切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理图形已知结论证法

相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交

于P.

PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：

△APC∽△DPB.

相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB

于P.

PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.

切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，

割线PB交⊙O于A

PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：

△PTB∽△PAT

切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，

交⊙O于A、C

PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用

两次切割线定理

一、选择题

1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）

A. B. C. 5 D. 8

2.下列图形一定有切圆的是（）

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.梯形

3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）

图1

A. 50°

B. 40°

C. 60°

D. 55°

4.圆两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）

A. 8cm

B. 10cm

C. 12cm

D. 16cm

5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）

A. B.

C. D.

6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）

A. 20

B. 10

C. 5

D.

二、填空题

7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。

9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。

10.正△ABC接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。

三、解答题

11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE 的长。

图2

12.如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。

图3

13.如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。

图4

【试题答案】

一、选择题

1. A

2. C

3. A

4. B

5. B

6. A

二、填空题

7. 90 8. 1 9. 30 10.

三、解答题：

11.由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm

12.证明：连结AC，则AC⊥CB

∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1

∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，

∴BC平分∠DCP

13.设BM＝MN＝NC＝xcm

又∵

∴

又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB

在Rt△ABC中，由勾股定理，得，

由割线定理：，又∵

∴

∴半径为。