函数在)3,3f处的切线方程为______．14．如图，已知圆222:O x y a +=和椭圆四2222:1(0)x y C a b a b +-=>>，点()()0,,0,A a B b -，()()1,0,,0,0,2a D H a B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AP 交x 轴于D ，直线PQ 平行y 轴交C 于Q （点Q 在x 轴上方），TK KH =，直线BK 交C 于多一点于M ，直线1B M 交x 轴于点(3,0)N ，则椭圆的长轴长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．（1）求李想第二次答题通过面试的概率；（2）求李想最终通过面试的概率。
安徽省合肥市第一中学2024届高三最后一卷数学试题(解析版)
合肥一中2024届高三最后一卷数学试题（考试时间：150分钟满分：120分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名､准考证号和座位号后两位.2.答题时､每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,3,1,3a b ==-，则2a b -=（）A.2 B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解.【详解】()()()22,32,64,3,25a b a b -=--=--== ，故选：D.2.已知复数z 满足()1i 2i z ⋅+=-，则z =（）A.13i 22+B.13i 22-C.13i22-- D.13i22-+【答案】A 【解析】【分析】根据题设求出z ，从而求出z 的值.【详解】由题知，()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z ----====-++-，所以13i 22z =+.故选：A.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为3，焦距为，则该椭圆的方程为（）A.2213x y += B.2219x y +=C.22197x y += D.2213628x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据离心率和焦距可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可得2b ，即可得方程.【详解】由题意可知：232c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得3a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，则2927b =-=，所以该椭圆的方程为22197x y +=.故选：C.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3314,2S a ==，则4a =（）A.1B.23或-1 C.23-D.23-或1【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.【详解】依题意，10a ≠，因为314,S =2312a a q ==，12112(1),a a a q ∴+==+故2610q q --=，故12q =或1,3q =-当12q =时，431a a q ==；当1,3q =-4323a a q ==-；423a ∴=-或1.故选：D5.已知α为三角形的内角，且15cos 4α-=，则sin 2α=（）A.14-+ B.14 C.38- D.354-【答案】B 【解析】【分析】利用降幂公式得到答案.【详解】因为α为三角形的内角，15cos 4α=，所以sin 2α==154+===.故选：B6.甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（）A.36种B.48种C.54种D.64种【答案】A 【解析】【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，所以总数为3211334233A A A A A 36-=种，故选：A.7.已知四棱锥P ABCD -的各顶点在同一球面上，若2224AD AB BC CD ====，PAB 为正三角形，且面PAB ⊥面ABCD ，则该球的表面积为（）A.13π3B.16πC.52π3D.20π【答案】C 【解析】【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明O 到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.【详解】如图，取AD 的中点E ，取AB 的中点G ，连接EG 、PG ，在线段PG 上取一点F ，使13FG PG =，过点E 作平面ABCD 的垂线OE ，使OE FG =，连接OF ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，ABE 、BCE 、CDE 均为等边三角形，所以2AE BE CE DE ====，因为OE ⊥平面ABCD ，所以90OEA OEB OEC OED ∠=∠=∠=∠=︒，所以OA OB OC OD ===，因为PAB 为正三角形，G 为AB 的中点，所以PG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PG ⊂平面PAB ，所以PG ⊥平面ABCD ，因为OE ⊥平面ABCD ，所以//PG OE ，即//FG OE又因为OE FG =，所以四边形OEGF 为平行四边形，所以//OF EG ，因为ABE 为正三角形，G 为AB 的中点，所以EG AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，EG ⊂平面ABCD ，所以EG ⊥平面PAB ，所以OF ⊥平面PAB ，又因为F 是ABP 的外心，所以FA FB FP ==，所以OA OB OP ==，所以O 即为四棱锥外接球的球心，因为1333OE FG PG ===，2AE =，所以393R OA ====所以2239524π4π)π33S R ==⋅=，故选：C.8.过()0,M p 且倾斜角为π,π2αα⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l 与曲线2:2C x py =交于,A B 两点，分别过,A B 作曲线C 的两条切线12,l l ，若12,l l 交于N ，若直线MN 的倾斜角为β.则()tan αβ-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k αβ'⋅=⋅=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan αβ-化简为()2k k ⎛⎫-+-⎪⎝⎭的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122(,),(,)A x y B x y ，由于曲线2:2x C y p=，则x y p '=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x p⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则AB l 为()000000()2xx xy y x x y y y x x p y y p p-=-⇒-=-⇒=+，且过()0,M p ，0y p ∴=-且0tan x k p α==，设2tan ,2p k k k x β''==-∴⋅=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-∴-=+()21k k k k k k -⎛⎫==-+-≥ ⎪+⋅⎝⎭''当且仅当k =时“=”成立，故选：C.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下表是某人上班的年收入（单位：万元）与上班年份的一组数据：年份x 1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9则下列命题正确的有（）A.年收入的均值为4.3B.年收入的方差为1.2C.年收入的上四分位数为5D.若y 与x 可用回归直线方程0.5ˆˆyx a =+来模拟，则ˆ 2.3a =【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据平均数定义运算求解；对于B ：根据方差公式分析求解；对于C ：根据百分位数的定义分析求解；对于D ：根据线性回归方程必过样本中心点分析求解.【详解】对于选项A ：由题意可得：年收入的均值 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，故A正确；对于选项B ：由题意可得：年份x 1234567收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9()2y y - 1.9610.490.010.250.812.56所以年收入的方差21.9610.490.010.250.812.567.081.277s ++++++==≠，故В错误；对于选项C ：因为70.75 5.25⨯=，所以年收入的上四分位数为第6个数据，是5.2，故C 错误；对于选项D ：因为年份的平均数123456747++++++==x ，即样本中心点为()4,4.3，所以0.5 4.30.523ˆ4.ay x =-=-⨯=，故D 正确；故选：AD.10.已知函数()2cos sin f x x x x ωωω=-(0)>ω，则下列命题正确的有（）A.当2ω=时，5π24x =是()y f x =的一条对称轴B.若()()122f x f x -=，且12minπx x -=，则12ω=C.存在()0,1ω∈，使得()f x 的图象向左平移π6个单位得到的函数为偶函数D.若()f x 在[]0,π上恰有5个零点，则ω的范围为72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BD 【解析】【分析】首先对函数表达式进行化简，A 选项，将2ω=，5π24x =代入发现此处有对称中心，没有对称轴；B 选项，由题设知，π为半个周期；C 选项，对函数进行平移变换，再判断奇偶性；D 选项，求出π26x ω+的范围，再确定区间右端点π2π6ω+的范围，从而求出ω的范围.【详解】()31cos 2311π1sin2=cos 2=sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=-+-+-⎪⎝⎭对于A ，当2ω=时，()π1sin 462f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以55ππ11πsin 246622f ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π24x =不是()y f x =的一条对称轴，故A 错误；对于B ，由题意知，2πT =，所以22π2πω=，又因为0ω>，所以12ω=，故B 正确；对于C ，()f x 向左平移π6个单位后，得到()ππ1ππ1sin 2sin 2662362g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，假设()g x 为偶函数，则ππππ362k ω+=+，Z k ∈，解得13k ω=+，Zk ∈而(0,1)ω∈，所以假设不成立，故C 错误；对于D ，[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令()π1=sin 2062f x x ω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则π1sin 262x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]0,π上恰有5个零点，所以π25π29π2π,666ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得72,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==-，则下列命题正确的有（）A.若()g x ax ≥恒成立，则1a e≤-B.若()y f x =与1y ax =-相切，则2ea =C.存在实数a 使得()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值D.存在实数a 使得方程()f x x a -=与()x g x a +=有相同的根且所有的根构成等差数列【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：原题意等价于ln xa x ≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x=->，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；对于B ：对()y f x =求得，结合导数的几何意义列式分析可得()1ln 1a a -=-，代入2e a =检验即可；对于C ：取1a =，利用导数求最值，进而分析判断；对于D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象，设交点为()(),M m h m ，结合图象分析可知从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m ，进而可得结果.【详解】对于选项A ，若()g x ax ≥，则ln x ax -≥，且0x >，可得ln xa x≤-，可知原题意等价于ln xa x≤-在()0,∞+内恒成立，令()ln ,0x h x x x =->，则()2ln 1x h x x ='-，令()0h x '>，解得0e x <<；令()0h x '<，解得e x >；可知()y h x =在()0,e 内单调递减，在()e,∞+内单调递增，则()()1e eh x h ≤=-，所以1a e≤-，故A 正确；对于选项B ：因为()e xf x =，则()e xf x '=，设切点为()00,ex P x ，则切线斜率()0=ex k f x '=，可得切线方程为()000ee x x y x x -=-，即()000e e 1x x y x x =+-，由题意可得()000e e 11xx a x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得()1ln 1a a -=-，显然2e a =不满足上式，故B 错误；对于选项C ：例如1a =，构建()()e xh x f x x x =-=-，则()e 1xh x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()y h x =在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，可知()y h x =的最小值为()01h =；构建()()ln ,0x g x x x x x ϕ=+=-+>，则()111x x x xϕ-=-+='，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；可知()y x ϕ=在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，可知()y x ϕ=的最小值为()11G =，可知()y f x ax =-和()y g x ax =+有相同的最小值1，故C 正确；对于选项D ：结合选项C 可知：()(),h x x ϕ的图象大致如下：设交点为()(),M m h m ，易知01m <<，由图象可知：当直线y a =与曲线()y h x =和曲线()y x ϕ=共有三个不同的交点时，直线y a =必经过点()(),M m h m ，即()a h m =.因为()()h m m ϕ=，所以e ln m m m m -=-，即e 2ln 0m m m -+=.令()()()h x x a h m ϕ===，得e ln e x m x x x m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<得1e m m <<.所以当直线y a =与曲线()y h x =和()y x ϕ=共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln ,,e m m m .因为e 2ln 0m m m -+=，即e ln 2m m m +=，所以ln ,,e m m m 成等差数列，故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}220A x x x =∈--≤N∣，集合(){}22210B x x a x a a =-+++=∣，若B A ⊆，则=a __________.【答案】0或1【解析】【分析】根据题意先求集合,A B ，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：{}{}{}220120,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=NN ∣∣，(){}{}22210,1B x x a x a a a a =-+++==+∣，因为B A ⊆，可知{}0,1B =或{}1,2B =，可得0a =或1a =.故答案为：0或1.13.过()1,2P 的直线l 被曲线2240x x y -+=所截得的线段长度为l 的方程为__________.【答案】1x =或34110x y +-=【解析】【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案.【详解】由曲线2240x x y -+=知，该曲线为圆()2224x y -+=且圆心为()2,0，半径为2r =.当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心到直线的距离为1d =.根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：l ==，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为：()12y k x =-+，即20kx y k --+=圆心到直线的距离为d =，当直线截圆所得线段长度l =根据垂径定理2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得，22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得34k =-此时直线方程为34110x y +-=.故答案为：1x =或34110x y +-=.14.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,tan sin sin b c A B C ≠=+，则以下结论正确的有__________.①20,11a b c ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪+⎝⎭；②211a b c ⎛⎫∈ +⎝⎭；③2b c a +⎫∈⎪⎭；④2b c a ⎛+∈ ⎝；⑤a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.【答案】⑤【解析】【分析】依题意可得sin sin sin cos A B C A =+，利用正弦定理将角化边得到cos ab c A=+，将上式两边平方，再由余弦定理得到2220cos a b c A+-=，最后由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】因为tan sin sin A B C =+，即sin sin sin cos AB C A=+，由正弦定理可得cos ab c A=+，所以22222cos a b c bc A=++，又2222cos bc A b c a +-=，所以()()22222222cos 2cos cos cos a b c A bc A b c A b c a A=++=+++-，所以()2221cos 0cos a b c A A ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以()cos 1,1A ∈-，则1cos 0A +≠，所以2220cos a b c A+-=，()222cos a b c A =+，又b c ≠，所以222b c bc +>，所以()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-，所以2222b c a +>，则a >a ∞⎫∈+⎪⎪⎭.故答案为：⑤【点睛】关键点点睛：本题关键是余弦定理的灵活应用，第一次得到2220cos a b c A+-=，再由基本不等式得到()222222cos 2cos a b cA bc A bc a =+>=+-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是线段1AB 上的动点.（1）求证：平面11BDD B ⊥平面11A BC ；（2）1PB 与平面11A BC 所成的角的正弦值为3，求PB 的长.【答案】（1）证明见解析（2）PB =【解析】【分析】（1）根据题意可得111A C DD ⊥，1111AC B D ⊥，进而可证11A C ⊥平面11BDD B ，即可得结果；（2）设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB ，利用等体积法可得13EB =，结合线面夹角可得13EB =，进而可得结果.【小问1详解】因为1DD ⊥平面1111D C B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，可得111AC DD ⊥，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，且111111,B D DD D B D ⋂=，1DD ⊂平面11BDD B ，可得11A C ⊥平面11BDD B ，且11AC ⊂平面11A BC ，所以平面11BDD B ⊥平面11A BC .【小问2详解】设1B 在平面11A BC 上的射影点为E ，连接1,EP EB，可知11A BC V是以边长为1134A BC S =⨯=V ，因为111111B A BC B A B C V V --=，即1111222332EB ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得1233EB =，设1PB 与平面11A BC 所成的角的大小为θ，则111233sin 3EB PB PB θ===，可得1PB =，在1BPB △中，由余弦定理得，222111π2cos 4PB BB PB BB PB =+-⨯⨯，即224PB =+-，解得PB =.16.甲和乙进行中国象棋比赛，每局甲赢的概率为0.8，甲输的概率为0.2，且每局比赛相互独立.（1）若比赛采取三局两胜制，且乙已经赢得比赛，则比赛需要的局数X 的数学期望()E X 为多少？（保留小数点后一位）（2）由于甲､乙实力悬殊，乙提出“甲赢5局之前乙赢2局，则乙胜”，求乙胜的概率.【答案】（1）2.6（2）0.34464【解析】【分析】（1）分析可知X 的可能取值为2，3，结合条件概率求()()2,3P X P X ==，进而可得期望；（2）根据题意分析乙胜的情况，结合独立事件概率乘法公式分析求解.【小问1详解】记“乙已经赢得比赛”为事件A ，则()120.20.2C 0.20.80.20.104P A =⨯+⨯⨯⨯=，由题意可知：X 的可能取值为2，3，则有：()()12C 0.20.20.80.20.2582,30.104130.10413P X P X ⨯⨯⨯⨯======，所以X 的数学期望()583423 2.6131313E X =⨯+⨯=≈.【小问2详解】由题意可知：每局乙赢的概率00.2p =，则()()()()2321110200030004000C 1C 1C 1P A p p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()415000C 1p p p ⎡⎤+-⎣⎦()()()()234200000121314151p p p p p ⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦()()()()()22340.21210.2310.2410.2510.2⎡⎤=+-+-+-+-⎣⎦0.048.6160.34464=⨯=，所以乙胜的概率0.34464.17.()()ex af x a -=∈R .（1）若()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，求0x ；（2）对任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求得()ex af x -'=，得到()00ex af x -='且()00ex af x -=，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意，转化为e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()e sin x ag x x -=-，当0a ≤时，符合题意；若0a >，求得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，利用导数求得()g x '的单调性，结合()π00,02g g ⎛⎫<> '⎪⎝⎭'，得到存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，得出()g x 的单调性和极小值，进而求得a 的取值范围.【小问1详解】由函数()e x af x -=，可得()e x af x -'=，所以()00ex af x -='且()00ex af x -=，即切线的斜率为0e x a -，切点为()00e,x aA x -因为()f x 的图象在点()()00,A x f x 处的切线经过原点，可得000e 0ex a x ax ---=-，解得01x =.【小问2详解】任意的[)0,x ∈+∞，有()sin f x x ≥，即e sin 0x a x --≥在[)0,x ∈+∞恒成立，令()[)esi ,0,n x ag x x x -=∈-+∞，若0a ≤，则0x a -≥，可得e 1x a -≥，所以()e sin 1sin 0x ag x x x -=-≥-≥，符合题意；若0a >，可得()ecos x ag x x --'=，令()()h x g x '=，则()e sin x a h x x -+'=，当0πx ≤≤时，()0h x '>，()g x '在[]0,π递增，而()π2π0e 10,e02a ag g --⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭''，所以，存在唯一的[]0π0,0,π2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，使得()000e cos 0x ag x x --'==，所以，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 在()00,x 递减，当0πx x <<时，()0g x '>，()g x 在区间()0,πx 递增，故当0x x =，函数()g x 取得极小值()00000e sin cos sin 0x ag x x x x -=-=-≥，所以0π04x <≤，此时，00lncos x a x -=，可得00πlncos ln 42a x x =-≤-，即πln2042a <≤+；当πx >时，()πln 2142e sin e1e1e 10x x ax ag x x ---=-≥-≥-≥->，因而πln2042a <≤+，符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是求πln2,42∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．18.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上焦点为(，下顶点为A，渐近线方程是y =，过20,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭点的直线交双曲线上支于,P Q 两点，,AP AQ 分别交直线23y =于,M N 两点，O 为坐标原点.（1）求C 的方程；（2）求证：,,,M N O A 四点共圆；（3）求（2）中的圆的半径r 的取值范围.【答案】（1）22142-=y x （2）证明见解析（3）5.3⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解出即可；（2）方法一：设直线2:3PQ y kx =+，联立双曲线方程得到韦达定理式，求出11836M x x y =+，22836N x x y =+，最后计算并证明出BO BA BM BN =即可；方法二：转化为证明出1OM AN k k =，同法一设线联立得到韦达定理式，再整体代入计算出1OM AN k k =即可；（3）设圆心为T ，计算出(),1T k -，根据r =k 的范围即可.【小问1详解】由题，222ac a b c b==+=，解得224,2a b ==，所以C 的方程为22142-=y x .【小问2详解】（方法一）设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，解得21629k <<，且()()1212222243243239,223292k k x x x x k k kk -+====----，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，()()1212121288643636922x x x x BM BN y y y y =⨯=++++()()()121221212126464864922939x x x x y y k x x k x x ==+++++()()()22223292641632846499399232k k k k k k -==⋅+⋅+--，22162339BO BA ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，则BO BA BM BN =，所以,,,M N O A 四点共圆.（方法二）设,OM AN 的倾斜角分别为,αβ.由对称性，不妨设PQ 的斜率0k >，此时,αβ均为锐角，所以,,,M N O A 四点共圆πAOM ANM ∠∠⇔+=，ππ2αβ⎛⎫⇔++= ⎪⎝⎭ππ,,0,22αβαβ⎛⎫⇔+=∈ ⎪⎝⎭tan tan 1αβ⇔=1OM AN k k ⇔=设()()11222,,,,:3P x y Q x y PQ y kx =+，代入22142-=y x ，化简整理得()224322039k x kx -+-=，有()22212201632Δ420,990k k k x x ⎧-≠⎪⎪⎛⎫=--->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩解得21629k <<，()()121222324,9232kx x x x k k =-+=---，112:2y AP y x x +=-，令23y =得11836M x x y =+，同理22836N x x y =+，121222,4OM AN AQ y y k k k x x ++===()21212121212121288864223339444OM ANkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭=⋅==()()()2222328464399232132492kk k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎣⎦所以,,,M N O A 四点共圆.【小问3详解】设圆心为T ，则1T y =-，121212124448823636333M N T x x x x x x x y y kx kx ⎛⎫⎪+==+=+ ⎪++ ⎪++⎝⎭()()()()()()221212221212223284822392324438643284643339399232kk kx x x x k k k k k x x k x x k k k k⋅+⋅++--==⋅=+++⋅+⋅+--，(),1T k ∴-，因为21629k <<，则5.3r ⎛= ⎝【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法得到韦达定理式，然后利用四点共圆的充要条件代入计算证明即可，第三问的关键是得到圆心坐标，从而得到r =19.给定自然数n 且2n ≥，设12,,,n x x x 均为正数，1ni i x T ==∑（T 为常数），11n i ni i nx x T x T x -==--∑.如果函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''>，则称函数()f x 为凸函数.凸函数()f x 具有性质：()1111n n i i i i f x f x n n ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.（1）判断()1xf x x=-，()0,1x ∈是否为凸函数，并证明；（2）设()1,2,,ii x y i n T == ，证明：111111n ny y n -≤---；（3）求nnx T x -的最小值.【答案】（1）()f x 在()0,1上为凸函数，证明见解析（2）证明见解析（3）()5128221nn --.【解析】【分析】（1）对()f x 求导之后，再求二阶导数，证明()0f x ''>即可得出结论；（2）根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑；将11n i n i i nx x T x T x -==--∑中的分子、分母同时除以T ，得到()111n ni i n y f y y -==-∑；加上1111n ni i n n i i y y y y -===-=-∑∑，利用以上条件得到一个关于n y 与n 的不等式，变形后即可得出结论.（3）设i i x y T=，将n n x T x -转化为1n n y y -，判断其单调性，将问题转化为求n y 的最小值；利用（2）的结论，求出n y 的最小值，代入1n ny y -即可得出答案.【小问1详解】()f x 在()0,1上为凸函数.证明：由题知，()22(1(1)())(11)x f x x x x ==-'----，所以()43(1)(11)2()2f x x x x =-'=--'，因为()0,1x ∈，所以10x ->，()0f x ''>，所以()f x 在()0,1上为凸函数.【小问2详解】证明：因为i i x y T =()1,2,,i n = ，所以11111n n n i i i i i i x T y x TT T =======∑∑∑，由题知11n i n i i n x x T x T x -==--∑，分子分母同时除以T ，得1111i n n i n i x x TT x x T T -==--∑，所以1111n i n i i n y y y y -==--∑，即()111n n i i n y f y y -==-∑，根据凸函数的性质得，()11111111n n i i i i f y f y n n --==⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭∑∑，所以111111111111n i n i n n i i y y n n y y n -=-=-⋅≥----∑∑，又因为1111n n i i n n i i y y yy -===-=-∑∑，所以1(11111))111(11(11)n n n n n n y y y n n y n y y n ⋅---⋅≥=------⋅--，两边同时乘以n 1-，得(1)(111()1)n n n n y n y y n y --≥----，因为()1,2,,i x n T i <= ，所以(0,1)i i x y T =∈，又因为2n ≥，所以(1)(1011(1))n n n n y n y y n y --≥>----，两边同时取倒数，得11(11(1))1)(111n n n n n y n y y n y y n ----≤=-----，所以111111n n y y n -≤---，即111111n n y y n -≤---.【小问3详解】设i i x y T =()1,2,,i n = ，则n n x y T =，且()0,1n y ∈，所以11111n n n n n n n x x y T x T x y y T ===-----，随n y 增大而增大，由（2）知，111111n n y y n -≤---，所以()2111n n n n y y y n n y -⋅--≤--，所以()2(34)210n n y n n y n --+-≤-，当2n =时，120n y -+≤，12n y ≥，所以1111n n n x T x y =-≥--，当且仅当1212y y ==时，等号成立，当3n ≥时，()()3451283451282222n n n y n n ---+≤≤--，所以1n n n n x y T x y =≥--22(5128)(34)(24)4128n n n n nn n--++-+-=-+()22288(22412821n n n nn n n-+-+--==-+-，当且仅当()()121151281221nny ny y yn n n--=====---时，等号成立，当2n=时，最小值为1，满足上式，所以nnxT x-的最小值是()5128221nn--.【点睛】关键点点睛：第2问的关键是将条件中x转化为y，紧紧围绕凸函数的性质来做文章；第3问关键是将nnxT x-转化为1nnyy-，利用第2问的结论，求出ny的最小值.。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学(理)试卷含答案
安徽省合肥一中2020届高三冲刺高考最后1卷数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。
依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。
得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。
则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（ ）A ．13,28B ．11,28C ．11,35 D ．12,392．下列四个命题:存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．43．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．如果复数(2)()ai i a R +∈的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-15．设i 为虚数单位,m R ∈,“复数()1m m i -+是纯虚数”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．407．已知向量44sin,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，向量()1,1b =r ，函数()f x a b =r r g ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数8．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞=（ ） A ．0B ．14 C ．2 D ．229．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（ ）A ．1-B ．12 C ．1D ．210．已知集合{}|12A x a x a =-≤≤+，{}|35B x x =<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为,A B ，点P 为双曲线上除,A B 外任意一点，且点P 与点,A B 连线的斜率分别为1k 、2k ，若123k k =，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y x =± B ．2y x =C ．3y x =D ．2y x =±12．在区间[]0π，上随机取一个数x ，则事件2“sin cos 2x x +≥发生的概率为( ) A ．12 B ．13 C ．23 D ．712二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市第一中学高三最后一卷数学答案和解析
合肥一中2023届高三最后一卷数学参考答案1.解析：因为][0,2,2,0A B ⎡⎤==-⎣⎦所以{}(){}0,0R A B A B x Rx ⋂=⋂=∈≠∣ð.故选：C .2.解析：因为1z =+，所以1z =，故z 的虚部是.故选：A .3.解析：5x =，故0.155 5.75 6.5y =⨯+=，经计算可得被污损的数据为6.4，答案选B .4.解析：曲线1:sin 2cos22C y x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移18π个单位长度，可以得到曲线25:cos 3cos 366C y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选：C.5.解析：设直线1y =与y 轴交点为M ，由对称性，易知MFA 为直角三角形，且1602AFM AFB ∠∠== ，2AF FM ∴=，即1212p +=，去绝对值，解得23p =或6,p =∴抛物线的准线方程为13y =-或3y =-.故选：C.6.解析：一方面，考虑{}Ω,,,a b c d =含有等可能的样本点，{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===.则()()()()()()11,24P A P B P C P AB P BC P AC ======，故,,A B C 两两独立，但()1148P ABC =≠，故此时，()()()()P ABC P A P B P C =不成立.另一方面，考虑{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=含有等可能的样本点，{}{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,4,6,7,8A B C ===.则()()()()11,28P A P B P C P ABC ====()111822P AC =≠⨯，故,A C 不独立，也即,,A B C 两两独立不成立.综上，“,,A B C 两两独立”是“()()()()P ABC P A P B P C =”的既不充分也不必要条件.故选D.7.解析：作AQ 垂直下半平面于，作AH x ⊥轴于H ，连接,HQ QB .设11,,,(0)A m B m m m m ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题可知60AHQ ∠= ，则11,,22AH QH AQ m m m ===，两点间距离公式可得222144QB m m =+.22222144AB AQ QB m m =+=+≥，当且仅当22m =时，AB 取最小值2.故选A.8.解析：因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+①，所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称，因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②，又()()31f x g x -+=③，②+③得()()132f x f x -+-=④，即()()132f x f x +++=，即()()22f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，又()()13g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得()()132f x f x ++-=，故()f x 的图象关于点()2,1中心对称，且()21f =，故选项A 正确，易得()()01,41f f ==，且()()132f f +=，故()()()()12344f f f f ++==，故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑，因为()1f 与()3f 值不确定，故选项C 错误，因为()()31f x g x -+=，所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-，所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦，故()()()()01230g g g g +++=，故2023()50600i g i ==⨯=∑，所以选项D 正确，故选C .9.解析：A.()()22AD AF AB AF ED =+=+，故A 错误；B.因为()()2,22||AB EA AB EA FA AB FA AB EB AB ⊥⋅+=⋅=⋅= ，故B 正确；C.()()11,22BC CD FE BC BC CD FE FE ⋅=⋅= ，又BC FE =，所以()()BC CD FE BC CD FE ⋅=⋅ ，故C正确；D.AE 在CB方向上的投影向量为()3322AE CB CB AE CB CB CB e CB CB⋅=⋅=-=，故D 错误.故选BC .10.解析：由切线长定理易得12l r r =+，A 正确.由勾股定理知()()222121212(2)4R r r r r r r =+--=，解得R =，B 正确.()()()222122222221212121212124422S R R R S r r r r r r r r l r r r r ππππ===+++++++.()()33212222222121212121212442331233R R V R R V r r r r r r r r h r r r r ππππ===++++++.所以1122,C S V S V =正确.1122212212122122231S r r r r S r r r r r r ==≤++++，当且仅当12r r =时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D 错误.综上，答案为ABC .11.解析：以BC 为x 轴，DA 为y 轴建系，则()(0,0,D A 可以求得动点M 的轨迹方程：22302x y y +-=.这是一个圆心在点0,4P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为34的圆(不含原点)D A 项：()1,0B -，所以max 193||4BM BP r =+=.故A 错误B项：2222||1||11424CB MB MC MD MD ⎛⎫⋅=-=-≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭ .故B 正确C 项：易知直线:10AB x y -+=，故1328ABM M AB S AB d -=≤.故C 错误D 项：易知cos MBC ∠取最小值，当且仅当MBC ∠取最大值，也即BM 与P 相切时.此时3tan 24MBC ∠=，故221tan 132cos 191tan2MBCMBC MBC ∠∠∠-==+.故D 正确.故选：BD.12.解析：由sin 0,cos 0x x >>得()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,2x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不在定义域内，故()()f x f x π+=不成立，易知()f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误，又()22222cos log cos 2sin log sin 2f x x x x x f x π⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以选项B 正确，因为()222222sin log sin cos log cos f x x x x x =⋅+⋅，设2sin t x =，所以函数转化为()()()()()()2222log 1log 1,0,1,log log 1g t t t t t t g t t t =⋅+-⋅-∈='--，所以()0g t '>得，()0g t '<得102t <<，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 1()12g t g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即min ()1f x =-，故选项C 正确，因为()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由2sin t x =，令210sin 2x <<得20sin 2x <<，又()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得22,4k x k k Z πππ<<+∈，因为2sin t x =在2,24k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的单调递减区间为2,2,4k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，同理函数的递增区间为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选BCD.13.解析：因为22(1)y x =-'，所以曲线11xy x+=-在点()2,3-处的切线斜率为2，所以切线方程为()322y x +=-，即27y x =-，即270x y --=.14.解析：法1：()tan tan tan 1,tan tan tan tan 11tan tan αβαβαβαβαβ++==-∴+=-- .()()()cos sin 1tan tan tan tan 2cos cos βααβαβαβαβ--+∴=-++=.法2：（特殊值法）令38παβ==，易得答案.15.解析：0.255205.2550.250.0025510.0199=+++=+=- .16.解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据双曲线方程知，2c =.直线过原点，由对称性，原点O 平分线段原点AB ，又原点O 平分线段2,FF ∴四边形2AFBF 为平行四边形.ABF 和2ABF 中，分别有中位线，,OP BF OQ AF ∥∥，,,OP OQ AF BF ⊥∴⊥∴ 四边形2AFBF 为矩形，2BFF ∴ 为直角三角形.不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2θ，则2,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且OFB OBF ∠∠θ==，在Rt 2BFF中可得：22124cos 4sin ,2cos 2sin 4c a BF BF e a θθπθθθ∴=-=-∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,,,3264ππππθθ⎡⎫⎡⎫∈∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，易知()14f θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上为增函数，)11,4e ∞πθ∴=∈+⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解析：（1）因为1cos 3B =，所以2222sin 1cos 2costan 222cos 2A CB AC B A C ++++=++()()1cos 1cos 21cos A C B A C -++=+++1cos 1cos 821cos 3B B B ++=+=-.（2）因为ABC S =1122sin 223ac B ac =⋅=，所以6ac =再由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，即222614263c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，也即4220360c c -+=，解得c =c =.18.解析：（1）因为21342n n n n S S S a +++=-，所以()21132n n n n n S S S S a +++-=--，即2132n n na a a ++=-所以()()()()()()21111111223222220n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++---=----=---=（为常数）所以数列{}12n n a a +-是等差数列.（2）由（1）知121221n n a a a a +-=-=，即121n n a a +=+.也即()1121n n a a ++=+，又112a +=，所以11222n n n a -+=⋅=..所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===-⎢+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦.∴数列{}n b 的前n 项和()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=-=-⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦19.（1）补全四面体PQRS 如图，即证：PQ SR ⊥取SR 的中点M ，正四面体中各个面均为正三角形，故,PM SR QM SR ⊥⊥，又PM QM M ⋂=，所以SR ⊥面PQM .又PQ ⊂面PQM ，所以PQ SR ⊥.（2）在QSR 的中心建系如图：则()(33,,,0,,02222S P R Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,0,,,33623A C ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,022K ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.设面ACK 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()n =- ，又33,,22PQ ⎛=- ⎝ ，所以22sin cos ,11n PQ θ== .20.解析：（1）设事件A 为“小周在这三个月集齐三款模型”，则()3333111034500A P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）1,2,,12X = ，由题意得()()1911,2,,111010k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()1191210P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭11111199()12101010k k k E X -=⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑，错位相减求得最后结果为()11910910E X ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.21.解析：（1）将()1,1M 代入，可以求得243b =.联立22314410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得24610x x --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12262AB x =-=，又易知点M 到直线l的距离为2，故ABM的面积4ABM S = ..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立22314410x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得()223230t y ty +--=，则1221222333t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，11sin ,sin 22ABM PQM S AM BM AMB S PM QM PMQ ∠∠== ，又sin sin PMQ AMB∠∠=所以5PQM ABM S S = 等价于5PM QM AM BM =，也即5QM AM BMPM=5QM AMBMPM =即1251313x x -=-，也即129115x x --=，也即1295ty ty --=，也即223935t t =+，解得322t =±.22.解析：（1）()ln f x x ax =-'在()0,∞+上有两个变号零点，即ln xa x=有两个不等实根，设()()2ln 1ln ,x x g x g x x x-'==，故()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，所以max 1()g x e=，且()10g =，又(),0x g x ∞+→+→，故10a e<<，且121x e x <<<，所以()2111111ln 12f x x x ax x =--+，又11ln x a x =，所以()21111111111ln 11ln 1ln 122x f x x x x x x x x x =-⋅⋅-+=-+，设()()1ln 1,1,2h x x x x x e =-+∈，所以()()1ln 102h x x =-<'，所以()h x 在()1,e 上单调递减，所以()1,02e h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()11,02e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）法一：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以()2121ln ln x x a x x -=-，得：2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：123ln22ax ax +<，即证：()2123ln2a x x ->，即证：()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证：2211212ln 3ln2x x xx x x -⋅>-，即证：22121121ln 3ln21x x x x x x -⋅>-，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-，设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法二：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以2211ln ln x x x x =，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，.由2211ln ln x x x x =可得：12ln ln ln ,ln 11t t tx x t t ==--，.要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：ln 2ln 3ln211t t t t t +<--，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法三：由（1）知：10a e<<，且121x e x <<<，()ln xg x x=在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，又1122x x x <<，且()()12g x g x a ==，所以()()()2112g x g x g x =<，所以1111ln ln22x x x x <，所以211ln ln2x x <，所以2112x x <，所以112x <<，又()ln222g =，所以ln202a <<，又ln2ln424=，即()()24g g =，所以24x >，因为122x x <，所以212284x x x <<，故2128x x <.。
【精准解析】安徽省合肥一中2020届高三下学期最后一卷理综物理试题
合肥一中2020届高三最后一卷理科综合能力测试物理试题一、选择题（本大题共8小题，每小题6分共48分。
在每小题给出的四个选项中，第1-4题只有一项符合题目要求，第5-8题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分有选错或不选的得0分。
请选出符合题目要求的一项或多项填入答题卷中） 1.进行光电效应实验时，若普朗克常量h 和元电荷e 为已知，我们就可以通过测量入射光的频率v 和某金属的遏止电压U C 得到该金属的截止频率0ν。
其原理表达式正确的是（ ） A. 0CeU hνν=-B. 0CeU hνν=- C. 0Ch eU νν=- D. 0CheU νν=- 【答案】A 【解析】【详解】爱因斯坦光电效应方程0k E h W ν=-而k C E eU =00W h =ν联立解得0CeU hνν=-故选A 。
2.篮球运动受很多中学生的喜爱，某次训练中，一位男生练习定点投篮，篮球刚好水平击中篮板上的A 点，如图所示，不计空气阻力。
现在他向后退了一小段距离，抛射点B 距篮板更远但高度不变，再次投篮，篮球又恰好水平击中篮板上的A 点，则（ ）A. 第一次投篮，篮球在空中飞行的时间较短B. 第一次击中A 点时的速度较小C. 第二次投篮的初速度较小D. 第二次投篮时抛射角θ较大 【答案】B 【解析】【详解】A ．篮球在竖直方向上做竖直上抛运动，由于两次击中同一点，即在竖直方向上的位移相等，根据逆向思维，将竖直上抛运动看做自由落体运动的逆运动，即212h gt =，所以空中飞行时间相同，A 错误；B ．篮球在水平方向上做匀速直线运动，两次运动时间相同，而第一次水平位移小，所以水平分速度小，所以击中A 点时的速度较小，B 正确；C ．根据22y v gh =可知两次竖直分速度相等，第二次水平分速度大，所以根据速度的合成可得22x yv v v =+C 错误； D ．根据tan y xv v θ=可知x v 越大，正切值越小，即第二次投篮时抛射角θ较小，D 错误。
安徽省合肥市2024届高三“最后一卷”数学试题含答案
合肥2024届高三“最后一卷”数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．4．本卷命题范围：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|1,N}A x x x =≤∈，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),0∞- C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据几集合中的元素化简集合A ，再根据集合间的关系即可得实数a 的取值范围.【详解】因为集合{}2{|1,N}0,1A x x x =≤∈=，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则a<0，故实数a 的取值范围是(),0∞-.故选：B.2.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（）A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7C.这组数据的极差为4D.这组数据的第80百分位数为9【答案】D 【解析】【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】这组数据的平均数为771097691078810+++++++++=，故A 正确；这组数据的众数为7，故B 正确；这组数据的极差为1064-=，故C 正确；将这组数据按照从小到大的顺序排列为6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，因为80%108⨯=，所以这组数据的第80百分位数为9109.52+=，故D 错误.故选：D .3.若x ，R y ∈，则“112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“ln()0x y ->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】等价变形112222x yxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后构造函数得出x y >，解不等式ln()0x y ->得1->x y ，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解.【详解】设命题p ：112222x yx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：ln()0x y ->对于命题p ，因为112222xyxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在R 上为增函数，所以x y >；对于命题q ，因为ln()0x y ->，所以1->x y ，即1x y >+；所以p q ⇒为假命题，q p ⇒为真命题；所以p 是q 的必要不充分条件;故选：B.4.已知点P 在圆221x y +=上运动，点,F A 为椭圆22184x y+=的右焦点与上顶点，则PFA ∠最小值为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.75︒【答案】A【分析】由题意知(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，则确定FP 与圆相切时PFA ∠取得最小值，即可求解.【详解】由题意知，(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，当FP 与圆相切时，PFA ∠取得最小值，此时30,45OFP OFA ︒︒∠=∠=，所以453015PFA OFA OFP ︒︒︒∠=∠-∠=-=，所以PFA ∠的最小值为15︒.故选：A5.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积公式为2πS Rh =．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km （图中的点A 处），设地球半径约为R km ，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）A.22100π400R km R + B.22200π400R km R + C.22400π400R km R + D.22800π400R km R +【答案】D【分析】由题意可得2400R OO R '=+，结合公式2πS Rh =计算即可求解.【详解】如图，400AB =km ，由~OO C OCA ' ，得OO OCOC OA='，又OC R =，则2(400)R OO OA OO R ''=⋅=+，得2400R OO R '=+，所以222400800π2π2π()2π()2π400400400R R S Rh R R OO R R R R R R '==-=-=⋅+++（2km ）.即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为2800π400R R +（2km ）.故选：D6.已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，则tan α=（）A.33B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据506010︒=︒-︒结合两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】由()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，得cos10cos sin10sin 2cos50cos ααα︒+︒=︒，故sin10sin 2cos50cos cos10cos ααα︒=︒-︒所以2cos50cos10tan sin10α︒-︒=︒()2cos 6010cos10sin10︒-︒-︒=︒cos10cos10sin10︒︒-︒==︒.7.已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，若12a =，11b =，则122024111a a a +++= （）A.10121013B.10111012C.20242025D.20232024【答案】C 【解析】【分析】由21n n n a b b +=，得n a =，再结合112n n n a a b +++==，进而可得数列是等差数列，即可求出{}nb 的通项，从而可求出数列{}na 的通项，再利用裂项相消法求解即可.【详解】因为0n a >，21n n n a b b +=，所以n a =，因为112n n n a a b +++=，所以0n b >12n b ++=，=，所以数列是等差数列，又12a =，11b =，所以24b =，所以数列1=，首项为1=，n =，所以2n b n =，所以()1n a n n ==+，则()111111n a n n n n ==-++，所以1220241111111112024112232024202520252025a a a +++=-+-++-=-= .故选：C.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，1(,0)F c -、2(,0)F c 分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P 使得线段1PF 与y 轴交于点E ，2PO PF =，线段2EF 的中点H 满足120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.7+D.7-【答案】A 【解析】【分析】由2PO PF =，设0(,)2cP y ，表示出1PF 的方程求得02(0,)3y E ，则0(,)23y c H ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r 表示出P 的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.【详解】由2PO PF =，得P 的横坐标为2c ，设0(,)2cP y ，则直线1PF 的方程为02()3y y x c c =+，令0x =，得023y y =，即02(0,)3yE ，所以线段2EF 的中点0(,)23y c H ，则01203(,),(,)232y c cF H PF y ==- ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，得2200033(,)(,)023243y y c c c y ⋅-=-=，则032cy =±，即3(,22c cP ±，代入双曲线方程得22229144c c a b -=，即222229144()c c a c a -=-，整理得421440e e -+=，由1e >，解得32102e +=.故选：A【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点P 的坐标表示出点E 的坐标，由中点坐标公式表示出点H 的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得3(,)22c cP ±，代入双曲线方程计算即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z ，1z ，2z ，下列结论正确的有（）A.若复数z 满足1R z∈，则R z ∈B.若12z z ≠，z 满足12zz zz =，则0z =C.若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D.若复数z 满足228z z ++-=，则z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆【答案】ABD 【解析】【分析】A 根据z R ∈的条件，得出0b =可以判断；B 根据复数相等的充要条件即可求解；C 举反例可求解；D 令z i x y =+，再结合椭圆的定义可以求解.【详解】对于A 选项，令i z a b =+，()()22222211i i i i i i a b a b a b z a b a b a b a b a b a b --====-++-+++因为1R z ∈，所以220b a b -=+，即0b =，所以R z ∈，故A 正确；对于B 选项，令111222i,i,i z a b z x y z x y =+=+=+，因为12z z ≠，所以12x x ≠或22y y ≠，()()()1111111i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；()()()2222222i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；因为12zz zz =，所以11221122ax by ax by ay bx ay bx -=-⎧⎨+=+⎩，因为12x x ≠或22y y ≠，所以0a b ==，所以0z =，故B 正确；对于C 选项，令12i z z ==1，，易知1212z z z z +=-，所以12i 0z z ⋅=≠，故C 错误；对于D 选项，令i z x y =+，因为228z z ++-=，84=>，由椭圆定义可得z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D 正确，故选：ABD.10.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“．”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈；②a ∀、b 、c G ∈，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，e 称为单位元；④a G ∀∈，b G ∃∈，使a b b a e ⋅=⋅=，称a 与b 互为逆元．则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A.{}1,1G =-关于数的乘法构成群B.自然数集N 关于数的加法构成群C.实数集R 关于数的乘法构成群D.{},Z G a b a b =+∈关于数的加法构成群【答案】AD 【解析】【分析】根据“⋅”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可．【详解】对于A 选项，对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈，且满足①乘法结合律；②1e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；③a G ∀∈，a G ∃∈，有1a a a a ⋅=⋅=，故A 正确；对于B 选项，①自然数满足加法结合律；②0N e ∃=∈，使得N a ∀∈，有00a a a +=+=；但是对于0N ∈，1N ∈，不存在N b ∈，使110b b +=+=，故B 错误；对于C 选项，对所有的a 、R b ∈，有R a b ⋅∈，①实数满足加法结合律；②1R e ∃=∈，使得R a ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；但对于1R ∈，0R ∈，不存在R b ∈，使001b b ⋅=⋅=，故C 错误；对于D 选项，对所有的a 、b G ∈，可设a x =+，b s =+，(x ，y ，s ，Z)t ∈，则())a b x s y t G +=+++∈，①G 满足加法结合律，即a ∀、b 、c G ∈，有()()++=++a b c a b c ；②0e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有e a a e a +=+=；③a G ∀∈，设a x =+，x ，Z y ∈，b x G ∃=--∈，使a b b a e +=+=，故D 正确．故选：AD ．11.已知函数()f x ，对任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ 都有()()()f x f y f xy y x =+，且()1e ef =（其中e 为自然对数的底数），则（）A.()10f -=B.1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()f x 是偶函数D.e x =是()f x 的极小值点【答案】AB 【解析】【分析】由题意，合理巧妙赋值，即可判断ABC ；根据()()()xyf xy xf x yf y =+构造函数()ln xf x x =，利用导数研究()f x 的性质即可判断D.【详解】A ：令1x y ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =，令1x y ==-，得(1)(1)(1)f f f =----，解得(1)0f -=，故A 正确；B ：令1e,ex y ==，得1((e)e (1)1e ef f f =+，又1(e)e f =，所以1()e ef =-，故B 正确；C ：令1y =-，得()(1)()()1f x f f x f x x--=+=--，所以()f x 为奇函数，故C 错误；D ：由()()()f x f y f xy y x=+，得()()()xyf xy xf x yf y =+，设函数()ln xf x x =，则ln ,0ln ()ln(),0xx x xf x x x x x⎧>⎪⎪==⎨-⎪<⎪⎩，当0x >时，21ln ()xf x x-'=，令()00e,()0e f x x f x x ''>⇒<<<⇒>，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以e x =是()f x 的极大值点，故D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，本题的关键是：根据()()()xyf xy xf x yf y =+，构造函数()ln xf x x =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()2,3a =-r ，()1,2b =- ，若()a b a λ+⊥，则λ=______．【答案】813【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算与向量垂直的坐标运算列方程求解即可.【详解】因为()2,3a =-r，()1,2b =- ，由()a b a λ+⊥ 可得()()()()()()21,322,32213321380a b a λλλλλλ+⋅=--+⋅-=-+-⨯-+=-=，解得813λ=.故答案为：813.13.除数函数（divisor function ）()()*Ny d n n =∈的函数值等于n 的正因数的个数，例如，()11d =，()43d =．则()2160d =______．【答案】40【解析】【分析】根据定义写出2160的质数因数，即可得解.【详解】因为432160235=⨯⨯，它的因数形如235i j k ⨯⨯，其中{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1i j k ∈∈∈，所以不同的因数有54240⨯⨯=个，即()216040d =.故答案为：40.14.已知函数()21x f x x+=，若()()ln f x f a x >对任意()2e,e x ∈恒成立，则正数a 的取值范围为______．【答案】1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】一方面，通过题设条件可以证明1e e a ≤≤；另一方面，在1e ea ≤≤的情况下又可证明题设条件成立，这就得到了a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】一方面，如果对任意()2e,ex ∈有()()ln f x f a x >：设()()()ln g x f x f a x =-，则对任意()2e,ex ∈有()0g x >，从而由()2e 1e,e +∈知()e 10g +>.假设()e 0g <，则由零点存在定理知存在()e,e 1t ∈+使得()0g t =.但由()()2e,e 1e,et ∈+⊆又有()0g t >，矛盾，所以()e 0g ≥.代入得到()()e 0f f a -≥，从而22e 11e a a++≥，解之，得到1e e a ≤≤；另一方面，如果1e ea ≤≤：设()ln h x x x =，则()ln 1h x x ='+.从而当10e x <<时()0h x '<，当1e x >时()0h x '>.所以()h x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.当()2e,e x ∈时，有11111ln e ln e ln e e e e e a x x x x h x h x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-⋅=-⋅<-⋅=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()()111111ln ln ln e e e e e e e a x x x x h x h x x x x x≥=⋅=⋅>⋅=⋅=.所以1ln a x x x <<，这就意味着()1ln ln 0a x x a x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，展开即()21ln 1ln a x a x x x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，此即()2ln 11ln a x x x a x++>，故()()ln f x f a x >.综上，a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：分类讨论是求取值范围的典型方法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -各棱长均为2，π3BAD ∠=，O 是线段BD 的中点．（1）求点O 到平面11AC D 的距离；（2）求直线AB 与平面11AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）255（2）55【解析】【分析】（1）连接AC ，11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接AC ，由题意，点O 为,AC BD 的交点，连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，如图，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，在ABD △中，π3BAD ∠=，则ABD △为等边三角形，则2,3BD AC ==则()()()()110,0,0,1,0,0,0,3,2,0,3,2O D A C -，故()()()1111,0,0,0,3,0,1,3,2OD A C DA =-==-，设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z = ，则有11130320n A C n DA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可取()2,0,1n =- ，则点O 到平面11AC D 的距离为555OD n n ⋅== ；【小问2详解】()()0,3,0,1,0,0A B ，故()3,0AB =，则cos,5n ABn ABn AB⋅===，即直线AB与平面11AC D．16.已知函数()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A为△ABC的内角，且()0f A=．（1）求角A的大小；（2）如图，若角A为锐角，3AB=，且△ABC的面积SE、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．【答案】（1）π6A=或5π6A=（2）73【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据()0f A=即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出边c，再将AM用,AF AC表示，结合数量积的运算律即可得解.【小问1详解】()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13131sin cos sin22222x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭22311cos sin442x x=--21sin4x=-，则()21sin 04f A A =-=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以1sin 2A =，所以π6A =或5π6A =；【小问2详解】若角A 为锐角，则π6A =，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则13sin 244S bc A b ===，所以b =如图，连接CF ，因为点E 、F 为边AB 上的三等分点，所以E 为AF的中点，因为点D 为边AC 的中点，所以点M 为ACF △的重心，则()222112333233CM CE AE AC AF AC AF AC ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，所以()13AM AC CM AF AC =+=+，又2,AF AC ==，所以73AM ==== ，即线段AM 的长为73．17.混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A 、B 两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A 的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中鱼苗A 的数目为随机变量)i 1,2,(,X n =⋯；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该鱼塘中鱼苗A 的数目为M ，鱼苗B 的数目为N ，其中M N <，每一次试验都相互独立．．．．．．．．．．．（1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A 的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A 的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A 的概率；（2）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，（i ）证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（ii ）试验结束后，记i X 的实际取值分别为()1,2,,i x i n = ，平均值和方差分别记为x 、2s ，已知其方差2758s n=．请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算M N 和x ．【答案】（1）1949（2）（i ）证明见解析，（ii ）13M N =，252x =【解析】【分析】（1）设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，然后根据题意求出()P M 和()P MN ，再利用条件概率公式即可求得所求概率；（2）（i ）由题意可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，然后利用期望和方差的公式计算即可得证；（ii ）由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()M E X M N =+，1X 的方差1()50M ND X M N M N=⨯⋅++，然后结合题意即可求解．【小问1详解】设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，由题意可得，120150C 2()C 5P M ==，220250C 38()C 245P MN ==，所以5()938242519(|)()4P MN P N M P M ===；【小问2详解】（i ）证明：由题可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，11111111()()()()()()n nn i i i i i i i E X E x E X E X nE X E X n n n n=======⨯=∑∑∑，1122211111111()()()()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X nD X D X n n n n n ========∑∑∑，所以1()()E X E X =，11()()D X D X n=；（i i ）解：由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()ME X M N=+，1X 的方差1()50M N D X M N M N=⨯⨯++，所以25075()()8MN D X n M N n ==+，解得13M N =或3MN=，又0M N ≤<，则01MN≤<，所以13M N =，15025()()2M x E X E X M N ====+．18.已知抛物线2:2y x Γ=，点000(,)(0)R x y y ≠在抛物线Γ上．（1）证明：以R 为切点的Γ的切线的斜率为1y ；（2）过Γ外一点A （不在x 轴上）作Γ的切线AB 、AC ，点B 、C 为切点，作平行于BC 的切线11B C （切点为D ），点1B 、1C 分别是与AB 、AC 的交点（如图）．（i ）若直线AD 与BC 的交点为E ，证明：D 是AE 的中点；（ii ）设三角形△ABC 面积为S ，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如11AB C △．再由点1B 、1C 确定的切线三角形221B B C △，133C B C △，并依这样的方法不断作1，2，4，…，12n -个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于13S ．【答案】（1）证明过程见解析（2）（i ）证明过程见解析；（ii ）证明过程见解析【解析】【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方程有唯一解得到结论；（2）使用（1）的结论即可直接得到（i ）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii ）.【小问1详解】设()00y k x x y =-+是以R 为切点的Γ的切线，则0k ≠.由于该直线和Γ有唯一公共点()00,R x y ，故联立后的方程组()0022y k x x y y x⎧=-+⎨=⎩只有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩.从而将第一个方程代入第二个，得到的方程2002y y y x k -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭只有唯一解0y y =.此方程展开即为2002220y y y x k k -+-=，从而002y y k=+，所以01k y =.【小问2详解】（i ）设211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12y y ≠.根据上一小问的结论，可知Γ在B 和C 处的切线分别是2112y y y x =+和2222y y y x =+.联立两直线解得121222y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于A 不在x 轴上，所以120y y +≠，故1112221212222B C BC y y k k y y y y -===+-，所以D 的纵坐标是122y y +，从而212121,222y y y y D ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，A 在Γ外，D 在Γ上，所以直线AD 的方程是122y y y +=.这表明该直线通过BC 的中点221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以直线AD 与BC 的交点E 就是BC 的中点，即221212,42y y y y E ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212121124222y y y y y y ⎛⎫++⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AE 的中点坐标为212121,222y y y y ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，这就是点D 的坐标，所以D 是AE 的中点.（ii ）由于D 是AE 的中点，11B C 和BC 平行，故11,B C 分别是,AB AC 的中点.所以()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.首先有3322312121212121111224282ABC B C y y y y S AE y y y y y y y y ⎛⎫+⎛⎫=⋅-=-⋅-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .从而3ABCS S ==，1131144AB C ABC S S == .而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，故根据点的一般性可知对Γ外的任意一点(),T x y ，该点确定的切线三角形的面积为314.再由()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可知1221133311114448B BC AB C S S ⎛ ==== ⎝，同理1331118C B C AB C S S = .这就表明，不断作11,2,4,...,2n -个切线三角形后，第()2,3,...,k k n =次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第1k -次作的切线三角形的面积的18.而1114AB C S S =，所以第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的面积均为28k S .设所有切线三角形的面积之和为t S ，由于第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的个数为12k -，故11112221884k k nn nt k k kk k k S S S S -===⋅==⋅=⋅∑∑∑.从而2111 (44)4t n S S ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，这就得到21444114...1 (44)444t nn S S S -⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121111111 (44444)4t n n nS S S S S -⎛⎫⎛⎫<++++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3t S S <，即13t S S <，结论得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究.19.贝塞尔曲线（Be'zier curve ）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD 设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein 多项式．引入多项式()C (1)niin ii n B x x x -=-(0,1,2,,)i n =L ，若()f x 是定义在[]0,1上的函数，称()0;()()nnn ii iB f x f Bx n ==∑，[0,1]x ∈为函数()f x 的n 次Bernstein 多项式．（1）求()202B x 在()0,1上取得最大值时x 的值；（2）当()f x x =时，先化简();n B f x，再求2n B f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值；（3）设()00f =，()f x x 在()0,1内单调递增，求证：();n B f x x在()0,1内也单调递增．【答案】（1）110（2）();n B f x x =，22;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，进而可求出函数的单调区间，即可得解；（2）根据Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义化简即可求出();n B f x ，再令2x =即可得解；（3）根据()00f =及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义求导并化简，再根据()f x x在()0,1内单调递增，可得11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，即可得出结论.【小问1详解】由题意()()182022220C 1B x x x =-，()0,1x ∈，则()()()()()()1817172022222020C 21181C 21110B x x x x x x x x '⎡⎤=---=⋅--⎣⎦令()()2020B x '=，得110x =，当1010x <<时，()()2020B x '>，当1110x <<时，()()2020B x '<，所以()202B x 在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当110x =时，()202B x 在()0,1上取得最大值；【小问2详解】()()()0;;nn n i i n i B x x B B f x n x =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑()()0!1!1!nn ii i i n x x n i n -==⋅--∑()()()()01!11!1!n n ii i n x x i n -=-=---∑()()()111!1!1!n n i i i n x x x i n i ---=-=---∑()()11101n n n i i x B x x x x x ---===+-=∑，所以2233;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问3详解】()()()200;1nn n nni i i i B f x i i x fB x f B x x x n n =='⎡⎤'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()11120011C 1C 1n nn i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑由()00f =，上式()()11120111C 1C 1n nn i n i i ii in n i i i i i x n f f x x f x x x n n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()1111111200111C 1C 1n n n i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n ------++-==⎡⎤⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()()()()11101!1!11!1!1!1!n n i i i n i i n i x x n f f f i n i n n i n i n ----=⎡⎤-⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!1111!1!1n n i i i n i i i x x f f f i n i n n i n ----=⎡++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!11,0,1,,1!1!1n n i i i n ii i x x f f i n i n i i n n ----=⎡+⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ ，而()f x x 在()0,1内单调递增，所以11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，所以11i i i f f i n n +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故();0n B f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以();n B f x x在()0,1内也单调递增．【点睛】关键点点睛：理解Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义是解决本题的关键.。
高三下学期最后一卷理综物理试题解析版
f=macosθ
竖直方向
对货物
ma=mgsinθ
联立以上各式可解出
故选C。
4.对月球的形成，目前主要有“俘获说”、“分离说”两种说法若月球是从地球分离出去的，则地球与月球的密度应该大致相等。请同学们选用下列某些条件求出地球与月球的密度之比约为（ ）
地球表面的重力x=-2x0处
C. 在x=x0处电场强度等于零
D. 在x轴上x＞x0范围内，电场方向向左
【答案】BC
【解析】
【详解】A．从图像可知在 处的电势能大于零，故在此处应有一负电荷，即-Q，A错误；
C．在x=x0处电势能最小，此处应为平衡位置，且Ep-x图象的斜率表示电场力，即x=x0处电场力为零，则电场强度等于零，故C正确；
请完成以下问题：
（1）请将图甲所示的电路图补充完整_________；
（2）实验步骤如下：
A.将R′的滑片P移至b端；
B.将S2与1端接通，闭合S1，适当调节P位置，使电压表读数为某一值U1；
C.保持P位置不变，将S2与2端接通，调节R0，当电压表读数为________时，读出电阻箱R0的值R1，将此值作为电压U1时小灯泡的电阻值；
D. 若R的阻值为5 ，则变压器的输入功率为22W
【答案】D
【解析】
【详解】AB．根据
原、副线圈匝数不变，原线圈电压不变，当R减小时，副线圈电压不变，副线圈电流强度增加，根据
可知原线圈电流强增加，因此电压表示数不变，电流表示数增大，AB错误；
C．图乙中电压 周期
因此频率
电压的最大值
因此电压的有效值
C错误；
A. 撤去推力F的瞬间，木块的加速度最大
B. 撤去推力F后，木块与弹簧分离时的速率最大
2020年6月2020届安徽省合肥市合肥一中2017级高三高考最后一卷(四模考试)理科综合试卷参考答案
2020年6月2020届安徽省合肥市合肥一中2017级高三高考最后一卷（四模考试）理科综合试卷
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2020年高考考前最后一卷-理科数学全解析版(新课标II卷) (2)
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22224c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且4PF QF =uuu r uuu r ，则椭圆C 的离心率等于()A ．13B ．12C 5D 32．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．164813．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是() A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩4．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是() A ．35CB ．35AC ．35D ．535．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z =()A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -6．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（）A ．23 B ．35C ．2547D ．27467．若a ，b 均为正实数，则22ab ba b 1+++的最大值为( ) A ．23B 2C 2D ．28．在ABC V 中，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =⋅，则b 的值等于（） A ．8B ．6C ．4D ．19．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设nn b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．1210．设()()32lg 1f x x x x =+++，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要11．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，以点C 为圆心，CE 长为半径为圆，点P 是该圆上的任一点，在AP DE ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）． A ．[0,26]+B ．[26,26]-+C ．[0,25]+D ．[25,25]-+12．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（） A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届合肥一中最后一卷理综参考答案
C 选项：工农业生产及生活中含氮、磷过多的废水排放后导致水体富营养化，造成藻类大量繁殖（发 生在淡水中称为“水华”、在海水中则称为“赤潮”），消耗水中溶解氧而导致水质恶化，C 选项正确。
【答案】（1） 废液上清液中含有大量有机物，可为白地霉的生长繁殖提供所需的物质和能量 （2 分） 是（1 分） 废液上清液含有大量微生物，若不灭菌，不利于获得白地霉菌体（合理即可）（2 分） （2）需氧型（2 分） 不加（2 分） （3）恒重时的质量与滤纸质量之差（合理答案均给分）（2 分） （4）平板划线法（或稀释涂布平板）（2 分） 甘油管藏（2 分） 【解析】 发酵废液上清液中含有大量有机物，可为白地霉的生长繁殖提供所需的物质和能量，可以用来培养白 地霉。为了防止杂菌生长，需要对培养基进行灭菌。震荡可增加溶液中的溶氧量，可知白地霉为需氧型， 培养基中不加琼脂，应为液体培养基。称重时含滤纸质量，去除即可。纯化培养可以用平板划线法和稀释 涂布平板法，长期保存要使用甘油管藏法。 38.（15 分） 【答案】(1)逆转录（2 分） 启动子和终止子（2 分） （2）向小鼠体内注入蛋白质 B，再从产生免疫反应小鼠的脾脏中获得 B 淋巴细胞（3 分）
聚乙二醇（PEG） （2 分） （3）杂交瘤（2 分） 克隆化培养（2 分） 能无限增殖，又能分泌抗蛋白 B 抗体（2 分）
【解析】 本题考查通过基因工程方法制备疫苗，以及制备单克隆抗体的原理和方法。需要理解相关原理，并且 要能具体去应用。（1）该病毒是 RNA 病毒，要先逆转录成 DNA 片段才能表达出相应的蛋白质。有 RNA 逆转 录的 DNA 片段可能没有启动子和终止子，所以要在 DNA 片段前后添加启动子和终止子。 （2）单克隆抗体制备过程中要在小鼠体内注入相对应的抗原物质 B，然后分离 B 淋巴细胞，与骨髓瘤细胞 融合。细胞融合用的化学试剂是聚乙二醇（PEG）。 （3）单克隆抗体制备时要筛选出产生所需抗体的杂交瘤细胞。这种杂交瘤细胞既可以无限增殖又可以产 生相应抗体。通过克隆化培养这种细胞就可以获得大量单一抗体。
2020年安徽省合肥市城关中学高三数学理下学期期末试卷含解析
2020年安徽省合肥市城关中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是（）(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）参考答案：B2. 把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数（）A. B.C. D.参考答案：C略3. 设S={1，2，3}，M={1，2}，N={1，3}，那么（）∩（）等于（）A、 B、{1，3} C、{1} D、{2，3}参考答案：A4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．5. 设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∪B等于（）A．[﹣2，1）B．（﹣2，1] C．[﹣3，3）D．（﹣3，3]参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】首先求出集合A，然后找出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤1}，因此A∪B=[﹣3，3）．故选：C．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．6. 从[0,10]上任取一个数x，从[0,6]上任取一个数y,则使得的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位参考答案：B【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．8. 已知函数f（x）满足条件：?x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f（x+t）﹣f（x）＜0（其中t为正数），则函数f（x）的解析式可以是（）A．y=xsinx+3 B．y=x3 C．y=﹣sinx D．y=﹣3x参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据条件可判断出f（x）在R上为奇函数，且单调递减，这样看哪个选项函数满足这个条件即可．【解答】解：f（x）+f（﹣x）=0；∴f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；f（x+t）﹣f（x）＜0；∴f（x+t）＜f（x），t＞0；∴f（x）在R上为减函数；∴f（x）在R上是奇函数且是减函数；A．y=xsinx+3为非奇非偶函数，∴该选项错误；B．y=x3在R上为增函数，∴该选项错误；C．y=﹣sinx在R上没有单调性，∴该选项错误；D．一次函数y=﹣3x为奇函数，且在R上为减函数，∴该选项正确．故选D．9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．10. 在中,若,则的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含角的等腰三角形参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=．参考答案：3略12. 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．参考答案：13. 下列几个命题：①不等式的解集为；②已知均为正数，且，则的最小值为9；③已知，则的最大值为；④已知均为正数，且，则的最小值为7；其中正确的有．（以序号作答）参考答案：②④14. 在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____参考答案：两式相除得，交点的极坐标为15. 以等腰直角的两个顶点为焦点，且经过第三个顶点的双曲线的离心率为．参考答案：略16. 设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足+≤2，则a+b取值范围为．参考答案：[2，+∞）【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由+≤2，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，|BD|≤2，解出即可．【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由+≤2，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，a≥1，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了直线方程、分类讨论思想方法、两点之间的距离公式，考查了数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知定义在R上的函数f(x)与g(x)，若函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，且，则．参考答案：12三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高三下最后一卷理综物理试题(原卷版)
(2)在图乙上画出t2=0.90s时刻绳子上的波形图线。
考试时间：90分钟考试总分：100分
第I卷（选择题)
一．选择题(本题共12小题;每小题4分,共48分。其中1-8题为单选题，9-12为多选题，全部选对得4分，选对但不全得2分)
1.如图所示，对下列课本插图描述正确的是()
（1）求此气体经过一次循环又回到初态A过程中，外界对气体做的总功W；
（2）将该循环过程用图乙的p-T图像表示出来（在图中标出状态A、B、C、D）。
【物理——选修3-4】
15.如图所示，平行厚玻璃板放在空气中，一束光线以入射角 =45°从玻璃板上表面射入，变成a、b两束光线从下表面射出玻璃板，则下面说法中正确的是________。
A.撤去推力F的瞬间，木块的加速度最大
B.撤去推力F后，木块与弹簧分离时的速率最大
C.弹簧弹性势能的最大值为（W1-W2）
D.木块与弹簧分离时，木块的动能为（W1-2W2）
8.如图所示，在xOy平面内有磁感应强度大小均为B匀强磁场，其中0<x<a范围内的磁场方向垂直于xOy平面向里，x＞a范围内的磁场方向垂直于xOy平面向外。一个带正电q、质量为m的粒子（重力不计）从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，若粒子在磁场中运动一段时间后恰能回到O点。则下列说法正确的是（ ）
D.重复步骤B、C，记录多组电压表读数U及对应的电阻箱读数R；
E.断开S1，整理好器材。
（3）该实验小组已将实验中记录的各组小灯泡灯丝电阻R和对应U的数据在如图乙所示的R-U图像中正确地描好点，请你在图乙中描绘出R-U图线_________；
（4）在正常发光情况下，小灯泡 电功率P额=________W（计算结果保留两位有效数字）。